Linearisasi dan Diferensial

Apa itu linearisasi suatu fungsi?

Linearisasi f di a adalah fungsi linear L(x)=f(a)+f'(a)(x-a), yang grafiknya adalah garis singgung y=f(x) di (a,f(a)). Alasan ia berguna adalah bahwa kurva terdiferensialkan berperilaku secara lokal seperti garis singgungnya: perbesar grafik di sekitar titik itu dan ia mendatar, sampai kurva dan garis tidak dapat dibedakan. Untuk y=x^2 di (1,1) garis singgungnya y=2x-1, dan pada jendela selebar sekitar 0,006 kedua grafik tampak sama.

Garis singgung di x=a melalui (a,f(a)) dengan gradien f'(a), sehingga persamaan titik-gradiennya, dari persamaan garis singgung, adalah y=f(a)+f'(a)(x-a). Selama garis itu tetap dekat dengan grafik ketika kita menjauh dari titik singgung, L(x) adalah hampiran yang baik untuk f(x).

Definisi. Jika f terdiferensialkan di x=a, maka fungsi hampiran L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) adalah linearisasi f di a. Hampiran f(x)≈ L(x) adalah hampiran linear baku f di a, dan titik x=a adalah pusat hampiran.

Mengapa berhasil. Definisi turunan mengatakan bahwa hasil bagi (f(x)-f(a))/(x-a) dekat dengan f'(a) ketika x dekat dengan a, yaitu f(x)-f(a)≈ f'(a)(x-a). Baik f(x)-f(a) maupun f'(a)(x-a) menyusut ke 0 saat x→ a, tetapi yang pertama sesuai dengan yang kedua dengan ketelitian lebih baik daripada suatu kelipatan x-a, dan inilah arti "dekat" di sini. Fungsi dengan sudut atau garis singgung tegak di a tidak memiliki turunan di sana, sehingga tidak memiliki linearisasi di a.

Untuk apa. Tidak ada yang memakai linearisasi untuk mencari satu akar kuadrat tertentu, karena kalkulator lebih baik. Gunanya adalah mengganti rumus rumit dengan yang sederhana pada seluruh selang nilai, ketika galat kecilnya dapat diterima, dan memahami bagaimana keluaran bereaksi terhadap perubahan kecil pada masukan. Perbesar di bawah dan baca tabelnya: setiap pembesaran sepuluh kali membuat selisih antara kurva dan garis sekitar seratus kali lebih kecil.

Bagaimana mencari linearisasi, dan seberapa teliti ia?

Untuk mencari linearisasi, hitung f(a) dan f'(a) di pusat dan masukkan ke L(x)=f(a)+f'(a)(x-a); ia teliti untuk x dekat a dan makin kurang teliti saat x menjauh.

Contoh 1. Tentukan linearisasi f(x)=√(1+x) di a=0. Karena f'(x)=(1)/(2√(1+x)), kita punya f(0)=1 dan f'(0)=\frac12, sehingga L(x)=1+\frac12(x-0)=1+\frac x2. Seberapa baik √(1+x)≈1+\frac x2? Di dekat 0 ia sangat baik, dan memburuk saat x menjauh:

Untuk x=2 ia memberi 2 sebagai hampiran √3, yang bahkan tidak teliti sampai satu angka di belakang koma.

Contoh 2: pilih pusat yang lebih baik. Linearisasi biasanya kehilangan ketelitian jauh dari pusatnya, jadi di dekat x=3 kita memerlukan linearisasi di a=3. Dengan f(3)=2 dan f'(3)=(1)/(2√4)=\frac14, L(x)=2+\frac14(x-3)=\frac54+\frac x4. Di x=3,2 ini memberi √4,2≈\frac54+\frac3,24=2,050, yang berbeda dari nilai sebenarnya 2,04939 kurang dari satu per seribu. Linearisasi di 0 memberi 1+\frac3,22=2,6 di sana, meleset lebih dari 25\%. Jadi pilih pusat a yang f(a) dan f'(a)-nya mudah dicari dan dekat dengan tempat yang diperlukan.

Contoh 3. Untuk f(x)=\cos x di a=\fracπ2 kita punya f\left(\fracπ2\right)=0 dan f'\left(\fracπ2\right)=-\sin\fracπ2=-1, sehingga L(x)=0-1·\left(x-\fracπ2\right)=-x+\fracπ2.

Linearisasi umum di x=0. Menghitungnya seperti pada Contoh 1 memberi:

Baris terakhir yang paling berguna: ia linearisasi f(x)=(1+x)^k, dengan f(0)=1 dan f'(0)=k. Ia baik untuk x dekat 0 dan memberi, dengan x diganti sesuatu yang kecil, √(1+x)≈1+\frac x2 (1)/(1-x)≈1+x (1)/(√(1-x^2))≈1+(x^2)/(2) dan, dengan k sebuah pangkat, 1+5x^4^(1/3)≈1+(5x^4)/(3). Ia juga memperkirakan pangkat bilangan yang dekat dengan 1: 1,0002^50≈1+50·0,0002=1,01 (nilai sebenarnya 1,010049) dan √[3]1,009≈1+\frac0,0093=1,003. Cobalah fungsi, pusat, dan x buatanmu sendiri di bawah.

Apa itu diferensial dx dan dy?

Diferensial dx adalah peubah bebas, perubahan x yang boleh kamu pilih, dan diferensial y=f(x) adalah dy=f'(x) dx, besar naik atau turunnya garis singgung ketika x berubah sebesar dx. Notasi (dy)/(dx) untuk turunan tampak seperti rasio tetapi menurut definisinya bukan; diferensial membuatnya menjadi rasio, karena ketika dx\ne0 (dy)/(dx)=(f'(x) dx)/(dx)=f'(x). Tidak seperti dx, peubah dy selalu tak bebas: ia bergantung pada x dan dx. Jika dx diberi nilai dan x adalah bilangan dalam domain, keduanya menentukan bilangan dy. Sering dx dipilih sebagai \Delta x, perubahan x.

Contoh 4. (a) Tentukan dy jika y=x^5+37x. (b) Tentukan dy ketika x=1 dan dx=0,2. Di sini dy=\left(5x^4+37\right)dx, dan dengan x=1 serta dx=0,2 nilainya (5+37)(0,2)=8,4.

Arti geometris. Misalkan x=a dan dx=\Delta x. Perubahan sebenarnya y=f(x) adalah \Delta y=f(a+dx)-f(a). Perubahan garis singgung L yang bersesuaian adalah \Delta L=L(a+dx)-L(a)=f'(a) dx=dy. Jadi dy adalah perubahan linearisasi, kenaikan garis singgung pada selang dx, sedangkan \Delta y adalah kenaikan kurva. Keduanya dekat ketika dx kecil, dan menggeser penggeser di bawah memperlihatkan selisihnya.

Bentuk diferensial. Kita kadang menulis df=f'(x) dx dan menyebut df diferensial f; untuk f(x)=3x^2-6 ia df=d\left(3x^2-6\right)=6x dx. Setiap aturan turunan memiliki bentuk diferensial: (d(u+v))/(dx)=(du)/(dx)+(dv)/(dx) menjadi d(u+v)=du+dv, dan d(\sin u)=\cos u du.

Contoh 5. Aturan rantai dan aturan lain memberi diferensial: d(\tan2x)=\sec^2(2x) d(2x) d(\tan2x)=2\sec^2(2x) dx d\left((x)/(x+1)\right)=((x+1) dx-x dx)/((x+1)^2) d\left((x)/(x+1)\right)=(dx)/((x+1)^2). Yang pertama memakai aturan rantai, dengan u=2x di dalam tangen.

Bagaimana memperkirakan nilai dan perubahan dengan diferensial?

Untuk memperkirakan f(a+dx) ketika f(a) diketahui dan dx kecil, pakai f(a+dx)≈ f(a)+dy dengan dy=f'(a) dx; setara dengan itu, perubahan \Delta f kira-kira sama dengan diferensial df. Tujuannya adalah memilih titik terdekat a yang f(a) dan f'(a)-nya sama-sama mudah dihitung.

Contoh 6: luas lingkaran. Jari-jari r sebuah lingkaran bertambah dari a=10 m menjadi 10,1 m. Pakai dA untuk memperkirakan pertambahan luas, dan luas lingkaran yang membesar itu. Karena A=π r^2, pertambahan yang diperkirakan adalah dA=A'(a) dr=2π a dr dA=2π(10)(0,1)=2π m^2. Jadi A(10,1)≈ A(10)+dA A(10,1)≈100π+2π=102π m^2. Secara langsung, A(10,1)=π(10,1)^2=102,01π m^2, sehingga galatnya 0,01π m^2, selisih \Delta A-dA.

Contoh 7a: akar pangkat tiga. Untuk memperkirakan √[3]7,97 ambil f(x)=x^1/3, dengan dy=(1)/(3x^2/3) dx. Bilangan terdekat yang akar pangkat tiganya mudah adalah a=8, dan agar a+dx=7,97 kita pilih dx=-0,03: f(7,97)≈ f(8)+(1)/(3·8^2/3)(-0,03) f(7,97)≈2+(1)/(12)(-0,03)=1,9975. Nilai sebenarnya 1,997497 sampai enam angka desimal.

Contoh 7b: sebuah sinus. Untuk memperkirakan \sin\left(\fracπ6+0,01\right) ambil a=\fracπ6, dengan \sin\fracπ6=\frac12 dan \cos\fracπ6=(√3)/(2), dan dx=0,01: \sin\left(\fracπ6+0,01\right)≈\frac12+(√3)/(2)(0,01) \sin\left(\fracπ6+0,01\right)≈0,5087. Nilai sebenarnya 0,508635. Komputer dapat memakai cara ini: algoritma menyimpan tabel nilai sinus dan kosinus pada kisi sudut dan mengisi nilai di antaranya dengan diferensial, seperti Contoh 7b.

Perubahan mutlak, relatif, dan persen. Ketika kita bergerak dari a ke a+dx, perubahan f dapat dinyatakan dengan tiga cara:

Pada Contoh 6 luas berubah (2π)/(100π)=2\% (perkiraan) ketika jari-jari berubah \frac0,110=1\%.

Seberapa besar galatnya, dan bagaimana galat pengukuran menyebar?

Jika f terdiferensialkan di a dan x berubah dari a ke a+\Delta x, perubahan sebenarnya adalah \Delta f=f'(a) \Delta x+\varepsilon \Delta x, dengan \varepsilon→0 saat \Delta x→0, sehingga galat perkiraan diferensial adalah \varepsilon \Delta x, hasil kali dua besaran kecil. Alasannya adalah definisi turunan. Galatnya adalah \Delta f-df=\left((f(a+\Delta x)-f(a))/(\Delta x)-f'(a)\right)\Delta x \Delta f-df=\varepsilon \Delta x, dan besaran dalam kurung adalah hasil bagi selisih dikurangi limitnya, yang menuju 0. Untuk lingkaran pada Contoh 6, \Delta A-dA=0,01π=π(\Delta r)^2, sehingga \varepsilon=π \Delta r=0,1π. Untuk banyak fungsi umum galatnya jauh lebih kecil daripada \Delta x: ketika f memiliki turunan kedua ia sekitar \frac12f''(a) \Delta x^2, aturan praktis yang dibuktikan nanti dengan teorema Taylor dan yang menjelaskan widget di atas, tempat kurva galat mendatar di a dan tumbuh seperti parabola.

Linearisasi adalah hampiran linear terbaik. Misalkan fungsi linear lain g(x)=m(x-a)+c dipakai untuk menghampiri f dengan galat E(x)=f(x)-g(x), dan kita meminta dua hal: E(a)=0, dan (E(x))/(x-a)→0 saat x→ a (galat dapat diabaikan dibandingkan x-a). Yang pertama memberi c=f(a). Maka (E(x))/(x-a)=(f(x)-f(a))/(x-a)-m \longrightarrow f'(a)-m, yang 0 hanya untuk m=f'(a). Jadi L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) adalah satu-satunya hampiran linear yang galatnya nol di a dan dapat diabaikan dibandingkan x-a. Setiap garis lain yang melalui (a,f(a)) menyisakan galat sebesar orde x-a.

Kepekaan terhadap perubahan. Persamaan df=f'(x) dx menyatakan seberapa peka keluaran f terhadap perubahan masukan pada berbagai nilai x: makin besar |f'|, makin besar pengaruh dx tertentu (bandingkan kepekaan suatu fungsi). Contoh 8. Kedalaman sumur adalah s=4,9t^2 meter, yang dicari dengan mengukur waktu jatuh sebuah batu. Maka ds=9,8t dt. Jika waktu terbaca dengan galat dt=0,1 detik, maka pada t=2 detik galatnya sekitar ds=(9,8)(2)(0,1)=1,96 m, tetapi pada t=5 detik galatnya (9,8)(5)(0,1)=4,9 m. Untuk galat waktu yang sama, kedalaman lebih tidak pasti ketika jatuhnya lebih lama.

Bagaimana galat pengukuran menyebar. Untuk besaran y=cx^n, seperti luas π r^2 (n=2) atau volume x^3 kubus (n=3), dy=ncx^n-1dx, dan membaginya dengan y=cx^n, (dy)/(y)=n (dx)/(x). Jadi galat relatif pada x menjadi n kali lebih besar pada y. Galat 2\% pada jari-jari lingkaran memberi sekitar 2\% pada keliling (n=1) dan 4\% pada luas; galat 0,5\% pada rusuk kubus memberi 1\% pada luas permukaan (n=2) dan 1,5\% pada volume; galat 1\% pada diameter bola memberi 3\% pada volumenya. Dibaca terbalik, ini memberi toleransi: agar volume tabung dengan tinggi sama dengan jari-jari, V=π h^3, terhitung dalam 1\%, tinggi harus diukur dalam sekitar \frac13\%.

Perkiraan ini untuk perubahan kecil. Aliran darah melalui arteri adalah V=kr^4, sehingga kenaikan jari-jari 10\% diperkirakan menaikkan aliran 4·10=40\%. Nilai sebenarnya 1,1^4-1=46,4\%. Perkiraannya orde pertama, dan galatnya tumbuh seperti kuadrat perubahan, sehingga makin besar perubahannya, makin buruk aturan persen itu. Geser penggeser di bawah untuk melihat di mana garis dan kurva eksak berpisah.

Untuk apa linearisasi dipakai dalam sains?

Linearisasi mengubah fungsi yang sulit menjadi sederhana untuk perubahan kecil, dan tiga pemakaian klasik adalah hampiran sudut kecil, energi massa yang bergerak, dan metode Newton.

Sudut kecil. Linearisasi \sin x di 0 adalah x, sehingga untuk sudut kecil dalam radian \sinθ≈θ: \sin0,1=0,0998, dekat dengan 0,1. Persamaan bandul menjadi linear dengan penggantian ini, itulah sebabnya bandul dengan ayunan kecil memiliki periode yang tetap. Sudutnya harus dalam radian; \sin10^\circ≈10 salah, sedangkan \sin10^\circ≈0,1745 benar.

Massa dan energi. Hukum kedua Newton F=(d)/(dt)(mv)=ma mengandaikan massa konstan, tetapi dalam rumus Einstein yang dikoreksi massanya m=(m_0)/(√(1-v^2/c^2)), dengan m_0 massa diam dan c≈300 000 km/detik kecepatan cahaya. Untuk v jauh lebih kecil daripada c bilangan x=(v^2)/(c^2) dekat 0, dan linearisasi (1-x)^-1/2≈1+\frac x2 memberi m≈ m_0\left(1+(v^2)/(2c^2)\right) (m-m_0)c^2≈\frac12m_0v^2. Ruas kanan adalah energi kinetik fisika Newton. Jadi perubahan energi kinetik dari diam sampai kecepatan v kira-kira sama dengan perubahan massa kali c^2, \Delta(m)c^2≈\Delta(EK), dan karena c^2≈9×10^16 m^2/detik^2, perubahan massa yang kecil adalah perubahan energi yang besar. Pada v=0,1c faktor eksaknya 1,005038 dan hampirannya memberi 1,005.

Metode Newton. Linearisasi f di a adalah sebuah garis, dan garis memiliki nol yang mudah. Menyelesaikan L(x)=0 memberi x=a-(f(a))/(f'(a)), yang biasanya lebih dekat ke nol f daripada a. Mengulanginya adalah metode Newton. Untuk f(x)=x^2-2 dan awal a=1,5 nilai berikutnya adalah 1,416667, 1,414216, 1,414214: tiga langkah untuk √2 sampai enam angka desimal.

Bagaimana menghitung linearisasi dan diferensial dengan kode?

Dengan SymPy linearisasi cukup satu baris: turunkan, hitung di pusat, dan bentuk f(a)+f'(a)(x-a). Fungsi di bawah mereproduksi linearisasi dalam artikel ini secara eksak, dan baris sesudahnya memeriksa bilangan dengan Python biasa: tabel √(1+x)≈1+\frac x2, lingkaran pada Contoh 6, dua perkiraan pada Contoh 7, aturan persen untuk y=x^n, dan langkah pertama metode Newton.

import math
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')


def linearize(f, a):
    """L(x) = f(a) + f'(a) (x - a)"""
    return sp.simplify(f.subs(x, a) + sp.diff(f, x).subs(x, a) * (x - a))


for f, a in ((sp.sqrt(1 + x), 0), (sp.sqrt(1 + x), 3), (sp.cos(x), sp.pi / 2), (sp.exp(x), 0), (sp.log(1 + x), 0), (sp.cbrt(x), 8)):
    print(f, 'at', a, '->', linearize(f, a))
# sqrt(x + 1) at 0 -> x/2 + 1
# sqrt(x + 1) at 3 -> x/4 + 5/4
# cos(x) at pi/2 -> -x + pi/2
# exp(x) at 0 -> x + 1
# log(x + 1) at 0 -> x
# x**(1/3) at 8 -> x/12 + 4/3

# how good is sqrt(1 + x) = 1 + x/2 ?   (x, approximation, true value, error)
for t in (0.005, 0.05, 0.2):
    print(t, 1 + t / 2, round(math.sqrt(1 + t), 6), f'{abs(1 + t / 2 - math.sqrt(1 + t)):.1e}')
# 0.005 1.0025 1.002497 3.1e-06
# 0.05 1.025 1.024695 3.0e-04
# 0.2 1.1 1.095445 4.6e-03

# differentials: the radius of a circle grows from 10 m to 10.1 m
dA = 2 * math.pi * 10 * 0.1
true = math.pi * 10.1**2 - math.pi * 10**2
print(round(dA, 4), round(true, 4), round(true - dA, 4), round(math.pi * 0.01, 4))      # 6.2832 6.3146 0.0314 0.0314

# estimates: the cube root of 7.97 and sin(pi/6 + 0.01)
print(round(2 + (-0.03) / 12, 4), round(7.97 ** (1 / 3), 6))                              # 1.9975 1.997497
print(round(0.5 + math.sqrt(3) / 2 * 0.01, 4), round(math.sin(math.pi / 6 + 0.01), 6))    # 0.5087 0.508635

# a measuring error spreads: y = x^n, p% in x gives about n p% in y   (n, p, estimate, exact)
for n, p in ((2, 2), (3, 0.5), (4, 10)):
    print(n, p, n * p, round(((1 + p / 100) ** n - 1) * 100, 4))
# 2 2 4 4.04
# 3 0.5 1.5 1.5075
# 4 10 40 46.41

# Newton's method is the zero of the linearization, again and again (f(x) = x^2 - 2)
a = 1.5
for step in range(4):
    a = a - (a * a - 2) / (2 * a)
    print(step + 1, a)
# 1 1.4166666666666667
# 2 1.4142156862745099
# 3 1.4142135623746899
# 4 1.4142135623730951

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);

int main() {
  // how good is sqrt(1 + x) = 1 + x/2 ?   (x, approximation, true value, error)
  double xs[3] = {0.005, 0.05, 0.2};
  for (int i = 0; i < 3; i++) {
    double x = xs[i], approx = 1 + x / 2, truth = sqrt(1 + x);
    printf("%.3f  %.4f  %.6f  %.1e\n", x, approx, truth, fabs(approx - truth));
  }

  // differentials: the radius of a circle grows from 10 m to 10.1 m
  double dA = 2 * PI * 10 * 0.1;
  double trueChange = PI * 10.1 * 10.1 - PI * 10 * 10;
  printf("%.4f %.4f %.4f %.4f\n", dA, trueChange, trueChange - dA, PI * 0.01);

  // estimates: the cube root of 7.97, and sin(pi/6 + 0.01)
  printf("%.4f %.6f\n", 2 + (-0.03) / 12, pow(7.97, 1.0 / 3));
  printf("%.4f %.6f\n", 0.5 + sqrt(3.0) / 2 * 0.01, sin(PI / 6 + 0.01));

  // a measuring error spreads: y = x^n, p% in x gives about n p% in y   (n, p, estimate, exact)
  int ns[3] = {2, 3, 4};
  double ps[3] = {2, 0.5, 10};
  for (int i = 0; i < 3; i++)
    printf("%d %.1f %.1f %.4f\n", ns[i], ps[i], ns[i] * ps[i], (pow(1 + ps[i] / 100, ns[i]) - 1) * 100);

  // Newton's method is the zero of the linearization, again and again (f(x) = x^2 - 2)
  double a = 1.5;
  for (int step = 1; step <= 4; step++) {
    a = a - (a * a - 2) / (2 * a);
    printf("%d %.13f\n", step, a);
  }
  return 0;
}

/* output:
0.005  1.0025  1.002497  3.1e-06
0.050  1.0250  1.024695  3.0e-04
0.200  1.1000  1.095445  4.6e-03
6.2832 6.3146 0.0314 0.0314
1.9975 1.997497
0.5087 0.508635
2 2.0 4.0 4.0400
3 0.5 1.5 1.5075
4 10.0 40.0 46.4100
1 1.4166666666667
2 1.4142156862745
3 1.4142135623747
4 1.4142135623731
*/

Dari mana asal diferensial dan hampiran linear?

Diferensial dimulai sebagai besaran yang sangat kecil tak terhingga, dan linearisasi dibuat tepat ketika besaran itu diganti dengan limit.

• Leibniz. Gottfried Wilhelm Leibniz memperkenalkan lambang dx dan dy untuk selisih yang sangat kecil tak terhingga, dan menerbitkan kalkulus diferensialnya pada 1684. Baginya (dy)/(dx) adalah hasil bagi sejati dua besaran seperti itu, dan garis singgung adalah garis yang diikuti kurva pada langkah yang sangat kecil tak terhingga.
• Newton dan hampiran pertama. Isaac Newton pada 1669 menjelaskan iterasi yang memperbaiki akar hampiran, yang tiap langkahnya menyelesaikan linearisasi persamaan; Joseph Raphson menerbitkan bentuk yang lebih sederhana pada 1690. Kini ia disebut metode Newton-Raphson.
• Taylor. Brook Taylor, pada 1715, memberi aturan umum bahwa fungsi dapat dihampiri di dekat a oleh polinomial yang dibentuk dari turunannya. Linearisasi adalah kasus derajat pertama, dan hampiran kuadrat, dengan \frac12f''(a)(x-a)^2 ditambahkan, adalah berikutnya.
• Cauchy. Pada 1820-an Augustin-Louis Cauchy menyingkirkan yang sangat kecil tak terhingga. Ia mendefinisikan dx sebagai pertambahan terhingga biasa, sebuah peubah bebas, dan diferensial sebagai dy=f'(x) dx, yaitu definisi yang dipakai di sini. Itulah sebabnya dy adalah perubahan garis singgung, bukan perubahan sangat kecil tak terhingga pada kurva.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada linearisasi dan diferensial?

Kesalahan paling umum pada linearisasi dan diferensial adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: linearisasi dan diferensial sekilas

• Linearisasi: L(x)=f(a)+f'(a)(x-a), garis singgung di pusat a; f(x)≈ L(x) di dekat a.
• Ketelitian: terbaik di dekat a dan lebih buruk menjauh; galatnya sekitar \frac12f''(a)(x-a)^2; pilih pusat yang f(a) dan f'(a)-nya mudah.
• Yang umum di 0: \sin x≈ x, \cos x≈1, e^x≈1+x, \ln(1+x)≈ x, (1+x)^k≈1+kx.
• Diferensial: dy=f'(x) dx, perubahan garis singgung; \Delta y=dy+\varepsilon dx dengan \varepsilon→0.
• Memperkirakan: f(a+dx)≈ f(a)+f'(a) dx; perubahan relatif (df)/(f), perubahan persen (df)/(f)×100.
• Galat pengukuran: untuk y=cx^n, (dy)/(y)=n(dx)/(x); perkiraan ini untuk perubahan kecil.
• Hampiran linear terbaik: satu-satunya garis dengan galat nol di a dan galat dapat diabaikan dibandingkan x-a.
• Kode: sp.diff(f, x).subs(x, a) untuk gradien, dan x_baru=a-(f(a))/(f'(a)) untuk metode Newton.

Glosarium: istilah penting

Linearisasi

Fungsi linear f dari a ditambah f aksen dari a kali x dikurangi a, yang grafiknya adalah garis singgung grafik f di a; ia menghampiri f untuk x dekat a.

Hampiran linear baku

Hampiran f dari x oleh linearisasinya L dari x di a, berlaku ketika x dekat dengan pusat a.

Pusat hampiran

Titik a tempat linearisasi dibuat; hampiran itu tepat di sana dan kehilangan ketelitian saat x menjauh.

Diferensial

Untuk y sama dengan f dari x, diferensial dy adalah f aksen dari x kali dx, dengan dx peubah bebas; ia adalah perubahan garis singgung ketika x berubah sebesar dx.

Perubahan relatif dan persen

Perubahan suatu besaran dibagi nilai awalnya, dan hasil yang sama dikalikan seratus; untuk perkiraan diferensial ia adalah df dibagi f dari a.

Galat hampiran

Selisih antara perubahan sebenarnya dan perkiraan diferensial, sama dengan epsilon kali delta x dengan epsilon menuju nol, sehingga ia kecil bahkan dibandingkan delta x.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.11: Linearization and Differentials. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.10: Linear Approximations and Differentials. Cengage Learning.
3. Brook Taylor (1715). Methodus incrementorum directa et inversa. London.
4. Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris.

Artikel terkait

• Turunan sebagai Laju Perubahan: Turunan sebagai laju perubahan: kecepatan, laju, percepatan dan sentakan, jatuh bebas, biaya dan pendapatan marjinal, kepekaan terhadap perubahan, serta kode.
• Laju Terkait: Laju terkait: turunkan persamaan terhadap waktu untuk mencari laju yang dicari, dengan strategi empat langkah, enam contoh soal, tangga meluncur, dan kesalahan umum.
• Garis Singgung dan Turunan di Suatu Titik: Garis singgung dan turunan di suatu titik: gradien garis potong dan limit, definisi f′(a), garis singgung dan normal, laju perubahan, serta kapan turunan tidak ada.
• Nilai Ekstrem Fungsi pada Selang Tertutup: Nilai ekstrem pada selang tertutup: maksimum dan minimum mutlak dan lokal, Teorema Nilai Ekstrem, titik kritis, dan metode selang tertutup, dengan contoh dan kode.