Barisan dan Deret Aritmetika: Rumus, Jumlah, dan Contoh

Apa itu barisan aritmetika?

Barisan aritmetika (atau progresi aritmetika) adalah daftar bilangan a_1,a_2,a_3,… yang selisih antara tiap suku dan suku sebelumnya selalu bilangan yang sama b, yang disebut beda. Notasinya a_n untuk suku pada posisi n, dan di banyak buku sekolah U_n.

Itu memberi aturan a_n+1=a_n+b: untuk mendapat suku berikutnya, tambahkan b. Barisan adalah daftar itu sendiri; deret adalah hasil menjumlahkan suku-sukunya, yang dibahas pada bagian jumlah di bawah.

Cara mengetahuinya. Kurangkan tiap suku dari suku berikutnya, selalu yang kemudian dikurangi yang lebih dulu. Jika setiap selisih sama, barisannya aritmetika. Satu selisih yang menyimpang saja cukup untuk menyingkirkannya. Barisan yang sukunya dikalikan bilangan yang sama setiap kali adalah barisan geometri, yang dibangun dari pangkat pada artikel eksponen.

Dua fakta berguna langsung mengikutinya. Setiap suku adalah rata-rata dari dua tetangganya, a_n=(a_n-1+a_n+1)/(2), itulah sebabnya kata aritmetika dipakai: rata-rata aritmetika berada di tengah. Dan beda boleh negatif atau pecahan, sehingga aturan bilangan bulat untuk bilangan negatif dan aturan bilangan rasional untuk pecahan berlaku.

Di mana ia muncul. Langkah yang sama ada di mana-mana: tinggi anak tangga, kursi pada baris yang masing-masing 3 lebih banyak daripada baris di depannya, tabungan bulanan yang naik dengan jumlah tetap, ongkos taksi yang menambah biaya tetap per kilometer, saldo dengan bunga tunggal (bukan majemuk). Ketik daftar bilangan di bawah dan lihat apakah ia aritmetika.

Bagaimana mencari suku ke-n barisan aritmetika?

Suku ke-n barisan aritmetika adalah a_n=a_1+(n-1)b: mulai dari suku pertama dan tambahkan beda sebanyak n-1 kali. Alasan n-1 adalah bahwa dari suku 1 ke suku n diperlukan n-1 langkah, bukan n.

Untuk 5,9,13,… suku pertamanya 5 dan b=4, sehingga a_n=5+(n-1)·4=4n+1 dan a_20=5+19·4=81.

Ia fungsi linear. Menjabarkan memberi a_n=dn+(a_1-b), yaitu garis lurus dalam n dengan kemiringan b dan, untuk n=0, perpotongan a_1-b. Itulah sebabnya titik-titik barisan aritmetika terletak pada garis, dan mengapa bagian bentuk aljabar menyebutnya linear: ia berderajat 1. b positif memiringkan garis ke atas, b negatif memiringkannya ke bawah, dan b=0 membuatnya datar.

Berapa banyak suku? Selesaikan a_n=ℓ untuk n: n=(ℓ-a_1)/(b)+1. Untuk 7,12,17,…,102 ini (102-7)/(5)+1=20. Jawabannya harus bilangan bulat positif, yang juga memberi tahu apakah suatu bilangan termasuk dalam barisan: untuk 100 hasilnya (100-7)/(5)+1=19,6, sehingga 100 bukan suku. Hitungan yang sama memberi banyak kelipatan 7 dari 100 sampai 500: yang pertama 105=7·15 dan yang terakhir 497=7·71, sehingga n=71-15+1=57.

Pilih suku pertama, beda, dan panjang di bawah, dan perhatikan suku-sukunya, rumusnya, dan garis lurusnya.

Bagaimana menemukan barisan dari dua sukunya?

Dua suku beserta posisinya menentukan barisan aritmetika sepenuhnya: kurangkan keduanya untuk mendapat b, lalu mundur ke a_1. Di antara suku p dan suku q ada q-p langkah sebesar b, sehingga a_q-a_p=(q-p)b dan

b=(a_q-a_p)/(q-p), a_1=a_p-(p-1)b.

Contoh: a_3=11 dan a_7=23. Maka b=(23-11)/(7-3)=(12)/(4)=3 dan a_1=11-2·3=5, sehingga barisannya 5,8,11,14,… dengan a_n=3n+2. Periksa: a_3=11, a_7=23.

Kekeliruan yang biasa adalah membagi dengan bilangan yang salah: bagi dengan banyaknya langkah q-p (di sini 4), bukan dengan p, q, atau q+p. Kedua posisi boleh diberikan dalam urutan apa pun, karena menukarnya mengubah tanda atas dan bawah sekaligus.

Rata-rata aritmetika (sisipan). Menyisipkan k bilangan di antara a dan c sehingga seluruh daftarnya aritmetika adalah masalah yang sama dengan q-p=k+1 langkah: b=(c-a)/(k+1). Tiga sisipan di antara 4 dan 24 punya b=(20)/(4)=5 dan berupa 9, 14, 19. Dengan satu sisipan jawabannya rata-rata biasa (a+c)/(2).

Beri dua suku apa pun di bawah dan lihat seluruh langkahnya.

Bagaimana mencari jumlah deret aritmetika?

Jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah S_n=\dfrac n2(a_1+a_n)=\dfrac n2\bigl(2a_1+(n-1)b\bigr): banyak suku dikali rata-rata suku pertama dan suku terakhir. Jumlah suku-suku seperti ini disebut deret aritmetika, dan S_n adalah jumlah parsial ke-n-nya.

Trik Gauss. Tulis jumlahnya dua kali, sekali maju dan sekali mundur, lalu jumlahkan kolomnya:

S_n=a_1+a_2+…+a_n

S_n=a_n+a_n-1+…+a_1

Pada setiap kolom jumlahnya sama, a_1+a_n, karena bergeser satu tempat menambah b pada satu suku dan mengambilnya dari yang lain. Ada n kolom, sehingga 2S_n=n(a_1+a_n). Konon Gauss, sebagai anak sekolah, menemukan 1+2+…+100 dengan cara ini: 50 pasang 101, yaitu 5050.

Contoh.

• 5+9+13+… dengan 20 suku: a_20=81, sehingga S_20=(20)/(2)(5+81)=860.
• 3+8+13+…+98: banyak sukunya (98-3)/(5)+1=20, sehingga jumlahnya (20)/(2)(3+98)=1010.
• Kelipatan 7 dari 105 sampai 497, sebanyak 57: (57)/(2)(105+497)=17.157.

Tiga jumlah yang layak diketahui. 1+2+…+n=(n(n+1))/(2) (bilangan segitiga 1, 3, 6, 10, 15); n bilangan ganjil pertama berjumlah n^2, sebab 1+3+5+…+(2n-1)=\frac n2·2n; dan n bilangan genap pertama berjumlah n(n+1).

Notasi sigma menulis deret secara ringkas: \sum_k=1^n(a_1+(k-1)b) berarti "jumlahkan suku-suku untuk k=1 sampai k=n". Misalnya \sum_k=1^10(3k+2)=5+8+…+32=(10)/(2)(5+32)=185.

S_n kuadrat dalam n. Menjabarkan memberi S_n=\frac b2n^2+\bigl(a_1-\frac b2\bigr)n, sebuah kuadrat tanpa suku konstanta, yang menjadi cara mengenalinya. Dan kamu dapat menjalankannya mundur: a_n=S_n-S_n-1 untuk n\ge2 (dan a_1=S_1). Jika S_n=2n^2+3n maka a_1=5 dan a_n=\bigl(2n^2+3n\bigr)-\bigl(2(n-1)^2+3(n-1)\bigr)=4n+1, yaitu barisan 5,9,13,… lagi.

Coba pemasangan itu untuk barisanmu sendiri di bawah.

Apa yang terjadi pada deret aritmetika tak hingga?

Deret aritmetika tak hingga tidak punya jumlah berhingga kecuali setiap sukunya 0: jumlah parsialnya membesar tanpa batas. Menambah lebih banyak suku terus mengubah jumlah dengan nilai bukan nol, dan dengan b≠0 sukunya sendiri makin besar ukurannya, sehingga jumlahnya tidak dapat menetap.

• Jika b>0 jumlah parsial S_n=\frac b2n^2+\bigl(a_1-\frac b2\bigr)n akhirnya membesar menuju +∞.
• Jika b<0 jumlah itu akhirnya turun menuju -∞.
• Jika b=0 dan a_1≠0 maka S_n=na_1 juga membesar tanpa batas.

Deret seperti itu dikatakan divergen. Ini kontras tajam dengan deret geometri yang rasionya berukuran kurang dari 1, seperti \frac12+\frac14+\frac18+…, yang sukunya mengecil cukup cepat sehingga jumlahnya menetap di 1. Dalam praktik itu berarti setiap pertanyaan tentang deret aritmetika meminta banyak suku yang berhingga. Jika suatu soal tampak meminta jumlah deret aritmetika tak hingga, itu deret geometri yang menyamar atau jawabannya "divergen".

Bagaimana menyelesaikan soal cerita barisan aritmetika?

Bacalah soal untuk tiga hal, suku pertama a_1, beda b, dan yang ditanyakan (sebuah suku, banyaknya, atau jumlah), lalu pakai rumus yang sesuai. Periksa di akhir bahwa jawabannya masuk akal dan bilangan bulat bila menghitung benda.

Perhatikan bahwa "tiap baris 3 lebih banyak" dan "Rp50.000 lebih banyak tiap bulan" memberi b langsung, dan penurunan memberi b negatif. Perhatikan juga bahwa suku pada posisi 15 hanya 14 langkah dari yang pertama, n-1 yang sama seperti pada rumus.

Bunga tunggal adalah barisan aritmetika: simpanan P yang menghasilkan jumlah tetap I per tahun bernilai P, P+I, P+2I,…, sehingga setelah n tahun menjadi P+nI. Bunga majemuk mengalikan dengan rasio tetap dan menghasilkan barisan geometri.

Bagaimana mengolah barisan aritmetika di Python dan JavaScript?

Di Python range(awal, berhenti, langkah) adalah barisan aritmetika bilangan bulat, dan sum darinya adalah deret aritmetika; di JavaScript kamu membangun suku-sukunya dengan Array.from. Nilai berhenti pada range tidak termasuk, yang menjadi sumber umum kekeliruan selisih satu.

>>> list(range(3, 40, 4))                 # first, stop (excluded), step
[3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39]
>>> a1, d, n = 3, 4, 10
>>> a1 + (n - 1) * d                         # the n-th term
39
>>> n * (2 * a1 + (n - 1) * d) // 2          # the sum of the first n terms (exact)
210
>>> sum(range(1, 101))                       # Gauss's sum
5050
>>> from itertools import accumulate
>>> list(accumulate(range(1, 6)))            # partial sums: 1, 3, 6, 10, 15
[1, 3, 6, 10, 15]
>>> len(range(105, 498, 7))                  # multiples of 7 from 105 to 497
57
>>> sum(range(105, 498, 7))
17157
>>> [i * 0.1 for i in range(4)]              # a float step drifts
[0.0, 0.1, 0.2, 0.30000000000000004]

const terms = (a1, d, n) => Array.from({ length: n }, (_, i) => a1 + i * d)
terms(3, 4, 5)                               // [3, 7, 11, 15, 19]
terms(3, 4, 5).reduce((s, x) => s + x, 0)    // 55
(5 * (2 * 3 + 4 * 4)) / 2                    // 55, from S = n(2a + (n-1)d)/2
Array.from({ length: 4 }, (_, i) => i * 0.1) // [0, 0.1, 0.2, 0.30000000000000004]

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
  int a1 = 3, d = 4, n = 10;
  for (int i = 0; i < n; i++) cout << a1 + i * d << " ";   // the first ten terms
  cout << endl;
  cout << a1 + (n - 1) * d << endl;                        // the n-th term
  cout << n * (2 * a1 + (n - 1) * d) / 2 << endl;          // the sum of n terms, exactly
  int gauss = 0;
  for (int i = 1; i <= 100; i++) gauss += i;
  cout << gauss << endl;                                   // Gauss's sum
  int count = 0, total = 0;
  for (int m = 105; m <= 497; m += 7) { count++; total += m; }
  cout << count << " " << total << endl;                   // multiples of 7 from 105 to 497
  for (int i = 0; i < 4; i++) printf("%.17f ", i * 0.1);   // a float step drifts
  cout << endl;
  return 0;
}

/* output:
3 7 11 15 19 23 27 31 35 39
39
210
5050
57 17157
0.00000000000000000 0.10000000000000001 0.20000000000000001 0.30000000000000004
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Untuk langkah pecahan yang eksak pakai fractions.Fraction, seperti pada artikel bilangan rasional. Periksa sebuah rumus dengan membandingkannya dengan sum(range(...)) pada kasus kecil sebelum memercayainya untuk yang besar.

Dari mana asal barisan aritmetika?

Progresi aritmetika termasuk pola tertua dalam matematika, jauh sebelum ada notasi untuknya.

• Sekitar 1550 SM. Papirus Rhind memuat soal yang membagi 10 takaran jelai kepada 10 orang sehingga masing-masing mendapat jumlah yang sama lebih banyak daripada sebelumnya: progresi aritmetika dengan beda \frac18.
• Abad ke-5 M. Zhang Qiujian suanjing dari China memuat soal seorang perempuan menenun kain yang menenun tambahan tetap setiap hari; hitungannya dilakukan dengan batang hitung.
• 499 M. Aryabhata memberi aturan dalam Aryabhatiya-nya untuk jumlah progresi aritmetika dan untuk banyak sukunya.
• Sekitar 1787. Kisah di ruang kelas tentang Gauss, berusia sembilan atau sepuluh tahun, adalah bahwa gurunya memberi 1+2+…+100 agar kelas sibuk dan Gauss langsung menjawab 5050, dengan memasangkan 1 dengan 100, 2 dengan 99, dan seterusnya. Kisah ini ditulis lama sesudahnya dan rinciannya beragam, tetapi gagasan memasangkan itu jelas wawasan khas dirinya, dan itulah bukti yang masih diberikan sekarang.

Kata aritmetika berasal dari bahasa Yunani arithmos, bilangan.

Apa kesalahan umum pada barisan aritmetika?

Kesalahan paling umum pada barisan aritmetika adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: barisan dan deret aritmetika sekilas

• Definisi: a_n+1-a_n=b konstan; setiap suku adalah rata-rata tetangganya.
• Suku ke-n: a_n=a_1+(n-1)b=dn+(a_1-b), garis lurus dalam n.
• Banyak suku: n=(ℓ-a_1)/(b)+1, yang harus bilangan bulat positif.
• Dari dua suku: b=(a_q-a_p)/(q-p), a_1=a_p-(p-1)b; k sisipan di antara a dan c punya b=(c-a)/(k+1).
• Jumlah: S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)b\bigr), kuadrat dalam n; a_n=S_n-S_n-1.
• Jumlah khusus: 1+…+n=\fracn(n+1)2; n bilangan ganjil pertama memberi n^2.
• Deret tak hingga: deret aritmetika divergen.
• Kode: range(awal, berhenti, langkah) dengan nilai berhenti tidak termasuk; pakai bilangan bulat atau Fraction, bukan langkah float berulang.

Glosarium: istilah penting

Barisan

Daftar bilangan berurutan, yang disebut suku, ditulis a1, a2, a3 dan seterusnya.

Suku

Satu bilangan dalam barisan; suku ke-n ditulis a indeks n.

Barisan aritmetika

Barisan yang selisih antara tiap suku dan suku sebelumnya selalu sama, seperti 3, 7, 11, 15.

Beda

Jumlah tetap b yang ditambahkan pada tiap suku barisan aritmetika untuk mendapat suku berikutnya; ia dapat positif, negatif, nol, atau pecahan.

Rumus rekursif

Aturan yang memberi tiap suku dari suku sebelumnya, seperti a indeks n tambah 1 sama dengan a indeks n ditambah b.

Rumus eksplisit

Aturan yang memberi suku ke-n langsung dari n, seperti a indeks n sama dengan a indeks 1 ditambah n dikurangi 1 kali b.

Deret

Jumlah suku-suku sebuah barisan, seperti 3 ditambah 7 ditambah 11 ditambah 15.

Jumlah parsial

Jumlah S indeks n dari n suku pertama sebuah barisan.

Notasi sigma

Cara ringkas menulis jumlah memakai huruf Yunani sigma, dengan nilai pertama dan terakhir indeks ditulis di bawah dan di atasnya.

Rata-rata aritmetika

Rata-rata dua bilangan, setengah jumlahnya; setiap suku barisan aritmetika adalah rata-rata aritmetika dari tetangganya.

Bilangan segitiga

Jumlah 1 ditambah 2 sampai n, sama dengan n kali n tambah 1 per 2, seperti 1, 3, 6, 10, dan 15.

Deret divergen

Deret yang jumlah parsialnya tidak menetap pada jumlah berhingga; setiap deret aritmetika tak hingga dengan suku bukan nol divergen.

Barisan geometri

Barisan yang setiap sukunya adalah suku sebelumnya dikali bilangan tetap yang sama, seperti 2, 4, 8, 16.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.), chapter 12 (sequences and series). Cengage Learning.
2. Arnold Buffum Chace (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Mathematical Association of America.
3. Shen Kangshen, John Crossley and Anthony Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press.
4. Walter Eugene Clark (1930). The Aryabhatiya of Aryabhata: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy (Ganita section). University of Chicago Press.
5. Wolfgang Sartorius von Waltershausen (1856). Gauss zum Gedächtniss. S. Hirzel.
6. Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd ed.), chapter 2 (sums). Addison-Wesley.
7. Python Software Foundation. The Python Standard Library: range, sum and itertools.accumulate. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#range.

Artikel terkait

• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Barisan dan Deret Geometri: Rasio, Jumlah, dan Pertumbuhan: Barisan dan deret geometri: rasio, rumus suku ke-n, jumlah berhingga dan tak hingga, rata-rata geometri, bunga majemuk, dan peluruhan, dengan latihan.
• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.