Turunan sebagai Laju Perubahan

Bagaimana mengukur seberapa cepat satu besaran berubah terhadap besaran lain?

Kamu menurunkan besaran pertama terhadap besaran kedua, dan membacanya dalam satuan yang pertama per satuan yang kedua. Jika y bergantung pada x, hasil bagi selisih (\Delta y)/(\Delta x) adalah laju perubahan rata-rata pada suatu langkah, dan limitnya (dy)/(dx) adalah laju perubahan sesaat. Kata "sesaat" dipakai juga bila x bukan waktu, dan sering dihilangkan: "laju perubahan" berarti yang sesaat. Ini limit yang sama dengan turunan di suatu titik, kini dibaca sebagai laju.

Satuannya muncul dari hasil bagi. Jika luas A lingkaran diukur dalam meter persegi dan diameternya D dalam meter, maka (dA)/(dD) dalam meter persegi per meter. Untuk A=(π D^2)/(4), (dA)/(dD)=(π D)/(2), sehingga saat D=10 m luasnya bertambah 5π≈15,71 meter persegi untuk setiap tambahan satu meter diameter.

Laju bergantung pada peubah yang kamu pilih. Lingkaran yang sama diukur dengan jari-jarinya memiliki A=π r^2 dan (dA)/(dr)=2π r. Pada D=2r itu dua kali lebih besar daripada (dA)/(dD), karena diameter bertambah dua kali lebih cepat daripada jari-jari. Seperti kilometer per jam terhadap meter per detik, laju selalu milik sepasang satuan.

Laju yang ternyata geometri. Untuk lingkaran, (dA)/(dr)=2π r adalah kelilingnya; untuk bola, (dV)/(dr)=4π r^2 adalah luas permukaannya; untuk kubus, (dV)/(da)=3a^2 adalah luas tiga sisinya. Alasannya sama pada tiap kasus: bangun yang sedikit lebih besar adalah bangun lama ditambah selapis tipis, dan volume lapisan itu adalah luasnya kali tebalnya.

Menaksir perubahan. Karena \Delta y≈(dy)/(dx) \Delta x untuk langkah kecil, laju memberi taksiran cepat. Jari-jari bola bertambah dari 2 m ke 2,2 m: laju volume di r=2 adalah 4π·4≈50,27 meter kubik per meter, sehingga \Delta V≈50,27·0,2≈10,05 meter kubik. Perubahan eksaknya \frac43π\left(2,2^3-2^3\right)≈11,09, sekitar 10\% lebih besar: taksiran memakai gradien di awal langkah, dan permukaannya membesar bersama bola. Langkah yang lebih kecil memperkecil galatnya.

Pilih sebuah bangun di bawah dan bandingkan pertambahan eksak dengan lajunya.

Bagaimana kecepatan, laju, dan percepatan berasal dari turunan?

Untuk benda yang bergerak sepanjang garis lurus dengan posisi s(t), kecepatan adalah turunan posisi, percepatan adalah turunan kecepatan, dan sentakan adalah turunan percepatan: v=(ds)/(dt), a=(dv)/(dt)=(d^2s)/(dt^2), dan j=(da)/(dt)=(d^3s)/(dt^3). Garisnya biasanya mendatar atau tegak, dan s adalah koordinat pada garis itu.

• Perpindahan dan kecepatan rata-rata. Dari t sampai t+\Delta t perpindahannya \Delta s=s(t+\Delta t)-s(t) dan kecepatan rata-ratanya (\Delta s)/(\Delta t).
• Kecepatan adalah limit kecepatan rata-rata saat \Delta t→0. Tandanya adalah arah: positif bila s bertambah (maju, atau naik pada garis tegak), negatif bila s berkurang.
• Laju adalah nilai mutlak |v|, kemajuan tanpa arah. Mobil yang dikendarai ke rumah teman dan kembali dengan 50 km/jam memiliki spidometer yang menunjukkan 50 pada kedua arah, padahal kecepatannya +50 lalu -50.
• Percepatan menyatakan seberapa cepat kecepatan berubah: ia turunan kedua posisi. Satuannya satuan kecepatan per satuan waktu, seperti m/s^2.
• Sentakan adalah laju perubahan percepatan. Perjalanan terasa tersentak-sentak bila percepatan berubah mendadak, belum tentu bila ia besar.

Grafik s terhadap t bukan lintasan benda: lintasannya terletak pada garis, dan grafik memperlihatkan di mana benda itu kapan. Gradiennya adalah kecepatan.

Makin cepat atau makin lambat. Benda makin cepat bila kecepatan dan percepatan bertanda sama (ia menambah laju searah geraknya) dan makin lambat bila bertanda berlawanan. Percepatan saja belum menentukan: a<0 dengan v<0 adalah benda yang bergerak mundur dan makin cepat.

Contoh. Ambil s=t^3-6t^2+9t meter untuk 0\le t\le4 detik. Maka v=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3) dan a=6t-12. Kecepatan nol di t=1 dan t=3, tempat benda berbalik arah: s(1)=4 dan s(3)=0. Tabel geraknya:

• 0<t<1: v>0, a<0, maju dan makin lambat;
• 1<t<2: v<0, a<0, mundur dan makin cepat;
• 2<t<3: v<0, a>0, mundur dan makin lambat;
• 3<t<4: v>0, a>0, maju dan makin cepat.

Perpindahan pada [0,4] adalah s(4)-s(0)=4 m dan kecepatan rata-ratanya 1 m/s, tetapi benda sebenarnya menempuh 4+4+4=12 m, karena jarak dijumlahkan bagian demi bagian di antara putaran balik. Di t=2, tempat a=0, lajunya |v(2)|=3 m/s.

Ketik fungsi posisimu sendiri di bawah: alat itu menemukan putaran balik secara eksak (bahkan bila bukan pecahan), mengklasifikasi setiap selang, dan menjumlahkan jaraknya.

Bagaimana menganalisis jatuh bebas dan benda yang dilempar?

Di dekat permukaan Bumi setiap benda jatuh memiliki percepatan tetap yang sama g≈9,8 m/s^2, sehingga jarak jatuhnya dari keadaan diam adalah s=\frac12gt^2=4,9t^2 meter, kecepatannya v=9,8t, dan percepatannya tetap 9,8. Rumus ini berasal dari percobaan Galileo dan berlaku dalam ruang hampa; ia memodelkan benda padat dan berat dengan baik selama beberapa detik pertama, sebelum hambatan udara berarti.

Bola baja yang dijatuhkan. Dalam 3 detik pertama ia jatuh s(3)=4,9·9=44,1 m. Kecepatannya saat itu v(3)=9,8·3=29,4 m/s ke bawah, lajunya 29,4 m/s, dan percepatannya 9,8 m/s^2. Karena percepatannya tetap, sentakannya (d)/(dt)(9,8)=0: tidak ada yang tersentak-sentak pada jatuh bebas.

Batu yang dilempar lurus ke atas. Sebuah ledakan melontarkan batu ke atas dengan laju awal 49 m/s, sehingga tingginya s=49t-4,9t^2 meter, diukur ke atas, dan v=49-9,8t.

• Seberapa tinggi ia naik? Di puncak kecepatannya 0: 49-9,8t=0 memberi t=5 detik dan s(5)=245-122,5=122,5 m.
• Lajunya di 78,4 m, saat naik dan saat turun. Menyelesaikan 49t-4,9t^2=78,4 memberi 4,9(t^2-10t+16)=0, yang difaktorkan menjadi (t-2)(t-8)=0: batu berada di 78,4 m setelah 2 detik saat naik dan setelah 8 detik saat turun. Kecepatannya v(2)=29,4 dan v(8)=-29,4 m/s: laju yang sama, dengan arah berlawanan.
• Percepatannya. a=(d)/(dt)(49-9,8t)=-9,8 m/s^2 sepanjang waktu, naik dan turun: gravitasi menarik ke bawah, sehingga batu melambat saat naik dan makin cepat saat turun. Di puncak kecepatannya nol dan percepatannya tetap -9,8.
• Kapan ia mendarat? s=49t-4,9t^2=4,9 t (10-t)=0 memberi t=0 (ledakan) dan t=10 detik. Kecepatannya saat mendarat v(10)=-49 m/s: ia kembali dengan laju yang sama dengan saat berangkat.

Cerita yang sama untuk laju awal v_0 mana pun. Dari s=v_0t-\frac12gt^2 puncaknya di t=(v_0)/(g), tingginya (v_0^2)/(2g), pendaratannya di t=(2v_0)/(g) (dua kali lebih lama daripada naiknya) dan kecepatan mendaratnya -v_0. Dengan v_0=49 dan g=9,8 nilainya 5 detik, \frac240119,6=122,5 m, dan 10 detik.

Grafik s terhadap t adalah parabola, tetapi batu bergerak sepanjang garis tegak: parabola itu menunjukkan tinggi terhadap waktu, dan gradiennya di tiap saat adalah kecepatan. Alat pada bagian sebelumnya menangani semua ini: coba prasetel 49t - 4.9t^2 pada 0\le t\le10.

Apa itu biaya, pendapatan, dan laba marjinal?

Dalam ekonomi besaran marjinal adalah turunan: biaya marjinal adalah laju perubahan biaya c(x) terhadap banyak satuan x, (dc)/(dx), dan ia menaksir berapa biaya satu satuan lagi. Biaya rata-rata h satuan berikutnya adalah (c(x+h)-c(x))/(h); limitnya saat h→0 adalah biaya marjinal. Secara longgar, biaya marjinal didefinisikan sebagai tambahan biaya satu satuan lagi, c(x+1)-c(x), yang dihampiri oleh c'(x) bila gradien c tidak berubah cepat di dekat x. Hampiran itu sering bekerja baik untuk x besar.

Biaya tetap dan biaya variabel. Fungsi biaya total sering berupa polinomial kubik c(x)=α x^3+β x^2+\gamma x+\delta. Konstanta \delta adalah biaya tetap (sewa, peralatan, manajemen) yang tidak bergantung pada x; suku lainnya adalah biaya variabel (bahan, tenaga kerja). Kubik biasanya cukup untuk menangkap perilaku biaya pada rentang yang realistis.

Contoh. Misalkan biaya membuat x radiator sehari adalah c(x)=x^3-6x^2+15x ribu rupiah, dan pendapatan dari menjualnya r(x)=x^3-3x^2+12x ribu rupiah. Toko membuat 10 sehari. Berapa biaya radiator kesebelas, dan berapa yang dihasilkannya?

• Biaya marjinal: c'(x)=3x^2-12x+15, sehingga c'(10)=300-120+15=195 ribu rupiah.
• Pendapatan marjinal: r'(x)=3x^2-6x+12, sehingga r'(10)=300-60+12=252 ribu rupiah.
• Taksiran laba dari radiator tambahan itu: 252-195=57 ribu rupiah.

Angka eksaknya c(11)-c(10)=770-550=220 ribu rupiah dan r(11)-r(10)=1100-820=280 ribu rupiah, laba 60. Taksiran 195, 252, dan 57 dekat tetapi tidak sama, karena gradien biaya dan pendapatan naik seiring produksi: turunan adalah laju di x=10, dan satu satuan penuh adalah langkah yang besar. Langkah yang lebih kecil akan lebih cocok.

Laba marjinal. Laba adalah pendapatan dikurangi biaya, p=r-c, sehingga laba marjinal adalah r'-c'. Ia nol di tempat pendapatan marjinal sama dengan biaya marjinal, tempat memproduksi sedikit lebih banyak atau lebih sedikit mengubah laba hampir tidak sama sekali. Mencari tingkat produksi terbaik di antara tempat-tempat seperti itu adalah soal optimasi, yang dibahas kemudian.

Tarif pajak marjinal. Laju marjinal muncul juga pada pajak. Jika tarif pajak penghasilan marjinalmu 28\% dan penghasilanmu naik Rp1.000.000, kamu membayar sekitar Rp280.000 lebih banyak. Itu tidak berarti kamu membayar 28\% dari seluruh penghasilan: artinya (dT)/(dI)=0,28, pajak atas setiap rupiah tambahan. Saat penghasilan naik kamu mungkin masuk lapisan yang lebih tinggi, dan tarif marjinalnya naik.

Ketik biaya dan pendapatan apa pun di bawah dan bandingkan setiap nilai marjinal dengan perubahan eksak satu satuan.

Bagaimana turunan mengukur kepekaan terhadap perubahan?

Fungsi peka terhadap masukannya di tempat perubahan kecil pada x menghasilkan perubahan besar pada f(x), dan turunan f'(x) mengukur tepat itu: makin besar |f'(x)|, makin peka f di x. Pada grafik itu adalah kecuraman garis singgung.

Kacang polong dan gen. Gregor Mendel menemukan bahwa jika p (di antara 0 dan 1) adalah frekuensi gen kulit halus pada kacang polong dan 1-p frekuensi gen kulit keriput, maka proporsi kacang halus pada generasi berikutnya adalah y=2p(1-p)+p^2=2p-p^2. Turunannya (dy)/(dp)=2-2p, dekat 2 untuk p dekat 0 dan dekat 0 untuk p dekat 1. Jadi hasilnya jauh lebih peka terhadap p ketika p kecil: menambahkan beberapa gen kulit halus ke populasi yang kebanyakan keriput berpengaruh jauh lebih besar pada generasi berikutnya daripada menambahkan jumlah yang sama ke populasi yang sudah kebanyakan halus.

Jarak pengereman. Sebuah model jarak henti total mobil pada kecepatan V km/jam adalah s=0,21V+0,0063V^2 meter: bagian linear adalah jarak yang ditempuh selagi pengemudi bereaksi, bagian kuadrat adalah jarak pengereman. Turunannya (ds)/(dV)=0,21+0,0126V, yaitu 0,84 meter per km/jam pada 50 km/jam dan 1,47 meter per km/jam pada 100 km/jam. Jarak henti jauh lebih peka terhadap kecepatan ketika kamu sudah melaju cepat: dari 50 ke 100 km/jam kecepatan menjadi dua kali, tetapi jarak henti naik dari 26,25 m menjadi 84 m, lebih dari tiga kali.

Cara membaca kepekaan. Turunan adalah laju mutlak (satuan f per satuan x), sehingga ia ukuran yang tepat bila satuannya bermakna bagimu: meter jarak untuk setiap km/jam. Grafik f' di samping grafik f, seperti pada menggambar grafik turunan, memperlihatkan sekilas di mana f paling dan paling kurang peka.

Bagaimana mencari laju perubahan dari data dalam kode?

Bila yang kamu miliki pengukuran dan bukan rumus, turunan adalah hasil bagi selisih dari data: pakai numpy.gradient pada posisi untuk mendapat kecepatan, dan sekali lagi pada kecepatan untuk mendapat percepatan. Fungsi itu memakai selisih terpusat di bagian dalam data dan selisih sepihak di kedua ujung. Untuk kuadrat seperti jatuh bebas selisih terpusat eksak, sehingga kecepatan di bagian dalam tepat 9,8t dan percepatannya 9,8, sedangkan kedua nilai ujung meleset, karena selisih sepihak hanya akurat orde pertama.

import numpy as np

t = np.linspace(0, 3, 7)               # a reading every half second
s = 4.9 * t**2                         # distance fallen, in meters
v = np.gradient(s, t)                  # velocity
a = np.gradient(v, t)                  # acceleration
print(np.round(v, 2))                  # [ 2.45  4.9   9.8  14.7  19.6  24.5  26.95]
print(np.round(9.8 * t, 2))            # [ 0.    4.9   9.8  14.7  19.6  24.5  29.4 ]   (the exact velocities)
print(np.round(a, 2))                  # [4.9  7.35 9.8  9.8  9.8  7.35 4.9 ]            (the exact value is 9.8)

c = lambda x: x**3 - 6*x**2 + 15*x     # the radiators' cost
print(c(11) - c(10), 3*10**2 - 12*10 + 15)   # 220 195: the next unit against the marginal cost

Menurunkan data membuat derau makin keras. Pengukuran nyata memiliki galat, dan turunan membagi selisih dua bacaan berdekatan dengan langkah waktu yang kecil, sehingga galat posisi yang kecil menjadi galat kecepatan yang lebih besar, dan menurunkan lagi membuatnya jauh lebih besar. Percobaan di bawah menambahkan derau acak sekitar 0,01 m (satu sentimeter) pada 301 bacaan posisi jatuh yang sama, berjarak 0,01 detik. Kecepatan dari bacaan itu meleset sekitar 0,7 m/s, dan percepatannya sekitar 60 m/s², yaitu enam kali nilai sebenarnya. Untuk mendapat laju yang berguna dari data berderau, haluskan datanya lebih dulu, cocokkan model seperti s=\frac12gt^2 padanya, atau pakai bacaan yang berjarak lebih jauh.

rng = np.random.default_rng(0)
t = np.linspace(0, 3, 301)                           # a reading every 0.01 s
s = 4.9 * t**2 + rng.normal(0, 0.01, t.size)         # the same fall, with 1 cm of noise
v = np.gradient(s, t)
a = np.gradient(v, t)
print(round(float(np.std(s - 4.9*t**2)), 4))              # 0.0102   position error, in m
print(round(float(np.std(v[2:-2] - 9.8*t[2:-2])), 3))     # 0.716    velocity error, in m/s
print(round(float(np.std(a[4:-4] - 9.8)), 1))             # 62.7     acceleration error, in m/s^2

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
  double t[7], s[7], v[7], a[7];                       // a reading every half second
  for (int i = 0; i < 7; i++) { t[i] = 0.5 * i; s[i] = 4.9 * t[i] * t[i]; }   // distance fallen, in meters
  v[0] = (s[1] - s[0]) / 0.5;                          // velocity: one-sided at the ends, central inside
  v[6] = (s[6] - s[5]) / 0.5;
  for (int i = 1; i < 6; i++) v[i] = (s[i + 1] - s[i - 1]) / 1.0;
  a[0] = (v[1] - v[0]) / 0.5;                          // acceleration: the same, applied to the velocity
  a[6] = (v[6] - v[5]) / 0.5;
  for (int i = 1; i < 6; i++) a[i] = (v[i + 1] - v[i - 1]) / 1.0;
  for (int i = 0; i < 7; i++) printf("%6.2f", v[i]);   // 2.45 4.9 9.8 14.7 19.6 24.5 26.95
  cout << endl;
  for (int i = 0; i < 7; i++) printf("%6.2f", 9.8 * t[i]);   // the exact velocities
  cout << endl;
  for (int i = 0; i < 7; i++) printf("%6.2f", a[i]);   // the exact acceleration is 9.8
  cout << endl;

  cout << (11 * 11 * 11 - 6 * 11 * 11 + 15 * 11) - (10 * 10 * 10 - 6 * 10 * 10 + 15 * 10) << " "
       << 3 * 10 * 10 - 12 * 10 + 15 << endl;          // 220 195: the next unit against the marginal cost

  // noise grows with every derivative: readings every 0.01 s, each off by 0, +0.01 or -0.01 m
  double noise[3] = {0.01, -0.01, 0};
  double e[40], ve[40], ae[40], h = 0.01;
  for (int i = 0; i < 40; i++) e[i] = noise[i % 3];
  for (int i = 1; i < 39; i++) ve[i] = (e[i + 1] - e[i - 1]) / (2 * h);
  double maxS = 0, maxV = 0, maxA = 0;
  for (int i = 0; i < 40; i++) if (e[i] > maxS) maxS = e[i];
  for (int i = 2; i < 38; i++) {
    ae[i] = (ve[i + 1] - ve[i - 1]) / (2 * h);
    if (ve[i] > maxV) maxV = ve[i];
    if (ae[i] > maxA) maxA = ae[i];
  }
  printf("%.2f %.1f %.1f\n", maxS, maxV, maxA);          // the error in m, in m/s and in m/s^2
  return 0;
}

/* output:
  2.45  4.90  9.80 14.70 19.60 24.50 26.95
  0.00  4.90  9.80 14.70 19.60 24.50 29.40
  4.90  7.35  9.80  9.80  9.80  7.35  4.90
220 195
0.01 1.0 75.0
*/

Siapa yang pertama mengukur laju sesaat dan perubahan marjinal?

Laju pada satu saat adalah teka-teki selama dua ribu tahun sebelum kalkulus memberinya definisi, dan "margin" para ekonom tiba dua abad sesudahnya.

• Galileo. Dalam Discourses on Two New Sciences (1638) Galileo menunjukkan bahwa benda yang jatuh dari keadaan diam menempuh jarak sebanding dengan kuadrat waktu, s\propto t^2, yaitu hukum s=\frac12gt^2 yang dipakai di sini. Ia menemukannya dengan menggelindingkan bola pada papan miring, yang memperlambat geraknya cukup untuk diukur waktunya.
• Para Kalkulator Oxford. Para sarjana di Merton College, Oxford, pada 1330-an membedakan gerak beraturan dari gerak tak beraturan dan mendefinisikan "kecepatan sesaat" dengan kata-kata; teorema kecepatan rata-rata mereka digambarkan sebagai grafik laju terhadap waktu oleh Nicole Oresme sekitar 1350, berabad-abad sebelum turunan.
• Newton. Pada 1660-an Isaac Newton memperlakukan kecepatan sebagai fluksi posisi, laju perubahan besaran yang mengalir, dan percepatan sebagai fluksi kecepatan: turunan ditemukan, sebagian, untuk membicarakan gerak.
• Ekonomi marjinal. Augustin Cournot memakai turunan dalam bukunya tahun 1838 tentang teori matematika kekayaan untuk mencari keluaran yang memaksimalkan laba perusahaan. Kata "marjinal" dalam ekonomi berasal dari Friedrich von Wieser (1884), dan "revolusi marjinal" pada 1870-an menjadikannya pusat.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada laju perubahan?

Kesalahan paling umum pada laju perubahan adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: turunan sebagai laju perubahan sekilas

• Laju perubahan: (dy)/(dx)=\lim(\Delta y)/(\Delta x) dalam satuan y per satuan x; ia bergantung pada peubah yang dipilih; \Delta y≈(dy)/(dx)\Delta x untuk langkah kecil.
• Gerak: v=(ds)/(dt) (tanda = arah), laju =|v|, a=(d^2s)/(dt^2), j=(da)/(dt); makin cepat bila v dan a bertanda sama; jarak menjumlahkan |\Delta s| di antara putaran balik, perpindahan adalah s(t_1)-s(t_0).
• Jatuh bebas: s=4,9t^2, v=9,8t, a=9,8, j=0; dilempar ke atas dengan v_0: puncak di (v_0)/(g), tinggi (v_0^2)/(2g), mendarat di (2v_0)/(g) dengan kecepatan -v_0.
• Marjinal: biaya marjinal c'(x)≈ c(x+1)-c(x), pendapatan marjinal r', laba marjinal r'-c'; tarif pajak marjinal adalah pajak atas satuan penghasilan berikutnya.
• Kepekaan: |f'| yang besar berarti perubahan kecil pada x membuat perubahan besar pada f (kacang polong Mendel, jarak pengereman).
• Data dan kode: numpy.gradient untuk kecepatan dan percepatan dari bacaan; setiap turunan memperbesar derau.

Glosarium: istilah penting

Kecepatan

Turunan posisi terhadap waktu; besarnya adalah laju dan tandanya adalah arah gerak sepanjang garis.

Laju

Nilai mutlak kecepatan, kemajuan tanpa memandang arah, yang tidak pernah negatif.

Percepatan

Turunan kecepatan terhadap waktu, yang juga turunan kedua posisi; ia mengukur seberapa cepat benda menambah atau kehilangan kecepatan.

Sentakan

Turunan percepatan terhadap waktu, yaitu turunan ketiga posisi; perjalanan tersentak-sentak bila percepatan berubah mendadak.

Perpindahan

Perubahan posisi dari awal sampai akhir selang waktu, diperoleh dengan mengurangkan posisi awal dari posisi akhir; ia dapat lebih kecil daripada jarak yang ditempuh.

Biaya marjinal

Turunan biaya produksi terhadap banyak satuan yang diproduksi, yang menghampiri biaya membuat satu satuan lagi.

Pendapatan marjinal

Turunan pendapatan terhadap banyak satuan yang terjual, yang menghampiri pendapatan tambahan dari menjual satu satuan lagi.

Kepekaan terhadap perubahan

Seberapa kuat suatu fungsi menanggapi perubahan kecil pada masukannya, diukur dengan besar turunannya: makin curam grafik, makin peka fungsi itu.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.4: The Derivative as a Rate of Change. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.7: Rates of Change in the Natural and Social Sciences. Cengage Learning.
3. Galileo Galilei (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Discourses on Two New Sciences). Elsevier, Leiden.
4. Augustin Cournot (1838). Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses. Hachette, Paris.
5. NumPy Developers. NumPy reference: numpy.gradient. numpy.org. https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.gradient.html.

Artikel terkait

• Turunan Fungsi Trigonometri: Turunan fungsi trigonometri dengan bukti: sin x dan cos x, lalu tan, cot, sec, dan csc, mengapa radian, gerak harmonik sederhana, turunan tingkat tinggi, dan kode.
• Aturan Turunan: Aturan turunan dengan bukti dan contoh: aturan konstanta, pangkat, kelipatan, jumlah, hasil kali, hasil bagi, turunan e^x, dan turunan tingkat tinggi.
• Linearisasi dan Diferensial: Linearisasi dan diferensial: hampiran garis singgung L(x) = f(a) + f′(a)(x − a), df = f′(x) dx, perkiraan, galat, dan perubahan persen, dengan contoh dan kode.
• Laju Terkait: Laju terkait: turunkan persamaan terhadap waktu untuk mencari laju yang dicari, dengan strategi empat langkah, enam contoh soal, tangga meluncur, dan kesalahan umum.