Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan

Apa itu segitiga?

Segitiga adalah poligon dengan tepat tiga sisi, tiga titik sudut, dan tiga sudut dalam. Ia poligon paling sederhana, dan setiap poligon lain dapat dipotong menjadi segitiga: satu diagonal membagi segiempat menjadi dua.

Segitiga diberi nama dari titik sudutnya, ABC. Sisi di depan titik A ditulis a (yaitu BC), sisi di depan B ditulis b (yaitu CA), dan sisi di depan C ditulis c (yaitu AB). Sudut dalamnya \angle A, \angle B, \angle C.

Sisi mana pun dapat menjadi alas. Tinggi yang bersesuaian dengan alas itu adalah jarak tegak lurus dari titik sudut di depannya ke garis yang memuat alas. Pada segitiga tumpul tinggi ini jatuh di luar segitiga, pada perpanjangan alas.

Segitiga bersifat kaku: ketiga panjang sisinya menentukan bentuknya sepenuhnya, sehingga ia tidak dapat didorong berubah bentuk tanpa mematahkan sisinya. Rangka bersisi empat dapat miring menjadi jajargenjang, segitiga tidak, itulah sebabnya jembatan, rangka atap, rangka sepeda, dan tripod kamera dibangun dari segitiga.

Mengapa sudut-sudut segitiga berjumlah 180°?

Ketiga sudut dalam setiap segitiga berjumlah 180^\circ, karena garis melalui satu titik sudut yang sejajar sisi di depannya membuat ketiga sudut itu tersusun sepanjang garis lurus.

Gambar garis melalui C yang sejajar AB. Kedua sudut yang dibentuknya dengan CA dan CB adalah sudut dalam berseberangan dengan \angle A dan \angle B, sehingga sama besar dengan keduanya. Kini \angle A, \angle C, dan \angle B berdampingan pada garis lurus melalui C, dan sudut lurus besarnya 180^\circ:

\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.

Tiga akibat langsung mengikuti:

• Segitiga paling banyak memiliki satu sudut siku-siku atau tumpul, sebab dua sudut seperti itu sudah memakai 180^\circ atau lebih.
• Mengetahui dua sudut memberi sudut ketiga: 50^\circ dan 60^\circ menyisakan 70^\circ.
• Sudut luar di C, yang dibentuk dengan memperpanjang AC melewati C (atau BC), sama dengan \angle A+\angle B, jumlah dua sudut dalam yang tidak bersebelahan dengannya, karena ia dan \angle C sama-sama sisa dari 180^\circ. Dengan \angle A=50^\circ dan \angle B=60^\circ sudut luar di C adalah 110^\circ.

Dari sinilah 360^\circ pada segiempat berasal: dua segitiga. Jika tiga sudut berperbandingan 1:2:3, namai x,2x,3x seperti pada mengubah kata menjadi aljabar: 6x=180, sehingga x=30^\circ dan sudutnya 30^\circ,60^\circ,90^\circ, sebuah segitiga siku-siku.

Apa saja jenis-jenis segitiga?

Segitiga digolongkan dengan dua cara yang saling bebas: menurut sisinya (sama sisi, sama kaki, sembarang) dan menurut sudut terbesarnya (lancip, siku-siku, tumpul), sehingga setiap segitiga memiliki satu nama dari tiap daftar.

Dua aturan menghubungkan sisi dan sudut. Sisi yang sama panjang berada di depan sudut yang sama besar, dan sisi yang lebih panjang berada di depan sudut yang lebih besar. Jadi sisi terpanjang segitiga berada di depan sudut terbesarnya, dan pada segitiga siku-siku sisi itu, yaitu hipotenusa (sisi miring), berada di depan sudut siku-siku.

Tidak setiap pasangan nama dapat muncul bersama. Segitiga sama sisi selalu lancip. Segitiga sama kaki dapat lancip (5,5,6), siku-siku (1,1,√2, separuh persegi yang dipotong sepanjang diagonalnya), atau tumpul (5,5,8). Segitiga sembarang dapat lancip (4,5,6), siku-siku (3,4,5), atau tumpul (2,3,4).

Untuk menentukan jenis sudut tanpa mengukur sudut, lihat sisi terpanjang c dan bandingkan c^2 dengan a^2+b^2: jika c^2<a^2+b^2 segitiganya lancip, jika c^2=a^2+b^2 siku-siku, dan jika c^2>a^2+b^2 tumpul. Untuk 2,3,4: 16>4+9=13, sehingga tumpul. Inilah teorema Pythagoras dan dua perluasannya, dan bagian-bagian berikutnya memakainya.

Dapatkah tiga panjang sembarang membentuk segitiga?

Tidak: tiga panjang membentuk segitiga hanya bila masing-masing lebih pendek daripada jumlah dua lainnya, yang sama artinya dengan sisi terpanjang lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya. Inilah ketaksamaan segitiga, dan ia mengatakan bahwa jalan lurus lebih pendek daripada jalan memutar: pergi dari A ke B langsung lebih pendek daripada lewat C, sehingga c<a+b.

Periksa 3,4,5: 5<3+4, jadi itu segitiga. Periksa 1,2,3: 3=1+2, sehingga kedua sisi pendek terbaring rata sepanjang sisi panjang dan segitiganya merosot, menjadi ruas garis. Periksa 1,2,4: 4>1+2, kedua sisi pendek bahkan tidak dapat saling bertemu.

Ketaksamaan itu juga memberi tahu seberapa panjang sisi ketiga. Jika dua sisi adalah a dan b, sisi ketiga c memenuhi |a-b|<c<a+b. Dengan sisi 5 dan 8 sisi ketiga berada tepat di antara 3 dan 13, sehingga bilangan bulatnya dapat 4,5,…,12, yaitu sembilan nilai.

Ketik tiga panjang di bawah. Alat ini memakai pecahan eksak: ia menunjukkan apakah ketiganya membentuk segitiga, apakah lancip, siku-siku, atau tumpul dengan membandingkan kuadrat, dan memberi luas dengan rumus Heron (dibahas sebentar lagi), jari-jari kedua lingkaran, dan sudut-sudutnya.

Apa istimewanya segitiga siku-siku?

Segitiga siku-siku memiliki satu sudut 90^\circ; sisi di depannya adalah hipotenusa, sisi terpanjang, dan dua sisi lainnya adalah sisi tegak. Kedua sudut lainnya lancip dan berjumlah 90^\circ, karena ketiga sudut berjumlah 180^\circ.

Sisi-sisi segitiga siku-siku memenuhi teorema Pythagoras, a^2+b^2=c^2. Teorema itu punya artikel sendiri, dengan bukti, tripel bilangan bulat, dan penerapan; bagian tentang jenis di atas sudah memakainya secara terbalik, untuk mengenali sudut siku-siku dari tiga panjang.

Dua segitiga siku-siku layak dihafal, karena sisi-sisinya berperbandingan tetap:

• Segitiga 45^\circ–45^\circ–90^\circ (setengah persegi) memiliki sisi berperbandingan 1:1:√2: dengan sisi tegak a hipotenusanya a√2.
• Segitiga 30^\circ–60^\circ–90^\circ (setengah segitiga sama sisi) memiliki sisi berperbandingan 1:√3:2: sisi tegak pendek setengah hipotenusa dan sisi tegak panjang adalah sisi tegak pendek kali √3.

Pada segitiga siku-siku kedua sisi tegak berfungsi sebagai alas dan tinggi, sehingga luasnya cukup \frac12ab, dan pusat lingkaran luarnya adalah titik tengah hipotenusa.

Bagaimana mencari keliling dan luas segitiga?

Keliling adalah a+b+c, dan luas adalah setengah alas kali tinggi; bila tingginya tidak diketahui, pakai rumus Heron untuk tiga sisi, \frac12ab\sin C untuk dua sisi dan sudut apitnya, atau rumus koordinat.

Mengapa setengah? Dua salinan segitiga, satu diputar, bergabung menjadi jajargenjang dengan alas dan tinggi yang sama, yang luasnya bh seperti pada luas segiempat. Segitiga adalah setengahnya.

Contoh bertahap. Segitiga dengan sisi 13,14,15 memiliki s=21, sehingga luasnya √(21·8·7·6)=√(7056)=84. Dengan 14 sebagai alas, tingginya h=(2·84)/(14)=12. Jari-jari lingkaran dalamnya r=(84)/(21)=4 dan jari-jari lingkaran luarnya R=(abc)/(4K)=(13·14·15)/(4·84)=(65)/(8).

Rumus koordinat untuk A(0,0), B(6,0), C(0,8) memberi \frac12|0+6·8+0|=24, yaitu \frac12·6·8 untuk segitiga siku-siku itu. Rumus sinus untuk sisi 7 dan 10 dengan sudut apit 30^\circ memberi \frac12·7·10·\sin30^\circ=17,5. Segitiga sama sisi bersisi 6 berluas (√3)/(4)·36=9√3≈15,59.

Soal cerita: sebidang tanah berbentuk segitiga dengan alas 24 m dan tinggi 15 m, dan harga tanah Rp300.000 per meter persegi. Luasnya \frac12·24·15=180 m², sehingga harga tanahnya 180 kali Rp300.000, yaitu Rp54.000.000.

Apa itu garis berat, garis tinggi, dan titik-titik penting segitiga?

Segitiga memiliki empat titik penting klasik, dan masing-masing adalah titik tempat tiga garis istimewa bertemu: titik berat (garis berat), pusat lingkaran luar (sumbu sisi), titik tinggi (garis tinggi), dan pusat lingkaran dalam (garis bagi sudut).

Titik berat dan pusat lingkaran dalam selalu berada di dalam segitiga. Pusat lingkaran luar dan titik tinggi berada di dalam segitiga lancip, di titik tengah hipotenusa dan di titik sudut siku-siku pada segitiga siku-siku, dan di luar segitiga tumpul.

Garis Euler. Euler menunjukkan pada 1765 bahwa O, G, dan H terletak pada satu garis, dan G berada sepertiga dari O menuju H: OG:GH=1:2. Pada segitiga sama sisi ketiganya berimpit; pusat lingkaran dalam berada pada garis itu hanya untuk segitiga sama kaki.

Untuk segitiga siku-siku A(0,0), B(6,0), C(0,8) pusat lingkaran luarnya titik tengah hipotenusa, O=(3,4), dengan R=5; titik tingginya titik sudut siku-siku, H=(0,0); dan titik beratnya rata-rata titik sudut, G=\left(2,\frac83\right). Periksa garisnya: O+\frac13(H-O)=(3-1, 4-\frac43)=\left(2,\frac83\right)=G. Jari-jari lingkaran dalamnya r=(6+8-10)/(2)=2.

Geser titik sudut di bawah dan amati keempat titik penting, kedua lingkaran, dan garis Euler. Ketiga titik eksak itu berupa pecahan, karena rumusnya hanya memakai penjumlahan, perkalian, dan pembagian.

Bagaimana mengetahui dua segitiga kongruen atau sebangun?

Dua segitiga kongruen (bentuk dan ukuran sama) bila tiga ukuran yang dipilih dengan baik sama, dan sebangun (bentuk sama, ukuran boleh berbeda) bila sudut-sudutnya sama atau sisi-sisinya sebanding.

Sisi-sisi-sudut (SSA), dengan sudut tidak di antara kedua sisi, bukan syarat: a, b, dan A yang sama dapat membentuk dua segitiga berbeda, seperti ditunjukkan pemecah segitiga di bawah. Satu-satunya pengecualian adalah kasus segitiga siku-siku RHS. Sudut-sudut-sudut (AAA) menentukan bentuk tetapi bukan ukuran, sehingga hanya membuktikan kesebangunan.

Jika dua segitiga sebangun dengan faktor skala k, setiap panjang dikalikan k, setiap sudut tidak berubah, dan luas dikalikan k^2. Inilah gagasan di balik mengukur benda tinggi lewat bayangannya: orang setinggi 1,8 m berbayangan 2,4 m sementara pohon berbayangan 12 m pada saat yang sama. Kedua segitiganya sebangun (sudut matahari sama), sehingga (h)/(12)=\frac1,82,4 dan tinggi pohon h=9 m. Menyusun persamaan seperti itu adalah gagasan perbandingan dan proporsi.

Bagaimana memecahkan segitiga dengan aturan sinus dan kosinus?

Memecahkan segitiga berarti mencari ketiga sisi dan ketiga sudut dari tiga ukuran, dengan aturan kosinus, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C, dan aturan sinus, (a)/(\sin A)=(b)/(\sin B)=(c)/(\sin C).

Aturan kosinus adalah teorema Pythagoras dengan koreksi: pada C=90^\circ kosinusnya 0 dan ia menjadi c^2=a^2+b^2. Tandanya menentukan jenis: \cos C>0 (lancip), =0 (siku-siku), atau <0 (tumpul), yaitu uji pada bagian jenis segitiga. Aturan sinus mengatakan bahwa tiap sisi sebanding dengan sinus sudut di depannya.

Contoh. SSS dengan 7,8,9: \cos A=(64+81-49)/(2·8·9)=\frac23, sehingga A≈48,19^\circ; demikian pula B≈58,41^\circ dan C=180-48,19-58,41≈73,40^\circ. SAS dengan a=5, b=8, dan C=60^\circ: c^2=25+64-2·5·8·\frac12=49, sehingga c=7.

Kasus ambigu. Ambil a=3, b=5, dan A=30^\circ. Aturan sinus memberi \sin B=(5\sin30^\circ)/(3)=\frac56≈0,8333, dan dua sudut memiliki sinus itu, B≈56,44^\circ dan B≈123,56^\circ. Keduanya menyisakan sudut ketiga positif (93,56^\circ atau 26,44^\circ), sehingga dua segitiga cocok: dengan c≈5,99 dan dengan c≈2,67. Secara umum, dengan A lancip, sisi a terlalu pendek (a<b\sin A) tidak memberi segitiga, a=b\sin A memberi satu segitiga siku-siku, b\sin A<a<b memberi dua, dan a\ge b memberi satu.

Coba setiap kasus di bawah. Kalkulator atau program harus berada pada mode derajat untuk rumus-rumus ini, atau sudutnya harus diubah ke radian.

Bagaimana bekerja dengan segitiga dalam kode?

Golongkan segitiga dengan kuadrat bilangan bulat, bukan dengan sudut: urutkan sisinya, periksa a+b>c, dan bandingkan c^2 dengan a^2+b^2. Jaga rumus Heron tetap eksak dengan menghitung kuadrat luas memakai Fraction, dan pakai akar hanya di akhir.

from fractions import Fraction
from math import sqrt, acos, degrees

def kind(a, b, c):
    a, b, c = sorted((a, b, c))
    if a + b <= c: return "not a triangle"
    sides = {1: "equilateral", 2: "isosceles", 3: "scalene"}[len({a, b, c})]
    d = a * a + b * b - c * c          # the sign of the cosine of the largest angle
    return sides + (" right" if d == 0 else " acute" if d > 0 else " obtuse")

def area_sq(a, b, c):
    s = Fraction(a + b + c, 2)
    return s * (s - a) * (s - b) * (s - c)         # Heron without the root: exact

def area_xy(p, q, r):
    return abs(p[0] * (q[1] - r[1]) + q[0] * (r[1] - p[1]) + r[0] * (p[1] - q[1])) / 2

>>> kind(3, 4, 5)
'scalene right'
>>> kind(5, 5, 8)
'isosceles obtuse'
>>> kind(2, 3, 4)
'scalene obtuse'
>>> kind(1, 2, 3)
'not a triangle'
>>> area_sq(13, 14, 15)
Fraction(7056, 1)
>>> sqrt(area_sq(13, 14, 15))
84.0
>>> area_xy((0, 0), (6, 0), (0, 8))
24.0
>>> degrees(acos(Fraction(2, 3)))                  # angle A of the 7, 8, 9 triangle
48.18968510422141
>>> a, b, c = 1e8, 1e8 - 1e-6, 1e-6               # a needle-thin triangle
>>> s = (a + b + c) / 2
>>> sqrt(max(0, s * (s - a) * (s - b) * (s - c)))  # Heron with floats
0.0
>>> sqrt(area_sq(Fraction(a), Fraction(b), Fraction(c)))   # exact on the same numbers
2.846826518921699

const [a, b, c] = [3, 4, 5]
Math.hypot(a, b)                                          // 5
Math.acos((b * b + c * c - a * a) / (2 * b * c)) * 180 / Math.PI   // angle A: 36.86989764584402
Math.sin(30 * Math.PI / 180)                              // 0.49999999999999994, not 0.5
a * a + b * b === c * c                                   // true: exact for integers, the right-angle test

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const char* kind(int a, int b, int c) {
  int t;                                               // sort so that a <= b <= c
  if (a > b) { t = a; a = b; b = t; }
  if (b > c) { t = b; b = c; c = t; }
  if (a > b) { t = a; a = b; b = t; }
  if (a + b <= c) return "not a triangle";
  int d = a * a + b * b - c * c;                       // the sign of the cosine of the largest angle
  if (a == b && b == c) return "equilateral acute";
  if (a == b || b == c) {
    if (d == 0) return "isosceles right";
    if (d > 0) return "isosceles acute";
    return "isosceles obtuse";
  }
  if (d == 0) return "scalene right";
  if (d > 0) return "scalene acute";
  return "scalene obtuse";
}

int areaSq16(int a, int b, int c) {                    // 16 A^2 by Heron's formula, in whole numbers
  return (a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c);
}

int main() {
  cout << kind(3, 4, 5) << endl;                       // scalene right
  cout << kind(5, 5, 8) << endl;                       // isosceles obtuse
  cout << kind(2, 3, 4) << endl;                       // scalene obtuse
  cout << kind(1, 2, 3) << endl;                       // not a triangle
  cout << areaSq16(13, 14, 15) / 16 << " " << sqrt(areaSq16(13, 14, 15) / 16.0) << endl;   // A^2 = 7056, A = 84
  printf("%.4f\n", acos(2.0 / 3) * 180 / acos(-1.0));  // angle A of the 7, 8, 9 triangle
  // a needle-thin triangle: the textbook form of Heron's formula loses everything, the stable form does not
  double a = 1e8, b = 1e8 - 1e-6, c = 1e-6;
  double s = (a + b + c) / 2, naive = s * (s - a) * (s - b) * (s - c);
  printf("%d\n", naive <= 0);                          // 1: nothing is left of the area under the root
  printf("%.6f\n", 0.25 * sqrt((a + (b + c)) * (c - (a - b)) * (c + (a - b)) * (a + (b - c))));   // the stable form
  return 0;
}

/* output:
scalene right
isosceles obtuse
scalene obtuse
not a triangle
7056 84
48.1897
1
2.846827
*/

Jebakannya, berdasarkan seberapa sering terjadi:

Dari mana asal ilmu tentang segitiga?

Segitiga adalah alat tertua dalam pengukuran tanah dan pembuktian, dan sebagian besar isi artikel ini sudah dituliskan dalam Elements Euclid atau tak lama sesudahnya.

• Sekitar 600 SM. Tradisi mengatakan bahwa Thales dari Miletos mengukur tinggi piramida dari panjang bayangannya, penggunaan awal segitiga sebangun.
• Sekitar 300 SM. Elements Euclid, Buku I, membuktikan bahwa sudut segitiga berjumlah dua sudut siku-siku (I.32), dan ketaksamaan segitiga (I.20); Buku II memberi aturan kosinus dalam bentuk geometri.
• Sekitar 60 M. Metrica karya Heron dari Aleksandria membuktikan rumus luas dari ketiga sisi, yang menurut sumber Arab berasal dari Archimedes.
• 1765. Leonhard Euler menunjukkan bahwa pusat lingkaran luar, titik berat, dan titik tinggi segitiga segaris: garis Euler.
• 1822. Karl Feuerbach menguraikan lingkaran sembilan titik, yang melalui titik tengah sisi-sisi, kaki garis-garis tinggi, dan titik tengah antara titik tinggi dan titik-titik sudut, dan yang menyinggung lingkaran dalam.

Apa kesalahan umum pada segitiga?

Kesalahan paling umum pada segitiga adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: segitiga sekilas

• Sudut: \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ; sudut luar adalah jumlah dua sudut dalam yang tidak bersebelahan.
• Keberadaan: tiap sisi lebih pendek daripada jumlah dua lainnya; sisi ketiga berada di antara |a-b| dan a+b.
• Jenis: sama sisi, sama kaki, sembarang menurut sisi; lancip, siku-siku, tumpul menurut c^2 terhadap a^2+b^2 untuk sisi terpanjang c.
• Luas: \frac12bh, Heron √(s(s-a)(s-b)(s-c)), \frac12ab\sin C, dan rumus koordinat.
• Titik penting: titik berat G (garis berat, 2:1), pusat lingkaran luar O, titik tinggi H (O,G,H pada garis Euler), pusat lingkaran dalam I (r=\frac Ks).
• Kongruen: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS; sebangun: AA, dengan luas berperbandingan k^2.
• Memecahkan: aturan kosinus c^2=a^2+b^2-2ab\cos C, aturan sinus; SSA dapat memberi 0, 1, atau 2 segitiga.
• Kode: kuadrat bilangan bulat untuk uji sudut siku-siku, Fraction untuk Heron eksak, radian untuk sin dan cos.

Glosarium: istilah penting

Segitiga

Poligon dengan tiga sisi, tiga titik sudut, dan tiga sudut dalam yang berjumlah 180 derajat.

Hipotenusa

Sisi terpanjang segitiga siku-siku, di depan sudut siku-siku.

Garis tinggi

Ruas garis tegak lurus dari titik sudut ke garis yang memuat sisi di depannya; panjangnya adalah tinggi untuk alas itu.

Garis berat

Ruas garis dari titik sudut ke titik tengah sisi di depannya.

Titik berat

Titik tempat ketiga garis berat bertemu, titik keseimbangan segitiga, berada dua pertiga sepanjang tiap garis berat dari titik sudutnya.

Pusat lingkaran luar

Titik tempat sumbu-sumbu sisi bertemu, berjarak sama dari ketiga titik sudut.

Titik tinggi

Titik tempat ketiga garis tinggi segitiga bertemu.

Pusat lingkaran dalam

Titik tempat ketiga garis bagi sudut bertemu, berjarak sama dari ketiga sisi dan pusat lingkaran dalam.

Ketaksamaan segitiga

Aturan bahwa tiap sisi segitiga lebih pendek daripada jumlah dua sisi lainnya.

Segitiga kongruen

Segitiga dengan bentuk dan ukuran yang sama, sehingga semua sisi dan sudut yang bersesuaian sama.

Segitiga sebangun

Segitiga dengan sudut sama dan sisi sebanding, bentuk sama tetapi ukuran mungkin berbeda.

Rumus Heron

Rumus yang memberi luas segitiga dari ketiga sisinya sebagai akar dari s kali s dikurang a kali s dikurang b kali s dikurang c.

Aturan kosinus

Aturan bahwa c kuadrat sama dengan a kuadrat ditambah b kuadrat dikurangi dua kali a kali b kali kosinus sudut C di antara keduanya.

Aturan sinus

Aturan bahwa tiap sisi segitiga dibagi sinus sudut di depannya memberi bilangan yang sama.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Thomas L. Heath (translator) (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed.), Book I, propositions 20, 32, 47 and 48, and Book II, propositions 12 and 13. Cambridge University Press.
2. Otto Neugebauer and Abraham Sachs (1945). Mathematical Cuneiform Texts (the tablet Plimpton 322). American Oriental Society.
3. H. S. M. Coxeter and Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, chapters 1 and 5 (the Euler line and the nine-point circle). Mathematical Association of America.
4. William Kahan (2014). Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle. University of California, Berkeley, lecture notes.
5. Python Software Foundation. The Python Standard Library: math, mathematical functions. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/math.html.

Artikel terkait

• Teorema Pythagoras: Bukti, Tripel, dan Penerapan: Teorema Pythagoras: pernyataan, empat bukti, kebalikan dan aturan 3-4-5, tripel Pythagoras, rumus jarak, dan perluasannya, dengan latihan soal.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.
• Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan: Lingkaran: pi, keliling dan luas, busur dan juring, teorema sudut, tali busur dan garis singgung, persamaan lingkaran, dan kedudukan garis, dengan latihan.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.