Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Apa itu eksponen?

Eksponen (atau pangkat) adalah bilangan kecil yang ditulis di atas dan menyatakan berapa kali basis dikalikan dengan dirinya sendiri: a^n=a· a… a, dengan n faktor a. Pada 2^5 basisnya 2 dan eksponennya 5.

Eksponen 1 tidak mengubah apa pun (a^1=a). Istilah "kuadrat" dan "kubik" berasal dari geometri: 5^2 adalah luas persegi dengan sisi 5, dan 10^3 adalah volume kubus dengan rusuk 10.

Pangkat tumbuh dengan cepat. Setiap kali eksponen naik 1, nilainya dikalikan basis sekali lagi: 2^10=1.024, 2^20=1.048.576, dan 2^30 sudah lebih dari satu miliar. Itulah sebabnya eksponen menjadi bahasa pertumbuhan, memori komputer, serta besaran yang sangat besar dan sangat kecil, dan mengapa pangkat berurutan dari suatu bilangan membentuk barisan geometri.

Apa saja hukum eksponen?

Ada lima hukum eksponen: untuk mengalikan pangkat dengan basis sama, jumlahkan eksponennya; untuk membagi, kurangkan; untuk memangkatkan pangkat, kalikan eksponennya; dan pangkat dari perkalian atau pembagian adalah perkalian atau pembagian dari pangkat-pangkatnya.

Mengapa hukum perkalian berlaku. Hitung faktornya: 2^3·2^4=(2·2·2)(2·2·2·2) memiliki 3+4=7 faktor 2, sehingga hasilnya 2^7. Hukum lainnya berasal dari cara menghitung yang sama.

Hukum-hukum itu membutuhkan satu syarat. Hukum perkalian dan pembagian menggabungkan pangkat dengan basis yang sama: 2^3·2^4=2^7, tetapi 2^3·3^4 tidak dapat digabung menjadi satu pangkat. Coba hukum-hukum ini dengan bilanganmu sendiri di bawah, dan lihat kedua ruasnya dihitung secara eksak.

Apa arti eksponen nol, negatif, dan pecahan?

a^0=1 untuk setiap a≠0, a^-n=(1)/(a^n), dan a^1/n=a^(1/n): ini bukan aturan tambahan yang harus dihafal, melainkan satu-satunya nilai yang menjaga hukum eksponen tetap benar. Menghitung faktor tidak dapat menjelaskan eksponen 0 atau −3, sehingga para matematikawan bertanya nilai apa yang dipaksakan oleh hukum-hukumnya.

• Nol. Hukum perkalian berkata a^m· a^0=a^m+0=a^m. Mengalikan a^m dengan a^0 tidak mengubah apa pun, sehingga a^0 harus 1.
• Negatif. a^n· a^-n=a^0=1. Sesuatu yang mengalikan a^n menjadi 1 adalah kebalikannya, sehingga a^-n=(1)/(a^n). Eksponen negatif tidak membuat bilangannya negatif: 2^-3=\dfrac18, bukan -8.
• Pecahan. \left(a^1/n\right)^n=a^\frac1n· n=a^1=a. Bilangan yang pangkat n-nya adalah a adalah akar pangkat n, sehingga a^1/n=a^(1/n). Lebih umum, a^m/n=\left(a^1/n\right)^m=a^m^(1/n), sehingga setiap bilangan rasional dapat menjadi eksponen.

Polanya paling mudah terlihat dengan menuruni pangkat dari 2. Setiap langkah ke bawah membagi dengan 2:

2^4=16, 2^3=8, 2^2=4, 2^1=2, 2^0=1, 2^-1=\frac12, 2^-2=\frac14, 2^-3=\frac18.

Pakai widget untuk mencoba basis lain.

Apa itu akar (radikal)?

Akar pangkat n dari a, ditulis a^(1/n), adalah bilangan yang menghasilkan a bila dipangkatkan n; √a (indeks 2) adalah akar kuadrat dan a^(1/3) adalah akar pangkat tiga. Pada a^(1/n) lambang √( ) adalah tanda akar, a adalah radikan (bilangan di bawah tanda akar), dan n adalah indeks.

• Akar kuadrat: √(49)=7 karena 7^2=49.
• Akar pangkat tiga: 125^(1/3)=5 karena 5^3=125, dan -8^(1/3)=-2 karena (-2)^3=-8.
• Akar utama: √9=3, bukan ±3. Tanda akar selalu berarti akar yang tidak negatif. Persamaan x^2=9 memiliki dua penyelesaian, x=3 dan x=-3, itulah sebabnya langkah penyelesaian menulis x=±√9.
• Akar genap dan ganjil: akar genap dari bilangan negatif bukan bilangan real (√(-4)), tetapi akar ganjil dari bilangan negatif adalah real (-27^(1/3)=-3).
• Akar dari kuadrat: √(x^2)=|x|, bukan x, karena hasilnya tidak boleh negatif: √((-5)^2)=√(25)=5.
• Akar dalam geometri: diagonal persegi satuan adalah √(1^2+1^2)=√2, menurut teorema Pythagoras.

Akar dari bilangan bulat adalah bilangan bulat (bila bilangan itu pangkat sempurna, seperti pada tabel) atau bilangan irasional: untuk bilangan bulat positif a, √a irasional tepat ketika a bukan kuadrat sempurna. Itulah sebabnya ekspansi desimal √2, √3, dan √(72) tak berhingga dan tidak pernah periodik; artikel bilangan irasional menunjukkan cara menguji akar apa pun.

Bagaimana menyederhanakan bentuk akar?

Untuk menyederhanakan bentuk akar, faktorkan bilangan di bawah akar, keluarkan setiap kelompok berisi n faktor yang sama dari akar pangkat n, lalu kalikan yang keluar: √(72)=√(2^3·3^2)=3·2√2=6√2. Ikuti langkah berikut, ditunjukkan untuk √(72):

1. Faktorkan radikan menjadi bilangan prima: 72=2·2·2·3·3.
2. Kelompokkan bilangan prima yang sama dalam himpunan sebesar indeksnya (berpasangan untuk akar kuadrat): (2·2)·2·(3·3).
3. Keluarkan satu bilangan prima untuk setiap kelompok; yang tidak berpasangan tetap di dalam: pasangan 2 menghasilkan 2, pasangan 3 menghasilkan 3, dan satu 2 tetap di bawah akar.
4. Kalikan yang keluar: 2·3=6, sehingga √(72)=6√2.

Aturan di baliknya, untuk a,b\ge0: √(ab)=√a·√b dan √(a/b)=(√a)/(√b) untuk b>0. Untuk akar pangkat tiga ambil kelompok tiga: 54^(1/3)=2·3^3^(1/3)=32^(1/3).

Menjumlahkan bentuk akar. Hanya akar yang senama, yaitu yang indeks dan radikannya sama, yang dapat digabung: 3√2+5√2=8√2. Dua akar yang tampak berbeda bisa ternyata senama setelah disederhanakan: √(50)+√8=5√2+2√2=7√2. Tetapi √(a+b) bukan √a+√b: √(9+16)=5, bukan 3+4.

Coba bilangan apa pun di bawah. Ganti indeksnya untuk melihat akar pangkat tiga dan akar yang lebih tinggi.

Bagaimana merasionalkan penyebut?

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan bilangan yang menghilangkan akar dari penyebut: dengan akarnya sendiri untuk (a)/(√b), dan dengan bentuk sekawan untuk (a)/(p+√q). Mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan tak nol yang sama tidak mengubah nilai pecahan.

• Satu akar. (6)/(√3)=(6·√3)/(√3·√3)=(6√3)/(3)=2√3, karena √3·√3=3.
• Jumlah atau selisih. Bentuk sekawan dari p+√q adalah p-√q (balik tandanya). Hasil kali keduanya adalah selisih kuadrat, yang tidak lagi memuat akar: (p+√q)(p-√q)=p^2-q.

Misalnya (1)/(1+√2)=(1·(1-√2))/((1+√2)(1-√2))=(1-√2)/(1-2)=(1-√2)/(-1)=√2-1.

Cara merasionalkan penyebut, singkatnya: (1) pilih akarnya, atau bentuk sekawan bila penyebut berupa jumlah atau selisih; (2) kalikan pembilang dan penyebut dengannya; (3) sederhanakan, dan coret faktor persekutuan.

Merasionalkan adalah kesepakatan, bukan koreksi: (1)/(√2) dan (√2)/(2) adalah bilangan yang sama. Bentuk kedua adalah bentuk yang diharapkan, dan lebih mudah ditaksir dengan tangan, sebab √2≈1,414 memberi sekitar 0,707.

Bagaimana akar dan eksponen pecahan berhubungan?

Akar adalah eksponen pecahan: a^(1/n)=a^1/n dan a^m^(1/n)=\left(a^(1/n)\right)^m=a^m/n, sehingga setiap hukum eksponen juga berlaku untuk akar.

Cara menghitung a^m/n:

1. Ambil akar pangkat n dari basis (penyebut eksponen): 8^2/3 dimulai dengan 8^(1/3)=2.
2. Pangkatkan hasilnya dengan m (pembilang): 2^2=4.
3. Bila eksponennya negatif, ambil kebalikannya: 8^-2/3=(1)/(8^2/3)=\dfrac14.

Mengambil akar lebih dulu menjaga bilangan tetap kecil, itulah sebabnya urutan ini terbaik bila dihitung dengan tangan.

Bentuk eksponen juga satu-satunya cara menggabungkan akar dengan indeks berbeda. Karena √2=2^1/2 dan 2^(1/3)=2^1/3, hukum perkalian memberi √2·2^(1/3)=2^1/2+1/3=2^5/6=32^(1/6). Coba milikmu sendiri di bawah.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan eksponen dan akar?

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, tulis kedua ruas dengan basis yang sama lalu samakan eksponennya; untuk menyelesaikan persamaan akar, pisahkan akarnya, pangkatkan kedua ruas dengan indeksnya, selesaikan, dan periksa setiap jawaban, karena memangkatkan dapat menimbulkan penyelesaian palsu.

Persamaan eksponen (basis sama).

• 2^x=32 ⇒ 2^x=2^5 ⇒ x=5.
• 9^x=27, jadi (3^2)^x=3^3, jadi 3^2x=3^3, jadi 2x=3, jadi x=\dfrac32.
• Pangkat pada bilangan yang dicari: x^3=27 ⇒ x=3 (pangkat ganjil punya satu akar real), tetapi x^2=9 ⇒ x=±3 (pangkat genap punya dua).

Persamaan akar. √(x+1)=3 ⇒ x+1=9 ⇒ x=8, dan pemeriksaan √(8+1)=3 berlaku.

Selalu periksa. Mengkuadratkan kedua ruas dapat menambah jawaban yang tidak cocok dengan persamaan semula, disebut penyelesaian asing. Ambil √(x+2)=x:

1. Kuadratkan kedua ruas: x+2=x^2.
2. Susun ulang: x^2-x-2=0, yang difaktorkan menjadi (x-2)(x+1)=0, sehingga x=2 atau x=-1.
3. Periksa x=2: √4=2 ✓. Periksa x=-1: √1=1, yang bukan -1 ✗.

Hanya x=2 yang merupakan penyelesaian. Tanda akar tidak pernah negatif, sehingga ruas kanan pun tidak boleh negatif.

Bagaimana menulis bilangan dalam notasi ilmiah?

Notasi ilmiah menulis bilangan sebagai a×10^k dengan 1\le a<10 dan k bilangan bulat: geser koma desimal sampai tersisa satu angka bukan nol di kirinya, dan biarkan k menghitung tempat yang digeser. Menggeser ke kiri membuat k positif dan menggeser ke kanan membuatnya negatif.

Tiga nilai pertama persis menurut definisi dalam Sistem Satuan Internasional. Notasi ilmiah adalah hukum eksponen yang bekerja. Untuk mengalikan, kalikan bilangannya dan jumlahkan eksponennya: (3×10^5)(2×10^4)=6×10^9. Untuk membagi, bagi bilangannya dan kurangkan eksponennya. Untuk menjumlahkan, lebih dulu samakan pangkat 10 kedua bilangan.

Bagaimana menghitung eksponen dan akar di Python dan JavaScript?

Di Python dan JavaScript operator pangkat adalah tanda bintang ganda, bukan tanda sisipan (yang merupakan XOR bitwise), dan akar adalah pangkat 1/n atau sebuah fungsi seperti math.sqrt dan Math.cbrt.

>>> 2 ** 10
1024
>>> 2 ** -3
0.125
>>> 16 ** 0.5
4.0
>>> 27 ** (1/3)
3.0
>>> import math
>>> math.sqrt(72)
8.48528137423857
>>> math.isqrt(72)      # whole-number square root, rounded down
8
>>> (-8) ** (1/3)       # a negative base with a fractional exponent
(1.0000000000000002+1.7320508075688772j)
>>> 2 ^ 3               # XOR, not a power
1

2 ** 10               // 1024
2 ** -3               // 0.125
Math.sqrt(72)         // 8.48528137423857
Math.cbrt(-8)         // -2
(-8) ** (1 / 3)       // NaN
(-2) ** 2             // 4   (-2 ** 2 is a SyntaxError)
Math.sqrt(2) ** 2     // 2.0000000000000004
2n ** 100n            // 1267650600228229401496703205376n (BigInt stays exact)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int isqrt(int n) {                                   // the whole-number square root, rounded down
  int r = 0;
  while ((r + 1) * (r + 1) <= n) r++;
  return r;
}

int main() {
  printf("%.0f %.3f %.0f\n", pow(2, 10), pow(2, -3), pow(16, 0.5));
  printf("%.12f\n", sqrt(72));
  cout << isqrt(72) << endl;
  printf("%.12f %.12f\n", pow(27, 1.0 / 3), -pow(8, 1.0 / 3));   // a cube root of a negative: take the sign out
  // pow(-8, 1.0 / 3) is nan: a negative base needs a whole-number exponent
  cout << (2 ^ 3) << endl;                             // XOR, not a power
  printf("%.16f\n", sqrt(2) * sqrt(2));                // rounding, not a bug
  int p = 1;
  for (int i = 0; i < 30; i++) p *= 2;                 // 2^30 fits in an int; 2^31 would overflow
  cout << p << endl;
  return 0;
}

/* output:
1024 0.125 4
8.485281374239
8
3.000000000000 -2.000000000000
1
2.0000000000000004
1073741824
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Pakai math.isqrt di Python bila kamu membutuhkan bagian bulat dari akar kuadrat: ia eksak untuk bilangan bulat sebesar apa pun, sedangkan math.sqrt bekerja dengan bilangan floating point (float).

Apa kesalahan umum pada eksponen dan akar?

Kesalahan paling umum pada eksponen dan akar adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: eksponen dan akar sekilas

• Eksponen: a^n adalah n faktor a; basisnya a dan eksponennya n.
• Lima hukum: a^ma^n=a^m+n, (a^m)/(a^n)=a^m-n, (a^m)^n=a^mn, (ab)^n=a^nb^n, \left(\dfrac ab\right)^n=(a^n)/(b^n).
• Nilai yang dipaksakan: a^0=1 (a≠0), a^-n=\dfrac1a^n, a^1/n=a^(1/n), a^m/n=\left(a^(1/n)\right)^m.
• Akar: √(x^2)=|x|; akar genap dari bilangan negatif bukan bilangan real; √(a+b)≠√a+√b.
• Sederhanakan dengan mengeluarkan kelompok berisi n faktor prima yang sama dari akar pangkat n; rasionalkan dengan akarnya atau bentuk sekawannya.
• Persamaan: basis sama berarti eksponen sama; periksa setiap penyelesaian akar.
• Notasi ilmiah: a×10^k dengan 1\le a<10; dalam kode pakai **, bukan ^.

Glosarium: istilah penting

Eksponen (pangkat)

Bilangan kecil di atas yang menyatakan berapa kali basis dikalikan dengan dirinya sendiri, seperti 5 pada 2 pangkat 5.

Basis (bilangan pokok)

Bilangan yang dikalikan dengan dirinya sendiri dalam sebuah pangkat, seperti 2 pada 2 pangkat 5.

Akar (radikal)

Akar pangkat n dari sebuah bilangan adalah nilai yang menghasilkan bilangan itu bila dipangkatkan n, ditulis dengan tanda akar.

Radikan

Bilangan yang ditulis di bawah tanda akar, seperti 72 pada akar kuadrat 72.

Indeks akar

Bilangan kecil pada tanda akar yang menyatakan akar mana yang diambil; 2 adalah akar kuadrat dan 3 adalah akar pangkat tiga.

Akar kuadrat utama

Akar kuadrat yang tidak negatif, yaitu arti tanda akar: akar kuadrat dari 9 adalah 3, bukan plus atau minus 3.

Kuadrat sempurna

Bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari bilangan bulat, seperti 1, 4, 9, 16, dan 25.

Eksponen rasional (pangkat pecahan)

Eksponen pecahan m per n, yang berarti akar pangkat n dari basis dipangkatkan m.

Bentuk sekawan

Untuk p ditambah akar q, ekspresi p dikurangi akar q; hasil kali keduanya tidak memuat akar.

Merasionalkan penyebut

Mengalikan pembilang dan penyebut sebuah pecahan dengan bilangan yang menghilangkan akar dari penyebut.

Notasi ilmiah (bentuk baku)

Cara menulis bilangan sebagai a kali 10 pangkat k, dengan a sekurang-kurangnya 1 dan kurang dari 10.

Penyelesaian asing

Nilai yang menyelesaikan persamaan setelah kedua ruas dikuadratkan tetapi gagal pada persamaan semula.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.). Cengage Learning.
2. Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), chapter 1 (the existence of n-th roots of positive reals). McGraw-Hill.
3. Florian Cajori (1928). A History of Mathematical Notations. Open Court Publishing Company.
4. René Descartes (1637). La Géométrie.
5. Christoff Rudolff (1525). Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden.
6. Bureau International des Poids et Mesures (2019). The International System of Units (SI), 9th edition. BIPM. https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure.
7. Python Software Foundation. The Python Language Reference: the power operator. docs.python.org. https://docs.python.org/3/reference/expressions.html#the-power-operator.
8. Ecma International. ECMAScript Language Specification: the exponentiation operator. tc39.es. https://tc39.es/ecma262/#sec-exp-operator.

Artikel terkait

• Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya: Pengertian bilangan real, jenis (rasional dan irasional), contoh, sifat, dan garis bilangan, lengkap dengan latihan interaktif, pembuktian, dan FAQ.
• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.