Laju Terkait

Apa itu laju terkait?

Laju terkait adalah laju perubahan, terhadap waktu, dari beberapa besaran yang diikat oleh suatu persamaan, sehingga mengetahui seberapa cepat sebagian di antaranya berubah memberi tahu seberapa cepat besaran lain berubah. Proses mencari salah satunya dari yang lain disebut soal laju terkait.

Misalkan udara dipompa ke balon berbentuk bola. Volume V dan jari-jari r sama-sama bertambah terhadap waktu t, dan selalu berlaku V=\frac43π r^3. Karena r adalah fungsi dari t, aturan rantai menurunkan persamaan itu: (dV)/(dt)=(dV)/(dr)·(dr)/(dt)=4π r^2(dr)/(dt). Ini adalah persamaan laju terkait. Persamaan ini berguna karena laju volume mudah diukur, dengan menakar udara yang masuk, sedangkan laju jari-jari tidak. Jika udara masuk 100 cm^3/detik, maka ketika r=5 cm (dr)/(dt)=(100)/(4π·5^2)=\frac1π≈0,318 cm/detik.

Mengapa ini aturan rantai. Rumus seperti A=π r^2 benar pada setiap saat, jadi sebenarnya ia berbunyi A(t)=π r(t)^2. Turunan r(t)^2 adalah 2 r(t) r'(t): fungsi luar berupa kuadrat, dan fungsi dalam r(t). Setiap persamaan laju terkait dibuat dengan cara ini. Turunkan tiap suku persamaan, dan tiap peubah q yang bergantung pada waktu membawa faktor (dq)/(dt), yaitu laju perubahannya.

Persamaan laju terkait dari rumus-rumus umum.

Baris tabung memakai aturan hasil kali, karena r dan h sama-sama berubah. Baris terakhir dibagi 2 setelah menurunkan, dan itulah persamaan mobil polisi pada Contoh 3 di bawah.

Bagaimana menyelesaikan soal laju terkait?

Selesaikan soal laju terkait dalam empat langkah: beri nama peubah dan gambar, tulis persamaan yang menghubungkannya, turunkan terhadap t, dan baru kemudian substitusikan bilangan pada saat itu dan selesaikan untuk laju yang dicari.

1. Beri nama dan gambar. Misalkan t adalah waktu dan beri huruf pada setiap besaran yang berubah terhadapnya, dengan anggapan masing-masing fungsi terdiferensialkan dari t. Besaran yang tetap, seperti jarak 150 m, tidak perlu diberi nama. Gambar yang menunjukkan geometrinya biasanya kuncinya.
2. Hubungkan. Tulis persamaan antarpeubah, memakai geometri (Pythagoras, segitiga sebangun, trigonometri) atau rumus luas atau volume. Gabungkan persamaan sampai hanya peubah yang diketahui dan yang dicari yang tersisa.
3. Turunkan. Turunkan kedua ruas terhadap t, dengan aturan rantai pada setiap peubah. Inilah persamaan laju terkait.
4. Substitusi dan selesaikan. Masukkan nilai dan laju pada saat itu. Kamu mungkin memerlukan persamaan dari langkah 2 untuk mencari nilai yang belum ada. Lalu selesaikan untuk laju yang dicari, lengkap dengan tanda dan satuannya.

Contoh 1: air mengisi kerucut. Air mengalir ke tangki berbentuk kerucut dengan laju 0,25 m^3/menit. Tangki berdiri dengan ujung di bawah, tingginya 3 m dan jari-jari alasnya 1,5 m. Seberapa cepat permukaan air naik ketika kedalaman air 1,8 m?

Misalkan V volume air, x jari-jari permukaannya, dan y kedalamannya. Air membentuk kerucut, V=\frac13π x^2y, tetapi tidak ada informasi tentang x atau (dx)/(dt), jadi hilangkan x. Segitiga sebangun memberi \frac x y=\frac1,53, yaitu x=\frac y2, sehingga V=\frac13π\left(\frac y2\right)^2y=(π y^3)/(12). Turunkan terhadap t: (dV)/(dt)=(π y^2)/(4)(dy)/(dt). Sekarang masukkan y=1,8 dan (dV)/(dt)=0,25: 0,25=\fracπ(1,8)^24(dy)/(dt) (dy)/(dt)=\frac13,24π≈0,098 m/menit. Permukaan air naik sekitar 0,098 m per menit. Geser kedalaman di bawah: aliran yang sama menaikkan permukaan makin lambat, karena permukaannya terus melebar.

Seperti apa contoh soal laju terkait yang dikerjakan?

Lima soal lagi menunjukkan empat langkah itu dengan tangen, jarak, garis singgung yang bergerak, jet yang cepat, dan tali pada katrol, dan setiap jawaban berasal dari menurunkan satu persamaan.

Contoh 2: balon dan pengukur jarak. Sebuah balon naik tegak lurus dari lapangan datar dan diamati oleh pengukur jarak yang berada 150 m dari titik lepas landas. Ketika sudut elevasinya \fracπ4, sudut itu bertambah dengan laju 0,14 rad/menit. Seberapa cepat balon naik? Misalkan θ sudutnya dan y tingginya. Maka y=150\tanθ, dan dengan turunan tangen (dy)/(dt)=150\sec^2θ (dθ)/(dt) (dy)/(dt)=150·2·0,14=42 m/menit, karena \sec^2\fracπ4=2.

Contoh 3: mobil polisi mengejar mobil. Sebuah mobil polisi mendekati persimpangan siku-siku dari utara, mengejar mobil yang telah berbelok dan melaju ke timur. Ketika mobil polisi 0,6 km di utara persimpangan dan mobil buruan 0,8 km di timurnya, jarak keduanya bertambah 30 km/jam. Mobil polisi melaju 100 km/jam. Seberapa cepat mobil buruan itu melaju? Misalkan x posisi mobil buruan, y posisi mobil polisi, dan s jarak keduanya, sehingga s^2=x^2+y^2 dan, pada saat itu, s=√0,8^2+0,6^2=1 km. Menurunkan, s(ds)/(dt)=x(dx)/(dt)+y(dy)/(dt) 1·30=0,8(dx)/(dt)+0,6·(-100). Mobil polisi makin dekat, jadi (dy)/(dt)=-100, dan (dx)/(dt)=\frac30+600,8=112,5 km/jam.

Contoh 4: garis singgung yang bergeser. Sebuah partikel bergerak searah jarum jam dengan laju tetap mengelilingi lingkaran berjari-jari 10 m berpusat di titik asal, dari (0,10) ke (10,0) dalam 30 detik. Garis singgung di partikel memotong sumbu-x di Q, berjarak x dari titik asal. Seberapa cepat Q bergerak ketika x=20 m? Misalkan θ sudut dari sumbu-x ke jari-jari yang melalui partikel. Maka x\cosθ=10, dan seperempat putaran dalam setengah menit membuat (dθ)/(dt)=-π rad/menit, negatif karena θ berkurang. Aturan hasil kali memberi (dx)/(dt)\cosθ-x\sinθ (dθ)/(dt)=0. Pada x=20 berlaku \cosθ=\frac12 dan \sinθ=(√3)/(2), sehingga \frac12(dx)/(dt)=20·(√3)/(2)·(-π) dan (dx)/(dt)=-20√3 π≈-108,8 m/menit. Tanda minus berarti Q bergerak menuju titik asal.

Contoh 5: jet dan stasiun radar. Sebuah jet terbang pada ketinggian tetap 10 km menuju stasiun radar di sebuah pulau. Ketika pertama terdeteksi, garis pandang membentuk sudut 30^\circ dengan permukaan laut dan naik dengan laju \frac13 derajat per detik. Seberapa cepat jet itu mendekat? Dengan x dalam kilometer, x=10\cotθ, sehingga (dx)/(dt)=-10\csc^2θ (dθ)/(dt). Di sini satuan perlu diperhatikan. Sudut dalam turunan dinyatakan dalam radian, dan jawaban diminta dalam km/jam, sehingga (dθ)/(dt)=\frac13·(π)/(180)·3600=(20π)/(3) rad/jam. Dengan \csc^2\fracπ6=4, (dx)/(dt)=-10·4·(20π)/(3) (dx)/(dt)=-(800π)/(3)≈-837,8 km/jam.

Contoh 6: beban pada tali. Sebuah tali melewati katrol P yang berada 6 m di atas titik O dan mengangkat beban W; pekerja memegang ujung lainnya setinggi O dan berjalan menjauhi garis di bawah katrol dengan kecepatan 1,2 m/detik. Panjang tali 13,5 m. Seberapa cepat beban naik ketika pekerja berjarak x=6,3 m dari garis itu? Misalkan h tinggi W di atas O. Tali memiliki panjang 6-h m dari W ke P dan z m dari P ke tangan, sehingga z=7,5+h, dan Pythagoras memberi z^2=6^2+x^2: x^2+36=(7,5+h)^2 2x(dx)/(dt)=2(7,5+h)(dh)/(dt). Ketika x=6,3 persamaan itu memberi (7,5+h)^2=36+39,69=75,69, sehingga 7,5+h=8,7, dan (dh)/(dt)=\fracx7,5+h(dx)/(dt) (dh)/(dt)=\frac6,38,7·1,2≈0,869 m/detik.

Alat di bawah melakukan langkah yang sama untuk soal-soal ini, atau untuk persamaan buatanmu sendiri. Kosongkan satu nilai dan ia dihitung dari persamaan, seperti sudut pada Contoh 4.

Mengapa tangga yang meluncur makin cepat saat turun?

Tangga yang kakinya ditarik menjauhi dinding dengan kecepatan tetap memiliki ujung atas yang jatuh dengan kecepatan \frac xy kali kecepatan kaki, rasio yang membesar saat ujung atas turun. Misalkan panjang tangga L, kakinya berjarak x dari dinding, dan ujung atasnya setinggi y dari lantai. Tangga, dinding, dan lantai membentuk segitiga siku-siku, sehingga untuk semua t x^2+y^2=L^2, dan L konstan. Menurunkan terhadap t, 2x(dx)/(dt)+2y(dy)/(dt)=0 ⇒ (dy)/(dt)=-\frac xy (dx)/(dt). Untuk tangga 5 m dengan kaki 3 m dari dinding (sehingga ujung atas setinggi y=√(25-9)=4 m) yang ditarik 2 m/detik, ujung atas jatuh dengan kecepatan \frac34·2=1,5 m/detik.

Karena \frac xy kecil di dekat dinding dan besar di dekat lantai, ujung atas lambat pada awalnya dan cepat pada akhirnya. Kedua kecepatan sama besar ketika x=y, yaitu di x=(L)/(√2), tempat tangga membentuk sudut 45^\circ. Setelah itu ujung atas bergerak lebih cepat daripada kaki, dan saat y→0 rasio \frac xy membesar tanpa batas. Tangga nyata tidak dapat melakukannya: ia terlepas dari dinding sebelum ujung atas mencapai lantai, dan persamaan itu hanya menggambarkan tangga yang tetap menempel pada dinding. Coba penggeser di bawah; garis putus-putus menandai x=(L)/(√2).

Kapan bilangan dimasukkan?

Turunkan dahulu dan substitusikan sesudahnya: sampai tahap akhir setiap besaran yang berubah adalah fungsi waktu, dan bilangan yang dimasukkan terlalu dini adalah konstanta, yang laju perubahannya 0. Ambil balon tadi. Jika kamu menetapkan r=5 dalam V=\frac43π r^3 di awal, kamu mendapat V=(500π)/(3), sebuah konstanta, dan menurunkannya memberi (dV)/(dt)=0, yang berarti balon tidak membesar. Bilangan yang diberikan berlaku untuk satu saat, sedangkan persamaannya berlaku pada setiap saat. Turunkan persamaan yang berlaku pada setiap saat, lalu bacalah pada satu saat yang kamu minati.

Yang boleh dimasukkan sebelum menurunkan hanyalah yang tidak pernah berubah atau selalu berlaku: - konstanta soal: 150 m ke pengukur jarak, ketinggian jet 10 km, panjang tangga, tinggi katrol 6 m; - hubungan antarpeubah, yang dipakai untuk menghilangkan peubah yang tidak ada informasinya, seperti segitiga sebangun menghilangkan x pada Contoh 1.

Tiga pemeriksaan jawaban. - Tanda. Besaran yang berkurang memiliki laju negatif. y milik mobil polisi berkurang, jadi (dy)/(dt)=-100 dan bukan 100; jawaban negatif, seperti -108,8 m/menit untuk Q, berarti besaran itu berkurang, dan kelajuannya adalah nilai mutlaknya. - Satuan. Satuan jawaban adalah satuan besaran per satuan waktu: m/menit, km/jam, cm^3/detik. Jika data mencampur menit dengan jam, atau derajat dengan radian, ubah dahulu, seperti pada Contoh 5. - Radian. Rumus turunan \sin, \cos, \tan, dan yang lain hanya berlaku untuk sudut dalam radian. Laju dalam derajat per detik harus diubah sebelum dipakai dalam \sec^2θ (dθ)/(dt).

Bagaimana menyelesaikan soal laju terkait dengan kode?

Dengan SymPy, deklarasikan tiap besaran sebagai fungsi dari t, turunkan persamaan dengan sp.diff, masukkan bilangan pada saat itu, dan selesaikan untuk laju yang dicari. Fungsi di bawah melakukan empat langkah artikel ini dan mereproduksi Contoh 1, 2, 3, dan 5 dengan jawaban eksak: (25)/(81π)≈0,0982, 42, (225)/(2), dan -(800π)/(3). Baris terakhir memeriksa tangga tanpa menurunkan apa pun: kaki digeser 2 m/detik, ujung atas diukur selama langkah waktu yang sangat kecil, dan hasilnya -1,5 m/detik seperti pada rumus.

import math
import sympy as sp

t = sp.symbols('t')


def solve_rate(relation, quantities, values, rates, unknown):
    """Differentiate relation (left - right = 0) in time, put in one moment's numbers, solve for d(unknown)/dt."""
    d = {q: sp.Symbol('d' + q.func.__name__) for q in quantities}
    dF = sp.diff(relation, t)                       # step 3: the related rates equation
    for q in quantities:
        dF = dF.subs(sp.Derivative(q, t), d[q])     # dq/dt becomes a plain symbol
    dF = dF.subs(values).subs({d[q]: r for q, r in rates.items()})   # step 4: put in the moment
    return sp.simplify(sp.solve(dF, d[unknown])[0])


y, V, theta, x, s = (sp.Function(n)(t) for n in ('y', 'V', 'theta', 'x', 's'))

# Example 1: V = pi y^3 / 12, dV/dt = 1/4, y = 9/5
print(solve_rate(V - sp.pi * y**3 / 12, [V, y], {y: sp.Rational(9, 5)}, {V: sp.Rational(1, 4)}, y))
# 25/(81*pi)   (0.0982)

# Example 2: y = 150 tan(theta), theta = pi/4, dtheta/dt = 0.14
print(solve_rate(y - 150 * sp.tan(theta), [y, theta], {theta: sp.pi / 4}, {theta: sp.Rational(14, 100)}, y))
# 42

# Example 3: s^2 = x^2 + y^2 with x = 0.8, y = 0.6, s = 1, dy/dt = -100, ds/dt = 30
print(solve_rate(s**2 - x**2 - y**2, [s, x, y], {s: 1, x: sp.Rational(4, 5), y: sp.Rational(3, 5)}, {y: -100, s: 30}, x))
# 225/2        (112.5)

# Example 5: x = 10 cot(theta), theta = pi/6, dtheta/dt = 20 pi / 3 rad per hour
print(solve_rate(x - 10 * sp.cot(theta), [x, theta], {theta: sp.pi / 6}, {theta: 20 * sp.pi / 3}, x))
# -800*pi/3    (-837.76)

# the ladder, timed without any derivative: L = 5, foot at 3 m moving at 2 m/s
L = 5.0
foot = lambda time: 3 + 2 * time
top = lambda time: math.sqrt(L**2 - foot(time) ** 2)
dt = 1e-6
print(round((top(dt) - top(0)) / dt, 4), -(3 / 4) * 2)       # -1.5 -1.5

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);

// The related rates answers by really moving the quantities in time and timing the unknown.
// Example 1: water fills a cone, V = pi y^3 / 12, dV/dt = 0.25, at y = 1.8
double yCone(double t) {
  double v = PI * 1.8 * 1.8 * 1.8 / 12 + 0.25 * t;     // the volume at time t
  return pow(12 * v / PI, 1.0 / 3);                    // the depth that holds it
}
// Example 2: y = 150 tan(theta), theta = pi/4 + 0.14 t
double yBalloon(double t) { return 150 * tan(PI / 4 + 0.14 * t); }
// Example 5: x = 10 cot(theta), theta = pi/6 + (20 pi / 3) t   (t in hours)
double xJet(double t) { return 10 / tan(PI / 6 + 20 * PI / 3 * t); }
// the ladder: L = 5, the foot at 3 m moving at 2 m/s
double top(double t) { return sqrt(25 - (3 + 2 * t) * (3 + 2 * t)); }

int main() {
  double h = 1e-6;
  printf("%.4f\n", (yCone(h) - yCone(-h)) / (2 * h));          // 0.0982  (25 / (81 pi))
  printf("%.4f\n", (yBalloon(h) - yBalloon(-h)) / (2 * h));    // 42
  printf("%.2f\n", (xJet(h / 1000) - xJet(-h / 1000)) / (2 * h / 1000));   // -837.76  (-800 pi / 3)
  printf("%.4f %.4f\n", (top(h) - top(-h)) / (2 * h), -(3.0 / 4) * 2);     // -1.5 -1.5
  return 0;
}

/* output:
0.0982
42.0000
-837.76
-1.5000 -1.5000
*/

Dari mana asal laju terkait?

Laju terkait adalah masalah asli kalkulus Newton: diberikan hubungan antarbesaran yang mengalir terhadap waktu, carilah hubungan antara laju aliran mereka.

• Fluen dan fluksi. Dalam Method of Fluxions, yang ditulis pada 1671 dan terbit pada 1736, Isaac Newton menyebut besaran yang berubah terhadap waktu fluen dan laju perubahannya fluksi, ditulis dengan titik, \dot x. Masalah pertamanya adalah masalah artikel ini: hubungan antarfluen diberikan, dan hubungan antarfluksinya dicari.
• Dua notasi. Leibniz menerbitkan notasi diferensialnya (dx)/(dt) pada 1684, dan notasi itu unggul di buku teks, karena menunjukkan besaran mana yang diturunkan terhadap besaran mana dan membuat aturan rantai tampak seperti mencoret pecahan. Titik Newton bertahan dalam fisika dan teknik, tempat \dot x adalah turunan posisi terhadap waktu.
• Waktu sebagai peubah. Newton memandang waktu sebagai besaran yang mengalir merata dan segala hal lain bergantung padanya. Inilah alasan mengapa dalam soal laju terkait tidak ada sumbu-x dengan suatu fungsi di atasnya: semua besaran adalah fungsi dari t, dan persamaan di antaranya adalah kendala yang berlaku pada setiap saat.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada soal laju terkait?

Kesalahan paling umum pada soal laju terkait adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: laju terkait sekilas

• Gagasan: besaran yang diikat oleh persamaan memiliki laju yang juga terikat; turunkan persamaan terhadap t dan tiap peubah q membawa (dq)/(dt).
• Strategi: beri nama peubah dan gambar, hubungkan dengan persamaan, turunkan terhadap t, lalu substitusikan nilai pada saat itu dan selesaikan.
• Urutan: turunkan dulu, substitusi kemudian; hanya konstanta dan hubungan yang selalu berlaku yang boleh dimasukkan lebih awal.
• Menghilangkan peubah: pakai segitiga sebangun, Pythagoras, atau trigonometri, seperti x=\frac y2 untuk kerucut.
• Tanda, satuan, radian: besaran yang berkurang memiliki laju negatif; ubah satuan; sudut dalam radian.
• Tangga: x^2+y^2=L^2 memberi (dy)/(dt)=-\frac xy(dx)/(dt), lebih cepat daripada kaki begitu x>y.
• Kode: sp.diff(relation, t) dan sp.solve untuk laju yang dicari.

Glosarium: istilah penting

Soal laju terkait

Soal ketika beberapa besaran berubah terhadap waktu dan diikat oleh suatu persamaan, dan laju salah satunya dicari dari laju yang lain pada saat tertentu.

Persamaan laju terkait

Persamaan yang diperoleh dengan menurunkan persamaan antarbesaran yang berubah terhadap waktu, sehingga memuat laju perubahan mereka.

Laju perubahan terhadap waktu

Turunan suatu besaran terhadap waktu t, ditulis dq per dt, yang menyatakan seberapa cepat besaran itu berubah pada satu saat.

Segitiga sebangun

Segitiga dengan sudut-sudut sama, yang sisi-sisinya berbanding sama; dipakai dalam laju terkait untuk menghilangkan peubah, seperti jari-jari permukaan air dalam kerucut.

Fluen dan fluksi

Nama Newton untuk besaran yang berubah terhadap waktu dan untuk laju perubahannya; fluksi adalah yang sekarang kita sebut turunan waktu dan kita tulis dengan titik.

Konstanta soal

Besaran yang tidak berubah terhadap waktu, seperti panjang tangga, yang lajunya nol dan boleh dimasukkan ke persamaan sebelum menurunkan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.10: Related Rates. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.9: Related Rates. Cengage Learning.
3. Isaac Newton (1736). The Method of Fluxions and Infinite Series (translated by John Colson). London.
4. Gottfried Wilhelm Leibniz (1684). Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Acta Eruditorum.

Artikel terkait

• Aturan Rantai: Aturan rantai dijelaskan: cara menemukan fungsi dalam dan luar suatu fungsi komposit, aturan rantai pangkat, fungsi bersarang, turunan kedua, dan kode.
• Diferensiasi Implisit: Diferensiasi implisit dijelaskan: mencari dy/dx tanpa menyelesaikan untuk y, garis singgung dan normal, turunan kedua, pangkat rasional, jebakan, dan kode.
• Turunan sebagai Laju Perubahan: Turunan sebagai laju perubahan: kecepatan, laju, percepatan dan sentakan, jatuh bebas, biaya dan pendapatan marjinal, kepekaan terhadap perubahan, serta kode.
• Linearisasi dan Diferensial: Linearisasi dan diferensial: hampiran garis singgung L(x) = f(a) + f′(a)(x − a), df = f′(x) dx, perkiraan, galat, dan perubahan persen, dengan contoh dan kode.