Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen

Apa itu bilangan rasional?

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q≠0. Himpunannya ditulis ℚ, dari kata "quotient" (hasil bagi), dan kata rasional berasal dari rasio (perbandingan), bukan dari "masuk akal".

Pada \frac34 bilangan atas p adalah pembilang dan bilangan bawah q adalah penyebut: penyebut menyatakan keseluruhan dipotong menjadi berapa bagian yang sama, dan pembilang menyatakan berapa bagian yang diambil.

Beberapa hal langsung mengikutinya:

• Setiap bilangan bulat adalah rasional. 5=\frac51 dan -3=(-3)/(1). Bilangan bulat adalah bilangan rasional yang penyebutnya dapat 1.
• Satu bilangan punya banyak pecahan. \frac12, \frac24, dan (50)/(100) adalah cara berbeda menulis satu bilangan. Pecahan adalah cara menulis; bilangan rasional adalah nilai yang dinamainya.
• Tanda milik seluruh pecahan. -\frac34=(-3)/(4)=(3)/(-4), dan menurut kebiasaan minus ditulis di depan atau di atas.
• Penyebut tidak pernah 0. \frac50 tidak menamai bilangan apa pun.
• Jenis pecahan. Pecahan wajar ukurannya kurang dari 1 (\frac34), pecahan tak wajar tidak demikian ((17)/(5)), dan bilangan campuran menulis pecahan tak wajar sebagai bagian bulat ditambah pecahan wajar (3\frac25).

Bilangan rasional tertutup terhadap keempat operasi: jumlahkan, kurangkan, atau kalikan dua di antaranya, atau bagi dengan yang bukan nol, dan hasilnya rasional lagi. Itulah yang tidak dapat dilakukan bilangan bulat untuk pembagian, dan itulah sebabnya pecahan diciptakan. Namun bilangan rasional bukan seluruh garis bilangan: √2 dan π adalah bilangan real yang tidak rasional, seperti dijelaskan artikel bilangan irasional, dengan artikel bilangan real sebagai gambaran umum.

Bahasa-bahasa menyebut pecahan dengan urutannya sendiri. Dalam bahasa Inggris pembilang disebut lebih dulu ("three quarters"), sedangkan bahasa Mandarin membaca penyebut lebih dulu: 三分之一, "dari tiga bagian, satu".

Bagaimana mencari pecahan senilai dan menyederhanakannya?

Mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan bukan nol yang sama menghasilkan pecahan senilai, dan membagi keduanya dengan faktor persekutuan terbesarnya menghasilkan bentuk paling sederhana. Dua pecahan sama tepat bila \frac ab=\frac cd\iff ad=bc: misalnya \frac68=\frac34 karena 6·4=24=8·3.

Gambarnya adalah batang yang dipotong menjadi bagian-bagian. Potong tiap bagian menjadi k potong yang sama dan batang punya k kali lebih banyak bagian, dengan k kali lebih banyak yang diarsir, namun banyaknya yang diarsir tetap sama. Geser penggeser untuk melihatnya.

Menyederhanakan berarti mencari pecahan senilai dengan bilangan terkecil, yaitu bentuk paling sederhana, yang pembilang dan penyebutnya tidak punya faktor sama selain 1. Bagi keduanya dengan faktor persekutuan terbesar:

(84)/(126): FPB dari 84 dan 126 adalah 42, sehingga (84÷42)/(126÷42)=\dfrac23.

Kamu juga boleh mencoret selangkah demi selangkah, dengan faktor sama apa pun, sampai tidak ada lagi yang dapat dicoret. Bentuk paling sederhana itu tunggal, sehingga setiap jalan memberi jawaban sama, dan untuk dua pecahan paling sederhana \frac ab=\frac cd hanya bila a=c dan b=d.

Coret faktor, jangan pernah suku. Pada 6/8=(2·3)/(2·4) angka 2 adalah faktor keduanya, sehingga dicoret. Pada (2+3)/(2+4) angka 2 adalah suku dari sebuah jumlah dan tidak dicoret: pecahannya \frac56, bukan \frac34. Ketelitian yang sama diperlukan untuk huruf, seperti pada bagian pecahan aljabar. Waspadai juga "mencoret" angka: (16)/(64) kebetulan sama dengan \frac14 bila kedua angka 6 dicoret, dan (19)/(95), (26)/(65), serta (49)/(98) juga demikian, tetapi keempatnya kebetulan dan caranya salah, jadi jangan pernah mengandalkannya.

Coba pecahan apa pun di bawah.

Bagaimana membandingkan dan mengurutkan pecahan?

Untuk membandingkan dua pecahan berpenyebut positif, kalikan silang: \frac ab<\frac cd tepat bila ad<cb. Untuk \frac35 dan \frac58: 3·8=24 dan 5·5=25, dan 24<25, sehingga \frac35<\frac58.

Mengapa berhasil: tulis keduanya di atas penyebut sama bd, menghasilkan (ad)/(bd) dan (cb)/(bd). Dengan penyebut sama, pembilang yang lebih besar adalah pecahan yang lebih besar.

Jalan pintas, bila berlaku:

• Penyebut sama: pembilang yang lebih besar menang, \frac27<\frac57.
• Pembilang sama: penyebut yang lebih besar membuat pecahan lebih kecil, karena keseluruhan dipotong menjadi lebih banyak bagian: \frac13>\frac14.
• Patokan: bandingkan masing-masing dengan 0, \frac12, dan 1. \frac49<\frac12<\frac47.
• Pecahan negatif: bandingkan ukurannya lalu balik, seperti pada bilangan bulat. \frac12<\frac23 sehingga -\frac12>-\frac23.

Untuk mengurutkan daftar, letakkan pada garis bilangan atau beri penyebut yang sama. Di antara dua bilangan rasional berbeda mana pun terdapat bilangan rasional lain: rata-ratanya 1/2\left(\frac ab+\frac cd\right). Jadi tidak ada pecahan "berikutnya" setelah \frac12, dan bilangan rasional memenuhi garis tanpa celah yang dapat kamu tunjuk, walaupun √2 menunjukkan bahwa garis itu masih memuat lebih banyak: lihat garis bilangan dan kerapatan pada artikel bilangan real. Bandingkan dua pecahan apa pun di bawah.

Bagaimana menjumlahkan dan mengurangkan pecahan?

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan, tulis keduanya di atas penyebut sama, lalu jumlahkan atau kurangkan pembilangnya dan pertahankan penyebutnya: \frac ac+\frac bc=(a+b)/(c). Kamu hanya dapat menjumlahkan bagian yang sama besar.

Penyebut sama yang terbaik adalah kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebut. Untuk \frac23+\frac34 nilainya 12:

\dfrac23+\dfrac34=(8)/(12)+(9)/(12)=(17)/(12)=1(5)/(12).

Untuk pengurangan, \dfrac56-\dfrac14=(10)/(12)-(3)/(12)=(7)/(12). Jika kamu memakai b· d sebagai ganti kelipatan persekutuan terkecil, jawabannya sama, tetapi bilangannya lebih besar dan hasilnya perlu disederhanakan sesudahnya.

Jangan pernah menjumlahkan penyebutnya. \frac12+\frac13 bukan \frac25: penyebut menamai ukuran potongan, dan setengah serta sepertiga berukuran berbeda. Jawaban yang benar adalah \frac36+\frac26=\frac56. Pemeriksaannya, \frac25=0,4 kurang dari \frac12, padahal jumlah dua bilangan positif lebih besar daripada masing-masing.

Bilangan campuran. Jumlahkan bagian bulat dan bagian pecahan secara terpisah, atau ubah keduanya menjadi pecahan tak wajar lebih dulu. Untuk 2\frac13+1\frac12: 2+1=3 dan \frac13+\frac12=\frac56, sehingga 3\frac56.

Pecahan negatif mengikuti aturan tanda bilangan bulat: \frac12-\frac34=\frac24-\frac34=-\frac14.

Coba pasangan buatanmu sendiri di bawah; alat itu menampilkan tiap baris langkahnya.

Bagaimana mengalikan dan membagi pecahan?

Untuk mengalikan pecahan, kalikan pembilangnya dan kalikan penyebutnya: \frac ab·\frac cd=(ac)/(bd); untuk membagi, kalikan dengan kebalikan pembagi: \frac ab÷\frac cd=\frac ab·\frac dc. Tidak perlu penyebut sama untuk keduanya.

Perkalian: \dfrac34·\dfrac23=(6)/(12)=\dfrac12. Lebih cepat bila mencoret lebih dulu, karena faktor di pembilang satu pecahan dapat dicoret dengan faktor di penyebut pecahan lain: angka 3 di atas dicoret dengan angka 3 di bawah, dan angka 2 di atas dengan setengah dari 4, sehingga \frac34·\frac23=(1·1)/(2·1)=\frac12. Kata "dari" berarti kali: \frac25 dari 30 adalah \frac25·30=12.

Mengapa membagi sama dengan mengalikan kebalikan. Pembagian menanyakan berapa yang muat. Berapa setengah yang muat dalam 3? 3÷\frac12=6, yaitu 3·2. Umumnya membagi dengan \frac cd sama dengan mengalikan dengan \frac dc, karena mengalikan dengan sebuah bilangan lalu dengan kebalikannya mengembalikanmu ke awal. Contoh:

\dfrac34÷\dfrac910=\dfrac34·(10)/(9)=(30)/(36)=\dfrac56.

Kebalikan dari \frac cd adalah \frac dc, dan kebalikan bilangan bulat n adalah \frac1n. Nol tidak punya kebalikan, sehingga kamu tidak dapat membagi dengan 0, dan membagi dengan pecahan \frac03 sama terlarangnya.

Tanda mengikuti bilangan bulat: tanda sama memberi jawaban positif, tanda berbeda negatif, sehingga \left(-\frac12\right)·\left(-\frac23\right)=\frac13. Eksponen negatif juga kebalikan, sebab 2^-3=\frac18, seperti ditunjukkan bagian tentang eksponen nol, negatif, dan pecahan.

Coba kalkulator di atas dengan dua operasi lainnya.

Bagaimana mengubah bilangan campuran dan pecahan tak wajar?

Untuk mengubah pecahan tak wajar menjadi bilangan campuran, bagi pembilang dengan penyebut: hasil bagi adalah bagian bulat dan sisanya adalah pembilang baru di atas penyebut yang sama; untuk kembali, kalikan bagian bulat dengan penyebut lalu tambahkan pembilang. Satu-satunya alat adalah pembagian bersisa, yang sama dengan yang dipakai pada artikel bilangan bulat.

Pada -3\frac12 tanda minus berlaku untuk seluruh bilangan: artinya -\left(3+\frac12\right)=-3,5, bukan -3+\frac12. Bilangan campuran baik untuk membaca suatu besaran, seperti 2\frac12 cangkir, tetapi pecahan tak wajar lebih mudah dihitung, sehingga ubah dulu sebelum mengalikan atau membagi.

Bagaimana pecahan menjadi desimal dan persen?

Untuk mengubah pecahan menjadi desimal, bagi pembilang dengan penyebut; desimalnya berakhir tepat bila penyebut, dalam bentuk paling sederhana, tidak punya faktor prima selain 2 dan 5, dan jika tidak ia akhirnya berulang secara periodik. Sepuluh adalah 2·5, sehingga hanya penyebut yang tersusun dari 2 dan 5 yang muat dalam pangkat sepuluh.

Dua bilangan menggambarkan pengulangan itu. Banyak angka sebelum pengulangan adalah \max(x,y) bila penyebutnya 2^x·5^y· q dengan q saling prima dengan 10 (itulah sebabnya \frac512 punya 2). Panjang blok sama dengan banyaknya faktor 10 yang diperlukan agar sisa menjadi 1 modulo q: 1 untuk \frac13, 6 untuk \frac17 dan \frac113, 16 untuk \frac117, 96 untuk \frac197. Pengulangan selalu terjadi karena pembagian bersusun punya kurang dari q kemungkinan sisa, sehingga ada yang harus kembali. Buktinya, dan cara mengubah desimal berulang kembali menjadi pecahan, ada pada bagian bilangan rasional di artikel bilangan real; pengubahan yang sama adalah jumlah deret geometri.

Persen berarti "per seratus": p\%=(p)/(100). Untuk mengubah pecahan, bagi untuk mendapat desimal lalu geser koma dua tempat: \frac38=0,375=37,5\%. Untuk kembali, 25\%=(25)/(100)=\frac14.

Persentase berlaku pada suatu dasar. Jaket Rp200.000 yang didiskon 15% berharga 85% dari 200.000, yaitu 0,85·200000=170000 rupiah, atau Rp170.000. Kenaikan 20% yang diikuti penurunan 20% tidak kembali ke awal, karena persentase kedua dihitung dari bilangan yang lebih besar: 100→120→96.

Ketik pecahan apa pun di bawah untuk melihat desimalnya dan mengapa tampak demikian. Aturan yang sama berlaku pada basis lain: dalam basis 2 hanya penyebut berupa pangkat 2 yang berakhir, seperti ditunjukkan artikel bilangan biner.

Bagaimana perbandingan dan proporsi memakai bilangan rasional?

Rasio a:b membandingkan dua besaran dan merupakan pecahan \frac ab; proporsi menyatakan dua rasio sama, \frac ab=\frac cd, dan diselesaikan dengan perkalian silang: ad=bc. Soal yang menskalakan resep, mengubah jarak peta, atau menghargai suatu jumlah semuanya adalah proporsi.

Dua kebiasaan mencegah sebagian besar kesalahan. Jaga besaran yang sama pada tingkat yang sama di setiap pecahan, tepung di atas kue di kedua ruas. Dan periksa apakah jawabannya masuk akal: 20 kue memerlukan lebih banyak tepung daripada 12 kue, sehingga 5 cangkir masuk akal tetapi 2 cangkir tidak. Laju satuan adalah rasio per satu: Rp70.000 untuk 5 kg adalah Rp14.000 per kilogram, dan setiap jumlah adalah laju satuan dikali banyaknya.

Bagaimana mengolah pecahan di Python dan JavaScript?

Python punya tipe pecahan eksak, fractions.Fraction, yang menyimpan pembilang dan penyebut sebagai bilangan bulat; JavaScript tidak punya, dan /-nya selalu menghasilkan bilangan floating point biner. Float hanya menyimpan nilai biner terdekat, sehingga \frac13 dan bahkan \frac110 tidak dapat disimpan dengan tepat: lihat bagian floating point pada artikel bilangan real.

>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(6, 8)                    # reduced automatically
Fraction(3, 4)
>>> Fraction(1, 3) + Fraction(1, 6)
Fraction(1, 2)
>>> Fraction(3, 4) / Fraction(9, 10)
Fraction(5, 6)
>>> Fraction(-7, 2).numerator, Fraction(-7, 2).denominator
(-7, 2)
>>> float(Fraction(1, 3))
0.3333333333333333
>>> 0.1 + 0.2 == 0.3
False
>>> Fraction(1, 10) + Fraction(2, 10) == Fraction(3, 10)
True
>>> Fraction(0.1)                     # the float 0.1 is not one tenth
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> Fraction('0.1')                   # the text 0.1 is
Fraction(1, 10)
>>> Fraction(1, 0)
ZeroDivisionError: Fraction(1, 0)

0.1 + 0.2                  // 0.30000000000000004
3 / 4                      // 0.75: JavaScript has no integer division

const gcd = (a, b) => (b === 0n ? (a < 0n ? -a : a) : gcd(b, a % b))
const frac = (n, d) => {
  const g = gcd(n, d)
  return d < 0n ? [-n / g, -d / g] : [n / g, d / g]
}
const add = ([a, b], [c, d]) => frac(a * d + c * b, b * d)

add(frac(1n, 3n), frac(1n, 6n))   // [1n, 2n]

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? (a < 0 ? -a : a) : gcd(b, a % b); }

void show(int n, int d) {                                  // a fraction in lowest terms
  if (d == 0) { cout << "undefined: the denominator is 0" << endl; return; }
  if (d < 0) { n = -n; d = -d; }
  int g = gcd(n, d);
  cout << n / g << "/" << d / g << endl;
}

int main() {
  show(6, 8);                                              // 3/4: reduced
  show(1 * 6 + 1 * 3, 3 * 6);                              // 1/3 + 1/6 = 1/2
  show(3 * 10, 4 * 9);                                     // (3/4) / (9/10) = 5/6
  show(-7, 2);
  show(1, 0);
  printf("%.16f\n", 1.0 / 3);                              // float(1/3)
  cout << (0.1 + 0.2 == 0.3) << endl;                      // 0: the floats are not equal
  cout << (1 * 10 + 2 * 10 == 3 * 10) << endl;             // 1: with whole numbers (tenths) they are
  printf("%.20f\n", 0.1);                                  // the float 0.1 is not one tenth
  return 0;
}

/* output:
3/4
1/2
5/6
-7/2
undefined: the denominator is 0
0.3333333333333333
0
1
0.10000000000000000555
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Pakai Fraction bila kamu memerlukan jawaban eksak dari masukan eksak, dan float bila kecepatan penting dan galat pembulatan kecil tidak berbahaya.

Dari mana asal pecahan?

Pecahan termasuk matematika tertua: orang Mesir memakainya sekitar 1550 SM, dan cara kita menuliskannya terbentuk selama sekitar tiga ribu tahun.

• Mesir. Papirus Rhind menulis hampir setiap pecahan sebagai jumlah pecahan satuan yang berbeda (pembilang 1): \frac25=\frac13+\frac115. Hanya beberapa, seperti \frac23, yang punya lambang sendiri.
• India dan dunia Arab. Pecahan ditulis dengan satu bilangan di atas yang lain. Matematikawan Arab menambahkan garis pembagi.
• Eropa. Liber Abaci karya Fibonacci (1202) memakai garis pecahan dan ikut menyebarkan angka Hindu-Arab di Eropa.
• Desimal. De Thiende karya Simon Stevin (1585) menganjurkan menulis pecahan dalam persepuluhan, perseratusan, dan perseribuan, yaitu notasi desimal yang kita pakai.

Kini bilangan yang sama tampil sebagai pecahan dalam resep, sebagai desimal pada kalkulator, sebagai persen di toko, dan sebagai rasio pada peta: satu gagasan dengan empat wajah.

Apa kesalahan umum pada pecahan?

Kesalahan paling umum pada pecahan adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: bilangan rasional sekilas

• Rasional: \frac pq dengan bilangan bulat p,q dan q≠0; setiap bilangan bulat rasional; satu bilangan punya banyak pecahan, satu di antaranya paling sederhana.
• Pecahan sama: \frac ab=\frac cd\iff ad=bc; bagi pembilang dan penyebut dengan FPB untuk menyederhanakan; coret faktor, jangan suku.
• Membandingkan: kalikan silang; penyebut lebih besar membuat potongan lebih kecil; di antara dua bilangan rasional terdapat rata-ratanya.
• Menjumlah dan mengurang: penyebut sama (KPK), lalu gabungkan pembilang; jangan menjumlahkan penyebut.
• Mengalikan dan membagi: pembilang kali pembilang, penyebut kali penyebut; bagi dengan membalik pecahan kedua; nol tidak punya kebalikan.
• Bilangan campuran: bagi dengan sisa untuk mengubah; -3\frac12=-\left(3+\frac12\right).
• Desimal: pecahan paling sederhana berakhir tepat bila penyebut hanya berisi 2 dan 5; jika tidak ia akhirnya berulang secara periodik; p\%=\frac p100.
• Kode: pakai Fraction untuk ketepatan di Python; float tidak dapat menyimpan \frac110.

Glosarium: istilah penting

Bilangan rasional

Bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan dari dua bilangan bulat dengan penyebut bukan nol, seperti 3 per 4 atau minus 7 per 2.

Pecahan

Cara menulis bilangan sebagai pembilang di atas penyebut, yang menyatakan berapa bagian yang sama diambil dari berapa bagian.

Pembilang

Bilangan atas sebuah pecahan, yang menyatakan berapa bagian yang diambil.

Penyebut

Bilangan bawah sebuah pecahan, yang menyatakan keseluruhan dipotong menjadi berapa bagian sama dan tidak boleh nol.

Pecahan senilai

Pecahan berbeda yang menamai bilangan sama, seperti 1 per 2 dan 2 per 4, diperoleh dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Bentuk paling sederhana

Pecahan yang pembilang dan penyebutnya tidak punya faktor sama selain 1, diperoleh dengan membagi keduanya dengan faktor persekutuan terbesarnya.

Pecahan wajar dan tak wajar

Pecahan wajar ukurannya kurang dari 1, seperti 3 per 4; pecahan tak wajar ukurannya 1 atau lebih, seperti 17 per 5.

Bilangan campuran

Bilangan bulat bersama pecahan wajar, seperti 3 dan 2 per 5, yang berarti 3 ditambah 2 per 5.

Kebalikan

Pecahan yang dibalik; bilangan dikali kebalikannya sama dengan 1, dan nol tidak punya kebalikan.

Penyebut sama

Penyebut yang menjadi dasar penulisan ulang dua pecahan agar dapat dijumlahkan atau dibandingkan; kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya adalah pilihan terkecil.

Desimal berakhir

Ekspansi desimal dengan angka yang berhingga banyaknya, seperti 0,375; pecahan paling sederhana memilikinya tepat bila penyebutnya hanya berfaktor prima 2 dan 5.

Desimal berulang

Ekspansi desimal yang akhirnya berulang secara periodik: mulai dari suatu angka, sebuah blok angka berulang tanpa akhir, seperti 0,333 dan seterusnya untuk 1 per 3.

Persen

Pecahan berpenyebut 100, sehingga 25 persen berarti 25 per 100, yaitu 1 per 4.

Rasio (perbandingan)

Perbandingan dua besaran yang ditulis a banding b atau sebagai pecahan a per b.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.). Cengage Learning.
2. Arnold Buffum Chace (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Mathematical Association of America.
3. Laurence Sigler (2002). Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. Springer.
4. Simon Stevin (1585). De Thiende (The Art of Tenths).
5. Florian Cajori (1928). A History of Mathematical Notations. Open Court Publishing Company.
6. Python Software Foundation. The Python Standard Library: fractions, rational numbers. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/fractions.html.

Artikel terkait

• Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya: Pengertian bilangan real, jenis (rasional dan irasional), contoh, sifat, dan garis bilangan, lengkap dengan latihan interaktif, pembuktian, dan FAQ.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.
• Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK: Bilangan bulat: garis bilangan, operasi pada bilangan negatif, aturan habis dibagi, bilangan prima, FPB dan KPK, serta sisa pembagian, lengkap dengan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.