Turunan Fungsi Trigonometri

Mengapa turunan sinus bergantung pada limit sin h per h?

Karena hasil bagi selisih \sin x, setelah rumus jumlah sudut dipakai, terpecah menjadi dua bagian, yang satu dikalikan (\cos h-1)/(h) dan yang lain dikalikan (\sin h)/(h), sehingga turunannya diketahui begitu kedua limit itu diketahui. Keduanya limit berbentuk \frac00: pembilang dan penyebut menuju nol bersama-sama, dan jawabannya bergantung pada seberapa cepat masing-masing menuju nol. Kedua faktanya adalah \lim_h→0(\sin h)/(h)=1 \lim_h→0(\cos h-1)/(h)=0, dengan h diukur dalam radian.

Apitan untuk (\sin h)/(h). Gambar lingkaran berjari-jari 1 dan sudut h dengan 0<h<(π)/(2). Sudut itu memotong sebuah juring dari lingkaran, dan tiga luas dapat dibandingkan, semuanya saling berada di dalam:

• segitiga tipis dengan sisi tegak setinggi \sin h berluas \frac12\sin h;
• juring berluas \frac12h, karena juring bersudut h radian adalah bagian (h)/(2π) dari luas lingkaran π;
• segitiga yang lebih besar, yang menyentuh lingkaran di ujung busur, setinggi \tan h dan berluas \frac12\tan h.

Yang pertama berada di dalam yang kedua, yang berada di dalam yang ketiga, sehingga \sin h<h<\tan h. Membagi dengan \sin h, yang positif, memberi 1<(h)/(\sin h)<(1)/(\cos h), dan mengambil kebalikan membalik pertidaksamaannya: \cos h<(\sin h)/(h)<1. Saat h→0^+ kosinus menuju 1, sehingga teorema apit memaksa (\sin h)/(h)→1. Hasil bagi itu tidak berubah ketika h menjadi -h, karena \sin h dan h sama-sama berganti tanda, sehingga limit dari kiri sama, dan limit dua sisinya adalah 1.

Mengapa \cos h→1. Dari rumus sudut ganda, 1-\cos h=2\sin^2\frac h2, dan \sin\frac h2<\frac h2 dari pertidaksamaan di atas, sehingga 0\le1-\cos h<(h^2)/(2), yang menuju 0.

Limit kedua. Kalikan pembilang dan penyebut dengan 1+\cos h: (\cos h-1)/(h)=-((1-\cos h)(1+\cos h))/(h (1+\cos h)) =-(\sin^2h)/(h (1+\cos h)) =-(\sin h)/(h)·(\sin h)/(1+\cos h). Faktor pertama menuju 1 dan faktor kedua menuju 0/2=0, sehingga hasil kalinya menuju 0. Batas yang sama menunjukkannya dengan cepat: 0\le(1-\cos h)/(h)<\frac h2.

Tiga limit yang mengikuti.

• \lim_x→0(\sin 3x)/(x)=3\lim_x→0(\sin3x)/(3x)=3·1=3, karena 3x→0 bila x→0.
• \lim_x→0(\tan x)/(x)=\lim_x→0(\sin x)/(x)·(1)/(\cos x)=1·1=1.
• \lim_x→0(1-\cos x)/(x^2)=\lim_x→0(\sin^2x)/(x^2(1+\cos x))=1·\frac12=\frac12.

Mengapa radian. Luas juring, \frac12h, benar hanya untuk ukuran radian. Jika h dalam derajat, sudut dalam radian adalah (π h)/(180), dan limit pertama menjadi (π)/(180)≈0,01745, bukan 1. Turunan sinus lalu akan membawa faktor yang canggung itu setiap kali. Kalkulus mengukur sudut dalam radian agar faktornya 1.

Gerakkan h mendekati nol di bawah, dalam radian lalu dalam derajat, dan perhatikan kedua hasil baginya.

Apa turunan sin x dan cos x?

Turunan \sin x adalah \cos x dan turunan \cos x adalah -\sin x, untuk setiap x real yang diukur dalam radian. (d)/(dx)\sin x=\cos x (d)/(dx)\cos x=-\sin x.

Bukti untuk sinus. Pakai rumus jumlah sudut \sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h pada hasil bagi selisih: (\sin(x+h)-\sin x)/(h) =(\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x)/(h) =\sin x·(\cos h-1)/(h)+\cos x·(\sin h)/(h). Di sini x tetap dan h-lah yang berubah, sehingga \sin x dan \cos x adalah konstanta saat h→0. Dengan dua limit pada bagian sebelumnya, hasil bagi itu menuju \sin x·0+\cos x·1=\cos x.

Bukti untuk kosinus. Pakai \cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h: (\cos(x+h)-\cos x)/(h) =(\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x)/(h) =\cos x·(\cos h-1)/(h)-\sin x·(\sin h)/(h) →\cos x·0-\sin x·1=-\sin x.

Seperti apa tampaknya. Gradien gelombang sinus adalah 1 di tempat ia memotong sumbu sambil naik, 0 di puncak dan lembah, dan -1 di tempat ia memotong sambil turun, sehingga grafik gradiennya adalah gelombang kosinus. Kosinus mulai dari puncaknya dengan gradien 0 lalu turun, sehingga gradiennya negatif sesudahnya: minus gelombang sinus. Menurunkan dua kali membalik tanda: (d^2)/(dx^2)\sin x=-\sin x.

Contoh. Semuanya memakai aturan penurunan bersama dua rumus baru.

• y=x^2-\sin x memberi y'=2x-\cos x.
• y=e^x\sin x memberi, dengan aturan hasil kali, y'=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x).
• y=(\sin x)/(x) memberi, dengan aturan hasil bagi, y'=(x\cos x-\sin x)/(x^2).
• y=5e^x+\cos x memberi y'=5e^x-\sin x.
• y=\sin x\cos x memberi y'=\cos x·\cos x+\sin x·(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x, yaitu \cos 2x.
• y=(\cos x)/(1-\sin x) memberi y'=((-\sin x)(1-\sin x)-\cos x (-\cos x))/((1-\sin x)^2)=(1-\sin x)/((1-\sin x)^2)=(1)/(1-\sin x), karena \sin^2x+\cos^2x=1.

Kedua fungsi terdiferensialkan di mana-mana, sehingga keduanya kontinu di mana-mana, dan grafik turunan sebuah gelombang adalah gelombang lain, seperti pada menggambar grafik turunan.

Geser titik sepanjang salah satu dari enam grafik di bawah: garis singgungnya digambar, dan grafik kedua menunjukkan gradiennya di sana.

Apa turunan tan, cot, sec, dan csc?

Turunan keempat fungsi lainnya adalah \tan'x=\sec^2x, \cot'x=-\csc^2x, \sec'x=\sec x\tan x, dan \csc'x=-\csc x\cot x, dan masing-masing berasal dari aturan hasil bagi yang diterapkan pada sinus dan kosinus. Rumus itu berlaku di setiap x tempat fungsinya terdefinisi: untuk \tan dan \sec itu mengecualikan kelipatan ganjil (π)/(2), dan untuk \cot dan \csc kelipatan π.

• Tangen. \tan x=(\sin x)/(\cos x), sehingga \tan'x=(\cos x·\cos x-\sin x·(-\sin x))/(\cos^2x)=(\cos^2x+\sin^2x)/(\cos^2x)=(1)/(\cos^2x)=\sec^2x.
• Kotangen. \cot x=(\cos x)/(\sin x), sehingga \cot'x=(-\sin x·\sin x-\cos x·\cos x)/(\sin^2x)=(-1)/(\sin^2x)=-\csc^2x.
• Sekan. \sec x=(1)/(\cos x), sehingga \sec'x=(0·\cos x-1·(-\sin x))/(\cos^2x)=(\sin x)/(\cos^2x)=(1)/(\cos x)·(\sin x)/(\cos x)=\sec x\tan x.
• Kosekan. \csc x=(1)/(\sin x), sehingga \csc'x=(0·\sin x-1·\cos x)/(\sin^2x)=(-\cos x)/(\sin^2x)=-\csc x\cot x.

Satu tabel untuk keenamnya. Ketiga fungsi yang berawalan "ko" memiliki tanda minus, seperti kosinus.

Apa kata gradiennya. Karena \cos^2x\le1, gradien \sec^2x dari tangen tidak pernah di bawah 1: fungsi tangen selalu naik, paling landai di titik asal, tempat \sec^2 0=1, dan makin curam tanpa batas di dekat tiap asimtot tegak. Di x=(π)/(4) nilainya \sec^2(π)/(4)=2, sehingga garis singgung y=\tan x di sana melalui \left((π)/(4),1\right) dengan gradien 2. Kotangen adalah bayangan cerminnya, selalu turun, dengan gradien paling besar -1. Gradien \sec x\tan x dari sekan bernilai 0 di kelipatan π, tempat sekan bernilai ±1.

Garis singgung mendatar. Di mana y=x+2\sin x memiliki garis singgung mendatar pada 0\le x\le2π? Setel y'=1+2\cos x=0, sehingga \cos x=-\frac12, yang memberi x=(2π)/(3) dan x=(4π)/(3). Titiknya \left((2π)/(3),(2π)/(3)+√3\right) dan \left((4π)/(3),(4π)/(3)-√3\right), sekitar (2,09; 3,83) dan (4,19; 2,46).

Turunan kedua. Untuk y=\sec x, y'=\sec x\tan x dan aturan hasil kali memberi y''=\sec x\tan x·\tan x+\sec x·\sec^2x =\sec^3x+\sec x\tan^2x. Karena \tan^2x=\sec^2x-1, ini juga 2\sec^3x-\sec x.

Ketik ekspresi apa saja di bawah, dengan jumlah, hasil kali, dan hasil bagi dari keenam fungsi itu, pangkat x, dan e^x, dan langkahnya ditampilkan aturan demi aturan, sampai turunan keempat.

Bagaimana sinus dan kosinus menggambarkan beban pada pegas?

Beban yang tergantung pada pegas, ditarik ke bawah 5 satuan dan dilepas pada waktu t=0, bergerak sebagai s=5\cos t; menurunkannya memberi kecepatan v=-5\sin t, percepatan a=-5\cos t, dan sentakan j=5\sin t, sehingga percepatan selalu negatif dari posisi: a=-s. Inilah gerak harmonik sederhana. Ukur s ke bawah dari posisi diam, dalam sentimeter, dan t dalam detik. Turunan-turunannya adalah turunan pada gerak sepanjang garis lurus, dengan dua rumus baru memberi tiap-tiapnya.

• Posisi. s=5\cos t bergerak di antara -5 dan 5. Jarak 5 dari posisi diam adalah amplitudo. Geraknya berulang setelah 2π detik, yaitu periode, karena kosinus berulang demikian.
• Kecepatan. v=(ds)/(dt)=-5\sin t. Ia negatif sesaat setelah t=0, sehingga beban bergerak ke atas, dan ia 0 di t=0 karena beban dilepas dari keadaan diam.
• Percepatan. a=(dv)/(dt)=-5\cos t=-s. Saat beban di bawah posisi diam (s>0) percepatannya mengarah ke atas, dan saat di atasnya (s<0) mengarah ke bawah: ia selalu mengarah kembali ke posisi diam. Pegas yang menarik dengan gaya sebanding dengan regangan, F=-ks, memberi tepat ini, dan itulah hukum Hooke.
• Sentakan. j=(da)/(dt)=5\sin t.

Di mana laju terbesar? Lajunya |v|=5|\sin t|. Ia terbesar, 5 cm/s, bila \sin t=±1, yaitu bila \cos t=0, saat beban melewati posisi diam s=0. Ia 0 di ujung ayunan, s=±5, tempat beban berbalik arah. Percepatan sebaliknya: besarnya terbesar di ujung, dan 0 di posisi diam. Sentakan terbesar di posisi diam, tempat percepatan berganti tanda paling cepat.

Pemeriksaan energi. Dari s=5\cos t dan v=-5\sin t, s^2+v^2=25\cos^2t+25\sin^2t =25=A^2, sehingga titik berkoordinat (s,v) mengelilingi lingkaran berjari-jari 5: saat posisi besar kecepatan kecil, dan sebaliknya.

Periode lain. Pegas yang lebih kaku atau beban yang lebih ringan berayun lebih cepat, dengan s=A\cos(\omega t) untuk konstanta \omega, dan tiap turunan lalu mendapat faktor \omega. Itulah aturan rantai yang bekerja, yang belum diperlukan artikel ini: di sini \omega=1.

Ubah amplitudo dan waktu di bawah dan perhatikan beban, kedua grafik, dan angkanya.

Berapa turunan ke-n dari sin x atau cos x?

Turunan sinus dan kosinus berulang setiap empat langkah, sehingga turunan ke-n hanya bergantung pada sisa n dibagi 4. Mulai dari sinus turunannya berjalan \sin x, \cos x, -\sin x, -\cos x lalu \sin x lagi; mulai dari kosinus berjalan \cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x lalu \cos x lagi.

Alasannya, turunan sinus mendahuluinya seperempat putaran: empat langkah seperti itu mengembalikan gelombang ke tempat ia mulai. Kedua fungsi memenuhi y''=-y, yaitu persamaan pegas pada bagian sebelumnya.

Tiga contoh. Turunan tingkat tinggi biasa adalah n langkah penurunan, jadi sederhanakan n lebih dulu.

• (d^999)/(dx^999)\cos x: 999=4·249+3, bersisa 3, sehingga jawabannya \sin x.
• (d^110)/(dx^110)\left(\sin x-3\cos x\right): 110=4·27+2, bersisa 2, sehingga tiap fungsi diganti negatifnya sendiri dan jawabannya -\sin x+3\cos x.
• (d^73)/(dx^73)\sin x: 73=4·18+1, bersisa 1, sehingga jawabannya \cos x.

Keempat fungsi lain tidak berulang. Turunan tangen justru bertambah panjang: \tan'x=\sec^2x, \tan''x=2\sec^2x\tan x dengan aturan hasil kali, dan tiap turunan berikutnya lebih panjang, karena \sec dan \tan terus saling mengalikan. Hanya sinus dan kosinus, gelombang yang berputar dalam lingkaran, yang berulang.

Bagaimana menurunkan fungsi trigonometri dalam kode?

SymPy mengenal seluruh tabel: sp.diff(sp.sin(x), x) memberi cos(x), dan sp.diff(f, x, n) mengambil turunan ke-n, bahkan untuk n=999. SymPy menulis \sec^2x sebagai tan(x)**2 + 1, yang fungsi yang sama menurut \sec^2x=1+\tan^2x. Program kedua memeriksa limit secara numerik. Dalam radian, sin(h)/h naik menuju 1 dan (cos(h) - 1)/h mengecil seperti -\frac h2; dalam derajat, setelah diubah dengan h * pi/180, hasil bagi pertama menetap di (π)/(180)=0,0174533.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
for f in (sp.sin(x), sp.cos(x), sp.tan(x), sp.cot(x), sp.sec(x), sp.csc(x)):
    print(f, '->', sp.diff(f, x))
# sin(x) -> cos(x)
# cos(x) -> -sin(x)
# tan(x) -> tan(x)**2 + 1            (that is sec(x)**2)
# cot(x) -> -cot(x)**2 - 1           (that is -csc(x)**2)
# sec(x) -> tan(x)*sec(x)
# csc(x) -> -cot(x)*csc(x)

print(sp.diff(sp.exp(x) * sp.sin(x), x))              # exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
print(sp.simplify(sp.diff(sp.cos(x) / (1 - sp.sin(x)), x)))   # -1/(sin(x) - 1), which is 1/(1 - sin(x))
print(sp.diff(sp.cos(x), x, 999))                     # sin(x)
print(sp.diff(sp.sin(x) - 3 * sp.cos(x), x, 110))     # -sin(x) + 3*cos(x)

import math

for h in (0.1, 0.01, 0.001, 0.0001):
    print(h, round(math.sin(h) / h, 8), round((math.cos(h) - 1) / h, 8))
# 0.1    0.99833417 -0.04995835
# 0.01   0.99998333 -0.00499996
# 0.001  0.99999983 -0.0005
# 0.0001 1.0        -5e-05

d = math.pi / 180                                    # one degree, in radians
for h in (1, 0.1, 0.01):
    print(h, round(math.sin(h * d) / h, 8))          # 0.01745241, 0.01745328, 0.01745329
print(round(d, 8))                                   # 0.01745329: the limit is pi/180, not 1

print(math.sin(30), math.sin(math.radians(30)))      # -0.988... and 0.5: sin(30) treats 30 as radians

for h in (0.1, 0.01, 0.001):
    print(h, (math.sin(1 + h) - math.sin(1 - h)) / (2 * h))   # 0.5394, 0.54029, 0.5403022
print(math.cos(1))                                   # 0.5403023: the central difference reaches cos(1)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);

int main() {
  double hs[4] = {0.1, 0.01, 0.001, 0.0001};
  for (int i = 0; i < 4; i++) {
    double h = hs[i];
    printf("%.4f  %.8f  %.8f\n", h, sin(h) / h, (cos(h) - 1) / h);    // the two limits: 1 and 0
  }
  double d = PI / 180;                                  // one degree, in radians
  double ds[3] = {1, 0.1, 0.01};
  for (int i = 0; i < 3; i++) printf("%.2f  %.8f\n", ds[i], sin(ds[i] * d) / ds[i]);
  printf("%.8f\n", d);                                  // the limit in degrees is pi/180, not 1

  printf("%.6f %.6f\n", sin(30.0), sin(30 * d));        // sin(30) treats 30 as radians
  for (int i = 0; i < 3; i++) {
    double h = hs[i];
    printf("%.4f  %.7f\n", h, (sin(1 + h) - sin(1 - h)) / (2 * h));  // the central difference of sin at 1
  }
  printf("%.7f\n", cos(1.0));                           // ... reaches cos(1)
  return 0;
}

/* output:
0.1000  0.99833417  -0.04995835
0.0100  0.99998333  -0.00499996
0.0010  0.99999983  -0.00050000
0.0001  1.00000000  -0.00005000
1.00  0.01745241
0.10  0.01745328
0.01  0.01745329
0.01745329
-0.988032 0.500000
0.1000  0.5394023
0.0100  0.5402933
0.0010  0.5403022
0.5403023
*/

Jebakan di bahasa apa pun adalah satuannya. math.sin, Math.sin, dan np.sin dari NumPy semuanya mengharapkan radian, sehingga math.sin(30) adalah sinus 30 radian, -0,988, bukan 0,5. Ubah dengan math.radians lebih dulu. Satuan yang sama berada di balik rumus-rumus turunan: bilangan cos(1) dan selisih terpusat di atas hanya cocok karena x=1 adalah ukuran radian.

Siapa yang pertama mempelajari sinus, dan kapan ia menjadi fungsi kalkulus?

Sinus bermula sebagai tabel panjang dalam astronomi, dan ia menjadi fungsi yang memiliki turunan hanya ketika radian dan deret tak hingga tiba.

• Tali busur dan sinus pertama. Astronom Yunani seperti Hipparchus dan, sekitar tahun 150, Ptolemeus menyusun tabel panjang tali busur lingkaran. Astronom India, pada abad kelima dan sesudahnya, mengganti tali busur dengan setengah tali busur, yaitu jya, yang adalah sinus. Kata "sinus" berasal darinya lewat bahasa Arab, yang diterjemahkan menjadi sinus dalam bahasa Latin.
• Deret. Di mazhab Kerala di India, Madhava dari Sangamagrama dan penerusnya, sekitar abad ke-14, menemukan deret tak hingga untuk sinus dan kosinus, sekitar dua abad sebelum ditemukan kembali di Eropa. Isaac Newton memilikinya pada 1660-an dan memakainya dalam kalkulus.
• Radian. Roger Cotes pada 1714 melihat bahwa ukuran alami sebuah sudut adalah panjang busurnya pada lingkaran berjari-jari 1. Kata "radian" sendiri pertama kali muncul dalam cetakan pada 1873.
• Fungsi modern. Leonhard Euler, dalam Introductio in analysin infinitorum (1748), memperlakukan sinus dan kosinus sebagai fungsi dari sebuah bilangan, dalam radian, dengan lambang yang kita pakai sekarang.
• Hukum Hooke. Robert Hooke menerbitkan "seperti regangannya, begitu gayanya" pada 1678, hukum pegas di balik gerak harmonik sederhana.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada turunan trigonometri?

Kesalahan paling umum pada turunan trigonometri adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: turunan fungsi trigonometri sekilas

• Dua limit: (\sin h)/(h)→1 dan (\cos h-1)/(h)→0, dari apitan \cos h<(\sin h)/(h)<1; hanya dalam radian (dalam derajat yang pertama adalah (π)/(180)).
• Sinus dan kosinus: (\sin x)'=\cos x dan (\cos x)'=-\sin x, dengan rumus jumlah sudut.
• Empat lainnya: (\tan x)'=\sec^2x, (\cot x)'=-\csc^2x, (\sec x)'=\sec x\tan x, (\csc x)'=-\csc x\cot x, dengan aturan hasil bagi; fungsi "ko" negatif.
• Gradien: gradien \tan x paling sedikit 1; y=x+2\sin x memiliki garis singgung mendatar di (2π)/(3) dan (4π)/(3) pada [0,2π].
• Pegas: s=5\cos t, v=-5\sin t, a=-s; laju terbesar di posisi diam dan nol di ujung.
• Turunan tingkat tinggi: sinus dan kosinus berulang setiap empat langkah; sederhanakan n modulo 4.
• Belum: \sin 2x dan \sin^2x memerlukan aturan rantai.
• Kode: sp.diff(f, x, n); sudut pada math.sin dalam radian.

Glosarium: istilah penting

Radian

Sudut di pusat lingkaran yang memotong busur sepanjang jari-jarinya; satuan tempat turunan sinus dan kosinus berbentuk sederhana.

Teorema apit

Jika suatu besaran terletak di antara dua besaran lain yang menuju limit yang sama, ia menuju limit itu juga; teorema ini memberi limit sin h per h sebesar 1.

Kofungsi

Salah satu dari fungsi kosinus, kotangen, dan kosekan, yang turunannya bertanda minus, seperti turunan kosinus yang adalah minus sinus.

Fungsi sekan

Kebalikan kosinus, satu per cos x; turunannya adalah sec x kali tan x.

Gerak harmonik sederhana

Gerak yang percepatannya selalu sebanding dengan simpangan dan mengarah kembali ke posisi diam, sehingga posisinya adalah sinus atau kosinus dari waktu.

Amplitudo

Jarak terbesar besaran yang berosilasi dari posisi diamnya, seperti 5 pada gerak s sama dengan 5 cos t.

Periode

Waktu setelah mana suatu osilasi mengulang dirinya; untuk sinus dan kosinus dari t nilainya 2π.

Hukum Hooke

Hukum bahwa gaya pegas sebanding dengan regangannya dan mengarah kembali ke posisi diam, yang menghasilkan gerak harmonik sederhana.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.5: Derivatives of Trigonometric Functions. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.3: Derivatives of Trigonometric Functions. Cengage Learning.
3. Leonhard Euler (1748). Introductio in analysin infinitorum. Lausanne.
4. Robert Hooke (1678). De Potentia Restitutiva, or of Spring. John Martyn, London.
5. SymPy Development Team. SymPy tutorial: Calculus. docs.sympy.org. https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/calculus.html.

Artikel terkait

• Turunan sebagai Laju Perubahan: Turunan sebagai laju perubahan: kecepatan, laju, percepatan dan sentakan, jatuh bebas, biaya dan pendapatan marjinal, kepekaan terhadap perubahan, serta kode.
• Aturan Turunan: Aturan turunan dengan bukti dan contoh: aturan konstanta, pangkat, kelipatan, jumlah, hasil kali, hasil bagi, turunan e^x, dan turunan tingkat tinggi.
• Aturan Rantai: Aturan rantai dijelaskan: cara menemukan fungsi dalam dan luar suatu fungsi komposit, aturan rantai pangkat, fungsi bersarang, turunan kedua, dan kode.
• Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan: Lingkaran: pi, keliling dan luas, busur dan juring, teorema sudut, tali busur dan garis singgung, persamaan lingkaran, dan kedudukan garis, dengan latihan.