Aturan Turunan

Bagaimana menurunkan konstanta dan pangkat dari x?

Turunan konstanta adalah 0, dan turunan pangkat dari x diperoleh dengan menurunkan pangkatnya ke depan dan mengurangi pangkatnya satu: (d)/(dx)x^n=nx^n-1. Fungsi turunan yang dicari dari definisi memperlihatkan polanya, x^2→2x dan x^3→3x^2; bagian ini membuktikannya.

Aturan konstanta. Jika f(x)=c maka setiap hasil bagi selisih adalah (c-c)/(h)=0, sehingga (d)/(dx)c=0. Garis mendatar bergradien 0 di mana-mana.

Aturan pangkat untuk bilangan bulat positif. Kesamaan z^n-x^n=(z-x) S, dengan S=z^n-1+z^n-2x+…+zx^n-2+x^n-1 yang memuat n suku, dapat diperiksa dengan menjabarkan ruas kanan: semuanya habis kecuali z^n-x^n. Dengan bentuk kedua definisi, membagi dengan z-x menyisakan S, dan saat z→ x masing-masing dari n sukunya menuju x^n-1: (d)/(dx)x^n=\lim_z→ xS=nx^n-1.

Aturan yang sama untuk setiap pangkat real. Rumusnya berlaku untuk semua n real, bukan hanya bilangan bulat positif, di tempat x^n dan x^n-1 terdefinisi; pembuktian untuk jenis pangkat lainnya datang bersama turunan logaritma, dan di sini rumusnya dipakai sebagai alat. Kurangi pangkat dengan 1 dan kalikan dengan pangkat lama:

• (d)/(dx)x^3=3x^2.
• (d)/(dx)x^2/3=\frac23x^-1/3, terdefinisi untuk x\ne0. Di 0 fungsi x^2/3 memiliki cusp, dan rumusnya membesar di sana sebagaimana mestinya.
• (d)/(dx)x^√2=√2 x^√2-1.
• (d)/(dx)(1)/(x^4)=(d)/(dx)x^-4=-4x^-5=-(4)/(x^5).
• (d)/(dx)x^-4/3=-\frac43x^-7/3.
• (d)/(dx)x^π+1=(π+1)x^π.

Hukum eksponen memungkinkan kamu menulis akar dan kebalikan sebagai pangkat: √ x=x^1/2 dan \frac1x^4=x^-4. Itu langkah pertama pada kebanyakan soal, dan ia mengubah √ x menjadi \frac12x^-1/2=(1)/(2√ x), rumus yang memerlukan sekawan untuk diperoleh dari definisi.

Coba alat di bawah pada salah satunya. Ia memakai aturan satu per satu, menyebut tiap aturan, dan mencocokkan jawabannya dengan hasil bagi selisih.

Bagaimana aturan kelipatan konstanta, jumlah, dan selisih bekerja?

Faktor konstanta keluar dari turunan, dan turunan jumlah atau selisih adalah jumlah atau selisih turunannya: (cu)'=cu' dan (u± v)'=u'± v'. Pembuktiannya satu baris masing-masing, karena limit kelipatan konstanta dan jumlah berperilaku sama.

Kelipatan konstanta. (cu)'=\lim_h→0(cu(x+h)-cu(x))/(h) (cu)'=c\lim_h→0(u(x+h)-u(x))/(h), yaitu c u'. Dalam gambar: mengalikan setiap tinggi grafik dengan 3 mengalikan setiap gradien dengan 3, sehingga (d)/(dx)(3x^2)=3·2x=6x. Dengan c=-1 aturan ini menyatakan bahwa turunan -u adalah -u'.

Jumlah. Hasil bagi selisih u+v adalah jumlah hasil bagi selisih u dan v, dan limit suatu jumlah adalah jumlah limitnya, sehingga (u+v)'=u'+v'. Menulis u-v sebagai u+(-1)v memberi aturan selisih, dan aturan jumlah meluas ke sebanyak apa pun suku yang hingga.

Polinomial. Bersama aturan pangkat, aturan-aturan itu menurunkan polinomial mana pun suku demi suku. Untuk y=x^3+\frac43x^2-5x+1, y'=3x^2+\frac43·2x-5·1+0, y'=3x^2+\frac83x-5. Setiap polinomial terdiferensialkan di setiap x.

Di mana garis singgungnya mendatar? Garis singgung mendatar bergradien 0, jadi selesaikan y'=0. Untuk y=x^4-2x^2+2 turunannya y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1), yang bernilai nol di x=0, 1, dan -1. Garis singgung mendatar menyentuh kurva di (0,2), (1,1), dan (-1,1): pemfaktoran turunannya yang mengerjakan.

Garis singgung yang dihasilkan. Dengan rumus turunan, garis singgung di titik mana pun hanya dua substitusi jauhnya: untuk y=x^3+\frac43x^2-5x+1 di x=1 titiknya \left(1,-\frac53\right) dan gradiennya 3+\frac83-5=\frac23.

Berapa turunan e pangkat x?

Turunan e^x adalah e^x: fungsi eksponensial natural adalah turunannya sendiri, dan e≈2,71828 adalah satu-satunya basis yang memenuhi hal itu. Inilah alasannya. Terapkan definisi pada f(x)=a^x dengan a>0: (a^x+h-a^x)/(h)=a^x·(a^h-1)/(h). Membiarkan h→0 memberi (d)/(dx)a^x=a^x· L, dengan L=\lim_h→0(a^h-1)/(h), dan a^x dikeluarkan karena tidak bergantung pada h. Jadi turunan a^x adalah kelipatan konstan L dari a^x sendiri, dan L adalah bilangan yang hanya bergantung pada a. Memasukkan x=0 memperlihatkan apa itu: L=f'(0), gradien grafik a^x di tempat ia memotong sumbu y.

Gradien itu dapat ditaksir dari hasil bagi selisih. Dengan h=0,0001, L≈0,69 untuk a=2, sekitar 0,92 untuk a=2,5, dan sekitar 1,10 untuk a=3. Ia membesar bersama basisnya, sehingga untuk suatu basis di antara 2,5 dan 3 nilainya tepat 1. Basis itu adalah e, bilangan e, dan dengannya L=1 dan (d)/(dx)e^x=e^x·1=e^x. (Untuk basis umum nilainya ternyata L=\ln a; itu ditunjukkan dalam pembahasan logaritma, dan tidak diperlukan di sini.) Menurut aturan kelipatan konstanta, (d)/(dx)\big(c e^x\big)=c e^x, dan satu-satunya fungsi yang sama dengan turunannya sendiri adalah kelipatan konstan ini.

Geser basis pada alat di bawah dan perhatikan L melewati 1.

Garis singgung melalui titik asal. Garis mana yang melalui (0,0) dan menyinggung y=e^x? Garis y=mx yang menyentuh grafik di (a,e^a) bergradien m=(e^a-0)/(a-0), dan gradien kurva di sana adalah e^a, sehingga e^a=(e^a)/(a), yang memberi a=1 dan m=e. Garisnya y=ex, menyentuh kurva di (1,e).

Bagaimana aturan hasil kali bekerja?

Turunan hasil kali adalah fungsi pertama kali turunan fungsi kedua, ditambah turunan fungsi pertama kali fungsi kedua: (uv)'=u v'+u' v. Ia bukan hasil kali turunan. Uji cepat: dengan u=v=x hasil kalinya x^2 dengan turunan 2x, sedangkan u'v'=1·1=1. Aturannya memberi x·1+1· x=2x, sebagaimana mestinya.

Mengapa benar. Misalkan \Delta u, \Delta v, dan \Delta(uv) adalah perubahan u, v, dan uv saat x bertambah h. Menambah dan mengurangi u(x+h)v(x) pada pembilang hasil bagi selisih memperlihatkan bahwa \Delta(uv)=u(x+h) \Delta v+v(x) \Delta u, sehingga (\Delta(uv))/(h)=u(x+h) (\Delta v)/(h)+v(x) (\Delta u)/(h). Saat h→0 kedua pecahan menuju v'(x) dan u'(x), dan u(x+h)→ u(x) karena fungsi yang terdiferensialkan kontinu. Jadi limitnya u(x)v'(x)+v(x)u'(x).

Gambar. Misalkan u dan v adalah sisi-sisi persegi panjang berluas uv. Saat x bertambah h sisi-sisinya bertambah \Delta u dan \Delta v, dan luas baru melebihi yang lama oleh dua pita dan satu pojok kecil: \Delta(uv)=v \Delta u+u \Delta v+\Delta u \Delta v. Bagi dengan h: pita-pita itu memberi v(\Delta u)/(h) dan u(\Delta v)/(h), yang menuju vu' dan uv', dan pojoknya memberi (\Delta u \Delta v)/(h)=\Delta u·(\Delta v)/(h)→0· v'=0, karena pojok adalah hasil kali dua besaran kecil. Itulah aturan hasil kali, dan alat di bawah memungkinkan kamu mengecilkan langkah dan melihat pojok menjadi dapat diabaikan.

Contoh.

• Untuk y=(x^2+1)(x^3-3x), dengan u=x^2+1 dan v=x^3-3x: y'=2x(x^3-3x)+(x^2+1)(3x^2-3)=5x^4-6x^2-3. Sebagai pemeriksaan, menjabarkan kurung lebih dulu memberi y=x^5-2x^3-3x dan aturan pangkat memberi y'=5x^4-6x^2-3 yang sama.
• Untuk y=x^2e^x: y'=2x e^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x.

Bila satu faktor adalah konstanta, aturan hasil kali menjadi aturan kelipatan konstanta, karena konstanta bernilai turunan 0. Untuk tiga faktor, turunkan satu per satu dan jumlahkan: (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'.

Bagaimana aturan hasil bagi bekerja?

Turunan hasil bagi adalah penyebut kali turunan pembilang, dikurangi pembilang kali turunan penyebut, seluruhnya dibagi kuadrat penyebut: \left(\frac uv\right)'=(u'v-uv')/(v^2), di mana pun v\ne0. Urutan kedua suku di pembilang penting, karena ia selisih. Cara mengingatnya: "bawah d-atas dikurang atas d-bawah, dibagi bawah-bawah".

Mengapa benar. Samakan penyebut (u(x+h))/(v(x+h))-(u(x))/(v(x)), lalu kurangkan dan tambahkan u(x)v(x) pada pembilang. Dengan \Delta u dan \Delta v seperti tadi dan \Delta(u/v) perubahan hasil bagi, membagi dengan h memberi (\Delta(u/v))/(h)=(v(x)(\Delta u)/(h)-u(x)(\Delta v)/(h))/(v(x) v(x+h)). Membiarkan h→0 mengubah kedua pecahan menjadi u' dan v' dan v(x+h) menjadi v(x), yaitu aturannya.

Contoh.

• Untuk y=(t^2-1)/(t^3+1): y'=(2t(t^3+1)-(t^2-1)(3t^2))/((t^3+1)^2)=(-t^4+3t^2+2t)/((t^3+1)^2).
• Untuk y=e^-x=(1)/(e^x): y'=(0· e^x-1· e^x)/((e^x)^2)=-(1)/(e^x)=-e^-x.

Aturan kebalikan dan pangkat negatif. Dengan u=1 aturan ini memberi \left(\frac1v\right)'=-(v')/(v^2). Dikenakan pada v=x^m ia memulihkan aturan pangkat untuk pangkat negatif: (d)/(dx)x^-m=-(mx^m-1)/(x^2m)=-m x^-m-1.

Sederhanakan dulu bila bisa. Aturan hasil bagi adalah alat yang paling berat, dan aljabar sering lebih ringan. Untuk y=((x-1)(x^2-2x))/(x^4) aturan hasil bagi akan memberi ekspresi panjang dengan banyak suku. Sebagai gantinya jabarkan pembilang dan bagi dengan x^4: y=(x^3-3x^2+2x)/(x^4)=x^-1-3x^-2+2x^-3, lalu aturan pangkat, kelipatan, dan jumlah memberi y'=-x^-2+6x^-3-6x^-4. Dengan cara yang sama (x^3+2x)/(x)=x^2+2 memiliki turunan 2x tanpa aturan hasil bagi sama sekali.

Alat di atas menerima hasil bagi, sehingga kamu dapat membandingkan apa yang dikerjakannya dengan langkahmu sendiri. Ia menolak hal yang memerlukan aturan rantai, seperti (x^2+1)^3, yang dibahas kemudian.

Apa itu turunan kedua dan turunan tingkat tinggi?

Turunan kedua f adalah turunan dari turunannya, f''=(f')', dan prosesnya dapat diulang untuk memberi turunan ketiga, keempat, dan setiap turunan tingkat tinggi. Jika f' adalah fungsi, ia dapat diturunkan lagi, sehingga dengan fungsi seperti y=x^6: y'=6x^5, y''=30x^4, y'''=120x^3.

Notasi. Untuk y=f(x) turunan kedua ditulis f''(x), y'', (d^2y)/(dx^2), atau D^2f(x). Bacalah (d^2y)/(dx^2) sebagai "d kuadrat y per dx kuadrat", dan y''' sebagai "y aksen tiga". Turunan ke-n adalah y^(n)=(d^ny)/(dx^n)=D^ny untuk bilangan bulat positif n mana pun: lambang D^2 berarti menurunkan dua kali.

Artinya. Turunan pertama adalah gradien grafik, sehingga turunan kedua adalah laju perubahan gradien: di tempat f''>0 gradiennya bertambah dan grafik melengkung ke atas, dan di tempat f''<0 ia melengkung ke bawah. (Grafik turunan sudah memperlihatkannya.)

Polinomial. Setiap turunan menurunkan derajat satu, sehingga turunan-turunan y=x^3-3x^2+2 adalah y'=3x^2-6x, y''=6x-6, y'''=6, y^(4)=0, dan setiap turunan sesudahnya 0. Polinomial memiliki turunan di semua tingkat. Untuk polinomial berderajat n dengan koefisien utama a_n turunan ke-n adalah konstanta n! a_n (untuk x^n ia n!=n(n-1)…2·1) dan turunan berikutnya 0.

Alat di atas memperlihatkan turunan sampai yang keempat untuk fungsi apa pun yang diterimanya. Coba x^5 dan perhatikan pangkat-pangkat turun sampai sebuah konstanta.

Bagaimana menerapkan aturan turunan dalam kode?

Sistem aljabar komputer mengenal aturan-aturannya: berikan rumus kepada SymPy dan diff memakai aturan pangkat, hasil kali, dan hasil bagi untukmu, termasuk tingkat yang lebih tinggi. Tanyakan dua fungsi tak terdefinisi u dan v dan ia mengembalikan aturan-aturan itu sendiri, cara yang baik untuk melihat bahwa aturan hasil kali dan hasil bagi adalah rumus, bukan akal-akalan. Ia membiarkan jawabannya dalam bentuk yang dihasilkan aturan, sehingga expand, factor, atau simplify mengubahnya menjadi bentuk yang kamu tulis: untuk (x^2+1)(x^3-3x) aturannya memberi 2x(x^3-3x)+(x^2+1)(3x^2-3), dan expand mengubahnya menjadi 5x^4-6x^2-3, jawaban yang ditemukan di atas.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
u, v = sp.Function('u'), sp.Function('v')
print(sp.diff(u(x) * v(x), x))   # u(x)*Derivative(v(x), x) + v(x)*Derivative(u(x), x)
print(sp.diff(u(x) / v(x), x))   # -u(x)*Derivative(v(x), x)/v(x)**2 + Derivative(u(x), x)/v(x)

f = (x**2 + 1) * (x**3 - 3*x)
print(sp.diff(f, x))             # 2*x*(x**3 - 3*x) + (x**2 + 1)*(3*x**2 - 3)
print(sp.expand(sp.diff(f, x)))  # 5*x**4 - 6*x**2 - 3

print(sp.factor(sp.diff(x**2 * sp.exp(x), x)))               # x*(x + 2)*exp(x)
print(sp.simplify(sp.diff((x**2 - 1) / (x**3 + 1), x)))      # x*(2*x**3 - 3*x*(x**2 - 1) + 2)/(x**3 + 1)**2
print(sp.diff(x**sp.pi, x))                                  # pi*x**pi/x
print(sp.diff(x**3 - 3*x**2 + 2, x, 3), sp.diff(x**3 - 3*x**2 + 2, x, 4))   # 6 0

#include <iostream>
using namespace std;

// A polynomial is its list of coefficients: c[0] + c[1] x + c[2] x^2 + ...
int multiply(const int a[], int na, const int b[], int nb, int out[]) {
  for (int i = 0; i < na + nb - 1; i++) out[i] = 0;
  for (int i = 0; i < na; i++)
    for (int j = 0; j < nb; j++) out[i + j] += a[i] * b[j];
  return na + nb - 1;
}

void derivative(int c[], int n) {                    // c becomes c', the last coefficient 0
  for (int i = 1; i < n; i++) c[i - 1] = i * c[i];
  c[n - 1] = 0;
}

int value(const int c[], int n, int x) {             // Horner's rule
  int s = 0;
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) s = s * x + c[i];
  return s;
}

int main() {
  int u[3] = {1, 0, 1};                              // x^2 + 1
  int v[4] = {0, -3, 0, 1};                          // x^3 - 3x
  int f[6];
  int n = multiply(u, 3, v, 4, f);                   // f = u v
  derivative(f, n);
  for (int i = 0; i < n; i++) cout << f[i] << " ";  // -3 0 -6 0 5 0: that is 5x^4 - 6x^2 - 3
  cout << endl;

  int du[3] = {0, 2, 0};                             // u' = 2x
  int dv[4] = {-3, 0, 3, 0};                         // v' = 3x^2 - 3
  int bad = 0;
  for (int x = -5; x <= 5; x++)                      // the product rule against the derivative of the product
    if (value(f, n, x) != value(du, 3, x) * value(v, 4, x) + value(u, 3, x) * value(dv, 4, x)) bad++;
  cout << "product rule fails at " << bad << " points" << endl;

  int g[4] = {2, 0, -3, 1};                          // x^3 - 3x^2 + 2
  for (int k = 1; k <= 4; k++) {
    derivative(g, 4);
    cout << value(g, 4, 5) << " ";                   // the k-th derivative at 5
  }
  cout << endl;
  return 0;
}

/* output:
-3 0 -6 0 5 0
product rule fails at 0 points
45 24 6 0
*/

Aturan hanya sebaik pemakaiannya, jadi periksa jawaban secara numerik. Bandingkan rumus yang kamu temukan dengan hasil bagi selisih di suatu titik: jika f'(x) benar, selisih terpusat (f(x+h)-f(x-h))/(2h) dengan h dekat 10^-5 cocok dengannya sampai banyak angka, seperti pada turunan numerik di artikel sebelumnya. Alat di atas melakukan pemeriksaan itu untukmu.

Dari mana asal aturan turunan?

Aturan-aturan itu ditemukan pada abad ketujuh belas oleh orang-orang yang menemukan kalkulus, dan bilangan e berasal dari pertanyaan tentang uang.

• Newton. Dalam karyanya tentang fluksi pada 1660-an dan 1670-an, Isaac Newton memberi aturan untuk laju perubahan jumlah, hasil kali, hasil bagi, dan pangkat, termasuk pangkat pecahan melalui deret binomialnya.
• Leibniz. Gottfried Leibniz menurunkan d(xy)=x dy+y dx dalam naskah tahun 1675 (ia mula-mula menduga bahwa hasil kali diferensial adalah diferensial hasil kali, lalu mengoreksi dirinya) dan menyatakan aturan jumlah, hasil kali, hasil bagi, dan pangkat dalam makalahnya tahun 1684 yang memperkenalkan kalkulus diferensial. Notasinya d^2y memberi turunan kedua namanya.
• Bilangan e. Jacob Bernoulli menjumpainya pada 1683 saat mempelajari bunga majemuk, sebagai limit \left(1+\frac1n\right)^n. Leonhard Euler mulai menuliskannya sebagai e sekitar 1727 dan, dalam Introductio in analysin infinitorum (1748), menjadikan e^x fungsi eksponensial utama; fakta bahwa ia sama dengan turunannya sendiri adalah alasan ia disebut natural.
• Notasi. Lagrange menulis f', f'', dan f''' untuk turunan berurutan, dan Louis Arbogast memperkenalkan operator D dan pangkatnya D^n pada 1800.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada aturan turunan?

Kesalahan paling umum pada aturan turunan adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: aturan turunan sekilas

• Konstanta: (d)/(dx)c=0. Pangkat: (d)/(dx)x^n=nx^n-1 untuk setiap n real di tempat terdefinisi; tulis akar dan kebalikan sebagai pangkat dahulu.
• Kelipatan, jumlah, selisih: (cu)'=cu', (u± v)'=u'± v'; polinomial diturunkan suku demi suku; garis singgung mendatar ada di tempat y'=0.
• Eksponensial: (d)/(dx)a^x=a^x· L dengan L=f'(0); untuk basis e, L=1 dan (d)/(dx)e^x=e^x.
• Hasil kali: (uv)'=u'v+uv', bukan u'v'. Hasil bagi: \left(\frac uv\right)'=(u'v-uv')/(v^2); kebalikan \left(\frac1v\right)'=-(v')/(v^2).
• Strategi: sederhanakan dengan aljabar dahulu (jabarkan, bagi); pakai aturan hasil kali atau hasil bagi hanya bila perlu.
• Tingkat tinggi: f''=(f')', y^(n)=(d^ny)/(dx^n); f'' adalah laju perubahan gradien; turunan ke-n dari x^n adalah n!.
• Kode: diff SymPy menerapkan aturan (diff(f, x, 3) untuk turunan ketiga); periksa dengan selisih terpusat.

Glosarium: istilah penting

Aturan pangkat

Aturan bahwa turunan x pangkat n adalah n kali x pangkat n dikurangi 1, berlaku untuk setiap n real di tempat pangkatnya terdefinisi.

Aturan kelipatan konstanta

Aturan bahwa turunan konstanta kali sebuah fungsi adalah konstanta itu kali turunan fungsinya.

Aturan jumlah

Aturan bahwa turunan jumlah fungsi-fungsi terdiferensialkan adalah jumlah turunannya; aturan selisih sama untuk pengurangan.

Aturan hasil kali

Aturan bahwa turunan hasil kali uv adalah u kali turunan v ditambah turunan u kali v.

Aturan hasil bagi

Aturan bahwa turunan u per v adalah penyebut kali turunan pembilang dikurangi pembilang kali turunan penyebut, seluruhnya dibagi kuadrat penyebut.

Fungsi eksponensial natural

Fungsi e pangkat x, yang basisnya e sekitar 2,71828 dan grafiknya memotong sumbu y dengan gradien 1, sehingga ia sama dengan turunannya sendiri.

Turunan tingkat tinggi

Turunan dari turunan, diperoleh dengan menurunkan berulang: turunan kedua adalah turunan dari yang pertama, ketiga dari yang kedua, dan seterusnya.

Aturan kebalikan

Kasus khusus aturan hasil bagi untuk satu per v, yang menyatakan turunannya adalah min turunan v per v kuadrat.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.3: Differentiation Rules. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), sections 3.1 Derivatives of Polynomials and Exponential Functions, 3.2 The Product and Quotient Rules. Cengage Learning.
3. Carl B. Boyer (1949). The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Hafner (Dover reprint, 1959).
4. Eli Maor (1994). e: The Story of a Number. Princeton University Press.
5. SymPy Development Team. SymPy tutorial: Calculus (diff). docs.sympy.org. https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/calculus.html.

Artikel terkait

• Turunan sebagai Fungsi: Turunan sebagai fungsi: f′(x) dari definisi, notasi, menggambar grafik f′ dari f, fungsi tangga, daerah asal, turunan sepihak dan sudut tajam, serta kode numerik.
• Turunan Fungsi Trigonometri: Turunan fungsi trigonometri dengan bukti: sin x dan cos x, lalu tan, cot, sec, dan csc, mengapa radian, gerak harmonik sederhana, turunan tingkat tinggi, dan kode.
• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.