Turunan sebagai Fungsi

Apa artinya turunan sebagai sebuah fungsi?

Turunan f adalah fungsi baru f' yang memberikan, untuk setiap x, turunan f di x itu: f'(x)=\lim_h→0(f(x+h)-f(x))/(h), untuk setiap x yang limitnya ada. Turunan di suatu titik adalah satu bilangan di satu tempat. Membiarkan titiknya bergerak menghasilkan aturan yang memberikan gradien untuk setiap masukan: masukkan x dan keluarlah gradien grafik f di x. Bilangan f'(a) tidak lain nilai fungsi ini di a.

Empat akibat perlu disebut sekaligus.

- Daerah asal f' dapat lebih kecil daripada daerah asal f. Ia adalah himpunan x dalam daerah asal f tempat limitnya ada. f(x)=√ x terdefinisi di 0, tetapi f' tidak (grafiknya memiliki garis singgung tegak di sana). - Terdiferensialkan memiliki dua arti. f terdiferensialkan di x bila f'(x) ada, dan terdiferensialkan bila f' ada di setiap titik pada daerah asalnya. - Ada bentuk kedua dari limit itu. Menulis z=x+h, sehingga h=z-x dan h→0 tepat bila z→ x, memberi f'(x)=\lim_z→ x(f(z)-f(x))/(z-x), yang sering lebih mudah bila f memuat akar, seperti pada contoh di bawah. - Diferensiasi adalah operasi pada fungsi. Masukkan fungsi f, keluar fungsi f'. Itulah sebabnya bagian-bagian berikut membahas mencari rumus f', bukan satu bilangan.

Gradien grafik f di x dan laju perubahan sesaat f di x adalah dua cara membaca bilangan f'(x) yang sama, seperti pada bagian tentang laju perubahan.

Bagaimana mencari fungsi turunan dari definisi?

Untuk menurunkan dari definisi, tulis hasil bagi selisih dengan x tetap sebagai huruf, sederhanakan sampai h tercoret, lalu biarkan h→0; yang tersisa adalah rumus dalam x. Berikut lima fungsi, masing-masing dengan triknya sendiri.

1. f(x)=x^2: jabarkan dan coret. Setelah menjabarkan kurung, ((x+h)^2-x^2)/(h)=(2xh+h^2)/(h)=2x+h, yang menuju 2x.

2. f(x)=x^3. Karena (x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3, ((x+h)^3-x^3)/(h)=3x^2+3xh+h^2, yang menuju 3x^2.

3. f(x)=\frac1x: samakan penyebut. Untuk x\ne0, dengan penjumlahan pecahan, \frac\frac1x+h-\frac1xh=(x-(x+h))/(x(x+h) h)=(-1)/(x(x+h)), yang menuju -\frac1x^2.

4. f(x)=(x)/(x-1). Dengan penyebut bersama, pembilangnya adalah (x+h)(x-1)-x(x+h-1)=-h, sehingga faktor h tercoret: (f(x+h)-f(x))/(h)=(-1)/((x+h-1)(x-1)), yang menuju -(1)/((x-1)^2) untuk x\ne1.

5. f(x)=√ x: bentuk kedua dan sekawan. Untuk x>0, tulis z-x=(√ z-√ x)(√ z+√ x) dan coret: (√ z-√ x)/(z-x)=(1)/(√ z+√ x), yang menuju (1)/(2√ x) saat z→ x. Ini trik yang sama dengan merasionalkan. Rumusnya membesar tanpa batas di 0: √ x terdefinisi untuk x\ge0 dan turunannya hanya untuk x>0.

Dua kasus lagi perlu diingat. Untuk konstanta f(x)=c setiap hasil bagi selisih adalah 0, sehingga f'(x)=0. Untuk garis f(x)=mx+b hasilnya (m(x+h)+b-mx-b)/(h)=m, sehingga f'(x)=m: gradien sebuah garis adalah turunannya.

Bandingkan x^2→2x dengan x^3→3x^2. Pada keduanya pangkat turun ke depan dan pangkat x berkurang satu. Pola itu benar, dan aturan turunan membuktikannya untuk setiap bilangan bulat positif; di sini ia hanya pengamatan dari contoh.

Untuk memeriksa salah satunya di suatu titik, masukkan nilai x: untuk (x)/(x-1) di x=3 rumusnya memberi -\frac14, dan gradien garis potong pada alat di bawah mendekati tepat nilai itu. Coba fungsimu sendiri: alat itu menjabarkan hasil bagi selisih dalam pangkat h, atau menyederhanakan turunan sebuah hasil bagi, dan memperlihatkan kedua grafik.

Apa saja notasi untuk turunan?

Turunan y=f(x) dapat ditulis f'(x), y', (dy)/(dx), (df)/(dx), (d)/(dx)f(x), atau Df(x); semuanya menamai fungsi yang sama dan hanya berbeda cara penulisannya. Notasi aksen f' dan y' berasal dari Lagrange dan singkat. Notasi (d)/(dx) adalah milik Leibniz, dan ia punya kelebihan yang tidak dimiliki aksen: ia menyebut peubahnya. Jika y bergantung pada waktu t, (dy)/(dt) menyatakan apa yang berubah terhadap apa, dan ia membawa satuannya, satuan y per satuan t. Huruf (d)/(dx) dan D melambangkan operasi menurunkan, yang dikenakan pada sebuah fungsi. Bacalah (dy)/(dx) sebagai "turunan y terhadap x".

Pada tahap ini (dy)/(dx) adalah satu lambang untuk turunan, bukan pecahan: kamu tidak dapat mencoret d-nya, dan ia bukan "dy dibagi dx". (Kemudian dalam kalkulus dx dan dy memang mendapat arti sendiri, yang membuat notasi ini begitu praktis, tetapi itu gagasan yang terpisah.)

Untuk menyatakan nilai turunan di bilangan tertentu, sebut titiknya dengan garis tegak dan subskrip: f'(a)=(dy)/(dx)\bigg|_x=a=(df)/(dx)\bigg|_x=a. Misalnya, karena (d)/(dx)√ x=(1)/(2√ x), (d)/(dx)√ x\bigg|_x=4=(1)/(2·2)=\frac14, yaitu gradien garis singgung di (4,2).

Pilih bentuk yang paling jelas: f'(x) bila fungsinya bernama, (dy)/(dx) bila peubahnya penting, D bila kamu memperlakukan diferensiasi sebagai operator.

Bagaimana menggambar grafik turunan dari grafik sebuah fungsi?

Bacalah gradien grafik f di banyak titik dan plot gradien itu sebagai tinggi: di tempat f naik grafik f' berada di atas sumbu, di tempat f turun ia berada di bawah, dan di tempat f memiliki garis singgung mendatar ia menyentuh sumbu. Caranya adalah menggambar garis singgung pada langkah-langkah yang rapat sepanjang grafik, menaksir tiap gradien, memplot pasangan (x,f'(x)), dan menghubungkannya dengan kurva.

Membaca grafik f' memberi tiga hal sekilas:

1. Di mana laju perubahan positif, negatif, atau nol. f'>0 berarti f naik, f'<0 berarti turun, f'=0 berarti titik datar, yang sering berupa puncak bukit atau dasar lembah.
2. Seberapa besar lajunya. Makin jauh f' dari sumbu, makin curam grafik f.
3. Di mana laju itu sendiri bertambah atau berkurang. Di tempat grafik f' naik, gradien f membesar; grafik f melengkung ke atas. Di tempat ia turun, grafik f melengkung ke bawah. Laju perubahan f' adalah turunan kedua, ditulis f'', yaitu fungsi turunan yang dikenakan dua kali.

Dua contoh untuk dibandingkan dengan alat di bawah. Untuk f(x)=x^2 gradiennya negatif di kiri puncak, nol di puncak, dan positif di kanan, bertambah secara tetap: f'(x)=2x, sebuah garis lurus. Untuk f(x)=x^3-3x grafiknya naik ke puncak di x=-1, turun melewati x=0 dengan gradien -3 (penurunan paling curam) dan naik lagi setelah lembah di x=1, sehingga f'(x)=3x^2-3 adalah parabola yang memotong sumbu di -1 dan 1 dan memiliki titik terendah di x=0.

Pembacaan gradien yang sama menjelaskan mengapa turunan \sin x adalah \cos x: gradien gelombang sinus nol di setiap puncak dan lembah, terbesar di tempat gelombang memotong sumbu sambil naik, dan hasilnya adalah gelombang yang sama yang digeser seperempat periode ke kiri.

Geser titik di bawah sepanjang sembilan grafik. Grafik atas memperlihatkan f dan garis singgungnya; yang bawah menggambar f' sampai titik itu, dengan tinggi titiknya adalah gradien garis singgung di atasnya.

Apa turunan grafik yang tersusun dari ruas garis?

Turunan grafik yang tersusun dari ruas garis adalah fungsi tangga: pada tiap ruas ia sama dengan gradien ruas itu, dan di sudut tajam, tempat dua ruas dengan gradien berbeda bertemu, ia tidak bernilai. Setiap ruas adalah bagian dari garis y=mx+b, yang turunannya adalah konstanta m.

Ambil grafik yang melalui (0,0), (2,4), (5,4), (7,0), dan (9,2). Gradien ruas-ruasnya adalah (4-0)/(2-0)=2, 0, (0-4)/(7-5)=-2, dan (2-0)/(9-7)=1, sehingga f' bernilai 2 pada (0,2), 0 pada (2,5), -2 pada (5,7), dan 1 pada (7,9). Di x=2, 5, dan 7 gradien sepihaknya berbeda (di kiri dan kanan x=2 berturut-turut 2 dan 0), sehingga turunan kanan dan turunan kiri tidak sama dan f' tidak ada: grafik f' memiliki lingkaran terbuka di kedua sisi setiap sudut tajam. Di kedua ujung grafik hanya ada satu sisi, turunan sepihak.

Sebuah titik sudut hanya merupakan sudut tajam bila gradiennya benar-benar berbeda. Jika ruas di kedua sisinya terletak pada garis yang sama, seperti pada (0,0), (1,1), (3,3), (4,1) di x=1, titik itu bukan sudut tajam dan f' bernilai 1 di sana.

Arah sebaliknya juga bisa, dengan satu hal yang hilang. Dari anak tangga f' kamu dapat membangun kembali grafiknya dengan berjalan: mulai dari sebuah titik, ikuti gradien m_1 sampai patahan pertama, lalu m_2, dan seterusnya. Mulai dari (0,0) dengan gradien 3 sampai x=2, lalu 0 sampai 4, lalu -1 sampai 6, lalu 2 sampai 8, memberi titik sudut (0,0), (2,6), (4,6), (6,4), dan (8,8). Titik awalnya harus diberikan: menggeser grafik ke atas atau ke bawah tidak mengubah gradien mana pun, sehingga turunan saja menentukan grafik hanya sampai sebuah konstanta.

Cobalah kedua arah di bawah. Ketik titik sudut sebuah grafik, atau anak tangga sebuah turunan, dan baca yang lainnya.

Di mana fungsi turunan terdefinisi?

Fungsi turunan terdefinisi di titik-titik tempat limitnya ada, yang dapat lebih sedikit daripada titik tempat f terdefinisi: ia hilang pada sudut tajam, cusp, garis singgung tegak, dan lompatan, dan di ujung selang tertutup hanya turunan sepihak yang dapat ada. Lima cara turunan dapat gagal ada pada bagian tentang fungsi tanpa turunan; di sini pertanyaannya adalah apa akibatnya bagi fungsi f'.

Selang terbuka dan tertutup. f terdiferensialkan pada selang terbuka (hingga atau tak hingga) bila ia memiliki turunan di setiap titiknya. Ia terdiferensialkan pada selang tertutup [a,b] bila ia terdiferensialkan pada (a,b) dan limit-limit sepihak ada di ujung-ujungnya: turunan kanan di a dan turunan kiri di b, \lim_h→0^+(f(a+h)-f(a))/(h), \lim_h→0^-(f(b+h)-f(b))/(h). Di titik dalam, turunan ada tepat bila turunan kiri dan turunan kanan keduanya ada dan sama.

Nilai mutlak. Untuk x>0, |x|=x memiliki turunan 1, dan untuk x<0, |x|=-x memiliki turunan -1. Di 0 turunan kanannya 1 dan turunan kirinya -1, sehingga tidak ada turunan. Fungsi turunannya adalah -1 untuk x<0 dan 1 untuk x>0 (untuk x\ne0 dapat ditulis (x)/(|x|)), tanpa nilai di 0. Jadi f=|x| terdiferensialkan pada (-∞,0) dan pada (0,∞) tetapi tidak di 0, dan daerah asal f' meninggalkan sudut tajamnya.

Akar kuadrat. Di 0 gradien garis potong √ x adalah (√ h)/(h)=\frac1√ h, yang membesar tanpa batas, sehingga tidak ada turunan di 0 dan grafiknya memiliki garis singgung tegak di sana. Daerah asal f' adalah (0,∞), satu titik lebih kecil daripada daerah asal f.

Turunan tidak harus kontinu. Jika f terdiferensialkan di suatu titik, ia kontinu di sana, tetapi fungsi turunannya masih dapat berperilaku buruk. Misalkan f(x)=x^2\sin\frac1x untuk x\ne0 dan f(0)=0. Di 0 hasil bagi selisihnya adalah h\sin\frac1h, yang menuju 0, sehingga f'(0)=0. Untuk x\ne0 rumusnya memberi f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x, dan saat x→0 suku 2x\sin\frac1x menghilang tetapi \cos\frac1x terus berayun di antara -1 dan 1. Jadi f terdiferensialkan di mana-mana dan f' tidak kontinu di 0. Grafik terakhir pada alat di atas memperlihatkannya.

Bagaimana menghitung dan memplot fungsi turunan dalam kode?

Dalam kode, turunkan secara simbolik dengan SymPy untuk memperoleh rumus eksak, atau secara numerik dengan selisih terpusat pada sebuah grid bila yang kamu miliki hanya bilangan; keduanya menghasilkan turunan yang dapat dievaluasi dan diplot. SymPy bekerja pada rumus dan mengembalikan rumus f', sehingga diff adalah diferensiasi sebagai operasi pada fungsi. Ia mungkin memerlukan simplify untuk menuliskan jawaban dalam bentuk yang kamu tulis dengan tangan: untuk (x)/(x-1) ia lebih dulu mengembalikan -(x)/((x-1)^2)+(1)/(x-1), yang sama dengan -(1)/((x-1)^2), hasil dari definisi di atas.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = x / (x - 1)
print(sp.diff(f, x))              # -x/(x - 1)**2 + 1/(x - 1)
print(sp.simplify(sp.diff(f, x))) # -1/(x - 1)**2
print(sp.diff(sp.sqrt(x), x))     # 1/(2*sqrt(x))
print(sp.diff(1 / x, x))          # -1/x**2

Dengan bilangan saja, fungsi turunan adalah fungsi yang mengembalikan hasil bagi selisih. Blok pertama di bawah membangunnya dari fungsi apa pun: derivative(f) mengembalikan fungsi baru, sehingga turunan benar-benar sebuah fungsi dalam program juga. Blok kedua menurunkan sampel pada sebuah grid dengan NumPy. Pada grid berjarak 0,5 untuk x^3-3x nilai-nilai di bagian dalam meleset tepat h^2=0,25 (galat selisih terpusat), tetapi di kedua ujung NumPy hanya dapat memakai satu sisi, turunan sepihak, dan melesetnya 2,75: cerita ujung yang sama seperti pada selang tertutup.

import numpy as np

def derivative(f, h=1e-5):
    """The derivative of f, as a new function (central difference)."""
    return lambda x: (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

g = derivative(lambda t: t**3 - 3*t)
print([round(g(t), 6) for t in (-2, -1, 0, 1, 2)])   # [9.0, 0.0, -3.0, 0.0, 9.0]

xs = np.linspace(-2, 2, 9)                   # spacing 0.5
ys = xs**3 - 3*xs
dy = np.gradient(ys, xs)                     # central inside, one-sided at the ends
print(dy)                                    # [ 6.25  4.    0.25 -2.   -2.75 -2.    0.25  4.    6.25]
print(3*xs**2 - 3)                           # [ 9.    3.75  0.   -2.25 -3.   -2.25  0.    3.75  9.  ]
print(np.round(dy - (3*xs**2 - 3), 4))       # [-2.75  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25 -2.75]

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

double f(double t) { return t * t * t - 3 * t; }
double derivative(double x, double h) { return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h); }   // central difference

int main() {
  for (int t = -2; t <= 2; t++) printf("%.4f ", derivative(t, 1e-5));   // 9 0 -3 0 9
  cout << endl;

  double xs[9], ys[9], dy[9];                          // a grid with spacing 0.5
  for (int i = 0; i < 9; i++) { xs[i] = -2 + 0.5 * i; ys[i] = f(xs[i]); }
  dy[0] = (ys[1] - ys[0]) / 0.5;                       // one-sided at the ends
  dy[8] = (ys[8] - ys[7]) / 0.5;
  for (int i = 1; i < 8; i++) dy[i] = (ys[i + 1] - ys[i - 1]) / 1.0;   // central inside
  for (int i = 0; i < 9; i++) printf("%6.2f", dy[i]);
  cout << endl;
  for (int i = 0; i < 9; i++) printf("%6.2f", 3 * xs[i] * xs[i] - 3);   // the exact derivative
  cout << endl;
  for (int i = 0; i < 9; i++) printf("%6.2f", dy[i] - (3 * xs[i] * xs[i] - 3));   // the ends are worst
  cout << endl;
  return 0;
}

/* output:
9.0000 0.0000 -3.0000 0.0000 9.0000
  6.25  4.00  0.25 -2.00 -2.75 -2.00  0.25  4.00  6.25
  9.00  3.75  0.00 -2.25 -3.00 -2.25  0.00  3.75  9.00
 -2.75  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  0.25 -2.75
*/

Dari mana asal nama dan lambang turunan?

Gagasannya lebih tua daripada lambangnya: tiga notasi yang dipakai sekarang berasal dari Leibniz, Newton, dan Lagrange, dan kata "turunan" sendiri berasal dari bahasa Prancis.

• Leibniz. Gottfried Leibniz memperkenalkan dx dan dy, bersama tanda integral, dalam naskah tahun 1675 dan menerbitkan kalkulus diferensialnya pada 1684. (dy)/(dx)-nya dimaksudkan sebagai perbandingan selisih-selisih kecil, itulah sebabnya ia tetap praktis saat mengganti peubah, dan ia menyebut peubahnya.
• Newton. Isaac Newton menulis laju perubahan besaran yang mengalir y dengan sebuah titik di atas hurufnya, ẏ, yang ia sebut fluksinya. Titik itu bertahan dalam fisika untuk turunan terhadap waktu.
• Lagrange. Joseph-Louis Lagrange ingin mendasarkan kalkulus pada aljabar dan menyebut fungsi yang diperoleh dari f sebagai fonction dérivée, fungsi turunan, dalam Théorie des fonctions analytiques (1797). Kata "turunan" dan aksen f'(x) berasal dari sana.
• Arbogast. Louis Arbogast memperkenalkan huruf operator D untuk operasi menurunkan pada 1800, yaitu notasi yang dipakai pada Df(x) dan D^2f.

Definisi limit yang menjadi titik tolak artikel ini lebih kemudian dan diuraikan dalam sejarah pada artikel tentang garis singgung.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada fungsi turunan?

Kesalahan paling umum pada turunan sebagai fungsi adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: turunan sebagai fungsi sekilas

• Definisi: f'(x)=\lim_h→0(f(x+h)-f(x))/(h)=\lim_z→ x(f(z)-f(x))/(z-x), fungsi dari x yang daerah asalnya adalah tempat limit ada.
• Dari definisi: x^2→2x, x^3→3x^2, \frac1x→-\frac1x^2, (x)/(x-1)→-\frac1(x-1)^2, √ x→\frac12√ x; konstanta →0, garis mx+b→ m.
• Notasi: f'(x), y', (dy)/(dx), (df)/(dx), (d)/(dx)f(x), Df(x); (dy)/(dx)\big|_x=a untuk sebuah nilai; satu lambang, bukan pecahan.
• Grafik f': plot gradien; f'>0 naik, f'<0 turun, f'=0 datar; di tempat f' naik, f melengkung ke atas (f''>0).
• Ruas garis: turunannya fungsi tangga; sudut tajam tidak bernilai; turunan menentukan grafik hanya sampai sebuah konstanta.
• Daerah asal: selang terbuka = setiap titik; selang tertutup = juga turunan sepihak di ujung; hilang pada sudut tajam, cusp, garis singgung tegak, lompatan.
• Hati-hati: f' tidak harus kontinu (x^2\sin\frac1x); f'(x) bukan f(x+h)-f(x) dan bukan \frac1x^2 untuk \frac1x.
• Kode: diff SymPy untuk rumus eksak; fungsi yang mengembalikan selisih terpusat, atau gradient NumPy, untuk bilangan.

Glosarium: istilah penting

Fungsi turunan

Fungsi f aksen yang nilainya di setiap x adalah turunan f di x itu, terdefinisi di mana pun limit hasil bagi selisih ada.

Diferensiasi

Proses mencari turunan sebuah fungsi; ia adalah operasi yang menerima fungsi sebagai masukan dan mengembalikan fungsi lain.

Terdiferensialkan pada selang

Memiliki turunan di setiap titik pada selang terbuka, atau, untuk selang tertutup, di bagian dalam ditambah turunan sepihak di kedua ujungnya.

Turunan kanan dan turunan kiri

Limit hasil bagi selisih saat h mendekati nol dari atas dan dari bawah; turunan ada di titik dalam tepat bila keduanya ada dan sama.

Notasi aksen

Cara menulis turunan dengan aksen, f aksen dari x atau y aksen, yang berasal dari Lagrange.

Notasi Leibniz

Cara menulis turunan sebagai dy per dx, yang menyebut peubahnya dan dibaca turunan y terhadap x; ia satu lambang, bukan pecahan untuk dicoret.

Fungsi tangga

Fungsi yang konstan pada tiap beberapa selang, sehingga grafiknya berupa deretan potongan mendatar; ia adalah turunan grafik yang tersusun dari ruas garis.

Turunan kedua

Turunan dari turunan, ditulis f aksen ganda; ia adalah laju perubahan gradien dan menyatakan apakah grafik melengkung ke atas atau ke bawah.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.2: The Derivative as a Function. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 2.8: The Derivative as a Function. Cengage Learning.
3. Florian Cajori (1929). A History of Mathematical Notations, volume 2, on the notations of the calculus. Open Court Publishing.
4. Joseph-Louis Lagrange (1797). Théorie des fonctions analytiques. Imprimerie de la République.
5. SymPy Development Team. SymPy tutorial: Calculus (diff). docs.sympy.org. https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/calculus.html.
6. NumPy Developers. NumPy reference: numpy.gradient. numpy.org. https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.gradient.html.

Artikel terkait

• Garis Singgung dan Turunan di Suatu Titik: Garis singgung dan turunan di suatu titik: gradien garis potong dan limit, definisi f′(a), garis singgung dan normal, laju perubahan, serta kapan turunan tidak ada.
• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.
• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.