Teorema Pythagoras: Bukti, Tripel, dan Penerapan

Apa itu teorema Pythagoras?

Pada segitiga siku-siku dengan sisi tegak a dan b dan hipotenusa c, teorema Pythagoras menyatakan bahwa a^2+b^2=c^2. Sisi tegak adalah dua sisi yang bertemu di sudut siku-siku; hipotenusa adalah sisi di depannya, yang selalu terpanjang (lihat segitiga siku-siku).

Persamaan itu tentang luas. Persegi pada hipotenusa berluas tepat sama dengan jumlah luas kedua persegi pada sisi tegak, yaitu gambar pada alat di bawah. Namanya mengabadikan Pythagoras dari Samos (sekitar 570–495 SM), tetapi hubungan itu sudah dikenal di Babilonia, India, dan Tiongkok jauh sebelum dia; sejarahnya ada di bagian akhir.

Dua hal langsung mengikutinya:

• Hipotenusa yang hilang: c=√(a^2+b^2). Untuk sisi tegak 3 dan 4 hasilnya √(9+16)=5. Untuk dua sisi tegak 1 hasilnya √2, yang irasional, dan untuk sisi tegak 6 dan 4 hasilnya √(52)=2√(13) setelah kamu menyederhanakan bentuk akar.
• Sisi tegak yang hilang: b=√(c^2-a^2), dengan pengurangan di bawah akar, karena hipotenusa adalah yang terbesar. Untuk c=13 dan a=5 hasilnya √(169-25)=12.

Jaga semua panjang dalam satuan yang sama, dan biarkan akar kuadrat tetap sebagai akar, atau dalam bentuk sederhana, sampai langkah terakhir. Teorema ini membutuhkan sudut siku-siku: untuk segitiga lain lihat aturan kosinus pada bagian perluasan di bawah.

Cobalah: berikan dua sisi dan dapatkan sisi ketiga secara eksak, dengan persegi digambar pada setiap sisi.

Bagaimana membuktikan teorema Pythagoras?

Ada ratusan bukti, dan empat yang paling jelas menata ulang luas, memakai segitiga sebangun, menggeser persegi menjadi persegi panjang, atau menjumlahkan luas trapesium; masing-masing hanya beberapa baris. Inilah keempatnya, dimulai dari yang ada pada alat di bawah.

1. Menata ulang empat segitiga. Ambil empat salinan segitiga siku-siku, masing-masing berluas \frac12ab, dan susun di dalam persegi bersisi a+b. Ada dua penataan. Pada yang pertama, segitiga-segitiga itu menyisakan persegi miring bersisi c di tengah. Pada yang kedua, segitiga yang sama menyisakan dua persegi, satu bersisi a dan satu bersisi b. Persegi besar berluas sama pada kedua penataan, begitu pula keempat segitiga, sehingga sisanya pasti sama: c^2=(a+b)^2-4·\tfrac12ab=a^2+b^2. Inilah diagram Zhoubi Suanjing dari Tiongkok. Geser a dan b dan ganti penataannya di bawah.

2. Segitiga sebangun. Gambar garis tinggi dari sudut siku-siku ke hipotenusa. Garis itu membagi hipotenusa c menjadi dua bagian p dan q dengan p+q=c, dan membagi segitiga menjadi dua segitiga lebih kecil, masing-masing sebangun dengan segitiga utuh menurut AA, seperti pada segitiga sebangun. Membandingkan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian memberi a/c=p/a dan b/c=q/b, yaitu a^2=cp dan b^2=cq. Jumlahkan: a^2+b^2=c(p+q)=c· c=c^2.

3. Bukti Euclid (Elements I.47). Kedua persamaan yang sama itu mengatakan bahwa bila garis tinggi diperpanjang menembus persegi pada hipotenusa, ia membagi persegi itu menjadi dua persegi panjang, satu berluas cp=a^2 dan satu berluas cq=b^2. Euclid menunjukkannya tanpa perbandingan, dengan menggeser: persegi dan persegi panjang pada alas yang sama dan di antara garis sejajar yang sama, dibelah dua oleh diagonal, memberi segitiga berluas sama, sehingga setiap persegi pada sisi tegak sama dengan satu persegi panjang dari persegi besar.

4. Trapesium Garfield (1876). Letakkan dua salinan segitiga siku-siku berdampingan sehingga hipotenusanya membentuk sudut siku-siku; dengan segitiga siku-siku ketiga bersisi tegak c dan c di antaranya, bangunnya adalah trapesium dengan sisi sejajar a dan b dan tinggi a+b. Luasnya \frac12(a+b)(a+b), dan juga jumlah ketiga segitiga, \frac12ab+\frac12ab+\frac12c^2. Jadi \frac12(a+b)^2=ab+\frac12c^2, yang menjadi a^2+2ab+b^2=2ab+c^2 dan lagi-lagi a^2+b^2=c^2. James Garfield menemukannya saat menjadi anggota DPR Amerika Serikat, dan ia menjadi presiden ke-20 lima tahun kemudian.

Kumpulan karya Elisha Loomis, dalam edisi 1940, menghimpun sekitar 370 bukti teorema ini.

Bagaimana memakai kebalikannya untuk memeriksa sudut siku-siku?

Jika ketiga sisi suatu segitiga memenuhi a^2+b^2=c^2, sudut di depan c adalah sudut siku-siku; kebalikan ini adalah cara tukang bangunan menyiku sudut dengan tali 3–4–5.

Mengapa kebalikannya benar. Misalkan segitiga memiliki sisi a, b, c dengan a^2+b^2=c^2. Bangun segitiga siku-siku dengan sisi tegak a dan b. Menurut teorema, hipotenusanya √(a^2+b^2)=c, sehingga ketiga sisinya sama dengan segitiga yang diberikan. Dua segitiga dengan tiga sisi sama adalah kongruen (SSS), sehingga segitiga yang diberikan juga memiliki sudut siku-siku. Euclid membuktikannya sebagai proposisi I.48, yang terakhir pada Buku I.

Tali 3–4–5. Ikat tali melingkar dengan 12 ruas sama yang ditandai simpul. Pegang simpul berjarak 3 dan 4 lalu tarik lingkaran itu kencang menjadi segitiga: sisinya 3, 4, dan 5, dan 9+16=25, sehingga sudut di antara sisi 3 dan 4 tepat siku-siku. Pengukur tanah dan tukang bangunan telah melakukannya selama ribuan tahun. Kelipatan mana pun sama baiknya, seperti 6–8–10 untuk ruangan besar.

Pemeriksaan diagonal. Bingkai 2,4 m kali 1,8 m adalah persegi panjang hanya bila diagonalnya 3,0 m, karena 1,8^2+2,4^2=3,24+5,76=9,00=3,0^2. Jika diagonalnya lebih panjang atau lebih pendek, bingkainya miring.

Bagaimana bila ujinya gagal? Maka sudutnya bukan sudut siku-siku, dan besar c^2 terhadap a^2+b^2 menunjukkan arahnya: c^2 yang lebih besar berarti sudut tumpul, yang lebih kecil berarti sudut lancip, seperti diuraikan pada jenis-jenis segitiga. Sisi 5, 7, 9 memberi 25+49=74<81, sehingga sudut terbesarnya tumpul.

Apa itu tripel Pythagoras dan bagaimana menemukannya?

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif a,b,c dengan a^2+b^2=c^2, dan rumus Euclid (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) menghasilkan setiap tripel primitif. Tripel (3,4,5) yang terkecil; (5,12,13) dan (8,15,17) menyusul. Kelipatan suatu tripel juga tripel ((6,8,10) adalah dua kali (3,4,5)), sehingga yang menarik adalah tripel primitif, tanpa faktor persekutuan, seperti pada faktor persekutuan terbesar.

Rumus Euclid. Untuk bilangan bulat m>n>0 tripel (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) berlaku, karena (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=(m^2+n^2)^2. Ia primitif tepat bila m dan n saling prima dan salah satunya genap, dan lalu memberi setiap tripel primitif satu kali.

Ada 16 tripel primitif dengan hipotenusa paling besar 100, dan 52 tripel seluruhnya bila kelipatannya dihitung.

Pola pada setiap tripel. Pada tripel primitif tepat satu sisi tegak genap dan hipotenusanya ganjil. Di antara a,b,c satu sisi tegak adalah kelipatan 3, satu sisi tegak kelipatan 4, dan satu dari ketiga bilangan kelipatan 5, sehingga abc selalu habis dibagi 60 (lihat keterbagian). Luas \frac12ab selalu bilangan bulat.

Semua segitiga dengan sisi tegak tertentu. Tulis a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b) dan daftar cara memfaktorkan a^2 menjadi dua bilangan yang sama paritasnya. Untuk a=12, a^2=144=2·72=4·36=6·24=8·18, memberi (c,b)=(37,35),(20,16),(15,9),(13,5): empat segitiga siku-siku dengan sisi tegak 12.

Jelajahi daftarnya di bawah, lalu telusuri pohonnya.

Pohon tripel primitif. Pada 1934 matematikawan Swedia Berggren menemukan bahwa semua tripel primitif muat dalam satu pohon. Akarnya (3,4,5) dan setiap tripel memiliki tepat tiga anak, yang ditemukan dengan tiga aturan linear tetap, sehingga setiap tripel primitif muncul tepat satu kali. Dengan sisi tegak ganjil di depan, (3,4,5) memiliki anak (5,12,13), (21,20,29), dan (15,8,17).

Tripel bukan sekadar keanehan: \left(\frac35,\frac45\right) adalah titik pada lingkaran satuan karena 3^2+4^2=5^2, dan setiap tripel memberi titik seperti itu, seperti pada persamaan lingkaran.

Bagaimana teorema ini memberi jarak dan diagonal?

Jarak antara dua titik adalah hipotenusa segitiga siku-siku yang sisi tegaknya selisih mendatar dan selisih tegak, sehingga d=√((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2); satu pemakaian teorema lagi memberi diagonal ruang balok.

Di bidang. Dari (1,2) ke (7,10) sisi tegaknya 6 dan 8, sehingga jaraknya √(36+64)=10. Membandingkan kuadrat jarak tidak memerlukan akar sama sekali, begitulah uji segiempat memeriksa sisi yang sama panjang, dan persamaan (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 sebuah lingkaran adalah rumus jarak yang mengatakan "jarak ke pusat adalah r".

Di ruang. Pakai teorema dua kali. Diagonal alas balok l× w adalah √(l^2+w^2), dan diagonal ini bersama tinggi h adalah sisi tegak segitiga siku-siku kedua yang hipotenusanya diagonal ruang balok: d=√(l^2+w^2+h^2). Balok 2×3×6 memiliki diagonal ruang √(4+9+36)=7, dan batang terpanjang yang muat dalam balok 3×4×12 adalah √(9+16+144)=13. Kubus satuan memiliki diagonal ruang √3. Pola yang sama, jumlah kuadrat selisih di bawah akar, memberi jarak dalam dimensi sebanyak apa pun.

Pemakaian sehari-hari.

• Tangga sepanjang 5 m dengan kaki 1,4 m dari tembok mencapai ketinggian √25-1,96=4,8 m pada tembok.
• Jalan pintas melintasi lapangan 60 m kali 80 m adalah 100 m, dibandingkan 140 m menyusuri tepinya.
• Ukuran layar adalah diagonalnya. Layar 55 inci berbentuk 16:9 memiliki lebar dan tinggi sebanding dengan 16 dan 9, dan √(16^2+9^2)=√(337), sehingga lebarnya sekitar 47,9 inci dan tingginya 27,0 inci, karena (55·16)/(√(337))≈47,9 dan (55·9)/(√(337))≈27,0.
• Jalan setapak diagonal berpaving melintasi taman persegi panjang 30 m kali 40 m panjangnya 50 m; dengan harga Rp150.000 per meter biayanya 50 kali Rp150.000, yaitu Rp7.500.000.

Dapatkah teorema Pythagoras diperluas?

Ya: aturan kosinus memperluasnya ke setiap segitiga, bangun sebangun mana pun yang dibuat pada ketiga sisi memiliki luas yang menjumlah dengan cara yang sama, rumus jarak membawanya ke dimensi mana pun, dan untuk pangkat di atas dua persamaannya sama sekali tidak punya penyelesaian bilangan bulat.

• Aturan kosinus. Untuk segitiga mana pun, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. Pada sudut siku-siku \cos C=0 dan koreksinya lenyap, yaitu teorema Pythagoras; untuk sudut lancip koreksinya mengurangi, untuk sudut tumpul koreksinya menambah. Lihat memecahkan segitiga.
• Bangun lain pada sisi-sisinya. Luas tumbuh sebagai kuadrat panjang, sehingga bangun sebangun mana pun yang dibuat pada ketiga sisi memenuhi A_a+A_b=A_c: setengah lingkaran, segitiga sama sisi, bahkan salinan gambar kesukaanmu. Dengan setengah lingkaran, Hippokrates dari Khios (abad ke-5 SM) menggambar dua bulan sabit (lunula) di luar setengah lingkaran pada hipotenusa dan menunjukkan bahwa, untuk segitiga siku-siku, kedua lunula bersama-sama berluas tepat sama dengan segitiganya.
• Vektor dan dimensi lebih tinggi. Jika dua vektor tegak lurus, |u+v|^2=|u|^2+|v|^2; ini adalah teorema untuk segitiga yang dibentuknya, dan jarak dalam dimensi sebanyak apa pun dibangun darinya.
• Permukaan lengkung. Pada bola berjari-jari 1, segitiga bersudut siku-siku memenuhi \cos c=\cos a\cos b, dengan sisi diukur sepanjang permukaan. Teorema biasa membutuhkan bidang datar.
• Pangkat lebih tinggi. Persamaan x^2+y^2=z^2 memiliki tak berhingga banyak penyelesaian bilangan bulat, yaitu tripel di atas. Untuk x^n+y^n=z^n dengan n\ge3 tidak ada penyelesaian bilangan bulat positif. Pierre de Fermat menuliskannya di pinggir halaman sekitar 1637, dengan mengatakan bahwa ia memiliki bukti yang terlalu panjang untuk pinggir halaman; bukti pertama ditemukan oleh Andrew Wiles, dengan celah yang ditutup oleh Richard Taylor, pada 1995. Inilah Teorema Terakhir Fermat.

Bagaimana memakai teorema Pythagoras dalam kode?

Pakai math.hypot untuk panjang, dan bilangan bulat dengan math.isqrt untuk uji yang eksak. Akar kuadrat float dibulatkan, sehingga sudut siku-siku paling baik diuji dengan bilangan bulat, dan panjang yang sangat besar atau kecil paling baik dihitung dengan hypot, yang tidak dapat meluap.

from math import hypot, dist, isqrt, sqrt, gcd

def is_triple(a, b, c):
    return a * a + b * b == c * c                 # exact for whole numbers

def hyp_exact(a, b):                              # (isqrt, True) when the hypotenuse is whole
    s = a * a + b * b
    c = isqrt(s)
    return c, c * c == s

def primitive_triples(limit):                     # Euclid's formula
    out = []
    m = 2
    while m * m + 1 <= limit:
        for n in range(1, m):
            if (m - n) % 2 and gcd(m, n) == 1 and m * m + n * n <= limit:
                a, b = sorted((m * m - n * n, 2 * m * n))
                out.append((a, b, m * m + n * n))
        m += 1
    return sorted(out, key=lambda t: t[2])

>>> is_triple(5, 12, 13), is_triple(4, 5, 6)
(True, False)
>>> hyp_exact(8, 15), hyp_exact(1, 1)
((17, True), (1, False))
>>> primitive_triples(30)
[(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29)]
>>> len(primitive_triples(100))
16
>>> hypot(3, 4), dist((1, 2), (7, 10)), hypot(2, 3, 6)   # 2D, between points, 3D
(5.0, 10.0, 7.0)
>>> sqrt(1.2 ** 2 + 3.5 ** 2) == 3.7                 # should be True: 1.2, 3.5, 3.7 is a triple
False
>>> hypot(1.2, 3.5) == 3.7
True
>>> sqrt(1e200 ** 2 + 1e200 ** 2)                    # squaring overflows
OverflowError: (34, 'Result too large')
>>> hypot(1e200, 1e200)
1.414213562373095e+200

Math.hypot(3, 4)                                   // 5
Math.hypot(1, 2, 2)                                // 3: the diagonal of a 1 by 2 by 2 box
const isTriple = (a, b, c) => a * a + b * b === c * c   // exact for whole numbers
isTriple(20, 21, 29)                               // true
Math.sqrt(1.2 ** 2 + 3.5 ** 2) === 3.7             // false: the float sum rounds, as in Python

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

bool isTriple(int a, int b, int c) { return a * a + b * b == c * c; }   // exact for whole numbers

int isqrt(int n) { int r = 0; while ((r + 1) * (r + 1) <= n) r++; return r; }

int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

int main() {
  cout << isTriple(5, 12, 13) << " " << isTriple(4, 5, 6) << endl;      // 1 0
  int s = 8 * 8 + 15 * 15, c = isqrt(s);
  cout << c << " " << (c * c == s) << endl;                              // 17 1: the hypotenuse is whole

  for (int h = 1; h <= 30; h++)                                          // primitive triples up to 30
    for (int a = 1; a < h; a++)
      for (int b = a + 1; b < h; b++)
        if (isTriple(a, b, h) && gcd(a, b) == 1) cout << "(" << a << "," << b << "," << h << ") ";
  cout << endl;

  int count = 0;                                                         // Euclid's formula up to 100
  for (int m = 2; m * m + 1 <= 100; m++)
    for (int n = 1; n < m; n++)
      if ((m - n) % 2 == 1 && gcd(m, n) == 1 && m * m + n * n <= 100) count++;
  cout << count << endl;

  printf("%.1f %.1f\n", sqrt(3.0 * 3 + 4 * 4), sqrt(2.0 * 2 + 3 * 3 + 6 * 6));   // 2D and 3D lengths
  cout << (sqrt(1.2 * 1.2 + 3.5 * 3.5) == 3.7) << endl;                  // 0: the float sum rounds
  double big = 1e200;
  cout << (big * big > 1e308) << endl;                                   // 1: squaring overflows to inf
  return 0;
}

/* output:
1 0
17 1
(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)
16
5.0 7.0
0
1
*/

Jebakannya, berdasarkan seberapa sering terjadi:

Siapa yang menemukan teorema Pythagoras?

Tidak ada satu orang yang menemukannya: hubungan ini dipakai di Babilonia, India, dan Tiongkok jauh sebelum Pythagoras, dan bukti pertama yang dapat kita baca berasal dari Euclid.

• Sekitar 1800 SM. Lempeng tanah liat Babilonia Plimpton 322 mendaftar apa yang tampaknya tripel Pythagoras, seperti (119,120,169), sehingga hubungan itu sudah dipakai seribu tahun sebelum geometri Yunani.
• Sekitar 800–500 SM. Sulba Sutra India, aturan membangun altar, menyatakan bahwa tali sepanjang diagonal persegi panjang menghasilkan luas persegi pada kedua sisinya bersama-sama.
• Sekitar 570–495 SM. Pythagoras dari Samos, di Italia selatan, mendirikan perguruan yang memakai namanya. Tidak ada tulisannya yang bertahan, dan penghargaan atas teorema ini berasal dari penulis berabad-abad kemudian.
• Sebelum abad ke-1 SM. Zhoubi Suanjing dari Tiongkok menjelaskan segitiga 3–4–5 dan diagram dengan persegi miring, teorema gougu (kaki dan kaki).
• Sekitar 300 SM. Elements Euclid membuktikan teorema ini sebagai I.47 dan kebalikannya sebagai I.48.
• Abad ke-12. Bhaskara II menggambar diagram penataan ulang dengan satu kata saja, "Lihatlah!".
• 1876. Bukti trapesium Garfield terbit.
• 1995. Wiles membuktikan Teorema Terakhir Fermat, jawaban atas pertanyaan apakah persamaan Pythagoras berlaku dengan pangkat tiga atau lebih.

Sebuah kisah populer mengatakan bahwa bangsa Yunani terguncang oleh penemuan bahwa diagonal persegi bukan perbandingan bilangan bulat, bilangan irasional pertama, yang tak terelakkan akibat teorema ini: lihat bukti bahwa akar 2 irasional.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada teorema Pythagoras?

Kesalahan paling umum pada teorema ini adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: teorema Pythagoras sekilas

• Pernyataan: segitiga siku-siku dengan sisi tegak a,b dan hipotenusa c: a^2+b^2=c^2; c=√(a^2+b^2), sisi tegak adalah √(c^2-a^2).
• Bukti: menata ulang empat segitiga dalam persegi (a+b); segitiga sebangun (a^2=cp, b^2=cq); penggeseran Euclid; trapesium Garfield.
• Kebalikan: a^2+b^2=c^2⇒ sudut siku-siku; tali 3–4–5, pemeriksaan diagonal.
• Tripel: (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2); primitif bila \gcd(m,n)=1 dan paritas berbeda; 60| abc; pohon Berggren dari (3,4,5).
• Jarak: √(\Delta x^2+\Delta y^2); diagonal ruang balok √(l^2+w^2+h^2).
• Perluasan: aturan kosinus, bangun sebangun pada sisi-sisinya, dimensi mana pun, bola (\cos c=\cos a\cos b), Teorema Terakhir Fermat.
• Kode: math.hypot, uji bilangan bulat dengan isqrt, jangan kesamaan float.

Glosarium: istilah penting

Teorema Pythagoras

Aturan bahwa pada segitiga siku-siku kuadrat hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi tegak.

Sisi tegak segitiga siku-siku

Dua sisi segitiga siku-siku yang bertemu di sudut siku-siku, berbeda dari hipotenusa.

Kebalikan teorema Pythagoras

Pernyataan bahwa segitiga yang sisinya memenuhi a kuadrat ditambah b kuadrat sama dengan c kuadrat memiliki sudut siku-siku di depan sisi c.

Tripel Pythagoras

Tiga bilangan bulat positif a, b, dan c dengan a kuadrat ditambah b kuadrat sama dengan c kuadrat, seperti 3, 4, dan 5.

Tripel Pythagoras primitif

Tripel Pythagoras yang ketiga bilangannya tidak punya faktor persekutuan lebih dari 1, sehingga bukan kelipatan tripel yang lebih kecil.

Rumus Euclid

Aturan bahwa untuk bilangan bulat m lebih besar dari n bilangan m kuadrat dikurangi n kuadrat, 2mn, dan m kuadrat ditambah n kuadrat membentuk tripel Pythagoras.

Pohon Berggren

Pohon yang bermula dari tripel 3, 4, 5 dan memberi setiap tripel Pythagoras primitif tepat satu kali lewat tiga aturan yang menghasilkan tiga anak.

Rumus jarak

Rumus yang memberi jarak antara dua titik sebagai akar dari jumlah kuadrat selisih koordinat, ditemukan dengan teorema Pythagoras.

Teorema Terakhir Fermat

Teorema bahwa x pangkat n ditambah y pangkat n sama dengan z pangkat n tidak memiliki penyelesaian bilangan bulat positif bila n lebih besar dari 2.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Thomas L. Heath (translator) (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed.), Book I, propositions 47 and 48. Cambridge University Press.
2. Eli Maor (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton University Press.
3. Elisha Scott Loomis (1940). The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics.
4. Otto Neugebauer and Abraham Sachs (1945). Mathematical Cuneiform Texts (the tablet Plimpton 322). American Oriental Society.
5. James A. Garfield (1876). A new proof of the Pythagorean theorem. New-England Journal of Education, 3(14), 161.
6. Python Software Foundation. The Python Standard Library: math (hypot, dist and isqrt). docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/math.html.

Artikel terkait

• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan: Lingkaran: pi, keliling dan luas, busur dan juring, teorema sudut, tali busur dan garis singgung, persamaan lingkaran, dan kedudukan garis, dengan latihan.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.