Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan

Apa itu lingkaran?

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama, yang disebut jari-jari, dari satu titik tetap, yang disebut pusat. Lingkaran hanyalah kurvanya; kurva beserta bagian dalamnya adalah cakram, dan dalam bahasa sehari-hari "luas lingkaran" berarti luas cakram.

Lingkaran sangat simetris: setiap garis melalui pusat adalah sumbu simetri, dan memutar lingkaran dengan sudut berapa pun terhadap pusat tidak mengubahnya. Ia juga sebangun dengan setiap lingkaran lain, karena yang satu adalah salinan berskala dari yang lain (gagasan yang sama dengan segitiga sebangun). Itulah alasan perbandingan keliling terhadap diameter adalah satu bilangan untuk semua lingkaran.

Apa itu π, dan bagaimana mencari keliling dan luas lingkaran?

Bilangan π≈3,14159 adalah perbandingan keliling lingkaran mana pun terhadap diameternya, sehingga keliling adalah K=π d=2π r, dan luas cakram adalah L=π r^2.

Mengapa π r^2? Potong cakram menjadi banyak juring tipis dan letakkan berdampingan, bergantian menghadap ke atas dan ke bawah. Bentuknya makin menyerupai persegi panjang ketika irisannya makin tipis. Tingginya r dan lebarnya setengah keliling, π r, sehingga luasnya π r· r=π r^2.

Untuk r=7 kelilingnya 14π≈43,98 dan luasnya 49π≈153,94. Biarkan π sebagai simbol selama mungkin: jawaban "49π" eksak, sedangkan 153,94 sudah dibulatkan. Cincin (anulus) di antara jari-jari R dan r berluas π R^2-π r^2=π(R-r)(R+r); untuk R=10 dan r=6 itu 64π≈201,06.

Bilangan jenis apa π? Ia irasional, sehingga tidak ada pecahan yang sama dengannya, dan transendental, sehingga ia bukan penyelesaian persamaan polinom mana pun dengan koefisien bilangan bulat, fakta yang mengakhiri teka-teki lama tentang mengkuadratkan lingkaran; lihat pi, e, dan bilangan transendental. Angka-angka pertamanya 3,14159 26535 89793. Pecahan yang berguna berasal dari hampiran rasional: 3,14 meleset 0,05\%, (22)/(7)≈3,142857 meleset 0,04\%, dan (355)/(113)≈3,1415929 meleset kurang dari 0,00001\%.

Soal cerita: sebuah kolam bundar berdiameter 14 m akan dipagari, dengan π≈(22)/(7). Panjang pagar K=(22)/(7)·14=44 m, dan dengan harga Rp50.000 per meter biayanya 44 kali Rp50.000, yaitu Rp2.200.000.

Archimedes menemukan batas-batas π dengan mengapit lingkaran di antara dua segibanyak. Alat di bawah mengulangi penggandaannya, dari segienam sampai segibanyak dengan ribuan sisi.

Bagaimana mencari panjang busur, luas juring, dan luas tembereng?

Sudut pusat θ memotong bagian (θ)/(360) dari lingkaran, sehingga busur adalah bagian itu dari keliling dan juring adalah bagian itu dari cakram; tembereng adalah juring dikurangi segitiga yang dibentuk kedua jari-jari dan tali busur.

Radian. Satu radian adalah sudut pusat yang busurnya tepat sepanjang jari-jari. Satu putaran penuh memiliki (2π r)/(r)=2π radian, sehingga 180^\circ=π rad dan 1 rad≈57,2958^\circ. Dalam radian busur cukup rθ, itulah sebabnya matematika lebih menyukainya.

Contoh. Untuk r=6 dan θ=120^\circ bagiannya \frac13, sehingga busurnya \frac13·12π=4π≈12,57 dan juringnya \frac13·36π=12π≈37,70. Ini adalah perkalian pecahan dengan π yang ikut terbawa. Untuk r=10 dan θ=90^\circ: busur 5π≈15,71, juring 25π≈78,54, tali busur 10√2≈14,14, dan tembereng 25π-50≈28,54, karena segitiganya berluas \frac12·10·10=50.

Pilih jari-jari (atau salah satu dari tiga besaran lain) dan geser sudutnya di bawah.

Apa saja teorema sudut pada lingkaran?

Sudut keliling (titik sudut berada pada lingkaran) adalah setengah sudut pusat pada busur yang sama, dan dari satu teorema ini lahir sudut siku-siku dalam setengah lingkaran, sudut sama besar pada busur yang sama, serta 180^\circ pada segiempat tali busur.

• Sudut pusat. Sudut di pusat besarnya sama, dalam derajat, dengan busur yang dipotongnya.
• Teorema sudut keliling. Sudut \angle APB dengan P pada lingkaran adalah setengah sudut pusat \angle AOB pada busur yang sama: sudut pusat 120^\circ memberi sudut keliling 60^\circ.
• Busur yang sama. Sudut keliling pada busur yang sama sama besar, ke mana pun P bergerak pada bagian lingkaran yang lain.
• Thales. Jika AB diameter, busurnya 180^\circ, sehingga setiap sudut keliling \angle APB adalah 90^\circ. Kebalikannya adalah fakta bahwa pusat lingkaran luar segitiga siku-siku adalah titik tengah hipotenusanya, seperti pada titik-titik penting segitiga.
• Segiempat tali busur. Jika keempat titik sudut terletak pada lingkaran, sudut berhadapan berjumlah 180^\circ, karena keduanya setengah dari dua busur yang bersama-sama membentuk 360^\circ. Dengan \angle A=75^\circ sudut di hadapannya \angle C=105^\circ. Teorema Ptolemaios dan rumus luas Brahmagupta dalam sejarah segiempat berkaitan dengan bangun ini.
• Garis singgung dan jari-jari. Garis singgung tegak lurus jari-jari di titik sentuhnya.
• Garis singgung dan tali busur. Sudut antara garis singgung dan tali busur sama dengan sudut keliling di sisi lain tali busur (busur yang berseberangan).

Mengapa setengah? Ambil kasus ketika salah satu kaki sudut melalui pusat. Segitiga OPA sama kaki (OP=OA=r), sehingga sudut alasnya sama besar, dan sudut pusat adalah sudut luar segitiga itu, sama dengan jumlah kedua sudut alas, seperti pada jumlah sudut dan sudut luar. Jadi sudut pusat dua kali sudut keliling. Kasus umum menambah atau mengurangkan dua kasus seperti itu.

Geser keempat titik di bawah: sudut keliling pada sisi AB yang sama tetap sama, dan pada sisi yang berlawanan berjumlah 180^\circ.

Apa saja aturan untuk tali busur, garis singgung, dan garis potong?

Garis tegak lurus dari pusat ke tali busur membagi tali busur itu menjadi dua sama panjang, garis singgung tegak lurus jari-jari, dan hasil kali potongan tali busur atau garis potong yang berpotongan sama; ketiganya berasal dari segitiga siku-siku yang dibentuk jari-jari.

• Tali busur dan pusat. Jika tali busur berjarak d dari pusat, panjangnya 2√(r^2-d^2). Dengan r=5 dan d=3 panjangnya 2√(25-9)=8, segitiga 3–4–5 dari teorema Pythagoras. Tali busur yang sama panjang berjarak sama dari pusat, dan makin dekat tali busur ke pusat makin panjang ia; diameter (d=0) yang terpanjang.
• Dua garis singgung. Dari titik P di luar lingkaran ada dua garis singgung, dan kedua ruas garis singgung sama panjang, √(OP^2-r^2). Dengan r=5 dan OP=13 panjangnya √(169-25)=12, segitiga 5–12–13.
• Tali busur berpotongan. Jika dua tali busur AB dan CD berpotongan di P di dalam lingkaran, maka PA· PB=PC· PD. Untuk PA=3, PB=8, dan PC=4 diperoleh PD=6, karena 3·8=4·6=24.
• Garis potong dan garis singgung. Dari titik P di luar, dua garis potong memberi PA· PB=PC· PD, dan garis singgung PT serta garis potong memberi PT^2=PA· PB. Untuk garis singgung 12 di atas dan garis potong melalui pusat, PA=13-5=8 dan PB=13+5=18, dan 8·18=144=12^2.

Semuanya menyatakan satu hal: bilangan |PO|^2-r^2, yaitu kuasa titik P, negatif di dalam lingkaran, nol pada lingkaran, dan positif di luar, dan untuk setiap garis melalui P yang memotong lingkaran di A dan B hasil kali PA· PB sama dengan nilai mutlaknya. Bentuk akar seperti 2√(r^2-d^2) sering paling baik dibiarkan dalam bentuk sederhana.

Apa persamaan lingkaran?

Lingkaran berpusat (h,k) dan berjari-jari r adalah himpunan titik (x,y) dengan (x-h)^2+(y-k)^2=r^2, karena itu menyatakan bahwa kuadrat jarak ke pusat adalah r^2. Untuk pusat (3,-2) dan r=5 persamaannya (x-3)^2+(y+2)^2=25.

Menjabarkannya (lihat menjabarkan kurung) memberi bentuk umum x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 dengan D=-2h, E=-2k, dan F=h^2+k^2-r^2. Lingkaran kita adalah x^2+y^2-6x+4y-12=0. Untuk kembali, lengkapkan kuadrat pada x dan y: x^2-6x=(x-3)^2-9 dan y^2+4y=(y+2)^2-4, sehingga (x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25. Bentuk umum menggambarkan lingkaran nyata hanya bila r^2=(D^2)/(4)+(E^2)/(4)-F positif.

Di mana letak sebuah titik? Bandingkan kuadrat jarak (x-h)^2+(y-k)^2 dengan r^2: lebih kecil berarti di dalam, sama berarti pada lingkaran, lebih besar berarti di luar. Untuk lingkaran di atas, (0,0) memberi 13<25 (di dalam), (8,-2) memberi 25 (pada lingkaran), dan (9,5) memberi 85>25 (di luar).

Melalui tiga titik. Tiga titik yang tidak segaris terletak pada tepat satu lingkaran, lingkaran luar segitiga yang dibentuknya. Lingkaran melalui (0,0), (6,0), dan (0,8) berpusat di (3,4), titik tengah hipotenusa, dan r=5: (x-3)^2+(y-4)^2=25.

Lingkaran satuan. Untuk r=1 dengan pusat di titik asal, x^2+y^2=1, dan titik-titiknya (\cos t,\sin t). Ada juga titik rasional: (\frac35,\frac45) terletak padanya karena 3^2+4^2=5^2, tripel Pythagoras yang sama dalam samaran.

Bagaimana garis, titik, atau lingkaran lain dapat bertemu sebuah lingkaran?

Bandingkan sebuah jarak dengan jari-jari: garis yang berjarak lebih dari r dari pusat tidak memotong lingkaran, garis yang berjarak tepat r adalah garis singgung, dan garis yang berjarak kurang dari r adalah garis potong; dua lingkaran ditentukan dengan cara yang sama oleh jarak d antara pusatnya.

Garis dan lingkaran. Misalkan d jarak dari pusat ke garis. Jika d>r tidak ada titik persekutuan, jika d=r ada tepat satu (garis adalah garis singgung, dan titik sentuhnya adalah tempat jatuhnya garis tegak lurus dari pusat), dan jika d<r ada dua. Secara aljabar, mensubstitusi garis ke (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 memberi persamaan kuadrat, dan inilah kasus-kasusnya: tanpa penyelesaian, satu penyelesaian ganda, dua penyelesaian. Untuk lingkaran x^2+y^2=25 garis y=3 berjarak 3 dan memotongnya di (±4,3), garis x=5 berjarak 5 menyentuhnya di (5,0), dan garis x=6 tidak memotongnya.

Dua lingkaran dengan jari-jari r_1,r_2 dan jarak pusat d berada dalam salah satu keadaan ini, dengan \delta=|r_1-r_2| selisih jari-jari:

Dengan jari-jari 5 dan 3 itulah jarak d=9, 8, 6, 2, dan 1. Alat ini memakai pecahan eksak, sehingga garis singgung dikenali tepat sebagai garis singgung. Ia memberi titik potong dalam bentuk eksak a+b√ m, dan titik singgung dari sebuah titik di luar.

Bagaimana bekerja dengan lingkaran dalam kode?

Simpan kuadrat jari-jari, bukan jari-jarinya, dan setiap pertanyaan tentang lingkaran dengan data bilangan bulat atau pecahan menjadi perbandingan eksak kuadrat jarak; pakai math.pi hanya untuk panjang dan luas di akhir.

from fractions import Fraction as F
from math import pi, sin, cos, radians

def power(c, p):                     # |PC|² − r²: negative inside, 0 on the circle, positive outside
    (h, k, r2), (x, y) = c, p
    return (x - h) ** 2 + (y - k) ** 2 - r2

def meets(c, a, b, k):               # the line a·x + b·y = k against the circle: none / tangent / secant
    h, kk, r2 = c
    d2 = F(a * h + b * kk - k) ** 2 / (a * a + b * b)   # squared distance from the center to the line
    return "none" if d2 > r2 else "tangent" if d2 == r2 else "secant"

def sector(r, deg):                  # arc length, sector area, segment area
    t = radians(deg)
    return r * t, r * r * t / 2, r * r * (t - sin(t)) / 2

>>> c = (3, -2, 25)                  # center (3, -2) and the square of the radius, 25
>>> power(c, (0, 0)), power(c, (8, -2)), power(c, (9, 5))
(-12, 0, 60)
>>> meets((0, 0, 25), 0, 1, 3), meets((0, 0, 25), 1, 0, 5), meets((0, 0, 25), 1, 0, 6)
('secant', 'tangent', 'none')
>>> round(2 * pi * 7, 4), round(pi * 7 ** 2, 4)
(43.9823, 153.938)
>>> 22 / 7, 355 / 113, pi
(3.142857142857143, 3.1415929203539825, 3.141592653589793)
>>> sector(10, 90)
(15.707963267948966, 78.53981633974483, 28.539816339744828)
>>> sin(pi)                          # should be 0 ...
1.2246467991473532e-16
>>> cos(radians(3)) ** 2 + sin(radians(3)) ** 2 == 1   # ... and this should be exactly 1
False

const r = 7
2 * Math.PI * r                          // 43.982297150257104
Math.PI * r ** 2                         // 153.93804002589985
Math.sin(Math.PI)                        // 1.2246467991473532e-16, not 0
const power = ([h, k, r2], [x, y]) => (x - h) ** 2 + (y - k) ** 2 - r2
power([3, -2, 25], [9, 5])               // 60: outside, exact for whole numbers

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);

// |PC|^2 - r^2: negative inside, 0 on the circle, positive outside
int power(int h, int k, int r2, int x, int y) {
  return (x - h) * (x - h) + (y - k) * (y - k) - r2;
}

// the line a x + b y = c against the circle with center (h, k) and radius^2 = r2:
// compare d^2 = (a h + b k - c)^2 / (a^2 + b^2) with r2, in whole numbers
const char* meets(int h, int k, int r2, int a, int b, int c) {
  int num = (a * h + b * k - c) * (a * h + b * k - c);
  int rhs = r2 * (a * a + b * b);
  if (num > rhs) return "none";
  if (num == rhs) return "tangent";
  return "secant";
}

int main() {
  cout << power(3, -2, 25, 0, 0) << " " << power(3, -2, 25, 8, -2) << " " << power(3, -2, 25, 9, 5) << endl;
  cout << meets(0, 0, 25, 0, 1, 3) << " " << meets(0, 0, 25, 1, 0, 5) << " " << meets(0, 0, 25, 1, 0, 6) << endl;
  printf("%.4f %.4f\n", 2 * PI * 7, PI * 7 * 7);                      // circumference and area, r = 7
  printf("%.10f %.10f %.10f\n", 22.0 / 7, 355.0 / 113, PI);
  double r = 10, t = 90 * PI / 180;                                    // a sector of 90 degrees
  printf("%.4f %.4f %.4f\n", r * t, r * r * t / 2, r * r * (t - sin(t)) / 2);   // arc, sector, segment
  printf("%d\n", fabs(sin(PI)) < 1e-12);                              // sin(pi) is 1.2e-16, not 0
  return 0;
}

/* output:
-12 0 60
secant tangent none
43.9823 153.9380
3.1428571429 3.1415929204 3.1415926536
15.7080 78.5398 28.5398
1
*/

Jebakannya, berdasarkan seberapa sering terjadi:

Dari mana asal ilmu tentang lingkaran?

Lingkaran adalah kurva tertua yang dipelajari manusia, dan upaya mencari π termasuk yang terpanjang dalam matematika.

• Sekitar 1800 SM. Teks Babilonia menganggap keliling sama dengan tiga kali diameter, dan kemudian 3\frac18.
• Sekitar 1650 SM. Soal 50 Papirus Rhind mengatakan bahwa ladang bundar berdiameter 9 berluas sama dengan persegi bersisi 8, yaitu π≈\left((16)/(9)\right)^2≈3,16.
• Sekitar 300 SM. Elements Euclid, Buku III, adalah teori lingkaran: tali busur, garis singgung, sudut keliling (III.20), sudut siku-siku dalam setengah lingkaran (III.31), dan tali busur yang berpotongan (III.35, III.36). Buku XII menunjukkan bahwa luas lingkaran berperbandingan seperti kuadrat diameternya.
• Sekitar 250 SM. Archimedes, dalam Measurement of a Circle, mengapit lingkaran di antara segibanyak bersisi 96 dan membuktikan 3(10)/(71)<π<3\frac17; ia juga menunjukkan bahwa luas lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku dengan sisi tegak r dan K.
• Sekitar 480 M. Zu Chongzhi di Tiongkok menemukan (355)/(113), benar sampai enam desimal, rekor yang bertahan hampir seribu tahun.
• Sekitar 1400. Madhava dari Sangamagrama menemukan deret tak hingga untuk π, yang pertama dari jenisnya.
• 1706. William Jones memakai huruf Yunani π untuk perbandingan itu, dan Euler menjadikan simbol itu baku pada 1730-an.
• 1761 dan 1882. Lambert membuktikan bahwa π irasional dan Lindemann bahwa ia transendental, sehingga lingkaran tidak dapat dikuadratkan dengan jangka dan penggaris.
• 1873. James Thomson menciptakan kata radian untuk gagasan yang telah dijelaskan Roger Cotes pada 1714.

Apa kesalahan umum pada lingkaran?

Kesalahan paling umum pada lingkaran adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: lingkaran sekilas

• Definisi: semua titik berjarak r dari pusat O; diameter d=2r adalah tali busur terpanjang; semua lingkaran sebangun.
• Ukuran: K=2π r=π d, L=π r^2; π irasional dan transendental.
• Busur dan juring: busur =(θ)/(360)·2π r=rθ, juring =\frac12r^2θ, tembereng =\frac12r^2(θ-\sinθ); 180^\circ=π rad.
• Sudut: sudut keliling =\frac12 sudut pusat; 90^\circ dalam setengah lingkaran; sudut berhadapan segiempat tali busur berjumlah 180^\circ; garis singgung tegak lurus jari-jari.
• Panjang: tali busur =2√(r^2-d^2); panjang garis singgung =√(OP^2-r^2); tali busur berpotongan PA· PB=PC· PD; PT^2=PA· PB.
• Persamaan: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2, atau x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 dengan r^2=(D^2+E^2)/(4)-F.
• Kedudukan: bandingkan jarak dengan r (titik, garis) atau dengan r_1± r_2 (dua lingkaran).
• Kode: simpan r^2 dan bandingkan kuadrat jarak secara eksak; math.pi dan radian hanya di akhir.

Glosarium: istilah penting

Lingkaran

Himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari sebuah titik tetap yang disebut pusat.

Jari-jari

Ruas garis dari pusat ke sebuah titik pada lingkaran, atau panjangnya, jarak yang mendefinisikan lingkaran.

Diameter

Tali busur yang melalui pusat, dengan panjang dua kali jari-jari, tali busur terpanjang pada lingkaran.

Tali busur

Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

Busur

Bagian lingkaran di antara dua titiknya.

Juring

Daerah cakram di antara dua jari-jari dan busur di antara ujung-ujungnya.

Tembereng

Daerah cakram di antara tali busur dan busur yang dipotongnya.

Garis singgung

Garis yang menyentuh lingkaran di tepat satu titik dan tegak lurus jari-jari di titik itu.

Garis potong

Garis yang memotong lingkaran di dua titik.

Keliling lingkaran

Panjang lingkaran itu sendiri, sama dengan pi kali diameter.

Pi

Perbandingan keliling lingkaran mana pun terhadap diameternya, sekitar 3,14159, bilangan irasional dan transendental.

Sudut pusat

Sudut yang titik sudutnya adalah pusat lingkaran, besarnya dalam derajat sama dengan busur yang dipotongnya.

Sudut keliling

Sudut yang titik sudutnya pada lingkaran dan sisinya tali busur, sama dengan setengah sudut pusat pada busur yang sama.

Radian

Sudut pusat yang busurnya sepanjang jari-jari, sehingga 180 derajat sama dengan pi radian.

Segiempat tali busur

Segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada satu lingkaran, sehingga sudut berhadapan berjumlah 180 derajat.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Thomas L. Heath (translator) (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed.), Book III (circles) and Book XII, proposition 2. Cambridge University Press.
2. Thomas L. Heath (translator) (1897). The Works of Archimedes, Measurement of a Circle. Cambridge University Press.
3. Petr Beckmann (1971). A History of Pi. St. Martin's Press.
4. H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.), chapter 2 (circles and angles). Wiley.
5. H. S. M. Coxeter and Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, chapter 2 (the circle). Mathematical Association of America.
6. Python Software Foundation. The Python Standard Library: math, mathematical functions. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/math.html.

Artikel terkait

• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.
• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.