Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya

Apa itu bilangan real?

Bilangan real adalah bilangan apa pun yang dapat diletakkan pada garis bilangan. Dengan kata lain, setiap bilangan real punya ekspansi desimal: yang berakhir, yang akhirnya berulang secara periodik, atau yang tak berhingga dan tidak pernah periodik: 3, -0,5, 1/3=0,333… dan √2=1,41421… semuanya bilangan real. Himpunan semua bilangan real ditulis ℝ.

Setiap kali kamu mengukur sesuatu — panjang meja, suhu siang hari, waktu yang dipakai dalam lomba lari — hasil pengukuran tersebut dapat dinyatakan dengan bilangan real.

Cara lain mengatakannya bersifat geometris. Gambarlah garis lurus, tandai satu titik untuk 0 dan satu titik lain untuk 1, maka setiap titik pada garis itu mewakili tepat satu bilangan real. Garis tersebut disebut garis bilangan. Secara intuitif garis ini tidak memiliki celah; sifat ini disebut kelengkapan (completeness), dan bagian tentang garis bilangan di bawah menjelaskan artinya secara tepat.

Bilangan real digunakan dalam pengukuran, kalkulus, fisika, dan berbagai komputasi numerik. Mengetahui bagaimana bilangan real tersusun — mana yang pecahan, mana yang bukan, dan bagaimana komputer menyimpannya — membantu memahami berbagai persoalan perhitungan, termasuk kesalahan pembulatan dalam komputasi.

Catatan notasi. Di artikel ini bilangan asli ℕ adalah 1,2,3,… dan bilangan cacah W adalah 0,1,2,3,…. Sebagian buku menganggap 0 sebagai bilangan asli, jadi periksa konvensinya bila membaca di tempat lain. Kata bilangan bulat selalu berarti bilangan dalam ℤ, dan ekspansi desimal berarti seluruh deretan angka sebuah bilangan, sepanjang apa pun.

Bilangan real sekilas

Apa saja jenis bilangan real?

Jenis-jenis bilangan real adalah bilangan asli, cacah, bulat, rasional, dan irasional. Himpunan-himpunan tersebut tersusun secara bertingkat: setiap himpunan memuat himpunan sebelumnya dan menambahkan bilangan yang tidak dapat dinyatakan oleh himpunan sebelumnya.

Setiap bilangan bulat itu rasional, karena 5=5/1, dan artikel bilangan rasional menunjukkan cara membandingkan, menjumlahkan, dan menyederhanakan pecahan. Setiap bilangan rasional itu real. Dan dua kelompok utama, rasional dan irasional, tidak beririsan: sebuah bilangan real tepat salah satunya.

Tidak semua bilangan itu real. Persamaan x^2=-1 tidak punya solusi real, karena bilangan real yang dikuadratkan tidak pernah negatif. Para matematikawan menambahkan bilangan baru i dengan i^2=-1 dan memperoleh bilangan kompleks ℂ, yang memuat ℝ — tetapi itu artikel lain.

Satu jebakan sebelum mencoba aktivitas berikut. Tanda akar tidak otomatis membuat bilangan irasional: √(16)=4 adalah bilangan asli. Dan bentuk desimal juga tidak otomatis membuatnya irasional: 1,4142 berakhir, jadi ia adalah pecahan (14142)/(10000).

Apa itu bilangan rasional? Pecahan dan desimal

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan p/q dari dua bilangan bulat, dengan q≠ 0. Kata ini berasal dari rasio. Setiap bilangan rasional juga dapat ditulis sebagai desimal, dan ekspansi desimalnya memiliki salah satu dari dua sifat berikut:

• Ekspansinya berakhir: 1/8=0,125 dan (3)/(40)=0,075.
• Ekspansinya akhirnya berulang secara periodik, dengan satu kelompok angka berulang tanpa akhir: 1/3=0,333…=0,(3 repeating) dan (3)/(11)=0,272727…=0,(27 repeating).

Garis di atas angka menandai kelompok angka yang berulang. Mana dari keduanya yang terjadi ditentukan oleh penyebutnya, setelah pecahannya disederhanakan.

Mengapa desimal harus berulang? Lakukan pembagian bersusun p/q. Setelah tiap angka tersisa sebuah sisa, dan sisa itu selalu salah satu dari 0, 1, …, q-1. Jika suatu saat sisanya 0, desimalnya berakhir. Jika tidak, hanya ada q-1 kemungkinan sisa tak nol, sehingga dalam q langkah salah satunya pasti muncul lagi — dan sejak saat itu angkanya berulang, karena sisa yang sama menghasilkan angka berikutnya yang sama. Itulah sebabnya kelompok angka pada 1/7=0,(142857 repeating) panjangnya tepat 6 angka, satu kurang dari 7.

Cara mengubah desimal berulang menjadi pecahan. Ikuti langkah berikut, ditunjukkan untuk x=0,(27 repeating):

1. Beri nama bilangannya: misalkan x=0,(27 repeating).
2. Kalikan dengan 10^n, dengan n panjang kelompok angka yang berulang (di sini 2, jadi kalikan 100): 100x=27,(27 repeating).
3. Kurangkan bilangan semula agar ekor tak berhingga saling meniadakan: 100x-x=27, yaitu 99x=27.
4. Selesaikan dan sederhanakan: x=(27)/(99)=(3)/(11).

Jika ada angka yang tidak berulang, seperti pada 0,41(6 repeating), gunakan dua kali pergeseran: 100x=41,(6 repeating) dan 1000x=416,(6 repeating). Pengurangan memberi 900x=375, sehingga x=(375)/(900)=(5)/(12).

Apa itu bilangan irasional? (dengan bukti untuk √2)

Bilangan irasional adalah bilangan real yang bukan rasional: tidak ada pecahan dua bilangan bulat yang sama dengannya. Ekspansi desimalnya tak berhingga dan tidak pernah periodik. Contoh bilangan irasional yang terkenal antara lain:

• √2=1,41421356…, diagonal persegi dengan sisi 1.
• π=3,14159265…, perbandingan keliling lingkaran terhadap diameternya.
• e=2,71828182…, bilangan dasar logaritma natural, yang muncul pada pertumbuhan dan peluruhan.
• φ=(1+√5)/(2)=1,61803398…, rasio emas.

Ada uji sederhana untuk akar kuadrat: untuk bilangan bulat positif n, √n irasional tepat ketika n bukan kuadrat sempurna (dan jika n kuadrat sempurna, √n adalah bilangan bulat). Faktorkan n menjadi bilangan prima; jika setiap prima muncul sebanyak bilangan genap, n adalah kuadrat sempurna dan akarnya bilangan bulat. Jadi √(50)=5√2 irasional, sedangkan √(49)=7 tidak; menyederhanakan bentuk akar menunjukkan bagaimana √(50) menjadi 5√2, dan artikel bilangan irasional membahas lebih jauh, tentang π, e, dan hampiran rasional.

Bukti bahwa √2 irasional

Orang Yunani kuno sudah mengetahui hal ini, dan argumennya masih menjadi contoh klasik pembuktian dengan kontradiksi. Misalkan √2=a/b dengan a dan b bilangan bulat positif yang saling prima, yaitu tidak punya faktor persekutuan lebih dari 1 (pecahan paling sederhana). Kita akan menunjukkan bahwa hal itu mustahil.

1. Kuadratkan kedua ruas: 2=(a^2)/(b^2), sehingga a^2=2b^2.
2. Jadi a^2 genap. Bilangan ganjil yang dikuadratkan tetap ganjil, sehingga a sendiri harus genap: a=2k untuk suatu bilangan bulat k.
3. Substitusikan: (2k)^2=2b^2, sehingga 4k^2=2b^2 dan b^2=2k^2.
4. Jadi b^2 genap, dan dengan alasan yang sama b genap.
5. Sekarang a dan b keduanya genap, sehingga keduanya punya faktor 2. Itu bertentangan dengan pengandaian bahwa keduanya saling prima.

Pengandaian tadi menimbulkan kontradiksi, jadi pecahan seperti itu tidak ada: √2 irasional. ∎

Gagasan bukti yang sama tidak berlaku untuk π dan e, yang jauh lebih sulit. Euler menunjukkan pada 1737 bahwa e irasional, dan Lambert menunjukkan pada 1761 bahwa π irasional (makalahnya terbit pada 1768). Kemudian Hermite (1873) dan Lindemann (1882) membuktikan sesuatu yang lebih kuat: e dan π bahkan bukan akar polinomial mana pun dengan koefisien bulat, yang disebut transendental. Inilah yang akhirnya mengakhiri masalah kuno menguadratkan lingkaran.

Sekarang coba sendiri angka-angka desimalnya. Widget di bawah ini menemukan √2 satu angka demi satu angka: pada tiap langkah, pilih angka terbesar yang kuadratnya masih tidak lebih dari 2. Kamu bisa melakukannya tanpa akhir, dan angka-angkanya tidak pernah jatuh ke sebuah pola.

Hampir setiap bilangan real itu irasional. Bilangan rasional dapat didaftar satu per satu dalam sebuah barisan (ia terhitung), tetapi Cantor membuktikan pada 1874 bahwa bilangan real tidak dapat (ia tak terhitung). Jika kamu memilih bilangan real antara 0 dan 1 sepenuhnya secara acak, peluang bahwa ia rasional adalah 0. Bilangan irasional bukanlah yang eksotis; bilangan rasionallah benang tipis yang kebetulan paling sering kita tuliskan.

Bagaimana bilangan real tersusun pada garis bilangan?

Pada garis bilangan, bilangan rasional itu rapat (dense) tetapi tidak lengkap (complete), sedangkan bilangan real rapat sekaligus lengkap. Dua sifat bilangan real terdengar mirip tetapi berbeda.

Kerapatan (dense). Sebuah himpunan disebut rapat dalam bilangan real jika setiap bagian garis, sependek apa pun, memuat sedikitnya satu anggotanya. Bilangan rasional rapat, begitu juga bilangan irasional: di antara dua bilangan real yang berbeda selalu ada bilangan lain — bahkan tak berhingga banyak bilangan rasional dan tak berhingga banyak bilangan irasional. Jika a<b rasional, titik tengah (a+b)/(2) rasional dan terletak di antara keduanya; dan a+(b-a)/(√2) irasional dan juga terletak di antara keduanya. Tidak ada bilangan real "berikutnya" setelah 0, sebesar apa pun kamu memperbesar tampilannya.

Kelengkapan (complete). Bilangan rasional rapat tetapi tetap memiliki celah: bilangan √2 tidak ada di ℚ. Bilangan rasional 1, 1,4, 1,41, 1,414, … makin dekat ke sebuah titik pada garis, tetapi tidak ada bilangan rasional yang menjadi titik itu.

"Garis tanpa lubang" hanyalah gambarannya; pernyataan yang tepat adalah sifat batas atas terkecil: setiap himpunan bilangan real yang tak kosong dan terbatas ke atas memiliki batas atas terkecil. Sifat ini tidak berlaku di ℚ — himpunan bilangan rasional yang kuadratnya kurang dari 2 terbatas ke atas, tetapi tidak punya batas atas terkecil di antara bilangan rasional — dan berlaku di ℝ, tempat batas atas terkecil itu adalah √2. Inilah yang membuat garis bilangan real kontinu, dan yang diandalkan kalkulus.

Apa saja sifat-sifat bilangan real?

Bilangan real memenuhi enam sifat dasar operasi aljabar: ketertutupan, komutatif, asosiatif, distributif, unsur identitas, dan invers. Untuk semua bilangan real a, b, dan c, berlaku aturan-aturan berikut, dan sifat-sifat tersebut menjadi dasar berbagai manipulasi aljabar:

Bagaimana hasil operasi antara bilangan rasional dan irasional? Misalkan q bilangan rasional tak nol dan i bilangan irasional.

Mengapa q+i selalu irasional? Andaikan q+i=r, dengan r rasional. Maka i=r-q juga rasional karena merupakan selisih dua bilangan rasional. Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa i irasional.

Bagaimana membandingkan bilangan real dan menulis interval?

Urutan digunakan untuk membandingkan bilangan real, interval untuk menyatakan bagian dari garis bilangan, dan nilai mutlak untuk menyatakan jarak suatu bilangan dari nol.

Urutan. Dua bilangan real mana pun dapat dibandingkan: tepat satu dari a<b, a=b, a>b yang benar. Urutan bersifat transitif (a<b dan b<c memberi a<c). Menambah kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama mempertahankannya; mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif membalikkannya, sehingga -2x<6 memberi x>-3.

Interval. Suatu bagian dari garis bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk interval. Kurung siku berarti ujungnya termasuk, kurung biasa berarti tidak termasuk, dan ∞ selalu memakai kurung biasa karena ia bukan bilangan real.

Nilai mutlak. |x| adalah jarak x ke 0, sehingga tidak pernah negatif: |x|=x jika x\ge0 dan |x|=-x jika x<0. Lebih umum, |a-b| adalah jarak antara a dan b. Pertidaksamaan |x|<3 berarti jarak x dari nol kurang dari 3, yaitu interval (-3,3).

Mengapa 0,1 + 0,2 tidak selalu sama dengan 0,3 dalam komputer?

Dalam kode, 0,1 + 0,2 tidak sama dengan 0,3 karena komputer merepresentasikan bilangan menggunakan format bilangan titik-mengambang (floating-point number, disingkat float) biner 64-bit, dan 0,1 tidak dapat disimpan secara eksak. Komputer memiliki kapasitas penyimpanan terbatas, sedangkan sebuah bilangan real bisa membutuhkan tak berhingga banyak angka. Maka program menyimpan hampiran. Hampir semua bahasa memakai format IEEE 754 binary64 (IEEE 754-2019; lihat Goldberg, 1991), yang disebut double atau float di Python: 1 bit tanda, 11 bit eksponen, dan 52 bit bagian pecahan (fraction), sehingga memberi presisi 53 bit — sekitar 15 sampai 17 angka signifikan desimal.

Masalahnya, formatnya biner (lihat bilangan biner untuk cara menulis pecahan dalam basis 2). Desimal 0,1 adalah (1)/(10), dan 10 punya faktor prima 5, sehingga dalam basis 2 ekspansi 0,1 periodik tanpa akhir, sama seperti ekspansi 1/3 dalam basis 10. Komputer tidak dapat menyimpan ekspansi yang tak berhingga itu, sehingga ia menyimpan nilai terdekat yang dapat diwakili oleh format tersebut, dan nilai yang benar-benar tersimpan adalah

0,1000000000000000055511151231257827…

Ketika kedua nilai hampiran tersebut dijumlahkan, galat pembulatan dapat terlihat pada hasilnya:

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
>>> 0.1 + 0.2 == 0.3
False
>>> import math
>>> math.sqrt(2) ** 2
2.0000000000000004
>>> math.isclose(0.1 + 0.2, 0.3)
True

0.1 + 0.2                                  // 0.30000000000000004
0.1 + 0.2 === 0.3                          // false
Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON // true
2 ** 53 + 1 === 2 ** 53                    // true: integers lose exactness beyond 2^53

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
  printf("%.17f\n", 0.1 + 0.2);                            // 0.30000000000000004
  cout << (0.1 + 0.2 == 0.3) << endl;                      // 0
  printf("%.16f\n", sqrt(2) * sqrt(2));                    // 2.0000000000000004
  cout << (fabs(0.1 + 0.2 - 0.3) < 1e-9) << endl;          // 1: compare with a tolerance
  return 0;
}

/* output:
0.30000000000000004
0
2.0000000000000004
1
*/

Perilaku ini bukan kesalahan khusus Python atau JavaScript, melainkan konsekuensi representasi bilangan titik-mengambang. Perilaku ini terjadi di mana pun, pada setiap bahasa yang memakainya. Hal penting yang perlu dipahami adalah bahwa setiap bilangan yang dapat disimpan komputer sebagai float adalah bilangan rasional (pecahan dengan penyebut pangkat 2). Komputer tidak pernah menyimpan √2 atau π — hanya bilangan rasional di dekatnya.

Cara menangani perhitungan numerik:

Coba gunakan aktivitas berikut. Widget ini menghitung kedua ekspresi dengan floating point 64-bit, menampilkan nilai persis yang tersimpan, dan memeriksanya dengan tiga cara yang mungkin dipakai program.

Apa kesalahan umum tentang bilangan real?

Kesalahan paling umum tentang bilangan real adalah delapan hal berikut, masing-masing dengan faktanya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: bilangan real sekilas

• Bilangan real ℝ adalah semua titik pada garis bilangan: rasional ditambah irasional.
• Rasional berarti pecahan bilangan bulat; ekspansi desimalnya berakhir atau akhirnya berulang secara periodik. Irasional berarti bukan: √2, π, e.
• Rantai himpunannya adalah ℕ⊂ W⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ.
• Pecahan sederhana berakhir tepat ketika penyebutnya hanya punya prima 2 dan 5.
• Untuk bilangan bulat positif n, √n irasional tepat ketika n bukan kuadrat sempurna; √2 irasional lewat kontradiksi.
• Rasional + irasional adalah irasional; irasional + irasional bisa keduanya.
• Bilangan rasional rapat tetapi berlubang; bilangan real rapat dan lengkap.
• Komputer menyimpan hampiran biner yang berhingga, jadi bandingkan float dengan toleransi dan pakai bilangan bulat, Fraction, atau Decimal untuk hitungan eksak.

Glosarium: istilah penting

Bilangan real

Bilangan yang sesuai dengan sebuah titik pada garis bilangan; setiap bilangan real adalah rasional atau irasional.

Bilangan rasional

Bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat dengan penyebut tak nol; ekspansi desimalnya berakhir atau akhirnya berulang secara periodik.

Bilangan irasional

Bilangan real yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat; ekspansi desimalnya tak berhingga dan tidak pernah periodik.

Bilangan bulat

Bilangan dalam himpunan ℤ, yaitu bilangan cacah atau negatifnya: …, −2, −1, 0, 1, 2, ….

Bilangan asli

Bilangan hitung 1, 2, 3, …; sebagian buku juga memasukkan 0.

Bilangan cacah

Bilangan asli atau nol: 0, 1, 2, 3, ….

Desimal berakhir

Desimal dengan angka di belakang koma yang berhingga banyaknya, seperti 0,125.

Desimal berulang

Ekspansi desimal yang akhirnya berulang secara periodik: mulai dari suatu angka, sekelompok angka berulang tanpa akhir, seperti 0,272727….

Bilangan transendental

Bilangan real yang bukan akar polinomial tak nol mana pun dengan koefisien bulat, seperti π dan e.

Bilangan floating point

Hampiran bilangan real yang disimpan komputer, biasanya nilai biner 64-bit dengan sekitar 15 sampai 17 angka signifikan desimal.

Interval

Bagian garis bilangan real yang tak terputus, ditulis dengan tanda kurung, seperti [a, b).

Himpunan rapat (dense)

Himpunan disebut rapat dalam bilangan real jika setiap bagian garis bilangan, sependek apa pun, memuat sedikitnya satu anggotanya; bilangan rasional dan bilangan irasional sama-sama rapat.

Kelengkapan (completeness)

Sifat bahwa setiap himpunan bilangan real yang tak kosong dan terbatas ke atas memiliki batas atas terkecil, yang berarti garis bilangan real tidak memiliki celah.

Nilai mutlak

Jarak sebuah bilangan ke 0 pada garis bilangan, ditulis |x|.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill (3rd ed.).
2. John Stillwell (2013). The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis. Springer.
3. Ivan Niven (1956). Irrational Numbers. Mathematical Association of America (Carus Mathematical Monographs).
4. David Goldberg (1991). What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM Computing Surveys 23(1), 5–48.
5. IEEE (2019). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754-2019). Institute of Electrical and Electronics Engineers.
6. Georg Cantor (1874). Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 258–262.

Artikel terkait

• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.
• Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK: Bilangan bulat: garis bilangan, operasi pada bilangan negatif, aturan habis dibagi, bilangan prima, FPB dan KPK, serta sisa pembagian, lengkap dengan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.