Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran

Apa itu bentuk aljabar?

Bentuk aljabar adalah frasa matematika yang tersusun dari bilangan, variabel (huruf yang mewakili bilangan), dan operasi seperti +, −, ×, ÷, serta pangkat. Contohnya 2x+3, a^2-2ab+b^2, dan (x+1)/(x). Bentuk aljabar adalah frasa, bukan kalimat: ia tidak punya tanda sama dengan dan tidak ada yang diselesaikan, tetapi ia punya nilai begitu huruf-hurufnya diberi nilai.

Bentuk aljabar tersusun dari suku, yaitu bagian-bagian yang dihubungkan oleh + atau −. Setiap suku punya koefisien (bilangan yang mengalikan huruf) dan bagian variabel (huruf beserta eksponennya). Suku tanpa huruf disebut konstanta.

Tiga kebiasaan membuatnya lebih mudah. Tanda di depan sebuah suku adalah milik suku itu, sehingga 3x^2-5x+7 memiliki suku 3x^2, -5x, dan 7. Huruf yang berdiri sendiri berkoefisien 1, sehingga x=1x. Dan derajat sebuah suku adalah jumlah eksponen hurufnya, sehingga 4xy berderajat 2; derajat bentuk aljabar adalah derajat terbesar di antara sukunya.

Namanya biasanya menurut banyak suku: monomial memiliki satu suku, binomial dua, dan trinomial tiga. Jumlah suku yang hurufnya berpangkat bilangan bulat disebut polinomial (suku banyak); derajatnya memberi nama: linear (1), kuadrat (2), atau kubik (3). Tidak semua bentuk aljabar adalah polinomial: \dfrac1x dan √x adalah bentuk aljabar tetapi bukan polinomial. Bentuk linear seperti 4n+1 juga adalah cara menulis suku ke-n sebuah barisan aritmetika.

Bentuk aljabar atau persamaan? Persamaan memiliki tanda sama dengan dan menyatakan dua bentuk aljabar sama, seperti 2x+3=11; persamaan diselesaikan. Bentuk aljabar seperti 2x+3 disederhanakan, dihitung nilainya, atau difaktorkan. Ketik bentuk aljabar apa pun di bawah untuk melihatnya diuraikan.

Bagaimana menggabungkan suku sejenis?

Suku sejenis memiliki bagian variabel yang persis sama, yaitu huruf yang sama dengan eksponen yang sama, dan kamu menggabungkannya dengan menjumlahkan koefisiennya dan mempertahankan bagian variabel: 3x+5x=8x. Hanya koefisiennya yang boleh berbeda.

Mengapa berlaku. Ini adalah sifat distributif yang dibaca terbalik: 3x+5x=(3+5)x=8x, sebab tiga buah sesuatu ditambah lima buah sesuatu yang sama adalah delapan buah. Itu pula sebabnya suku tak sejenis tidak dapat digabung: 3x+5x^2 adalah tiga buah satu benda dan lima buah benda lain, dan tidak ada benda bersama yang dapat dihitung.

Contoh: sederhanakan 5x^2+3x-2x^2+7x-4.

1. Kelompokkan suku sejenis: (5x^2-2x^2)+(3x+7x)-4.
2. Gabungkan tiap kelompok: 3x^2+10x-4.

Tidak ada lagi yang dapat digabung, sehingga 3x^2+10x-4 adalah bentuk paling sederhananya. Lazimnya suku ditulis dari derajat tertinggi ke terendah. Pakai alat di bawah untuk memeriksa bentuk aljabar apa pun yang kamu sederhanakan sendiri.

Bagaimana menghitung nilai bentuk aljabar?

Untuk menghitung nilai bentuk aljabar, ganti setiap huruf dengan nilainya, tulis tiap nilai di dalam kurung, lalu hitung dengan urutan operasi biasa: kurung, lalu pangkat, lalu × dan ÷, lalu + dan −. Kurunglah yang menjaga nilai negatif tetap aman, dan urutan operasi pada bilangan negatif punya jebakannya sendiri.

Hitung 2x^2-3x pada x=-3:

1. Substitusikan di dalam kurung: 2(-3)^2-3(-3).
2. Pangkat lebih dulu: 2·9-3(-3).
3. Kalikan: 18+9.
4. Jumlahkan: 27.

Kekeliruan klasik adalah melewatkan kurung: 2·-3^2 akan memberi -18, sebab pangkat hanya berlaku untuk angka 3. Kekeliruan kedua adalah ikut mengkuadratkan koefisien: pada 2x^2 hanya x yang dikuadratkan, sehingga pada x=-3 nilainya 2·9=18, bukan (2·(-3))^2=36.

Tabel nilai menghitung satu bentuk aljabar pada banyak masukan. Untuk 2x^2-3x:

Substitusi juga cara menguji. Dua bentuk aljabar ekuivalen bila nilainya sama untuk setiap masukan. Satu masukan yang memberi nilai berbeda membuktikan keduanya tidak ekuivalen: (x+3)^2 dan x^2+9 sama-sama bernilai 9 pada x=0, tetapi pada x=1 nilainya 16 dan 10. Kebalikannya tidak berlaku. Sama pada beberapa masukan tidak membuktikan apa-apa, sebab x^2 dan 2x sama pada x=0 maupun x=2 namun merupakan bentuk yang berbeda.

Bagaimana menjabarkan tanda kurung?

Untuk menjabarkan kurung, kalikan setiap suku di dalam dengan apa yang ada di luar, memakai sifat distributif a(b+c)=ab+ac; untuk dua kurung, kalikan setiap suku dari kurung pertama dengan setiap suku dari kurung kedua.

Untuk bilangan di luar: 3(x+2)=3x+6. Tanda minus di depan kurung mengalikan dengan −1 dan membalik setiap tanda di dalamnya: -(x-4)=-x+4.

Untuk dua binomial aturannya (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, empat hasil kali. Banyak kelas menyebutnya FOIL (first, outer, inner, last), yaitu empat hasil kali yang sama dalam urutan tertentu. Contoh:

(x+2)(x-3)=x· x+x·(-3)+2· x+2·(-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6.

Model luas menunjukkan alasannya. Persegi panjang dengan lebar a+b dan tinggi c+d berluas (a+b)(c+d), rumus persegi panjang dari luas segiempat. Potong menjadi empat bagian dan luasnya ac, bc, ad, dan bd; keempat bagian itu menyusun keseluruhannya, sehingga empat hasil kali itu berjumlah sama dengan hasil kali kedua jumlah. Geser penggesernya untuk melihatnya dengan bilangan.

Tiga hasil kali begitu sering muncul sehingga layak dikenali:

Pada selisih dua kuadrat, dua suku tengah -ab dan +ab saling meniadakan, itulah sebabnya tidak ada suku x yang tersisa. Kuadrat tidak pernah sekadar kuadrat dari bagian-bagiannya: (a+b)^2 adalah hasil kali dua kurung, (a+b)(a+b), dan suku silang ab muncul dua kali.

Bagaimana memfaktorkan bentuk aljabar?

Memfaktorkan bentuk aljabar berarti menuliskannya sebagai hasil kali, kebalikan dari menjabarkan: x^2-x-6 menjadi (x+2)(x-3). Kerjakan daftar periksa yang sama setiap kali, dengan urutan ini, dan periksa jawabannya dengan menjabarkannya kembali.

1. Keluarkan faktor persekutuan. 6x^2+9x=3x(2x+3), sebab 3 dan x membagi kedua suku. Lakukan ini lebih dulu, karena langkah-langkah sesudahnya jadi lebih kecil.
2. Dua suku: selisih dua kuadrat? a^2-b^2=(a-b)(a+b), sehingga x^2-25=(x-5)(x+5) dan 4x^2-9=(2x-3)(2x+3). Jumlah dua kuadrat seperti x^2+9 tidak dapat difaktorkan di bilangan real.
3. Tiga suku: kuadrat sempurna? a^2±2ab+b^2=(a± b)^2, sehingga x^2+6x+9=(x+3)^2. Ujinya, suku tengah sama dengan dua kali hasil kali akar kuadrat dari suku-suku di tepinya.
4. Tiga suku, koefisien depan 1. Untuk x^2+bx+c cari dua bilangan yang hasil kalinya c dan jumlahnya b: itulah bilangan dalam (x+p)(x+q). Untuk x^2-5x+6 bilangannya -2 dan -3 (hasil kali 6, jumlah −5), sehingga bentuknya (x-2)(x-3).
5. Tiga suku, koefisien depan bukan 1. Untuk ax^2+bx+c cari dua bilangan yang hasil kalinya ac dan jumlahnya b, pecah suku tengah dengan keduanya, lalu kelompokkan. Untuk 2x^2+7x+3 hasil kalinya 6 dan jumlahnya 7, sehingga bilangannya 1 dan 6:

2x^2+x+6x+3=x(2x+1)+3(2x+1)=(2x+1)(x+3).

Membaca tanda pada x^2+bx+c. Bila c positif, kedua bilangan bertanda sama, yaitu tanda b: x^2+7x+12=(x+3)(x+4) dan x^2-7x+12=(x-3)(x-4). Bila c negatif, tandanya berlawanan, dan yang lebih besar mengikuti tanda b: x^2+2x-15=(x+5)(x-3).

Tidak semuanya dapat difaktorkan. Sebuah bentuk terfaktor sepenuhnya bila tidak ada faktor yang dapat dipecah lagi. Trinomial x^2+x+1 sama sekali tidak punya faktor bilangan bulat, dan x^2-2 tidak punya faktor bilangan bulat, meskipun dengan akar ia menjadi (x-√2)(x+√2). Alat di bawah mengikuti daftar periksa itu dan menyebutkan langkah yang dipakainya.

Bagaimana menyederhanakan pecahan aljabar?

Untuk menyederhanakan pecahan aljabar, faktorkan pembilang dan penyebut, lalu coret faktor yang sama; kamu boleh mencoret faktor, tidak pernah suku. Di sinilah pemfaktoran berguna.

(x^2-9)/(x+3)=((x-3)(x+3))/(x+3)=x-3.

(x^2-1)/(x^2-x)=((x-1)(x+1))/(x(x-1))=(x+1)/(x).

Pembatas. Pecahan tidak terdefinisi di tempat penyebutnya nol, dan mencoret tidak menghapus hal itu. Pecahan pertama di atas tidak terdefinisi pada x=-3, padahal x-3 terdefinisi. Jadi pernyataan yang jujur adalah (x^2-9)/(x+3)=x-3 untuk x≠-3. Coba x=-3 pada kode di bawah: bentuk aslinya memberi galat atau NaN.

Suku tidak boleh dicoret. Pada (x+3)/(3) angka 3 di atas adalah bagian dari sebuah jumlah, bukan faktor, sehingga tidak dicoret. Ujilah dengan x=3: pecahannya \dfrac63=2, sedangkan x+1=4. Yang benar adalah (x+3)/(3)=\dfrac x3+1.

Perkalian dan pembagian bekerja seperti pada bilangan: kalikan pembilang dan penyebut, \dfrac ab·\dfrac cd=(ac)/(bd), dan untuk membagi, kalikan dengan kebalikannya, \dfrac ab÷\dfrac cd=\dfrac ab·\dfrac dc. Faktorkan dulu dan coret sebelum mengalikan.

Penjumlahan dan pengurangan memerlukan penyebut yang sama, seperti pada pecahan bilangan semisal \frac12+\frac13:

\dfrac1x+\dfrac1x+1=(x+1)/(x(x+1))+(x)/(x(x+1))=(2x+1)/(x(x+1)).

Penyebut bersamanya adalah hasil kali faktor-faktor yang berbeda, di sini x(x+1), dengan tiap pecahan ditulis ulang di atasnya.

Bagaimana mengubah kalimat menjadi aljabar?

Untuk mengubah kalimat menjadi aljabar, namai besaran yang tidak diketahui dengan sebuah huruf dan terjemahkan tiap frasa menjadi operasi, dengan teliti pada urutan "kurangnya dari" dan "dikurangi dari". Aljabar adalah cara singkat menulis sebuah kalimat.

"Kurangnya dari" dan "dikurangkan dari" membalik urutan: "7 kurangnya dari n" bermula dari n, sehingga n-7, bukan 7-n.

Contoh. Sebuah buku tulis berharga Rp5.000 dan sebuah pena Rp3.000. Untuk x buku tulis dan y pena, totalnya 5000x+3000y rupiah. Dengan 3 buku tulis dan 2 pena, substitusikan: 5000·3+3000·2=21000 rupiah, yaitu Rp21.000. Bentuk aljabar itu adalah resep yang berlaku untuk jumlah berapa pun, dan itulah gunanya memakai huruf.

Bagaimana mengolah bentuk aljabar di Python dan JavaScript?

Dalam kode, bentuk aljabar yang ingin dihitung nilainya menjadi sebuah fungsi, dan bentuk yang ingin dimanipulasi secara simbolik memerlukan pustaka seperti SymPy di Python. Python dan JavaScript biasa hanya menghitung dengan bilangan; keduanya tidak tahu bahwa x^2-9=(x-3)(x+3).

>>> from sympy import symbols, expand, factor, simplify
>>> x = symbols('x')
>>> expand((x + 2) * (x - 3))
x**2 - x - 6
>>> factor(x**2 - 5*x + 6)
(x - 3)*(x - 2)
>>> factor(x**2 + 1)          # no real factors, so it is returned unchanged
x**2 + 1
>>> simplify((x**2 - 9) / (x + 3))
x - 3
>>> (3*x**2 - 5*x + 1).subs(x, 2)
3

const f = (x) => 3 * x ** 2 - 5 * x + 1
f(2)     // 3
f(-2)    // 23

const g = (x) => (x ** 2 - 9) / (x + 3)
g(2)     // -1
g(3)     // 0, the same as 3 - 3
g(-3)    // NaN, because the original is 0 / 0 there

#include <iostream>
using namespace std;

double f(double x) { return 3 * x * x - 5 * x + 1; }
double g(double x) { return (x * x - 9) / (x + 3); }

int main() {
  cout << f(2) << " " << f(-2) << endl;          // 3 23
  cout << g(2) << " " << g(3) << endl;           // -1 0
  // A program cannot expand or factor for you, but it can test an identity at many points
  int bad = 0;
  for (int x = -10; x <= 10; x++) {
    if ((x + 2) * (x - 3) != x * x - x - 6) bad++;        // expand
    if (x * x - 5 * x + 6 != (x - 2) * (x - 3)) bad++;    // factor
  }
  cout << "failures: " << bad << endl;
  return 0;
}

/* output:
3 23
-1 0
failures: 0
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Uji numerik seperti f(2) dapat menangkap penyederhanaan yang salah tetapi tidak dapat membuktikan yang benar: ia memeriksa satu masukan, tepat seperti batas yang dijelaskan pada bagian menghitung nilai.

Apa kesalahan umum pada bentuk aljabar?

Kesalahan paling umum pada bentuk aljabar adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: bentuk aljabar sekilas

• Bagian: bentuk aljabar adalah suku-suku yang dihubungkan oleh + dan −; suku memiliki koefisien dan bagian variabel, dan suku tanpa huruf adalah konstanta.
• Suku sejenis: huruf sama, eksponen sama; jumlahkan koefisien, pertahankan bagian variabel.
• Hitung nilai: taruh tiap nilai dalam kurung, lalu ikuti urutan operasi. Beberapa masukan yang cocok tidak pernah membuktikan dua bentuk sama.
• Jabarkan: a(b+c)=ab+ac dan (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd; (a± b)^2=a^2±2ab+b^2; (a+b)(a-b)=a^2-b^2.
• Faktorkan: faktor persekutuan lebih dulu, lalu selisih dua kuadrat, kuadrat sempurna, atau dua bilangan dengan hasil kali c dan jumlah b; periksa dengan menjabarkan.
• Pecahan: faktorkan, lalu coret faktor, bukan suku; perhatikan di mana penyebutnya nol.
• Kalimat: namai yang tidak diketahui, dan perhatikan urutan pada "kurangnya dari".
• Kode: tulis 3 * x, bukan 3x; pakai ** untuk pangkat; pakai SymPy untuk kerja simbolik.

Glosarium: istilah penting

Bentuk aljabar

Gabungan bilangan, variabel, dan operasi tanpa tanda sama dengan, seperti 3x kuadrat dikurangi 5x ditambah 7.

Variabel

Huruf yang mewakili bilangan yang dapat berubah atau belum diketahui.

Konstanta

Suku tanpa variabel yang nilainya tidak pernah berubah, seperti 7 pada 3x ditambah 7.

Suku

Satu bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan dari bagian lain oleh tanda plus atau minus, dan membawa tandanya sendiri.

Koefisien

Bilangan yang mengalikan variabel dalam sebuah suku, seperti minus 5 pada minus 5x.

Suku sejenis

Suku-suku dengan variabel yang persis sama dan eksponen yang sama, yang paling banyak berbeda pada koefisiennya.

Polinomial (suku banyak)

Jumlah suku-suku yang tiap variabelnya berpangkat bilangan bulat, seperti x kuadrat dikurangi x dikurangi 6.

Derajat

Jumlah eksponen variabel terbesar pada satu suku mana pun dari sebuah polinomial.

Binomial

Polinomial dengan tepat dua suku, seperti x ditambah 3.

Sifat distributif

Aturan bahwa a kali jumlah b dan c sama dengan a kali b ditambah a kali c.

Menjabarkan

Menghilangkan kurung dengan mengalikan sebuah hasil kali, sehingga (x ditambah 2)(x dikurangi 3) menjadi x kuadrat dikurangi x dikurangi 6.

Memfaktorkan

Menuliskan bentuk aljabar sebagai hasil kali bentuk-bentuk yang lebih sederhana, kebalikan dari menjabarkan.

Selisih dua kuadrat

Bentuk a kuadrat dikurangi b kuadrat, yang difaktorkan menjadi a dikurangi b kali a ditambah b.

Pecahan aljabar

Pecahan yang pembilang dan penyebutnya bentuk aljabar, terdefinisi hanya bila penyebutnya bukan nol.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.). Cengage Learning.
2. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (820). The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing (Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala).
3. François Viète (1591). In artem analyticem isagoge.
4. René Descartes (1637). La Géométrie.
5. Florian Cajori (1928). A History of Mathematical Notations. Open Court Publishing Company.
6. SymPy Development Team. SymPy tutorial: simplification. docs.sympy.org. https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/simplification.html.

Artikel terkait

• Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya: Pengertian bilangan real, jenis (rasional dan irasional), contoh, sifat, dan garis bilangan, lengkap dengan latihan interaktif, pembuktian, dan FAQ.
• Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK: Bilangan bulat: garis bilangan, operasi pada bilangan negatif, aturan habis dibagi, bilangan prima, FPB dan KPK, serta sisa pembagian, lengkap dengan latihan.
• Barisan dan Deret Aritmetika: Rumus, Jumlah, dan Contoh: Barisan dan deret aritmetika: beda, rumus suku ke-n, rumus jumlah, trik Gauss, rata-rata aritmetika, dan soal cerita, lengkap dengan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.