Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas

Apa itu segiempat?

Segiempat adalah poligon dengan tepat empat sisi, empat titik sudut, dan empat sudut dalam. Kata Inggrisnya berasal dari bahasa Latin quattuor (empat) dan latus (sisi); quadrangle dan tetragon artinya sama.

Segiempat diberi nama dari titik sudutnya secara berurutan mengelilingi bangun, misalnya ABCD. Sisi-nya adalah AB, BC, CD, dan DA. Dua sisi yang berbagi satu titik sudut berdekatan; AB dan CD berhadapan, begitu juga BC dan DA. Diagonal menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan: AC dan BD.

Ada tiga macam bentuk segiempat:

• Cembung. Setiap sudut dalam kurang dari 180^\circ dan kedua diagonal berada di dalam bangun.
• Cekung. Satu sudut dalam lebih dari 180^\circ dan satu diagonal berada di luar. Layang-layang cekung pada gambar kedua disebut dart atau kepala panah.
• Bersilang. Dua sisi berhadapan saling memotong sehingga berbentuk pita. Segiempat bersilang bukan poligon sederhana, sehingga tidak punya satu bagian dalam, tidak punya luas dalam arti biasa, dan aturan dalam artikel ini tidak berlaku untuknya.

Kecuali disebutkan lain, "segiempat" di bawah berarti segiempat sederhana: sisi-sisinya hanya bertemu di titik sudut.

Mengapa sudut-sudut segiempat berjumlah 360°?

Sudut dalam setiap segiempat sederhana berjumlah 360^\circ, karena satu diagonal yang berada di dalamnya membaginya menjadi dua segitiga dan tiap segitiga memiliki jumlah sudut 180^\circ.

Gambar diagonal AC pada ABCD yang cembung. Sudut di A terbagi di antara segitiga ABC dan ACD, begitu pula sudut di C, sedangkan B milik segitiga pertama dan D milik segitiga kedua. Keempat sudut segiempat itu dengan demikian tepat enam sudut dari kedua segitiga, yang dikelompokkan ulang:

\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=180^\circ+180^\circ=360^\circ.

Hal yang sama berlaku untuk segiempat cekung: pakai diagonal yang berada di dalam, dan hitung sudut refleks (lebih dari 180^\circ) apa adanya. Pada dart di bagian pertama sudut-sudutnya sekitar 37^\circ, 53^\circ, 37^\circ, dan 233^\circ, dan 37+53+37+233=360. Poligon dengan n sisi memiliki jumlah sudut (n-2)·180^\circ: segilima memiliki 540^\circ.

Satu fakta ini menyelesaikan banyak soal. Jika tiga sudut adalah 70^\circ, 95^\circ, dan 120^\circ, sudut keempat adalah 360-285=75^\circ. Jika sudut-sudutnya berperbandingan 1:2:3:4, namai x,2x,3x,4x seperti pada mengubah kata menjadi aljabar: maka 10x=360, sehingga x=36^\circ dan sudut-sudutnya 36^\circ,72^\circ,108^\circ,144^\circ.

Apa saja jenis-jenis segiempat?

Segiempat yang bernama adalah jajargenjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi, layang-layang, dan trapesium, dan semuanya membentuk pohon keluarga di mana setiap jenis khusus mempertahankan semua sifat jenis yang lebih umum.

Baca tabel itu sebagai hierarki, dari yang umum ke yang khusus:

• Persegi adalah persegi panjang (sudut siku-siku), belah ketupat (sisi sama panjang), jajargenjang, dan layang-layang, sekaligus.
• Setiap persegi panjang dan setiap belah ketupat adalah jajargenjang, karena sisi berhadapannya sejajar.
• Setiap belah ketupat adalah layang-layang, sebab keempat sisinya sama panjang sehingga sisi berdekatannya sama panjang berpasangan.
• Persegi panjang yang bukan persegi, jajargenjang yang bukan persegi panjang, dan layang-layang yang bukan belah ketupat adalah kasus yang benar-benar berbeda.
• Trapesium adalah cabang tersendiri: dengan satu pasang sisi sejajar, ia tidak pernah menjadi jajargenjang.

Jadi "apakah persegi itu persegi panjang?" dijawab ya: persegi panjang adalah segiempat mana pun dengan empat sudut siku-siku, dan persegi memilikinya. Kebiasaan menganggap nama-nama itu kotak yang terpisah inilah yang dikoreksi oleh tabel di bagian berikutnya.

Apa saja sifat tiap segiempat?

Tiap jenis dibedakan oleh sisi, sudut, diagonal, dan simetrinya, dan tabel memuat semuanya untuk contoh khas tiap jenis. Kasus khusus bisa memiliki lebih banyak: sebuah jajargenjang tertentu mungkin kebetulan persegi panjang.

Beberapa di antaranya punya alasan yang rapi. Satu diagonal jajargenjang memotongnya menjadi dua segitiga yang kongruen, itulah sebabnya sisi berhadapan sama panjang, sudut berhadapan sama besar, dan diagonal saling membagi dua. Sudut-sudut yang berdekatan pada satu sisi jajargenjang berjumlah 180^\circ, karena berada di antara dua garis sejajar. Pada layang-layang diagonal sepanjang sumbu simetri membagi dua diagonal lainnya secara tegak lurus, itulah sebabnya luasnya setengah hasil kali diagonal. Trapesium sama kaki memiliki sudut alas yang sama pada tiap pasang, sehingga ia punya satu sumbu simetri, melalui titik tengah kedua alasnya. Coba tiap jenis di bawah dan baca daftar sifatnya.

Diagonal persegi panjang dengan sisi l dan w sama panjang dan panjangnya √(l^2+w^2), menurut teorema Pythagoras. Untuk persegi panjang 6×4 itu √(52)=2√(13)≈7,21, setelah kamu menyederhanakan bentuk akar. Untuk persegi dengan sisi s diagonalnya s√2, dan karena √2 irasional, tidak ada persegi bersisi bilangan bulat yang diagonalnya bilangan bulat.

Pada belah ketupat kedua diagonal berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua, sehingga tiap sisi adalah sisi miring segitiga siku-siku yang kakinya setengah dari tiap diagonal. Dengan diagonal 10 dan 24 kakinya 5 dan 12, sisinya √(25+144)=13, dan kelilingnya 4·13=52.

Bagaimana mencari keliling dan luas segiempat?

Keliling adalah jumlah keempat sisi, dan luas diperoleh dari rumus menurut jenisnya: alas kali tinggi untuk jajargenjang, setengah hasil kali diagonal untuk belah ketupat atau layang-layang, dan setengah jumlah sisi sejajar kali tinggi untuk trapesium.

Tinggi adalah jarak tegak lurus antara sisi-sisi sejajar, bukan sisi yang miring. Keliling adalah panjang, dalam meter; luas adalah banyaknya persegi satuan, dalam meter persegi.

Setiap rumus adalah persegi panjang yang menyamar:

• Jajargenjang. Potong segitiga siku-siku dari satu ujung yang miring dan geser ke ujung lainnya: kamu mendapat persegi panjang dengan alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya bh.
• Trapesium. Dua salinan, satu dibalik, bergabung menjadi jajargenjang dengan alas a+b dan tinggi h. Trapesium adalah setengahnya, sehingga luasnya ((a+b)h)/(2).
• Belah ketupat dan layang-layang. Diagonalnya tegak lurus, sehingga persegi panjang d_1× d_2 yang mengelilingi bangun itu luasnya tepat dua kali luas bangun: luasnya \frac12d_1d_2. Hal yang sama berlaku untuk setiap segiempat cembung yang diagonalnya tegak lurus.

Untuk trapesium pada gambar, a=8, b=4, dan h=4 memberi ((8+4)·4)/(2)=24. Tanda \frac12 dalam rumus-rumus ini adalah perkalian pecahan biasa: setengah dari 48 adalah 24.

Soal cerita: sebidang tanah berbentuk trapesium dengan sisi sejajar 30 m dan 20 m, berjarak 12 m, dan harga tanah Rp500.000 per meter persegi. Luasnya ((30+20)·12)/(2)=300 m², sehingga harga tanahnya 300 kali Rp500.000, yaitu Rp150.000.000.

Bagaimana menentukan jenis dan luas segiempat dari koordinat?

Letakkan titik sudut pada kisi dan pakai tiga uji eksak: hasil kali silang nol berarti sejajar, hasil kali titik nol berarti tegak lurus, dan kuadrat jarak yang sama berarti panjang yang sama; luasnya setengah nilai mutlak jumlah tali sepatu.

Untuk sisi dari P=(x_1,y_1) ke Q=(x_2,y_2) tulis vektor \vecPQ=(u,v)=(x_2-x_1, y_2-y_1). Untuk dua vektor (u_1,v_1) dan (u_2,v_2):

• keduanya sejajar tepat bila u_1v_2-v_1u_2=0 (hasil kali silang);
• keduanya tegak lurus tepat bila u_1u_2+v_1v_2=0 (hasil kali titik);
• sebuah sisi memiliki panjang √(u^2+v^2), sehingga dua sisi sama panjang tepat bila u^2+v^2 sama; tidak perlu akar.

Uji-uji ini hanya memakai perkalian dan penjumlahan, sehingga pada koordinat bilangan bulat atau pecahan hasilnya eksak, dan sisi tegak pun tertangani, padahal gradien akan membagi dengan nol.

Ambil A(0,0), B(6,0), C(8,4), D(2,4). Sisi-sisinya \vecAB=(6,0), \vecBC=(2,4), \vecCD=(-6,0), \vecDA=(-2,-4). Hasil kali silang 6·0-0·(-6) dan 2·(-4)-4·(-2) keduanya 0, sehingga kedua pasang sisi berhadapan sejajar: jajargenjang. Kuadrat sisinya 36 dan 20, sehingga bukan belah ketupat, dan \vecAB·\vecBC=12\ne0, sehingga bukan persegi panjang.

Untuk luas pakai rumus tali sepatu (rumus luas Gauss, disebut juga rumus juru ukur). Daftar titik sudut berurutan dan jumlahkan x_iy_i+1-x_i+1y_i pada keempat sisi, dengan kembali ke titik pertama di akhir:

luas=\tfrac12\left|\sum_i\bigl(x_iy_i+1-x_i+1y_i\bigr)\right|.

Untuk jajargenjang di atas keempat sukunya 0, 24, 24, 0, jumlahnya 48, dan luasnya 24=6·4, alas kali tinggi, sebagaimana mestinya. Untuk A(0,0), B(6,0), C(6,4), D(2,6) sukunya 0,24,28,0, sehingga luasnya 26; periksa dengan membagi menjadi segitiga ABC (12) dan ACD (14).

Tanda jumlahnya menunjukkan arah: positif untuk titik sudut berlawanan arah jarum jam, negatif untuk searah jarum jam, itulah sebabnya kita ambil nilai mutlak. Urutannya penting. Pita seperti (0,0),(4,4),(4,0),(0,4) memberi jumlah tepat 0, karena kedua kelopaknya saling meniadakan: rumus ini hanya merupakan luas untuk poligon sederhana.

Bagaimana mengklasifikasikan segiempat dalam kode?

Tulis ketiga uji itu sebagai fungsi kecil pada koordinat bilangan bulat atau Fraction, dan pengklasifikasinya hanya beberapa perbandingan. Kode ini mengandaikan a, b, c, d adalah titik sudut berurutan pada segiempat cembung sederhana.

from fractions import Fraction as F

def sub(p, q): return (p[0] - q[0], p[1] - q[1])
def cross(u, v): return u[0] * v[1] - u[1] * v[0]
def dot(u, v): return u[0] * v[0] + u[1] * v[1]
def d2(p, q): return dot(sub(p, q), sub(p, q))     # squared length

def kind(a, b, c, d):
    ab, bc, cd, da = sub(b, a), sub(c, b), sub(d, c), sub(a, d)
    p1, p2 = cross(ab, cd) == 0, cross(bc, da) == 0   # AB || CD, BC || DA
    s = [d2(a, b), d2(b, c), d2(c, d), d2(d, a)]
    if p1 and p2:
        rhombus, right = len(set(s)) == 1, dot(ab, bc) == 0
        if rhombus and right: return "square"
        if right: return "rectangle"
        return "rhombus" if rhombus else "parallelogram"
    if p1 or p2: return "trapezoid"
    if (s[0] == s[1] and s[2] == s[3]) or (s[0] == s[3] and s[1] == s[2]): return "kite"
    return "none of these"

def area(*pts):
    s = sum(p[0] * q[1] - q[0] * p[1] for p, q in zip(pts, pts[1:] + pts[:1]))
    return F(abs(s), 2)

>>> kind((0, 0), (6, 0), (8, 4), (2, 4))
'parallelogram'
>>> kind((4, 0), (8, 3), (4, 6), (0, 3))
'rhombus'
>>> kind((0, 0), (3, 2), (0, 6), (-3, 2))
'kite'
>>> area((0, 0), (6, 0), (6, 4), (2, 6))
Fraction(26, 1)
>>> area((F(1, 2), 0), (4, 0), (4, F(7, 3)), (0, 2))     # fractions stay exact
Fraction(49, 6)
>>> 0.7 * 0.3 - 0.1 * 2.1                                 # should be 0 ...
-2.7755575615628914e-17
>>> F(7, 10) * F(3, 10) - F(1, 10) * F(21, 10)            # ... and with fractions it is
Fraction(0, 1)

const cross = (u, v) => u[0] * v[1] - u[1] * v[0]
cross([6, 0], [-6, 0])                    // 0: parallel (exact for small integers)
cross([0.7, 0.1], [2.1, 0.3])             // -2.7755575615628914e-17, not 0
Math.abs(cross([0.7, 0.1], [2.1, 0.3])) < 1e-9   // true: with floats, compare with a tolerance

const shoelace = (pts) =>
  Math.abs(pts.reduce((s, [x, y], i) => { const [u, v] = pts[(i + 1) % pts.length]; return s + x * v - u * y }, 0)) / 2
shoelace([[0, 0], [6, 0], [6, 4], [2, 6]])   // 26

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int cross(int ux, int uy, int vx, int vy) { return ux * vy - uy * vx; }
int dot(int ux, int uy, int vx, int vy) { return ux * vx + uy * vy; }
int d2(int px, int py, int qx, int qy) { return (px - qx) * (px - qx) + (py - qy) * (py - qy); }

const char* kind(int ax, int ay, int bx, int by, int cx, int cy, int dx, int dy) {
  bool p1 = cross(bx - ax, by - ay, dx - cx, dy - cy) == 0;      // AB parallel to CD
  bool p2 = cross(cx - bx, cy - by, ax - dx, ay - dy) == 0;      // BC parallel to DA
  int s0 = d2(ax, ay, bx, by), s1 = d2(bx, by, cx, cy), s2 = d2(cx, cy, dx, dy), s3 = d2(dx, dy, ax, ay);
  if (p1 && p2) {
    bool rhombus = s0 == s1 && s1 == s2 && s2 == s3;
    bool right = dot(bx - ax, by - ay, cx - bx, cy - by) == 0;
    if (rhombus && right) return "square";
    if (right) return "rectangle";
    return rhombus ? "rhombus" : "parallelogram";
  }
  if (p1 || p2) return "trapezoid";
  if ((s0 == s1 && s2 == s3) || (s0 == s3 && s1 == s2)) return "kite";
  return "none of these";
}

int twiceArea(int x[], int y[], int n) {                          // the shoelace formula, doubled: whole numbers
  int s = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) s += x[i] * y[(i + 1) % n] - x[(i + 1) % n] * y[i];
  return s < 0 ? -s : s;
}

int main() {
  cout << kind(0, 0, 6, 0, 8, 4, 2, 4) << endl;                   // parallelogram
  cout << kind(4, 0, 8, 3, 4, 6, 0, 3) << endl;                   // rhombus
  cout << kind(0, 0, 3, 2, 0, 6, -3, 2) << endl;                  // kite
  int x[4] = {0, 6, 6, 2}, y[4] = {0, 0, 4, 6};
  cout << twiceArea(x, y, 4) / 2 << endl;                         // 26
  printf("%.20f\n", 0.7 * 0.3 - 0.1 * 2.1);                       // should be 0 ...
  cout << 7 * 3 - 1 * 21 << endl;                                 // ... and with whole numbers (tenths) it is
  return 0;
}

/* output:
parallelogram
rhombus
kite
26
-0.00000000000000002776
0
*/

Jebakannya, berdasarkan seberapa sering terjadi:

Dari mana asal segiempat?

Segiempat termasuk bangun tertua dalam matematika, karena ladang, dinding, dan ubin berbentuk bersisi empat, dan nama-nama yang kita pakai sebagian besar berasal dari bahasa Yunani.

• Sekitar 1550 SM. Papirus Rhind, soal 52, mencari luas trapesium, yang digambarkan juru tulis Mesir sebagai segitiga yang ujungnya dipotong.
• Sekitar 300 SM. Elements Euclid, Buku I, definisi 22, menamai persegi, oblong (persegi panjang kita), belah ketupat, dan rhomboid (jajargenjang kita), dan menyebut segiempat lainnya trapezium. Proposisi I.34 membuktikan bahwa sisi dan sudut berhadapan jajargenjang sama dan bahwa diagonal membaginya menjadi dua bagian sama. Penulis Yunani kemudian mempersempit trapezium menjadi segiempat dengan sepasang sisi sejajar.
• Sekitar 150 M. Teorema Ptolemaios: pada segiempat yang titik sudutnya terletak pada sebuah lingkaran, hasil kali diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi berhadapan.
• 628 M. Brahmagupta memberikan luas segiempat yang terletak dalam lingkaran, √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)), dengan s setengah keliling. Rumus ini menggeneralisasi rumus Heron untuk segitiga.
• 1769. Albrecht Meister menguraikan rumus tali sepatu untuk luas poligon dari koordinatnya; kini rumus ini juga dikenal dengan nama Gauss, dan sebagai rumus juru ukur.

Namanya sendiri bergeser. Seiring waktu bahasa Inggris Britania mempertahankan trapezium untuk segiempat dengan sepasang sisi sejajar, sedangkan bahasa Inggris Amerika beralih ke trapezoid, sehingga satu bangun kini punya dua nama.

Apa kesalahan umum pada segiempat?

Kesalahan paling umum pada segiempat adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: segiempat sekilas

• Definisi: empat sisi, empat titik sudut, dua diagonal; sudut segiempat sederhana berjumlah 360^\circ.
• Pohon keluarga: persegi ⊂ persegi panjang, belah ketupat ⊂ jajargenjang; belah ketupat ⊂ layang-layang; trapesium memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.
• Jajargenjang: sisi berhadapan sejajar dan sama panjang, sudut berhadapan sama besar, diagonal saling membagi dua.
• Persegi panjang / belah ketupat / persegi: diagonal sama panjang / diagonal tegak lurus / keduanya.
• Luas: lw, bh, ((a+b)h)/(2), dan (d_1d_2)/(2) untuk belah ketupat atau layang-layang; keliling adalah jumlah sisi-sisinya.
• Koordinat: hasil kali silang 0 berarti sejajar, hasil kali titik 0 berarti tegak lurus, kuadrat jarak untuk panjang yang sama; luasnya \frac12\left|\sum(x_iy_i+1-x_i+1y_i)\right|.
• Kode: pakai bilangan bulat atau Fraction, jangan kesamaan float; urutkan titik sudut mengelilingi bangun.

Glosarium: istilah penting

Segiempat

Poligon dengan empat sisi, empat titik sudut, dan empat sudut dalam yang berjumlah 360 derajat.

Jajargenjang

Segiempat yang kedua pasang sisi berhadapannya sejajar, sehingga sisi dan sudut berhadapannya sama.

Persegi panjang

Segiempat dengan empat sudut siku-siku, yaitu jajargenjang dengan diagonal sama panjang.

Belah ketupat

Segiempat dengan empat sisi sama panjang, yaitu jajargenjang yang diagonalnya tegak lurus.

Persegi

Segiempat dengan empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku, sehingga ia persegi panjang sekaligus belah ketupat.

Layang-layang

Segiempat dengan dua pasang sisi berdekatan yang sama panjang, yang diagonalnya tegak lurus.

Trapesium

Segiempat dengan tepat satu pasang sisi sejajar, yang disebut alas, dalam definisi sekolah yang dipakai di sini.

Diagonal

Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut berhadapan pada segiempat.

Segiempat cembung

Segiempat yang setiap sudut dalamnya kurang dari 180 derajat dan kedua diagonalnya berada di dalam.

Rumus tali sepatu

Rumus yang memberi luas poligon sederhana sebagai setengah nilai mutlak jumlah x indeks i kali y indeks i tambah 1 dikurangi x indeks i tambah 1 kali y indeks i.

Sumbu simetri

Garis yang membagi bangun menjadi dua bagian bayangan cermin, sehingga pencerminan bangun terhadapnya tidak mengubahnya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Thomas L. Heath (translator) (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed.), Book I, definition 22 and propositions 33–36. Cambridge University Press.
2. Henry Thomas Colebrooke (translator) (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanskrit of Brahmegupta and Bhascara. John Murray.
3. Arnold Buffum Chace (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Mathematical Association of America.
4. H. S. M. Coxeter and Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, chapter 2 (cyclic quadrilaterals). Mathematical Association of America.
5. Bart Braden (1986). The Surveyor's Area Formula. The College Mathematics Journal, 17(4), 326–337.
6. Python Software Foundation. The Python Standard Library: fractions, rational numbers. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/fractions.html.

Artikel terkait

• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan: Lingkaran: pi, keliling dan luas, busur dan juring, teorema sudut, tali busur dan garis singgung, persamaan lingkaran, dan kedudukan garis, dengan latihan.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.