Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran

Apa itu bilangan irasional?

Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak rasional: tidak ada dua bilangan bulat p dan q≠0 yang membuat \frac pq sama dengannya. Bilangan real terbagi bersih menjadi dua keluarga itu, seperti dijelaskan artikel bilangan real, sehingga sebuah bilangan rasional atau irasional dan tidak pernah keduanya.

Karena setiap bilangan rasional punya ekspansi desimal yang berakhir atau akhirnya berulang secara periodik, fakta yang sama dapat dibalik: bilangan real irasional tepat bila ekspansi desimalnya tak berhingga dan tidak pernah periodik. Angkanya berlanjut tanpa akhir dan tidak ada blok angka yang berulang mulai dari suatu titik.

Tiga hal bukan irasional, walaupun sering disangka demikian. Tanda akar tidak menentukannya: √(16)=4 dan 27^(1/3)=3 adalah bilangan bulat. Desimal yang panjang tidak menentukannya: \frac197 punya blok 96 angka yang berulang. Dan desimal yang berlanjut tanpa akhir saja belum cukup: 0,333…=\frac13.

Kata "irasional" berasal dari rasio, akar kata yang sama dengan bilangan rasional: bilangan irasional adalah bilangan yang bukan perbandingan bilangan bulat. Ia tidak berarti "tidak masuk akal". Bilangan irasional adalah bilangan yang eksak dan berperilaku baik; hanya ekspansi desimalnya yang tidak dapat ditulis seluruhnya.

Mengapa √2 irasional?

√2 irasional karena mengandaikan √2=\frac ab memaksa sebuah bilangan punya banyak faktor 2 yang genap sekaligus ganjil, dan itu mustahil. Ini bukti dengan kontradiksi yang tertua, dan versi di bawah memakai faktorisasi prima yang tunggal dari setiap bilangan bulat.

Misalkan √2=\frac ab dengan a dan b bilangan bulat positif. Mengkuadratkan memberi a^2=2b^2. Sekarang hitung berapa kali bilangan prima 2 membagi tiap ruas. Jika 2 membagi a tepat m kali, maka ia membagi a^2 tepat 2m kali, bilangan genap. Jika ia membagi b tepat n kali, maka ia membagi 2b^2 tepat 2n+1 kali, bilangan ganjil. Kedua ruas adalah bilangan bulat yang sama, sehingga faktorisasinya sama, dan tidak ada banyak faktor 2 yang genap sekaligus ganjil. Pengandaiannya salah: tidak ada a dan b seperti itu.

Versi yang lebih akrab dari bukti yang sama, yang mencoret faktor sama sampai a dan b saling prima lalu mendapati keduanya genap, dituliskan lengkap beserta latihannya di artikel bilangan real. Menghitung faktor 2 lebih singkat, dan membuktikan lebih banyak:

• Ganti 2 dengan bilangan bulat n mana pun dan argumen yang sama berlaku bila ada bilangan prima yang membagi n sebanyak ganjil kali. Jadi √3, √5, √6, √(12) semuanya irasional.
• Ganti akar kuadrat dengan akar pangkat k dan "genap" dengan "kelipatan k": 2^(1/3) irasional karena 3 tidak membagi 1.

Geometri mengatakan hal yang sama. Diagonal persegi satuan (lihat diagonal persegi) panjangnya √2 menurut teorema Pythagoras, dan sisi serta diagonal persegi itu tak sepadan: tidak ada satuan panjang, sekecil apa pun, yang muat bilangan bulat kali pada keduanya. Kaum Pythagoras, yang berpendapat bahwa segala sesuatu adalah perbandingan bilangan bulat, menjumpai fakta ini pada abad ke-5 SM, dan Theaetetus karya Plato menyebut bahwa Theodorus dari Kirene menunjukkan keirasionalan akar 3, 5, dan seterusnya sampai 17. Tradisi menyebut Hippasus sebagai orang Pythagoras yang membocorkannya, walaupun kisahnya muncul belakangan dan tidak dapat diandalkan. Elements karya Euclid, Buku X, menggolongkan panjang-panjang irasional yang dapat dibuat dengan jangka dan penggaris.

Bagaimana mengetahui apakah suatu akar irasional?

Akar pangkat k dari bilangan bulat positif adalah bilangan bulat atau irasional, dan ia bilangan bulat tepat bila setiap eksponen dalam faktorisasi prima bilangan itu kelipatan k. Tidak ada kemungkinan ketiga: akar dari bilangan bulat tidak pernah pecahan yang bukan bilangan bulat.

Untuk memutuskan, faktorkan dan lihat eksponennya:

Mengeluarkan setiap kelompok lengkap berisi k bilangan prima yang sama juga menyederhanakan bentuk akar: √(72)=√(2^2·2·3^2)=2·3·√2=6√2. Cara melakukannya langkah demi langkah ada pada bagian menyederhanakan bentuk akar, dan bilangan yang tersisa di bawah akar itulah yang tetap irasional.

Dua fakta membantu. Pecahan bilangan bulat bekerja sama, sebab √(\frac pq)=(√ p)/(√ q), sehingga √(\frac49)=\frac23 rasional tetapi √(\frac12)=(√2)/(2) tidak. Dan akar dari bilangan yang bukan bilangan bulat masih dapat rasional (misalnya √(\frac94)=\frac32), jadi aturan di atas berlaku untuk bilangan bulat.

Coba bilanganmu sendiri, termasuk yang besar. Alat ini memfaktorkan sampai satu triliun dan menampilkan 30 desimal.

Apa yang terjadi bila bilangan irasional dijumlahkan atau dikalikan?

Bilangan rasional ditambah bilangan irasional adalah irasional, begitu pula rasional bukan nol dikali irasional; tetapi jumlah, selisih, hasil kali, atau hasil bagi dua bilangan irasional dapat rasional atau irasional. Jadi bilangan irasional tidak tertutup terhadap satu pun dari keempat operasi.

Mengapa rasional ditambah irasional adalah irasional. Misalkan r+x=s dengan r dan s rasional dan x irasional. Maka x=s-r adalah selisih bilangan rasional, yang rasional: sebuah kontradiksi. Argumen yang sama dengan pembagian membuktikan aturan hasil kali, sebab x=\frac sr akan rasional.

Dua bilangan irasional dapat bergabung menjadi bilangan rasional. Pasangan 1+√2 dan 1-√2 adalah sekawan, dan hasil kalinya rasional karena akarnya saling meniadakan, seperti pada selisih dua kuadrat: (1+√2)(1-√2)=1-2=-1. Inilah gagasan di balik merasionalkan penyebut.

Aritmetika eksak dengan a+b√ m. Bilangan berbentuk a+b√ m, dengan a dan b rasional dan √ m irasional, dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi secara eksak dan jawabannya berbentuk yang sama. Bilangan itu rasional tepat bila b=0. Alat di bawah melakukan aritmetika ini dengan pecahan eksak; coba contohnya, lalu bilanganmu sendiri.

Contoh sederhana pangkat bilangan irasional yang rasional adalah \left(√2^√2\right)^√2. Jika √2^√2 rasional, kita punya irasional pangkat irasional yang rasional; jika ia irasional, memangkatkannya dengan √2 memberi √2^2=2. Bagaimanapun pasangan seperti itu ada, walaupun argumen ini tidak menyebut kasus mana yang berlaku. Sebenarnya √2^√2 irasional dan bahkan transenden.

Apa itu π dan e, dan apa arti transenden?

π dan e irasional dan juga transenden, yang berarti keduanya bukan akar polinomial tak nol mana pun dengan koefisien bulat. Bilangan yang merupakan akar seperti itu disebut aljabar. Bilangan π adalah perbandingan keliling lingkaran terhadap diameternya, seperti pada artikel lingkaran.

Setiap bilangan rasional bersifat aljabar, sehingga bilangan aljabar memuat bilangan rasional dan sebagian bilangan irasional; bilangan transenden semuanya irasional. Jumlah, hasil kali, dan akar bilangan aljabar bersifat aljabar lagi, itulah sebabnya √2+√3 dan √(1+√2) aljabar.

Sejarahnya, berurutan.

• 1737: Euler membuktikan bahwa e irasional (terbit 1744).
• 1761: Lambert menunjukkan bahwa π irasional (terbit 1768).
• 1844: Liouville memberi bilangan pertama yang terbukti transenden, seperti 0,110001000000000000000001…, dengan angka 1 di setiap tempat yang posisinya faktorial (1!,2!,3!,4!,…).
• 1873: Hermite membuktikan bahwa e transenden.
• 1874: Cantor menunjukkan bahwa bilangan aljabar dapat didaftar satu per satu, sehingga hampir setiap bilangan real transenden.
• 1882: Lindemann membuktikan bahwa π transenden.

Mengkuadratkan lingkaran. Masalah lama ini meminta persegi yang luasnya sama dengan sebuah lingkaran memakai hanya jangka dan penggaris. Panjang yang dapat dikonstruksi selalu aljabar. Teorema Lindemann membuat π, dan juga √π, transenden, sehingga konstruksi itu mustahil. Ungkapan "mengkuadratkan lingkaran" sejak itu berarti "mencoba yang mustahil".

Yang masih belum diketahui. Mudah dibuktikan bahwa sekurang-kurangnya satu dari π+e dan π e irasional, tetapi tidak ada yang tahu yang mana, atau apakah keduanya. Apakah π+e irasional sama sekali masih merupakan pertanyaan terbuka.

Seberapa baik pecahan dapat menghampiri bilangan irasional?

Setiap bilangan irasional dapat dihampiri sedekat yang kamu mau oleh pecahan, dan hampiran terbaiknya berasal dari pecahan berantainya: x=a_0+(1)/(a_1+(1)/(a_2+…)). Untuk membangunnya, ambil bagian bulat a_0, balik sisanya, dan ulangi. Bilangan rasional menghasilkan pecahan berantai yang berhenti; bilangan irasional menghasilkan yang berlanjut tanpa akhir, yang merupakan cara lain mengatakan bahwa ia irasional.

Pecahan yang kamu dapat dengan berhenti lebih awal adalah konvergen (p_k)/(q_k), diperoleh dengan p_k=a_kp_k-1+p_k-2 dan aturan yang sama untuk q_k. Untuk π=[3;7,15,1,292,…]:

(22)/(7) adalah hampiran yang diajarkan di kelas. (355)/(113) ditemukan oleh Zu Chongzhi pada abad ke-5 dan akurat sampai enam desimal dengan penyebut yang hanya tiga angka: hasil bagi parsial 292 yang menyusul itulah yang membuatnya begitu baik. Untuk √2=[1;2,2,2,…] konvergen \frac32,\frac75,(17)/(12),(41)/(29) memenuhi p^2-2q^2=±1. Untuk e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,…] ada pola, dan untuk π tidak ada pola yang diketahui siapa pun.

Rasio emas adalah yang paling sulit dihampiri. φ=[1;1,1,1,…], dan konvergennya \frac11,\frac21,\frac32,\frac53,\frac85,(13)/(8),… adalah perbandingan bilangan Fibonacci berurutan. Setiap hasil bagi parsial yang paling kecil mungkin, sehingga pecahannya mendekatinya lebih lambat daripada mendekati bilangan lain mana pun. Ia akar dari x^2-x-1=0, yang menurut bagian pemfaktoran tidak punya faktor bilangan bulat.

Bilangan rasional tidak dapat dicapai. Dirichlet membuktikan bahwa untuk setiap x irasional ada tak berhingga banyak pecahan dengan \left|x-\frac pq\right|<\frac1q^2. Untuk x rasional hanya ada berhingga banyak, sehingga galat sebuah konvergen bukan hanya kecil: ia tidak pernah nol. Pilih sebuah konstanta dan banyak suku di bawah.

Dapatkah angka bilangan irasional mengikuti suatu pola?

Ya: angka bilangan irasional dapat mengikuti suatu pola, asalkan pola itu tidak pernah menjadi periodik. Yang penting bukan apakah kamu dapat melihat pola, melainkan apakah suatu blok angka berulang mulai dari suatu titik.

• 0,101001000100001…, dengan satu angka 0 lebih banyak setiap kali, punya pola yang jelas dan irasional: tidak ada blok yang dapat berulang, karena deretan nol terus memanjang.
• Bilangan Champernowne 0,123456789101112131415…, yang menuliskan bilangan bulat satu demi satu, irasional, dan pada 1933 Champernowne membuktikan bahwa setiap untai angka berhingga muncul di dalamnya sama seringnya.
• Konstanta Liouville, dengan angka 1 di tempat-tempat faktorial, irasional karena alasan yang sama dengan contoh pertama.

Kebalikannya juga berlaku. Desimal tanpa pola yang terlihat dapat rasional: \frac197=0,(010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 repeating) baru berulang setelah 96 angka. Melihat beberapa ratus angka tidak membuktikan apa pun ke kedua arah. Keirasionalan dibuktikan dengan bukti tentang bilangannya, tidak pernah dengan angkanya, yang selalu hanya berhingga banyaknya.

Bilangan normal. Bilangan real normal di basis 10 bila setiap untai k angka muncul dengan frekuensi 10^-k. Hampir setiap bilangan real normal, tetapi untuk konstanta terkenal belum ada yang membuktikannya: π, e, dan √2 tampak normal pada miliaran angka yang sudah dihitung, dan hanya itu yang dapat dikatakan. Angkanya dapat dihasilkan sesuai permintaan (angka-angka pi sudah dihitung sampai triliunan tempat), tetapi tidak ada aturan yang meramalkan angka ke-sejuta tanpa menghitung angka sebelumnya, setidaknya tidak ada yang diketahui.

Untuk sisi yang berulang dari cerita ini, lihat bagaimana pecahan menjadi desimal, dan mengapa \frac197 harus berulang dalam 96 langkah.

Berapa banyak bilangan irasional?

Bilangan irasional jauh lebih banyak daripada bilangan rasional: bilangan rasional dapat didaftar satu per satu, yang irasional tidak, sehingga hampir setiap bilangan real irasional. Cantor membuktikan pada 1874 bahwa bilangan real tak terhitung, dan karena bilangan rasional terhitung, sisanya, bilangan irasional, pasti tak terhitung. Jika kamu dapat memilih bilangan real secara acak, peluang bahwa ia rasional adalah 0.

Namun kedua jenis itu bercampur rapat. Di antara dua bilangan real berbeda mana pun ada bilangan rasional sekaligus irasional, yaitu kerapatan yang dijelaskan pada artikel tentang garis bilangan.

• Bilangan irasional di antara dua bilangan rasional a<b: bilangan a+(b-a)/(√2) terletak di antara keduanya, karena \frac1√2≈0,707 berada antara 0 dan 1, dan ia irasional karena ia rasional ditambah rasional bukan nol dikali irasional.
• Bilangan rasional di antara dua bilangan irasional x<y: pilih n dengan 10^-n<y-x dan potong y setelah n desimal. Hasilnya desimal berakhir, sehingga rasional, kurang dari y kurang dari 10^-n sehingga lebih besar dari x, dan tidak sama dengan y karena y irasional.

Jadi tidak ada bilangan irasional "berikutnya" setelah √2, dan tidak ada bilangan rasional "berikutnya" pula, walaupun bilangan irasional jauh lebih besar himpunannya. Gambar garis bilangan tidak dapat menunjukkan hal ini: setiap titik yang kamu gambar mewakili bilangan rasional dengan desimal pendek, dan titik-titik irasional berada di antaranya.

Bagaimana mengolah bilangan irasional di Python dan JavaScript?

Komputer tidak dapat menyimpan bilangan irasional: bilangan floating point (sebuah float) selalu berupa pecahan dengan penyebut pangkat 2, sehingga math.pi hanyalah hampiran rasional dari π. Yang dapat kamu lakukan adalah menyimpan bilangan itu secara eksak sebagai rumus, menghitung angka sebanyak yang diperlukan, atau mencari pecahan yang baik. Artikel bilangan real menjelaskan pembulatan di baliknya.

>>> import math
>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.sqrt(2) ** 2                       # rounding, not a bug
2.0000000000000004
>>> math.pi.as_integer_ratio()              # a float is always a fraction
(884279719003555, 281474976710656)
>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(math.pi).limit_denominator(1000)   # a good fraction: 355/113
Fraction(355, 113)
>>> from decimal import Decimal, getcontext
>>> getcontext().prec = 50                  # 50 significant digits
>>> Decimal(2).sqrt()
Decimal('1.4142135623730950488016887242096980785696718753769')
>>> math.isqrt(2 * 10**40)                  # exact digits of the square root of 2
141421356237309504880
>>> import sympy                            # keep it exact as a formula
>>> sympy.sqrt(8)
2*sqrt(2)
>>> sympy.sqrt(2) ** 2
2

Math.PI                       // 3.141592653589793
Math.SQRT2                    // 1.4142135623730951
Math.sqrt(2) ** 2             // 2.0000000000000004
Math.sqrt(2) * Math.sqrt(8)   // 4.000000000000001, although the exact value is 4
Math.abs(Math.sqrt(2) ** 2 - 2) < 1e-12   // true: compare with a tolerance

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);

int main() {
  printf("%.15f\n", PI);                                  // 3.141592653589793
  printf("%.16f\n", sqrt(2) * sqrt(2));                   // rounding, not a bug
  printf("%.15f\n", sqrt(2) * sqrt(8));                   // 4.000000000000001, although the exact value is 4
  printf("%d\n", fabs(sqrt(2) * sqrt(2) - 2) < 1e-12);    // compare with a tolerance

  int bestP = 0, bestQ = 1;                               // the best fraction p/q for pi with q <= 1000
  for (int q = 1; q <= 1000; q++) {
    int p = (int)floor(PI * q + 0.5);
    if (fabs(PI - (double)p / q) < fabs(PI - (double)bestP / bestQ)) { bestP = p; bestQ = q; }
  }
  cout << bestP << "/" << bestQ << endl;                  // 355/113
  printf("%.10f %.10f\n", 22.0 / 7 - PI, (double)bestP / bestQ - PI);   // the errors of 22/7 and 355/113
  return 0;
}

/* output:
3.141592653589793
2.0000000000000004
4.000000000000001
1
355/113
0.0012644893 0.0000002668
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Pakai Decimal atau sympy untuk ketepatan, float untuk kecepatan, dan jangan pernah memakai float untuk memutuskan apakah suatu bilangan irasional.

Apa kesalahan umum tentang bilangan irasional?

Kesalahan paling umum tentang bilangan irasional adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: bilangan irasional sekilas

• Definisi: bilangan real yang bukan pecahan bilangan bulat; ekspansi desimalnya tak berhingga dan tidak pernah periodik. Rasional dan irasional tidak pernah tumpang tindih.
• Akar: akar pangkat k dari bilangan bulat adalah bilangan bulat atau irasional; ia bilangan bulat tepat bila setiap eksponen prima kelipatan k.
• √2: a^2=2b^2 memberi banyak faktor 2 yang genap dan ganjil sekaligus.
• Aritmetika: rasional ditambah irasional adalah irasional; rasional bukan nol dikali irasional adalah irasional; dua bilangan irasional dapat menghasilkan rasional, seperti (1+√2)(1-√2)=-1.
• π dan e: irasional (Lambert, Euler) dan transenden (Lindemann, Hermite), sehingga lingkaran tidak dapat dikuadratkan.
• Hampiran: pecahan berantai yang tidak pernah berhenti; (22)/(7) dan (355)/(113) adalah konvergen π; φ paling sulit dihampiri.
• Angka: pola tidak masalah asal tidak pernah periodik; tabel angka tidak pernah dapat membuktikan keirasionalan.
• Ukuran: hampir setiap bilangan real irasional, namun setiap selang memuat kedua jenis.
• Kode: float selalu berupa pecahan; jaga akar tetap eksak dengan sympy atau hitung angkanya dengan Decimal.

Glosarium: istilah penting

Bilangan irasional

Bilangan real yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat; ekspansi desimalnya tak berhingga dan tidak pernah periodik.

Bilangan rasional

Bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat dengan penyebut bukan nol; ekspansi desimalnya berakhir atau akhirnya berulang secara periodik.

Ekspansi desimal

Daftar lengkap angka sebuah bilangan di belakang koma desimal, sepanjang apa pun.

Kuadrat sempurna

Bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari bilangan bulat, seperti 16 atau 49; akar kuadrat bilangan bulat positif lain irasional.

Bukti dengan kontradiksi

Bukti yang mengandaikan kebalikan dari klaim lalu menurunkan sesuatu yang mustahil, seperti pada bukti bahwa akar kuadrat 2 irasional.

Tak sepadan

Dua panjang tanpa satuan bersama yang muat bilangan bulat kali pada keduanya, seperti sisi dan diagonal sebuah persegi.

Bentuk sekawan

Untuk a ditambah b kali akar m, bilangan a dikurangi b kali akar m; hasil kali keduanya rasional.

Bilangan aljabar

Bilangan yang merupakan akar polinomial tak nol dengan koefisien bulat, seperti akar 2, yang merupakan akar dari x kuadrat dikurangi 2.

Bilangan transenden

Bilangan real yang bukan aljabar, seperti pi dan e; setiap bilangan transenden irasional.

Pecahan berantai

Pernyataan sebuah bilangan sebagai bilangan bulat ditambah satu per bilangan bulat ditambah satu per bilangan bulat lain, dan seterusnya; ia berhenti tepat bila bilangannya rasional.

Konvergen

Pecahan yang diperoleh dengan menghentikan pecahan berantai lebih awal, seperti 22 per 7 dan 355 per 113 untuk pi; ia hampiran terbaik untuk ukuran penyebutnya.

Rasio emas

Bilangan 1 ditambah akar 5, seluruhnya dibagi 2, sekitar 1,618, yang merupakan akar dari x kuadrat dikurangi x dikurangi 1 dan bilangan yang paling sulit dihampiri pecahan.

Bilangan normal

Bilangan yang dalam ekspansi desimalnya setiap untai k angka muncul dengan frekuensi satu per 10 pangkat k.

Himpunan tak terhitung

Himpunan tak berhingga yang anggotanya tidak dapat didaftar satu per satu, seperti bilangan real dan bilangan irasional.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.). Cengage Learning.
2. Euclid. Elements, Book X (incommensurable magnitudes). c. 300 BCE.
3. Ivan Niven (1956). Irrational Numbers (Carus Mathematical Monographs 11). Mathematical Association of America.
4. G. H. Hardy and E. M. Wright (1938). An Introduction to the Theory of Numbers, chapter 4 (irrational numbers). Oxford University Press.
5. Johann Heinrich Lambert (1768). Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques. Mémoires de l’Académie royale des sciences de Berlin.
6. Ferdinand Lindemann (1882). Über die Zahl π. Mathematische Annalen 20, 213–225.
7. Georg Cantor (1874). Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 258–262.
8. Python Software Foundation. The Python Standard Library: math, mathematical functions. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/math.html.

Artikel terkait

• Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya: Pengertian bilangan real, jenis (rasional dan irasional), contoh, sifat, dan garis bilangan, lengkap dengan latihan interaktif, pembuktian, dan FAQ.
• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.
• Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK: Bilangan bulat: garis bilangan, operasi pada bilangan negatif, aturan habis dibagi, bilangan prima, FPB dan KPK, serta sisa pembagian, lengkap dengan latihan.