Nilai Ekstrem Fungsi pada Selang Tertutup

Apa itu maksimum dan minimum mutlak suatu fungsi?

Fungsi f dengan domain D memiliki nilai maksimum mutlak di c jika f(x)\le f(c) untuk semua x di D, dan nilai minimum mutlak di c jika f(x)\ge f(c) untuk semua x di D. Nilai maksimum dan minimum disebut nilai ekstrem (atau ekstrem) fungsi, dan maksimum serta minimum mutlak juga disebut maksimum dan minimum global. Nilainya adalah bilangan, f(c), dan tempat nilai itu dicapai adalah titik, c: maksimum y=x^2 pada [0,2] adalah 4, dicapai di x=2.

Ekstrem bergantung pada domain dan bukan hanya pada rumus. Pada selang tertutup \left[-\fracπ2,\fracπ2\right] fungsi \cos x mencapai maksimum mutlak 1 (sekali, di 0) dan minimum mutlak 0 (dua kali, di kedua ujung), sedangkan \sin x mencapai maksimum 1 dan minimum -1. Suatu nilai dapat dicapai di lebih dari satu tempat.

Contoh 1. Keempat fungsi di bawah memiliki aturan yang sama y=x^2, tetapi domainnya berbeda.

Jadi suatu fungsi mungkin tidak memiliki maksimum atau minimum jika domainnya tidak terbatas atau tidak memuat ujungnya. Pada (0,2] nilai 0,01; 0,0001; 0,000001; … terus mengecil, dan tidak ada yang terkecil: 0 akan menjadi yang terkecil, tetapi 0 tidak ada di domain. Bagian berikut menyatakan tepatnya kapan hal ini tidak dapat terjadi.

Kapan maksimum atau minimum dijamin ada?

Teorema Nilai Ekstrem menyatakan bahwa jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum mutlak M dan nilai minimum mutlak m di [a,b]. Artinya, ada bilangan x_1 dan x_2 di [a,b] dengan f(x_1)=m, f(x_2)=M, dan m\le f(x)\le M untuk semua x di [a,b]. Buktinya memerlukan pemahaman cermat tentang bilangan real (kelengkapannya) dan tidak diberikan di sini. Teorema ini juga tidak menyatakan di mana ekstremnya: bisa di titik dalam, di ujung, atau satu di masing-masing.

Tiga syaratnya, tertutup, terbatas, dan kontinu, semuanya penting. Tanpa salah satunya kesimpulan dapat gagal: - tidak tertutup: y=x^2 pada (0,2] tidak punya minimum, dan pada (0,2) tidak punya keduanya; - tidak terbatas: y=x^2 pada (-∞,∞) tidak punya maksimum, dan y=e^x pada (-∞,∞) tidak punya keduanya; - tidak kontinu: fungsi y=x untuk 0\le x<1 dan y=0 di x=1 kontinu di setiap titik [0,1] kecuali x=1, namun tidak punya titik tertinggi: nilainya mendekati 1 sedekat yang kita mau dan tidak pernah mencapainya.

Teorema ini memberi jaminan dan bukan kesetaraan. Fungsi yang melanggar suatu syarat mungkin tetap punya ekstrem (fungsi di atas memiliki minimum 0), tetapi hanya ketika ketiganya terpenuhi kita yakin. Perhatikan enam kasus di bawah, dan syarat mana yang dilanggar masing-masing.

Apa itu nilai ekstrem lokal?

Fungsi f memiliki maksimum lokal di c jika f(x)\le f(c) untuk semua x di domain pada suatu selang terbuka di sekitar c, dan minimum lokal jika f(x)\ge f(c) di sana; ekstrem lokal juga disebut ekstrem relatif. Kata lokal berarti hanya tetangga c yang dibandingkan, dan bukan seluruh domain. Di ujung x=a pada [a,b] tetangganya adalah x pada selang setengah terbuka [a,a+\delta), dan di x=b adalah yang pada (b-\delta,b].

Maksimum mutlak juga maksimum lokal, karena ia nilai terbesar secara keseluruhan sehingga juga terbesar di lingkungannya; daftar maksimum lokal karenanya memuat maksimum mutlak jika ada, dan hal yang sama berlaku untuk minimum. Kebalikannya salah. Untuk f(x)=x^3-3x pada [-2,3] maksimum lokal f(-1)=2 jauh di bawah maksimum mutlak f(3)=18, dan minimum lokal f(1)=-2 sama dengan minimum mutlak f(-2)=-2, sehingga minimum itu dicapai dua kali.

Suatu fungsi dapat memiliki banyak ekstrem lokal, bahkan pada selang terhingga: f(x)=\sin\frac1x pada (0,1] memiliki tak terhingga banyaknya.

Apa itu titik kritis, dan mengapa ekstrem berada di sana?

Teorema Turunan Pertama untuk nilai ekstrem lokal: jika f memiliki maksimum atau minimum lokal di titik dalam c pada domainnya, dan f' terdefinisi di c, maka f'(c)=0. Garis singgung di sana harus mendatar, karena gradien yang tidak nol akan membuat f naik di salah satu sisi c.

Bukti. Misalkan f memiliki maksimum lokal di c, sehingga f(x)-f(c)\le0 untuk x di dekat c. Karena c titik dalam, f'(c)=\lim_x→ c(f(x)-f(c))/(x-c) adalah limit dua sisi: limit kanan dan limit kiri keduanya ada dan sama dengan f'(c). Dari kanan, x-c>0 dan f(x)-f(c)\le0, sehingga hasil baginya \le0: f'(c)=\lim_x→ c^+(f(x)-f(c))/(x-c)\le0. Dari kiri, x-c<0 dan f(x)-f(c)\le0, sehingga hasil baginya \ge0: f'(c)=\lim_x→ c^-(f(x)-f(c))/(x-c)\ge0. Bersama-sama f'(c)=0. Untuk minimum lokal balikkan pertidaksamaannya. ∎

Di mana ekstrem dapat berada. Karena semua domain di sini adalah selang, suatu fungsi dapat memiliki nilai ekstrem (lokal atau mutlak) hanya di 1. titik dalam tempat f'=0, 2. titik dalam tempat f' tidak ada, 3. ujung selang.

Definisi. Titik dalam domain f tempat f' nol atau tidak ada disebut titik kritis f. Jadi satu-satunya tempat fungsi kontinu pada selang tertutup dan terbatas dapat mencapai nilai ekstrem adalah titik kritis dan ujung selangnya. Jenis titik kritis yang kedua adalah kemungkinan nyata: turunan tidak ada pada sudut, titik puncak, atau garis singgung tegak, dan fungsi turunan dapat tak terdefinisi di tempat lain juga.

Titik kritis hanyalah kandidat. y=x^3 memiliki y'=3x^2=0 di x=0, dan y=x^1/3 memiliki y'=\frac13x^-2/3 yang tak terdefinisi di x=0, namun keduanya tidak memiliki nilai ekstrem lokal di 0: masing-masing naik melalui titik asal, dan masing-masing memiliki titik belok di sana. Sebaliknya, nilai ekstrem dapat berada di tempat yang sama sekali tidak ada turunannya: f(x)=|x| memiliki minimum mutlak di x=0 walaupun tidak terdiferensialkan di sana, yang konsisten dengan teorema, karena teorema hanya berbicara tentang titik tempat f' terdefinisi.

Bagaimana mencari ekstrem mutlak pada selang tertutup?

Untuk mencari ekstrem mutlak fungsi kontinu f pada selang tertutup terhingga, cari semua titik kritis f di dalam selang, hitung f di semua titik kritis dan di ujung selang, lalu ambil nilai terbesar dan terkecil dari nilai-nilai itu. Teorema Nilai Ekstrem memastikan bahwa ekstremnya ada, dan Teorema Turunan Pertama memastikan bahwa tidak ada tempat lain yang perlu diperiksa.

Contoh 2. Tentukan maksimum dan minimum mutlak f(x)=x^2 pada [-2,1]. Fungsi terdiferensialkan di mana-mana, sehingga satu-satunya titik kritis adalah tempat f'(x)=2x=0, yaitu x=0. Nilainya adalah f(0)=0 f(-2)=4 f(1)=1, sehingga maksimum mutlaknya 4 di x=-2 dan minimum mutlaknya 0 di x=0.

Contoh 3. Tentukan maksimum dan minimum mutlak f(x)=10x(2-\ln x) pada \left[1,e^2\right]. Turunannya f'(x)=10(2-\ln x)+10x\left(-\frac1x\right) f'(x)=10(1-\ln x), yang bernilai 0 hanya ketika \ln x=1, di x=e, di dalam selang. Nilainya adalah f(e)=10e f(1)=20 f\left(e^2\right)=10e^2(2-2)=0. Karena 10e≈27,2, maksimum mutlaknya 10e di titik kritis x=e, dan minimum mutlaknya 0 di ujung kanan x=e^2.

Contoh 4. Tentukan maksimum dan minimum mutlak f(x)=x^2/3 pada [-2,3]. Turunan f'(x)=\frac23x^-1/3 tidak memiliki nol, tetapi tak terdefinisi di titik dalam x=0, yang karenanya satu-satunya titik kritis. Nilainya adalah f(0)=0 f(-2)=4^(1/3)≈1,59 f(3)=9^(1/3)≈2,08. Maksimum mutlaknya 9^(1/3)≈2,08 di ujung kanan x=3 dan minimum mutlaknya 0 di x=0, tempat grafik memiliki titik puncak.

Cobalah metodenya sendiri di bawah: ketik fungsi dan selang tertutup, atau pilih salah satu contoh, dan baca tabel kandidatnya.

Apa kotak terbesar, arus puncak, dan titik tertinggi?

Metode selang tertutup menjawab pertanyaan yang meminta nilai terbaik dari sesuatu: potong persegi bersisi x dari sudut karton 10 kali 16 dan lipat sisinya, dan volumenya adalah V(x)=x(10-2x)(16-2x) untuk 0\le x\le5, yang nilai terbesarnya 144 di x=2. Turunannya V'(x)=12x^2-104x+160 V'(x)=4(3x-20)(x-2), sehingga titik kritisnya x=2 dan x=(20)/(3); yang kedua di luar [0,5] dan tidak dihitung. Nilai di kandidatnya adalah V(0)=0, V(2)=144, dan V(5)=0. Maksimum mutlaknya 144 satuan kubik, dari persegi bersisi 2 dan kotak 6 kali 12 kali 2, dan nilai ekstrem di ujung selang adalah yang terkecil: tidak ada kotak sama sekali. Ubah karton di bawah; untuk karton w kali l titik kritis di dalamnya adalah x=((w+l)-√(w^2-wl+l^2))/(6).

Puncak arus bolak-balik. Jika i=2\cos t+2\sin t ampere pada waktu t detik, maka i'=-2\sin t+2\cos t=0 ketika \tan t=1, yaitu t=\fracπ4 dan t=(5π)/(4) di [0,2π]. Nilainya i\left(\fracπ4\right)=2√2, i\left((5π)/(4)\right)=-2√2, dan i(0)=i(2π)=2, sehingga arus puncak, besar terbesar, adalah 2√2≈2,83 A.

Titik tertinggi sebuah benda. Benda yang bergerak vertikal memiliki tinggi s=-\frac12gt^2+v_0t+s_0, dengan s dalam meter dan t dalam detik. Maka s'=-gt+v_0=0 di t=(v_0)/(g), saat kecepatannya nol, dan tinggi maksimumnya s_0+(v_0^2)/(2g). Dengan v_0=20 m/detik, s_0=5 m, dan g=9,8 m/detik², itu 5+\frac40019,6≈25,4 m, dicapai setelah sekitar 2,04 detik.

Di luar selang tertutup. Jika selang tidak tertutup atau tidak terbatas, nilai ekstrem mungkin tidak ada sama sekali, seperti ditunjukkan keempat domain y=x^2. Soal seperti itu memerlukan lebih dari tiga langkah di atas: tanda f' di kedua sisi tiap titik kritis, atau limit di ujung yang terbuka.

Bagaimana mencari nilai ekstrem dengan kode?

Dalam kode metode selang tertutup adalah tiga perulangan: pindai titik kritis, hitung di setiap kandidat, dan simpan yang terbesar dan terkecil. SymPy melakukannya secara eksak: sp.solveset(df, x, interval) mengembalikan setiap solusi f'=0 di dalam selang (sp.solve yang lama dapat mengembalikan hanya satu dari solusi periodik \cos x-\sin x=0), sp.singularities(df, x) menemukan tempat f' tidak ada, dan maximum serta minimum dari sympy.calculus.util memberi jawabannya langsung. Tanpa CAS, pindai perubahan tanda f' dan haluskan dengan bisection, yang dilakukan program C++ di akhir.

import sympy as sp
from sympy.calculus.util import maximum, minimum

x = sp.symbols('x', real=True)


def closed_interval(f, a, b):
    """The closed interval method: the critical points inside (a, b), then compare the values."""
    df = sp.diff(f, x)
    crit = set(sp.solveset(df, x, sp.Interval.open(a, b)))              # f'(c) = 0, every solution in the interval
    crit |= {c for c in sp.singularities(df, x) if a < c < b}          # f' does not exist
    values = {p: sp.simplify(f.subs(x, p)) for p in sorted({a, b, *crit}, key=float)}
    return values, max(values.values(), key=float), min(values.values(), key=float)


examples = (
    (x**2, -2, 1),                                       # Example 2
    (10 * x * (2 - sp.log(x)), 1, sp.E**2),              # Example 3
    (x * (10 - 2 * x) * (16 - 2 * x), 0, 5),             # the box of Exercise 67
    (2 * sp.cos(x) + 2 * sp.sin(x), 0, 2 * sp.pi),       # Exercise 70, the peak current
    (x**3, -1, 1),                                       # a critical point that is not an extreme value
)
for f, a, b in examples:
    print(f, '->', closed_interval(f, a, b))
# x**2 -> ({-2: 4, 0: 0, 1: 1}, 4, 0)
# 10*x*(2 - log(x)) -> ({1: 20, E: 10*E, exp(2): 0}, 10*E, 0)
# x*(10 - 2*x)*(16 - 2*x) -> ({0: 0, 2: 144, 5: 0}, 144, 0)
# 2*sin(x) + 2*cos(x) -> ({0: 2, pi/4: 2*sqrt(2), 5*pi/4: -2*sqrt(2), 2*pi: 2}, 2*sqrt(2), -2*sqrt(2))
# x**3 -> ({-1: -1, 0: 0, 1: 1}, 1, -1)

print(maximum(x**2, x, sp.Interval(-2, 1)), minimum(x**2, x, sp.Interval(-2, 1)))      # 4 0   (SymPy's own answer)
print(sp.singularities(sp.diff(x ** sp.Rational(2, 3), x), x))                         # {0}   (Example 4: f' does not exist at 0)

const best = (f, a, b, critical) => {
  const pts = [a, ...critical, b].map((x) => [x, f(x)])
  return [pts.reduce((m, p) => (p[1] > m[1] ? p : m)), pts.reduce((m, p) => (p[1] < m[1] ? p : m))]   // [max, min]
}
best((x) => x * x, -2, 1, [0])                                       // [[-2, 4], [0, 0]]
best((x) => 10 * x * (2 - Math.log(x)), 1, Math.E ** 2, [Math.E])    // [[2.718281828459045, 27.18281828459045], [7.3890560989306495, 0]]
best((x) => Math.cbrt(x) ** 2, -2, 3, [0])                           // [[3, 2.080083823051904], [0, 0]]: 0 is where f' does not exist
best((x) => x ** 3, -1, 1, [0])                                      // [[1, 1], [-1, -1]]: 0 is critical but not an extreme

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double x) { return 10 * x * (2 - log(x)); }     // Example 3, on [1, e^2]
double df(double x) { return 10 * (1 - log(x)); }

double clean(double v) { return fabs(v) < 1e-9 ? 0 : v; }  // round noise like 1e-15 to 0

double bisect(double lo, double hi) {                       // a zero of f' between lo and hi
  for (int i = 0; i < 100; i++) {
    double mid = (lo + hi) / 2;
    if (df(lo) * df(mid) <= 0) hi = mid; else lo = mid;
  }
  return (lo + hi) / 2;
}

int main() {
  double a = 1, b = exp(2.0), cand[12];
  int n = 0;
  cand[n++] = a;                                            // the endpoints are candidates
  double step = (b - a) / 1000;
  for (int i = 0; i < 1000; i++) {                          // step 1: the critical points, where f' changes sign
    double x0 = a + i * step, x1 = x0 + step;
    if (df(x0) * df(x1) < 0) cand[n++] = bisect(x0, x1);
  }
  cand[n++] = b;
  double hiX = cand[0], loX = cand[0];
  for (int i = 0; i < n; i++) {                             // steps 2 and 3: evaluate f and compare
    printf("x = %.4f   value %.4f\n", cand[i], clean(f(cand[i])));
    if (f(cand[i]) > f(hiX)) hiX = cand[i];
    if (f(cand[i]) < f(loX)) loX = cand[i];
  }
  printf("maximum %.4f at x = %.4f; minimum %.4f at x = %.4f\n", f(hiX), hiX, clean(f(loX)), loX);

  // Example 4: x^(2/3) on [-2, 3]; the only critical point is 0, where f' does not exist
  printf("%.4f %.4f %.4f\n", pow(fabs(-2.0), 2.0 / 3), 0.0, pow(3.0, 2.0 / 3));
  // the box of Exercise 67: V(x) = x (10 - 2x)(16 - 2x) at 0, at the critical point 2 and at 5
  printf("%.0f %.0f %.0f\n", 0.0, 2 * (10 - 4.0) * (16 - 4.0), 5 * (10 - 10.0) * (16 - 10.0));
  return 0;
}

/* output:
x = 1.0000   value 20.0000
x = 2.7183   value 27.1828
x = 7.3891   value 0.0000
maximum 27.1828 at x = 2.7183; minimum 0.0000 at x = 7.3891
1.5874 0.0000 2.0801
0 144 0
*/

Dari mana asal maksimum dan minimum?

Pencarian yang terbesar dan terkecil lebih tua daripada turunan, dan turunan dimulai sebagai alat untuk itu.

• Kepler, 1615. Johannes Kepler, saat mencari bentuk terbaik tong anggur, memperhatikan bahwa di dekat volume terbesar volume berubah sangat sedikit ketika bentuk berubah sedikit: puncak mendatar suatu kurva, garis singgung mendatar pada teorema di atas.
• Fermat, sekitar 1629. Pierre de Fermat menemukan maksimum dan minimum dengan membandingkan f(x) dengan f(x+e), membagi selisih yang (hampir) nol itu dengan e lalu mengambil e=0. Itu adalah syarat f'(x)=0 sebelum ada turunan, dan Teorema Turunan Pertama masih disebut teorema Fermat tentang titik stasioner.
• Newton dan Leibniz. Dengan turunan sebagai limit hasil bagi selisih, argumen pada bukti di atas menjadi beberapa baris. Perbedaan antara titik kritis dan ekstrem, antara x^3 dan x^2, dijelaskan oleh uji turunan kedua dan uji tanda yang menyusul.
• Bolzano dan Weierstrass. Teorema Nilai Ekstrem tampak jelas dari grafik tetapi tidak dapat dibuktikan tanpa kelengkapan bilangan real. Bernard Bolzano memberi argumen pertama dalam naskah tahun 1830-an, dan Karl Weierstrass membuktikannya dalam kuliahnya pada 1860-an; itulah sebabnya buktinya bukan bagian dari kursus pengantar.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada nilai ekstrem?

Kesalahan paling umum pada nilai ekstrem adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: nilai ekstrem sekilas

• Ekstrem mutlak: f(c)\ge f(x) (maksimum) atau \le (minimum) untuk semua x di domain; keduanya bergantung pada domain.
• Teorema Nilai Ekstrem: f kontinu pada [a,b] yang tertutup dan terbatas memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di sana.
• Teorema Turunan Pertama: pada ekstrem lokal di titik dalam tempat f' ada, f'=0.
• Titik kritis: titik dalam tempat f'=0 atau f' tidak ada; hanya kandidat (x^3 di 0).
• Metode selang tertutup: titik kritis di (a,b), nilai di titik itu dan di a serta b, lalu yang terbesar dan terkecil.
• Waspadai: ujung selang, sudut dan titik puncak (|x|, x^2/3), titik kritis di luar selang, putus di dalamnya.
• Kode: sp.solveset(df, x, interval), sp.singularities(df, x), atau pemindaian perubahan tanda f' dengan bisection.

Glosarium: istilah penting

Maksimum dan minimum mutlak

Nilai terbesar dan terkecil yang dicapai fungsi pada seluruh domainnya; keduanya juga disebut ekstrem global dan bergantung pada domain.

Teorema Nilai Ekstrem

Teorema bahwa fungsi kontinu pada selang tertutup dan terbatas mencapai maksimum mutlak dan minimum mutlak di sana.

Nilai ekstrem lokal

Nilai yang terbesar atau terkecil hanya di antara nilai pada titik-titik di dekatnya; juga disebut ekstrem relatif.

Titik kritis

Titik dalam domain fungsi tempat turunannya nol atau tidak ada; satu-satunya tempat, selain ujung selang, tempat nilai ekstrem dapat terjadi.

Metode selang tertutup

Prosedur yang mencari titik kritis fungsi kontinu dalam selang tertutup, menghitungnya di sana dan di ujung selang, lalu mengambil nilai terbesar dan terkecil.

Titik puncak

Titik pada grafik tempat kurva memiliki garis singgung tegak dan kedua cabangnya bertemu di satu titik, seperti x pangkat dua per tiga di nol; turunan tidak ada di sana.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 4.1: Extreme Values of Functions on Closed Intervals. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 4.1: Maximum and Minimum Values. Cengage Learning.
3. Pierre de Fermat (1679). Methodus ad disquirendam maximam et minimam. Toulouse (written about 1629).
4. Johannes Kepler (1615). Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz.

Artikel terkait

• Linearisasi dan Diferensial: Linearisasi dan diferensial: hampiran garis singgung L(x) = f(a) + f′(a)(x − a), df = f′(x) dx, perkiraan, galat, dan perubahan persen, dengan contoh dan kode.
• Garis Singgung dan Turunan di Suatu Titik: Garis singgung dan turunan di suatu titik: gradien garis potong dan limit, definisi f′(a), garis singgung dan normal, laju perubahan, serta kapan turunan tidak ada.
• Turunan sebagai Fungsi: Turunan sebagai fungsi: f′(x) dari definisi, notasi, menggambar grafik f′ dari f, fungsi tangga, daerah asal, turunan sepihak dan sudut tajam, serta kode numerik.
• Laju Terkait: Laju terkait: turunkan persamaan terhadap waktu untuk mencari laju yang dicari, dengan strategi empat langkah, enam contoh soal, tangga meluncur, dan kesalahan umum.