Garis Singgung dan Turunan di Suatu Titik

Q: Apa itu garis singgung pada kurva?

Garis singgung pada kurva di suatu titik adalah garis lurus melalui titik itu yang searah dengan kurva di sana. Gradiennya adalah limit gradien garis potong melalui titik tersebut. Ia dapat bertemu kurva di tempat lain, sehingga menyentuh sekali bukan definisinya.

Q: Apa itu turunan di suatu titik?

Turunan f di a adalah limit f dari a ditambah h dikurangi f dari a, dibagi h, saat h mendekati nol, bila limit itu ada. Ia adalah gradien garis singgung di a dan laju perubahan sesaat f di sana.

Q: Apa beda garis potong dan garis singgung?

Garis potong melalui dua titik pada kurva dan bergradien laju perubahan rata-rata di antara keduanya. Garis singgung bergradien laju perubahan sesaat di satu titik, dan ia adalah limit garis potong saat titik kedua mendekati titik pertama.

Q: Bagaimana mencari persamaan garis singgung?

Cari tinggi f dari a dan gradien f aksen dari a dari definisi limit, lalu tulis y sama dengan f dari a ditambah f aksen dari a kali x dikurangi a. Untuk y sama dengan x kuadrat di x sama dengan 1 tingginya 1, gradiennya 2, dan garisnya y sama dengan 2x dikurangi 1.

Q: Apa arti turunan di suatu titik?

Ia adalah laju perubahan sesaat fungsi di titik itu, dalam satuan keluaran per satuan masukan. Untuk jarak terhadap waktu ia adalah kecepatan pada saat itu, dan untuk biaya terhadap jumlah ia adalah biaya marjinal. Secara geometris ia adalah gradien grafik.

Q: Dapatkah garis singgung memotong kurva?

Ya. Garis singgung hanya menyatakan arah kurva di titik itu. Di titik belok seperti x sama dengan 0 pada y sama dengan x pangkat tiga garis singgung memotong kurva, dan garis singgung juga dapat bertemu kurva lagi di tempat lain, seperti y sama dengan min 2 pada x pangkat tiga dikurangi 3x.

Q: Kapan fungsi tidak terdiferensialkan di suatu titik?

Fungsi tidak terdiferensialkan di tempat limit hasil bagi selisih tidak ada: pada sudut tajam seperti nilai mutlak x di 0, pada cusp, pada lompatan, pada garis singgung tegak, atau tempat ia berosilasi tanpa menetap. Ia juga harus kontinu di sana.

Q: Apakah setiap fungsi kontinu terdiferensialkan?

Tidak. Fungsi yang terdiferensialkan selalu kontinu, tetapi fungsi kontinu belum tentu terdiferensialkan. Nilai mutlak x kontinu di mana-mana dan memiliki sudut tajam di 0, dan Weierstrass membuat fungsi kontinu yang tidak memiliki turunan di titik mana pun.

Q: Apa itu garis normal pada kurva?

Garis normal di suatu titik pada kurva adalah garis melalui titik itu yang tegak lurus terhadap garis singgung. Bila garis singgung bergradien m yang bukan nol, garis normal bergradien min 1 per m, dan bila garis singgung mendatar, garis normal tegak.

Diperbarui 12 Oktober 2026 19 menit baca Menengah Read in English

Kalkulus Geometri Pembuktian Komputasi

Jawaban singkat

Garis singgung grafik di suatu titik adalah garis lurus yang paling cocok dengan grafik di titik itu, dan gradiennya adalah turunan di titik tersebut: limit gradien garis potong ketika titik kedua bergeser mendekati titik pertama, f'(a)=\lim_h→0(f(a+h)-f(a))/(h). Garisnya y=f(a)+f'(a)(x-a). Turunan adalah laju perubahan sesaat, dan ia tidak ada pada sudut tajam, cusp, lompatan, atau garis singgung tegak.

Poin penting

Garis potong menghubungkan dua titik pada grafik; gradiennya adalah hasil bagi selisih (f(a+h)-f(a))/(h), laju perubahan rata-rata pada langkah sebesar h.
Turunan f'(a) adalah limit hasil bagi selisih saat h→0; ia adalah gradien garis singgung dan laju perubahan sesaat di x=a.
Garis singgung di x=a adalah y=f(a)+f'(a)(x-a); garis normal tegak lurus terhadapnya, dengan gradien -1/f'(a).
Garis singgung tidak sekadar menyentuh sekali: ia dapat bertemu kurva lagi, dan di titik belok ia memotong kurva. Gagasannya lokal, tentang arah.
Memperbesar grafik yang terdiferensialkan membuatnya tampak lurus; pada sudut tajam, cusp, atau lompatan ia tidak pernah lurus, dan di sana turunan tidak ada.
Terdiferensialkan di suatu titik berarti kontinu di sana, tetapi tidak sebaliknya; dalam kode selisih terpusat dengan h≈10^-5 adalah turunan numerik yang baik.

Apa itu garis singgung pada sebuah kurva?

Garis singgung pada sebuah kurva di suatu titik adalah garis lurus yang paling cocok dengan kurva di titik itu: ia melalui titik tersebut dan searah dengan kurva di sana. Di dekat titik itu, kurva dan garis singgungnya hampir sama, yaitu yang diperlihatkan alat perbesaran di bawah: makin dekat kamu melihat, makin lurus kurva itu, sampai kamu tidak dapat membedakannya dari garis singgungnya.

Gagasannya berasal dari lingkaran, tempat garis singgung menyentuh lingkaran di satu titik dan tegak lurus terhadap jari-jari (lihat tali busur dan garis singgung). Untuk kurva umum "menyentuh di tepat satu titik" bukan definisi yang tepat, karena tiga hal:

Garis singgung dapat bertemu kurva lagi. Garis y=-2 adalah garis singgung y=x^3-3x di x=1, dan ia bertemu kurva untuk kedua kalinya di x=-2.
Garis yang bertemu kurva satu kali belum tentu garis singgung. Garis tegak x=1 bertemu parabola y=x^2 hanya sekali, tetapi parabola di (1,1) naik dengan gradien 2; garis singgungnya di sana adalah y=2x-1.
Garis singgung dapat memotong kurva. Di titik belok x=0 pada y=x^3-3x garis singgung y=-3x melintas dari satu sisi kurva ke sisi lainnya.

Jadi garis singgung adalah gagasan lokal. Ia menyatakan ke mana kurva menuju di titik itu, bukan bagaimana garis bertemu kurva di tempat yang jauh. Untuk membuatnya tepat kita memerlukan dua langkah: gradien garis potong, yang menghubungkan dua titik pada kurva, lalu apa yang terjadi pada gradien itu ketika kedua titik berimpit. Itulah bagian berikutnya.

Cobalah: pilih sebuah fungsi dan titik, lalu perbesar.

Interaktif: perbesar sebuah kurva

Pilih sebuah fungsi dan titik lalu perbesar: kurva makin lurus sampai tak dapat dibedakan dari garis singgungnya, dan selisih keduanya mengecil lebih cepat daripada jendelanya.

Bagaimana mencari gradien garis singgung?

Gradien garis singgung di x=a adalah limit gradien garis potong melalui (a,f(a)) dan titik kedua (a+h,f(a+h)), saat h mengecil menuju 0. Garis potong adalah garis yang melalui dua titik pada kurva. Gradiennya adalah kenaikan per jarak mendatar, yaitu hasil bagi selisih: (f(a+h)-f(a))/(h). Ambil f(x)=x^2 di a=1. Menjabarkan kurung memberi f(1+h)-f(1)=(1+h)^2-1=2h+h^2, dan mengeluarkan faktor persekutuan h memberi ((1+h)^2-1)/(h)=(h(2+h))/(h)=2+h (h\ne0). Sekarang biarkan titik kedua mendekati (1,1):

Dari kanan: h=1 memberi gradien 3, h=0,1 memberi 2,1, h=0,01 memberi 2,01, h=0,001 memberi 2,001.
Dari kiri: h=-0,1 memberi 1,9, h=-0,01 memberi 1,99, h=-0,001 memberi 1,999.

Gradien-gradien itu mendekati 2 dari kedua sisi, dan kita tulis \lim_h→0(2+h)=2. Limit itu adalah gradien garis singgung.

Mengapa tidak langsung memasukkan h=0 ke hasil bagi? Karena hasilnya \frac00, yang tidak bernilai: kedua titik menjadi titik yang sama dan tidak ada garis yang melalui "dua" titik. Limit tidak menanyakan nilai di h=0; ia menanyakan apa yang didekati hasil bagi ketika h dekat 0 tetapi bukan 0. Setelah h dicoret jawabannya jelas.

Dua hal penting. Limit itu harus ada dari kedua sisi, karena titik kedua dapat berada di kiri (h<0) atau di kanan (h>0). Dan bila ada, ia memberi definisinya:

Garis singgung grafik f di P=(a,f(a)) adalah garis melalui P dengan gradien m=\lim_h→0(f(a+h)-f(a))/(h), asalkan limit ini ada. Bila hasil bagi membesar tanpa batas, garisnya tegak, yang dibahas di bawah.

Pada y = x², garis potong melalui P = (1, 1) dan Q1 = (2, 4) atau Q2 = (1,5; 2,25) bergradien 3 dan 2,5 (putus-putus); saat titik kedua bergeser ke P gradiennya turun menjadi 2, gradien garis singgung y = 2x − 1 (utuh).

Interaktif: dari garis potong ke garis singgung

Gerakkan titik kedua mendekati titik pertama dari kedua sisi dan lihat gradien garis potong menuju gradien garis singgung, dengan tabel gradien untuk h = 2 sampai 0,0001.

Apa itu turunan fungsi di suatu titik?

Turunan f di a, ditulis f'(a), adalah limit hasil bagi selisih, f'(a)=\lim_h→0(f(a+h)-f(a))/(h), bila limit itu ada; ia adalah gradien garis singgung di x=a dan laju perubahan sesaat f di sana. Menulis x=a+h memberi limit yang sama dalam bentuk kedua, f'(a)=\lim_x→ a(f(x)-f(a))/(x-a), yang sering lebih praktis bila fungsinya memuat akar. Turunan di suatu titik adalah sebuah bilangan. Notasi lainnya adalah (df)/(dx)\bigg|_x=a dan (dy)/(dx)\bigg|_x=a (Leibniz). Fungsi terdiferensialkan di a bila limitnya ada.

Tiga contoh memperlihatkan tiga trik aljabar yang biasa dipakai.

1. Polinomial: jabarkan dan coret h. Untuk f(x)=x^3-3x di a=2 kita punya f(2)=2, dan (2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3, sehingga setelah dikurangi f(2) tersisa (f(2+h)-f(2))/(h)=(9h+6h^2+h^3)/(h). Mencoret h memberi 9+6h+h^2, yang menuju 9 saat h→0. Jadi f'(2)=9, dan garis singgung di sana curam.

2. Pecahan: samakan penyebut. Untuk f(x)=\frac1x di a=2, dengan penjumlahan pecahan, \frac\frac12+h-\frac12h=(2-(2+h))/(2(2+h) h)=(-1)/(2(2+h))→-\frac14. Langkah yang sama di sembarang a\ne0 memberi f'(a)=-(1)/(a^2): gradiennya negatif di mana-mana, curam di dekat x=0 dan melandai di tempat yang jauh, dan bernilai -\frac14 di a=2 maupun a=-2, sehingga ada dua garis singgung dengan gradien itu.

3. Akar: kalikan dengan sekawan. Untuk f(x)=√ x di a=4, dengan merasionalkan pembilang: mengalikan pembilang dan penyebut dengan √(4+h)+2 mengubah pembilang menjadi (4+h)-4=h, sehingga (√(4+h)-2)/(h)=(h)/(h\left(√(4+h)+2\right)). Mencoret h menyisakan (1)/(√(4+h)+2), yang menuju \frac14 saat h→0.

Hasil bagi dapat ditangani satu sisi demi satu sisi. Turunan kanan memakai h→0^+ dan turunan kiri memakai h→0^-; f terdiferensialkan di a tepat bila keduanya ada dan sama. Melakukan limit yang sama di setiap a sekaligus menghasilkan fungsi baru, fungsi turunan f', dan aturan-aturannya adalah jalan pintas untuk limit ini; definisi di atas adalah apa yang dipersingkat oleh aturan-aturan itu.

Bagaimana menulis persamaan garis singgung?

Garis singgung y=f(x) di x=a adalah y=f(a)+f'(a)(x-a), bentuk titik-gradien dari garis yang melalui (a,f(a)) dengan gradien f'(a). Tiga langkah: cari tinggi f(a), cari gradien f'(a) dari limit, lalu masukkan keduanya ke rumus. Tiga contoh:

f(x)=x^2 di a=1: f(1)=1 dan f'(1)=2, sehingga y=1+2(x-1)=2x-1.
f(x)=\frac1x di a=2: f(2)=\frac12 dan f'(2)=-\frac14, sehingga y=\frac12-\frac14(x-2)=-\frac x4+1.
f(x)=x^3-3x di a=1: f(1)=-2 dan f'(1)=0, sehingga y=-2, garis singgung mendatar (gradien 0).

Garis normal di titik itu adalah garis yang melaluinya dan tegak lurus terhadap garis singgung. Gradiennya -(1)/(f'(a)) bila f'(a)\ne0, karena hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah -1; bila garis singgungnya mendatar, garis normalnya adalah garis tegak x=a. Untuk y=x^2 di (1,1) garis normalnya y=1-\frac12(x-1)=-\frac x2+\frac32.

Garis singgung juga memiliki ciri aljabar yang tidak menyebut limit. Kurangkan garis singgung dari fungsinya: selisih f(x)-\big(f(a)+f'(a)(x-a)\big) bernilai nol di x=a, dan untuk polinomial ia memiliki akar ganda di sana. Untuk x^3-3x di a=1 selisihnya x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2): akar ganda di 1 adalah titik singgungnya, dan akar tunggal di x=-2 adalah tempat kedua garis singgung bertemu kurva. Di titik belok a=0 selisihnya x^3, akar rangkap tiga, itulah sebabnya garis singgung memotong kurva di sana.

Gagasan yang sama mencari garis singgung melalui titik di luar kurva. Untuk menggambar garis singgung pada y=x^2 dari (1,-3), tanyakan untuk a berapa garis singgung di a melalui titik itu: a^2+2a(1-a)=-3, yang menyederhana menjadi a^2-2a-3=0, jadi (a-3)(a+1)=0. Garis singgungnya menyentuh parabola di a=3 dan a=-1: y=6x-9 dan y=-2x-1. (Keduanya melalui (1,-3): 6-9=-3 dan -2-1=-3.)

Garis singgung juga berguna sebagai hampiran. Di dekat a, f(x)≈ f(a)+f'(a)(x-a). Dengan f(x)=√ x, a=4, dan gradien \frac14, kita peroleh √4,1≈2+\frac14·0,1=2,025; nilai sebenarnya 2,02485…, sehingga galatnya di bawah 0,0002. Ini salah satu cara menghampiri bilangan irasional.

Cobalah: ketik sebuah polinomial dan titik, atau titik di luar kurva. Setiap bilangan adalah pecahan eksak.

Garis mendatar y = −2 adalah garis singgung y = x³ − 3x di A = (1, −2): akar ganda dari selisih. Ia juga bertemu kurva di akar tunggal B = (−2, −2).

Interaktif: kalkulator garis singgung

Ketik sebuah polinomial dan titik lalu dapatkan hasil bagi selisih, gradien eksak, garis singgung dan garis normal serta tempat garis singgung bertemu kurva lagi, atau cari garis singgung melalui titik di luar.

Apa arti turunan di suatu titik dalam kehidupan nyata?

Turunan di suatu titik adalah laju perubahan sesaat: seberapa cepat keluaran berubah per satuan masukan pada saat yang tepat itu, dalam satuan y per satuan x. Hasil bagi selisih adalah laju perubahan rata-rata pada langkah sebesar h, dan turunan adalah nilai yang didekati rata-rata itu saat langkahnya mengecil menjadi nol.

Kecepatan. Misalkan bola yang dijatuhkan dari menara jatuh sejauh s(t)=4,9t^2 meter dalam t detik. Kecepatan rata-ratanya dari t=1 sampai t=1+h adalah \frac4,9(1+h)^2-4,9h=9,8+4,9h. Dalam satu detik penuh (h=1) itu 14,7 m/s, dalam setengah detik 12,25 m/s, dalam 0,1 detik 10,29 m/s, dalam 0,01 detik 9,849 m/s, dan saat h→0 ia menuju 9,8 m/s. Bilangan itu, s'(1)=9,8 m/s, adalah angka pada spidometer di t=1: rata-rata memerlukan selang waktu, kecepatan pada satu saat memerlukan limit.

Biaya. Jika membuat q barang berbiaya C(q)=2q^2+30q+400 ribu rupiah, maka C(11)-C(10)=972-900=72 ribu rupiah, yaitu Rp72.000, adalah tambahan biaya barang ke-11, yang merupakan hasil bagi selisih dengan h=1. Turunan C'(10)=4·10+30=70 adalah biaya marjinal pada 10 barang: Rp70.000 per tambahan satu barang, dekat dengan tambahan eksak Rp72.000. Para ekonom memakai turunan sebagai perkiraan cepat biaya satu barang lagi.

Membaca tandanya. Jika f'(a)>0 grafik naik di a, jika f'(a)<0 grafik turun, dan jika f'(a)=0 garis singgungnya mendatar. Garis singgung mendatar dapat berupa puncak, dasar, atau bukan keduanya: y=x^3 memiliki f'(0)=0 tetapi tetap naik melewati 0.

Laju tetap. Untuk garis lurus laju perubahannya sama di mana-mana, dan garis singgungnya adalah garis itu sendiri. Langkah-langkah sama pada barisan aritmetika adalah hal yang sama dalam bentuk diskret: beda tetap adalah gradien tetap. Kurva memiliki gradien yang berbeda di tiap titik, dan turunan memungkinkan kamu menanyakannya satu titik demi satu titik.

Satuan. Turunan bersatuan y dibagi satuan x: meter per detik untuk jarak terhadap waktu, rupiah per barang untuk biaya terhadap jumlah. Jalan yang naik 8 meter untuk setiap 100 meter sepanjang tanah memiliki gradien 0,08, tanjakan 8%.

Gerak sepanjang garis lurus (kecepatan, laju, percepatan, sentakan, jatuh bebas) serta biaya dan pendapatan marjinal diuraikan lengkap dalam turunan sebagai laju perubahan.

Kapan sebuah fungsi tidak memiliki turunan di suatu titik?

Sebuah fungsi tidak memiliki turunan di suatu titik bila limit hasil bagi selisih tidak ada, yang terjadi pada sudut tajam, cusp, lompatan, garis singgung tegak, atau tempat grafik berosilasi tanpa menetap. Widget di bawah memperlihatkan tiap kasus di x=0 dengan gradien garis potong dari kiri dan dari kanan. Inilah yang perlu diperhatikan:

Sudut tajam. Untuk f(x)=|x| gradien garis potong adalah -1 dari kiri dan +1 dari kanan. Keduanya berbeda, sehingga tidak ada garis singgung, dan sebesar apa pun perbesaran tidak meluruskan sudut tajam.
Cusp. Untuk f(x)=x^2/3 gradien dari kanan membesar ke +∞ dan dari kiri ke -∞: dua arah tegak yang berlawanan.
Lompatan. Fungsi yang melompat bahkan tidak kontinu di sana, dan hasil bagi selisihnya membesar tanpa batas pada setidaknya satu sisi.
Garis singgung tegak. Untuk f(x)=x^1/3 gradien membesar ke +∞ dari kedua sisi: garis singgungnya adalah garis tegak x=0. Grafiknya memiliki garis singgung, tetapi gradiennya bukan bilangan, sehingga f'(0) tidak ada.
Osilasi tanpa henti. Untuk f(x)=x\sin\frac1x gradien garis potong adalah \sin\frac1h, yang terus berayun di antara -1 dan 1 dan tidak pernah menetap.

Tidak setiap grafik yang melengkung di suatu titik memiliki sudut tajam. f(x)=x|x| tampak seperti bisa patah di 0, tetapi gradiennya menuju 0 dari kedua sisi, sehingga f'(0)=0 dan garis singgungnya mendatar.

Terdiferensialkan berarti kontinu. Jika f'(a) ada maka f(a+h)-f(a)=(f(a+h)-f(a))/(h)· h, yang menuju f'(a)·0=0, sehingga f(a+h)→ f(a). Itu menyingkirkan setiap lompatan. Kebalikannya salah: |x| kontinu di mana-mana dan tidak terdiferensialkan di 0. Jadi kekontinuan itu perlu untuk adanya turunan tetapi tidak cukup.

Uji praktis mengikuti dari perbesaran: grafik yang terdiferensialkan di suatu titik tampak seperti garis lurus saat titik itu diperbesar, dan yang tidak, tidak demikian.

Interaktif: ketika turunan tidak ada

Enam grafik di x = 0: sudut tajam, yang mirip tetapi mulus, lompatan, garis singgung tegak, cusp, dan osilasi tanpa henti, masing-masing dengan gradien garis potong dari tiap sisi dan perbesaran yang menunjukkan apa yang tidak pernah menjadi lurus.

Bagaimana menghitung turunan di suatu titik dalam kode?

Dalam kode, taksir turunan dengan hasil bagi selisih dan langkah kecil, sebaiknya selisih terpusat (f(a+h)-f(a-h))/(2h) dengan h sekitar 10^-5; untuk polinomial dengan pecahan eksak kamu dapat memperoleh gradien eksak tanpa limit dan tanpa pembulatan. Hasil bagi maju (f(a+h)-f(a))/(h) memiliki galat yang mengecil sebanding dengan h; yang terpusat memiliki galat sebanding dengan h^2, karena kedua galat orde pertama saling meniadakan.

Namun jangan mengecilkan h sejauh mungkin. Komputer menyimpan tiap nilai dengan galat pembulatan relatif sekitar 10^-16, dan mengurangkan dua bilangan yang hampir sama mempertahankan galat mutlak itu sementara pembagian dengan h yang sangat kecil memperbesarnya. Percobaan di bawah menaksir turunan \sin di 1, yang nilai sebenarnya \cos 1=0,5403023058681398: galat turun saat h turun, mencapai dasar (dekat 10^-8 untuk hasil bagi maju dan dekat 10^-5 untuk yang terpusat), lalu naik lagi. Pada h=10^-14 keduanya salah di angka ketiga.

Python: selisih maju dan selisih terpusat

import math

def forward(f, a, h):
    return (f(a + h) - f(a)) / h            # error shrinks like h

def central(f, a, h):
    return (f(a + h) - f(a - h)) / (2 * h)  # error shrinks like h squared

a, true = 1.0, math.cos(1.0)                # the derivative of sin at 1 is cos(1)
for k in (1, 3, 5, 8, 11, 14):
    h = 10.0 ** -k
    print(f"h=1e-{k:<2}  forward {abs(forward(math.sin, a, h) - true):.1e}   central {abs(central(math.sin, a, h) - true):.1e}")

# h=1e-1   forward 4.3e-02   central 9.0e-04
# h=1e-3   forward 4.2e-04   central 9.0e-08
# h=1e-5   forward 4.2e-06   central 1.1e-11
# h=1e-8   forward 3.0e-09   central 2.6e-09
# h=1e-11  forward 1.2e-06   central 1.2e-06
# h=1e-14  forward 3.7e-03   central 3.7e-03

Untuk polinomial tidak perlu menaksir sama sekali. Menulis f(a+h) sebagai polinomial dalam h (sebuah pergeseran peubah, dikerjakan dengan pembagian sintetis berulang) memberi f(a)+f'(a) h+…, sehingga koefisien h tepat sama dengan gradien, sebagai pecahan, dengan limit yang sudah diambil. Kode di bawah melakukannya dengan Fraction dan mengulang hitungan tangan f'(2)=9 untuk x^3-3x; daftarnya adalah polinomial f(2+h)=2+9h+6h^2+h^3, sehingga hasil bagi selisihnya 9+6h+h^2, seperti tadi. Gagasan yang sama dipakai sistem aljabar komputer seperti SymPy ketika menurunkan secara simbolik.

Python: gradien eksak sebuah polinomial

from fractions import Fraction

def shift(coeffs, a):
    """Coefficients of f(a + h) for f = c0 + c1 x + c2 x^2 + ..., by repeated synthetic division."""
    out, cur = [], list(coeffs)
    while cur:
        carry, rest = Fraction(0), []
        for c in reversed(cur):
            carry = c + carry * a
            rest.append(carry)
        out.append(rest.pop())              # the remainder is the next coefficient
        cur = rest[::-1]
    return out

f = [0, -3, 0, 1]                           # x^3 - 3x
print(shift(f, Fraction(2)))                # [Fraction(2, 1), Fraction(9, 1), Fraction(6, 1), Fraction(1, 1)]
print(shift(f, Fraction(2))[1])             # 9, the slope at 2
print(shift([Fraction(4), 0, Fraction(1, 2)], Fraction(6))[1])   # 6, the slope of x^2/2 + 4 at 6

C++

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

// the slope at a of c[0] + c[1] x + c[2] x^2 + ..., exactly, by Horner's rule on the polynomial and its derivative
double slope(const double c[], int n, double a) {
  double p = 0, dp = 0;
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    dp = dp * a + p;
    p = p * a + c[i];
  }
  return dp;
}

int main() {
  double a = 1.0, truth = cos(1.0);                    // the derivative of sin at 1 is cos(1)
  for (int k = 1; k <= 4; k++) {
    double h = pow(10, -k);
    double forward = (sin(a + h) - sin(a)) / h;        // the error shrinks like h
    double central = (sin(a + h) - sin(a - h)) / (2 * h);   // the error shrinks like h squared
    printf("h=1e-%d  forward %.1e   central %.1e\n", k, fabs(forward - truth), fabs(central - truth));
  }
  // for much smaller h, rounding errors take over and both errors grow again

  double f[4] = {0, -3, 0, 1};                         // x^3 - 3x
  printf("%.0f\n", slope(f, 4, 2));                     // 9, the slope at 2
  double g[3] = {4, 0, 0.5};                           // x^2 / 2 + 4
  printf("%.0f\n", slope(g, 3, 6));                     // 6, the slope at 6
  return 0;
}

/* output:
h=1e-1  forward 4.3e-02   central 9.0e-04
h=1e-2  forward 4.2e-03   central 9.0e-06
h=1e-3  forward 4.2e-04   central 9.0e-08
h=1e-4  forward 4.2e-05   central 9.0e-10
9
6
*/

Siapa yang menemukan garis singgung dan turunan?

Tidak ada satu orang pun: garis singgung sudah kuno, mencarinya dengan aljabar dimulai pada 1630-an, Newton dan Leibniz membangun kalkulus di atasnya pada 1660-an sampai 1680-an, dan definisi limit yang dipakai sekarang berasal dari 1820-an.

Zaman kuno. Euclid (sekitar 300 SM) membuktikan sifat-sifat garis singgung lingkaran dalam Buku III Elements, dan Apollonius (sekitar 200 SM) serta Archimedes menemukan garis singgung kerucut dan spiral dengan argumen geometris khusus, satu kurva demi satu kurva.
1630-an. Pierre de Fermat (sekitar 1636) memiliki metode yang membandingkan f(x+e) dengan f(x), membaginya dengan e, lalu menjadikan e nol; metode itu menemukan garis singgung dan nilai maksimum dan merupakan bentuk pertama hasil bagi selisih. René Descartes (La Géométrie, 1637) menemukan garis normal pada kurva dengan menanyakan kapan lingkaran berpusat di sumbu memotong kurva di titik ganda, gagasan akar ganda yang sama dengan ciri garis singgung di atas.
1670-an dan 1680-an. Isaac Barrow menggambar "segitiga diferensial" kecil pada kurva untuk mencari garis singgung. Isaac Newton (catatan 1665 sampai 1666) memandang besaran yang berubah sebagai besaran yang mengalir dengan laju, yaitu fluksi, dan Gottfried Leibniz (terbit 1684) menulis laju itu sebagai perbandingan (dy)/(dx) dari selisih-selisih kecil, notasi yang masih dipakai. Keduanya berselisih sengit soal siapa yang lebih dulu. Joseph-Louis Lagrange memperkenalkan notasi aksen f'(x) pada 1797.
1820-an. Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan turunan sebagai limit hasil bagi selisih dalam kuliahnya di École Polytechnique (1823), mengubah sebuah metode menjadi definisi. Saat itu pun orang masih percaya bahwa fungsi kontinu pasti terdiferensialkan hampir di mana-mana, dan André-Marie Ampère mencoba membuktikannya pada 1806.
Contoh tandingan. Bernard Bolzano (sekitar 1830) dan Karl Weierstrass (diperlihatkan pada 1872) membuat fungsi kontinu yang tidak memiliki turunan di titik mana pun, sehingga tanpa garis singgung di mana pun, yang menunjukkan betapa jauhnya kekontinuan dari keterdiferensialan.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada garis singgung dan turunan?

Kesalahan paling umum pada garis singgung dan turunan di suatu titik adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Kesalahan	Yang benar
❌ Garis singgung menyentuh kurva di tepat satu titik	Garis singgung dapat bertemu kurva lagi (y=-2 bertemu y=x^3-3x di x=-2) dan dapat memotongnya di titik belok. Ia menyatakan arah di titik itu.
❌ Garis yang bertemu kurva satu kali adalah garis singgung	Garis tegak x=1 bertemu y=x^2 sekali dan bukan garis singgung; garis singgung di (1,1) adalah y=2x-1.
❌ Satu garis potong dengan h kecil, seperti h=0,1, memberi gradiennya	Setiap garis potong memberi laju rata-rata; gradien adalah limit saat h→0. Untuk x^2 di 1 garis potong dengan h=0,1 bergradien 2,1, bukan 2.
❌ Masukkan h=0 ke hasil bagi, dapat \frac00, jadi tidak ada turunan	\frac00 tak tentu, bukan vonis. Sederhanakan dulu, baru biarkan h→0: (2h+h^2)/(h)=2+h→2.
❌ f'(a) adalah turunan bilangan f(a), sehingga nilainya 0	f'(a) berarti turunan fungsi f, dihitung di a. Limit diambil sebelum titiknya dimasukkan.
❌ Garis singgungnya y=f'(a)(x-a)	Tambahkan tingginya: y=f(a)+f'(a)(x-a), supaya garisnya melalui (a,f(a)).
❌ Garis normal bergradien -f'(a)	Gradiennya kebalikan negatif, -(1)/(f'(a)): hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah -1.
❌ Grafik tanpa celah memiliki turunan di mana-mana	Kontinu belum cukup: grafik y sama dengan nilai mutlak x tidak punya celah dan tidak punya turunan di 0.
❌ f'(a)=0 berarti a adalah maksimum atau minimum	Itu hanya berarti garis singgung mendatar: x^3 bergradien 0 di 0 dan sedang naik di sana.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Benar atau salah?

Tentukan tiap pernyataan Benar atau Salah.

Gradien garis singgung di a adalah limit gradien garis potong saat titik kedua mendekati a.
Garis singgung menyentuh kurva di tepat satu titik dan tidak di tempat lain.
Turunan f'(a) adalah sebuah bilangan.
Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.
Jika f kontinu di a, maka f terdiferensialkan di a.
Fungsi f(x)=|x| memiliki turunan di 0.

Pilih semua yang benar

Pilih semua yang sama dengan f'(a) bila ia ada.

\lim_h→0(f(a+h)-f(a))/(h)
\lim_x→ a(f(x)-f(a))/(x-a)
gradien garis singgung di (a,f(a))
gradien garis potong \fracf(a+0,001)-f(a)0,001
\lim_h→0\big(f(a+h)-f(a)\big)

Gradien dari definisi

Untuk f(x)=x^2, tentukan f'(3) dari definisi.

Persamaan garis singgung

Garis singgung y=x^2 di x=3 adalah y=6x+b. Tentukan b.

Garis normal

Garis singgung kurva di suatu titik bergradien 4. Berapa gradien garis normal di sana?

-4
-\frac14
\frac14
4

Kecepatan rata-rata

Sebuah bola jatuh sejauh s(t)=4,9t^2 meter dalam t detik. Tentukan kecepatan rata-ratanya antara t=2 dan t=3, dalam m/s.

Sudut tajam

Fungsi mana yang tidak memiliki turunan di x=0?

x^2
|x|
x^3
\sin x

Terdiferensialkan berarti

Fungsi f terdiferensialkan di a. Mana yang pasti benar?

f kontinu di a
f'(a)=0
f memiliki maksimum di a
f terdiferensialkan di setiap titik

Biaya marjinal

Membuat q barang berbiaya C(q)=2q^2+30q+400 ribu rupiah. Berapa ribu rupiah tambahan biaya barang ke-11, C(11)-C(10)?

Garis singgung dari luar

Dua garis singgung y=x^2 melalui (1,-3), menyentuh parabola di x=-1 dan x=3. Apa garis singgung di x=3?

y=6x-9
y=6x+9
y=-2x-1
y=3x-9

Gradien sepihak yang berbeda

Gradien garis potong f di 0 menuju 2 dari kiri dan 5 dari kanan, dan f kontinu. Apa yang benar?

f'(0)=2
f'(0)=5
f'(0)=3,5
f'(0) tidak ada: grafiknya memiliki sudut tajam

Menaksir dengan garis singgung

Pakai garis singgung √ x di x=4 (gradien \frac14) untuk menaksir √4,4.

Ringkasan: garis singgung dan turunan di suatu titik sekilas

Garis potong: garis melalui (a,f(a)) dan (a+h,f(a+h)); gradien (f(a+h)-f(a))/(h), laju perubahan rata-rata.
Turunan di suatu titik: f'(a)=\lim_h→0(f(a+h)-f(a))/(h)=\lim_x→ a(f(x)-f(a))/(x-a), sebuah bilangan: gradien garis singgung dan laju sesaat.
Garis singgung: y=f(a)+f'(a)(x-a); garis normal: gradien -(1)/(f'(a)), atau garis tegak x=a bila garis singgungnya mendatar.
Fakta garis singgung: ia dapat bertemu kurva lagi dan dapat memotongnya di titik belok; untuk polinomial, f(x) dikurangi garis singgung memiliki akar ganda di a.
Arti: satuan y per satuan x; f'(a)>0 naik, <0 turun, =0 mendatar.
Tanpa turunan: sudut tajam, cusp, lompatan, garis singgung tegak, atau osilasi tanpa henti; terdiferensialkan berarti kontinu, dan tidak sebaliknya.
Kode: selisih terpusat dengan h≈10^-5; gradien eksak polinomial dari pergeseran f(a+h).

Glosarium: istilah penting

Garis singgung: Garis lurus yang melalui suatu titik pada kurva dan searah dengan kurva di sana; gradiennya adalah turunan fungsi di titik itu.
Garis potong: Garis lurus yang melalui dua titik pada kurva; gradiennya adalah laju perubahan rata-rata fungsi di antara kedua titik itu.
Hasil bagi selisih: Perubahan fungsi dibagi perubahan masukannya, f dari a ditambah h dikurangi f dari a, seluruhnya dibagi h; ia adalah gradien garis potong.
Turunan di suatu titik: Limit hasil bagi selisih saat h mendekati nol, bila ada; ia adalah gradien garis singgung dan laju perubahan sesaat di titik itu.
Laju perubahan sesaat: Seberapa cepat suatu besaran berubah pada satu saat yang tepat, ditemukan sebagai limit laju perubahan rata-rata pada selang yang makin pendek.
Fungsi terdiferensialkan: Fungsi yang memiliki turunan di titik tertentu, atau di setiap titik pada suatu selang; fungsi seperti itu kontinu di sana dan tampak seperti garis lurus saat diperbesar.
Garis normal: Garis yang melalui suatu titik pada kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung di sana; gradiennya kebalikan negatif dari turunan bila turunannya bukan nol.
Turunan sepihak: Limit hasil bagi selisih yang diambil hanya dari kanan atau hanya dari kiri; fungsi terdiferensialkan di suatu titik tepat bila keduanya ada dan sama.
Sudut tajam: Titik tempat grafik kontinu berubah arah secara tiba-tiba, sehingga gradien garis potong dari kiri dan dari kanan menuju bilangan yang berbeda dan tidak ada garis singgung.
Garis singgung tegak: Garis singgung yang berupa garis tegak melalui titik itu, yang terjadi bila hasil bagi selisih membesar tanpa batas; fungsi tidak memiliki turunan di sana, karena garis tegak tidak punya gradien.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu garis singgung pada kurva?