Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK

Apa itu bilangan bulat?

Bilangan bulat adalah bilangan tanpa bagian pecahan: bilangan asli 1,2,3,…, negatifnya -1,-2,-3,…, dan nol. Himpunannya ditulis ℤ, dari kata Jerman Zahlen ("bilangan").

Bilangan negatif ada karena orang perlu menyatakan hal yang turun di bawah titik awal, dan bilangan bulat adalah yang kamu dapat ketika suatu besaran dapat bergerak ke dua arah:

Tiga jenis bilangan sering tertukar. Bilangan asli adalah 1,2,3,… (di sini mulai dari 1; sebagian buku mulai dari 0). Bilangan cacah adalah 0,1,2,3,…. Bilangan bulat menambahkan negatifnya. Setiap bilangan asli adalah bilangan cacah dan setiap bilangan cacah adalah bilangan bulat, tetapi tidak sebaliknya; artikel bilangan real menunjukkan bagaimana semua himpunan ini bersarang.

Dua hal tentang nol dan tanda perlu dipegang sekarang. Nol bukan positif dan bukan negatif. Dan setiap bilangan bulat a punya lawan, -a, di seberang 0 pada jarak yang sama, sehingga a+(-a)=0. Lawan 7 adalah -7, lawan -7 adalah 7, dan lawan 0 adalah 0, itulah sebabnya -(-a)=a.

Bilangan bulat adalah keluarga yang tertutup terhadap tiga operasi: jumlahkan, kurangkan, atau kalikan dua bilangan bulat dan hasilnya selalu bilangan bulat. Mereka tidak tertutup terhadap pembagian, sebab 7÷2 bukan bilangan bulat. Celah itulah yang dibahas pada bagian sisa pembagian nanti, dan yang ditutup oleh artikel bilangan rasional dengan pecahan.

Bagaimana membandingkan bilangan bulat dan apa itu nilai mutlak?

Pada garis bilangan, bilangan bulat yang lebih ke kanan adalah yang lebih besar, sehingga -3>-7 walaupun 7 lebih besar daripada 3. Setiap bilangan bulat positif lebih besar daripada 0 dan setiap yang negatif lebih kecil daripada 0, sehingga setiap bilangan bulat positif lebih besar daripada setiap yang negatif.

Untuk membandingkan dua bilangan negatif, bandingkan ukurannya lalu balik jawabannya: 7>3, sehingga -7<-3. Utang 7 lebih buruk daripada utang 3.

Nilai mutlak |a| adalah jarak dari a ke 0, sehingga tidak pernah negatif: |7|=7, |-7|=7, dan |0|=0. Dalam lambang, |a|=a bila a\ge0 dan |a|=-a bila a<0. Bilangan yang saling berlawanan punya nilai mutlak sama, dan jarak antara dua bilangan bulat adalah nilai mutlak selisihnya: |-4-3|=7.

Mengurutkan daftar berarti membacanya dari kiri ke kanan pada garis: yang negatif dahulu, dengan ukuran terbesar paling kiri, lalu 0, lalu yang positif.

Bagaimana menjumlahkan dan mengurangkan bilangan bulat?

Untuk menjumlahkan bilangan bulat, bergeraklah di garis bilangan: menambah bilangan positif bergeser ke kanan dan menambah bilangan negatif bergeser ke kiri; untuk mengurangkan, tambahkan lawannya, sehingga a-b=a+(-b). Satu aturan itu mencakup semua kasus.

Dua aturan penjumlahan menurut tandanya:

• Tanda sama: jumlahkan ukurannya dan pertahankan tandanya. 5+3=8 dan (-5)+(-3)=-8.
• Tanda berbeda: kurangkan ukuran yang kecil dari yang besar, dan pertahankan tanda yang besar. 5+(-8)=-3, karena 8 adalah ukuran yang lebih besar dan ia negatif. (-5)+8=3.

Dua bilangan yang saling berlawanan saling meniadakan: 6+(-6)=0.

Mengurangkan sama dengan menambah lawannya. Mengambil bilangan positif bergeser ke kiri: 2-5=2+(-5)=-3. Mengambil bilangan negatif bergeser ke kanan, karena menghapus utang membuatmu lebih kaya: 5-(-3)=5+3=8 dan (-5)-(-3)=-5+3=-2.

Urutan tidak berpengaruh pada penjumlahan, a+b=b+a, tetapi berpengaruh pada pengurangan: 5-3=2 sedangkan 3-5=-2. Coba bilanganmu sendiri di bawah; lompatan pertama (di atas garis) dari 0 ke a dan lompatan kedua (di bawah) adalah perubahannya.

Bagaimana mengalikan dan membagi bilangan bulat?

Kalikan atau bagi ukurannya, lalu buat jawabannya positif bila tanda keduanya sama dan negatif bila berbeda. Hasil kali dengan faktor 0 adalah 0.

Pembagian mengikuti tanda yang sama, karena a÷ b=c berarti a=b· c: (-12)÷4=-3 sebab 4·(-3)=-12, dan (-12)÷(-3)=4 sebab (-3)·4=-12.

Mengapa negatif kali negatif menjadi positif? Dua argumen menunjukkan bahwa ini bukan kesepakatan, melainkan keharusan.

Pola. Turunkan faktor pertama dan perhatikan hasil kalinya: 3·(-2)=-6, 2·(-2)=-4, 1·(-2)=-2, 0·(-2)=0. Tiap langkah turun menambah 2. Langkah berikutnya harus menambah 2 lagi: (-1)·(-2)=2.

Sifat distributif. Mulai dari 0=(-1)·0=(-1)\bigl(1+(-1)\bigr)=(-1)·1+(-1)(-1)=-1+(-1)(-1). Agar ruas kanan sama dengan 0, (-1)(-1) harus 1. Nilai lain akan merusak sifat distributif, a(b+c)=ab+ac, yang menjadi sandaran seluruh aritmetika.

Pembagian dengan nol tidak terdefinisi. a÷0=c akan berarti a=0· c=0, yang mustahil untuk a≠0; dan 0÷0 dapat berupa bilangan apa pun, sehingga tidak punya satu nilai. Sementara itu 0÷ a=0 untuk a≠0.

Bilangan bulat tidak tertutup terhadap pembagian: 7÷2 adalah pecahan \frac72, itulah sebabnya pembagian bersisa menjadi topik tersendiri di bawah.

Apa urutan operasi hitung pada bilangan negatif?

Kerjakan dengan urutan ini: kurung, lalu pangkat, lalu perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan, lalu penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan. Bilangan negatif menambah dua jebakan.

1. Tanda minus bukan kurung. -3^2 berarti -(3^2)=-9, karena pangkat lebih kuat mengikat daripada minus. Hanya (-3)^2=9 yang mengkuadratkan -3.
2. Operasi setingkat dikerjakan dari kiri ke kanan. 12÷(-3)×2 adalah -4×2=-8, bukan 12÷(-6)=-2. Dan 10-4-3=3, bukan 10-(4-3)=9.
3. Beri kurung pada bilangan negatif setelah operator. 5·-2 ditulis 5·(-2), dan 8-3×(-2)=8+6=14: perkalian dikerjakan sebelum pengurangan.

Pangkat genap dari bilangan negatif positif dan pangkat ganjil negatif: (-2)^4=16 dan (-2)^3=-8, sebab tiap pasang tanda minus saling meniadakan.

Apa itu bilangan genap, ganjil, dan aturan habis dibagi?

Bilangan bulat a habis dibagi b bila a=b· k untuk suatu bilangan bulat k: b kemudian disebut pembagi (faktor) dari a dan a adalah kelipatan b. Jadi 12 habis dibagi 4 karena 12=4·3, dan 0 habis dibagi setiap bilangan bulat karena 0=b·0.

Genap dan ganjil. Bilangan bulat genap habis dibagi 2, a=2k; yang ganjil berbentuk a=2k+1. Nol genap, dan bilangan negatif juga punya paritas: -3 ganjil dan -4 genap. Bilangan genap 2,4,6,…, bilangan ganjil 1,3,5,…, dan kelipatan bilangan bulat mana pun masing-masing membentuk barisan aritmetika, dan jumlah-jumlahnya punya rumus di sana. Paritas mengikuti tabel singkat:

Bukti satu baris: (2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1), yang genap. Bukti dengan gaya yang sama menunjukkan bahwa kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil, fakta di balik keirasionalan √2.

Aturan habis dibagi memungkinkanmu menguji sebuah bilangan dari angka-angkanya, tanpa membagi:

Contoh: 7200 berjumlah angka 9 dan berakhir 00, sehingga habis dibagi 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, dan 10. Untuk 11, ambil angka dari kanan dengan tanda berselang-seling, 0-0+2-7=-5, yang bukan kelipatan 11, sehingga 7200 tidak habis dibagi 11. Coba bilangan apa pun di bawah, termasuk yang sangat panjang.

Apa itu bilangan prima dan faktorisasi prima?

Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih dari 1 yang satu-satunya pembagi positifnya adalah 1 dan dirinya sendiri; setiap bilangan bulat lebih dari 1 adalah prima atau hasil kali bilangan prima, dan hasil kali itu tunggal. Bilangan prima dimulai 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, lima belas bilangan di bawah 50.

• Bilangan komposit punya lebih banyak pembagi: 12=3·4.
• 1 bukan prima dan bukan komposit. Ia hanya punya satu pembagi, yaitu dirinya sendiri. Menyebutnya prima akan merusak ketunggalan, sebab 6=2·3=1·2·3.
• 2 adalah satu-satunya prima genap, karena setiap bilangan genap lain juga habis dibagi 2.

Teorema dasar aritmetika menyatakan setiap bilangan bulat lebih dari 1 dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima dengan tepat satu cara, selain urutannya. Jadi 360=2·2·2·3·3·5=2^3·3^2·5, dan tidak ada himpunan bilangan prima lain yang hasil kalinya 360.

Untuk memfaktorkan, bagi dengan bilangan prima terkecil yang membagi, berulang-ulang, sampai tersisa 1: 360÷2=180, ÷2=90, ÷2=45, ÷3=15, ÷3=5, ÷5=1.

Untuk menguji apakah n prima, bagi dengan bilangan prima sampai √n. Jika n punya faktor yang lebih besar dari √n, pasangan faktornya lebih kecil dari √n, sehingga sudah kamu temui. Ambil 91: √(91)<10, dan 91=7·13, sehingga ia hanya tampak prima. Untuk 97 tidak ada di antara 2, 3, 5, 7 yang membaginya, sehingga 97 prima.

Bilangan prima tak berhingga banyaknya. Argumen Euclid: misalkan daftar bilangan prima sudah lengkap, kalikan semuanya lalu tambah 1. Hasilnya bersisa 1 bila dibagi bilangan prima mana pun pada daftar, sehingga ia prima baru atau punya pembagi prima baru, dan daftar itu tidak lengkap.

Pembagi dari faktorisasi. Jika n=p^a q^b… maka ia punya (a+1)(b+1)… pembagi positif, sehingga 360 punya 4·3·2=24. Pakai alat di bawah.

Bagaimana mencari FPB dan KPK?

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya, dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi keduanya. Untuk 48 dan 180, FPB-nya 12 dan KPK-nya 720.

Dengan faktor prima. Tulis tiap bilangan sebagai bilangan prima: 48=2^4·3 dan 180=2^2·3^2·5. Untuk FPB ambil tiap bilangan prima dengan eksponen yang terkecil: 2^2·3=12. Untuk KPK ambil tiap bilangan prima dengan eksponen yang terbesar: 2^4·3^2·5=720.

Dengan algoritma Euclid, yang tidak memerlukan pemfaktoran dan berlaku untuk bilangan yang sangat besar. Bagi, simpan sisanya, dan ulangi dengan pembagi dan sisa sampai sisanya 0; sisa terakhir yang bukan nol adalah FPB:

180=3·48+36, lalu 48=1·36+12, lalu 36=3·12+0. Jadi \gcd(48,180)=12.

Algoritma ini berhasil karena bilangan mana pun yang membagi a dan b juga membagi a-qb, dan sebaliknya, sehingga \gcd(a,b)=\gcd(b, a-qb) sementara bilangannya mengecil sampai nol. Euclid menuliskannya dalam Buku VII Elements, sekitar 300 SM, sehingga ia salah satu algoritma tertua yang masih dipakai setiap hari.

Keduanya berkaitan: \gcd(a,b)·\operatornamelcm(a,b)=a· b. Periksa: 12·720=8640=48·180. Jadi \operatornamelcm(a,b)=(a· b)/(\gcd(a,b)). Dua bilangan saling prima bila FPB-nya 1, seperti 8 dan 15.

Kegunaannya.

• Menyederhanakan pecahan: bagi pembilang dan penyebut dengan FPB. (48)/(180)=(48÷12)/(180÷12)=(4)/(15).
• Memotong menjadi bagian sama besar: lantai 48 dm kali 180 dm dipasangi ubin persegi terbesar yang sisinya \gcd=12 dm, yang membutuhkan 4·15=60 ubin.
• Kejadian berulang: bus berangkat tiap 12 menit dan tiap 18 menit, bersamaan pada pukul 07:00. Keduanya berangkat bersamaan lagi setelah \operatornamelcm(12,18)=36 menit.
• Menjumlahkan pecahan: penyebut sekutu terkecil adalah KPK dari penyebut-penyebutnya.

Apa itu pembagian bersisa dan aritmetika modular?

Membagi bilangan bulat a dengan b≠0 menghasilkan hasil bagi q dan sisa r yang tunggal dengan a=b· q+r dan 0\le r<|b|; sisanya ditulis a\bmod b. Misalnya 17=5·3+2, sehingga 17\bmod5=2.

Dengan bilangan yang dibagi negatif, aturan itu tetap berlaku, dan sisanya tetap antara 0 dan |b|-1: -7=3·(-3)+2, sehingga -7\bmod3=2, bukan -1. Bayangkan jam: 7 jam sebelum pukul 12 adalah pukul 5, dan satu hari 24 jam berulang setelah 24, yang sama dengan menghitung sisa.

Aritmetika modular bekerja hanya dengan sisa. Dua bilangan bulat kongruen modulo n, ditulis a\equiv c\pmod n, bila n membagi a-c, yaitu bila keduanya bersisa sama: 17\equiv2\pmod5. Sisa mengikuti penjumlahan dan perkalian, sehingga kamu dapat menyederhanakan lebih dulu lalu menghitung:

• Hari dalam seminggu. 100 hari setelah hari Senin: 100\bmod7=2, sehingga harinya Rabu.
• Angka satuan. Angka satuan 7^k berulang 7, 9, 3, 1. Karena 2026\bmod4=2, angka satuan 7^2026 adalah yang kedua dalam siklus, yaitu 9.
• Paritas. Genap dan ganjil tidak lain adalah a\bmod2.
• Angka pemeriksa dan hashing. Barcode dan nomor kartu memuat angka yang dihitung dengan \bmod10 untuk menangkap kesalahan ketik, dan tabel hash memilih slot dengan \bmod ukuran tabel.

Masalahnya, bahasa pemrograman tidak semuanya sepakat tentang operan negatif. Masing-masing memenuhi a=b· q+r tetapi memilih q secara berbeda: matematika menjaga r\ge0; Python membulatkan q ke bawah, sehingga r bertanda sama dengan pembagi; JavaScript, C, C++, dan Java memotong q ke arah nol, sehingga r bertanda sama dengan bilangan yang dibagi. Bandingkan di bawah.

Bagaimana mengolah bilangan bulat di Python dan JavaScript?

Bilangan bulat Python tidak punya batas ukuran dan memakai pembagian floor, sedangkan bilangan JavaScript berupa bilangan floating point (float), eksak hanya sampai 2^53-1, dengan sisa yang mengikuti bilangan yang dibagi; pakai BigInt di JavaScript untuk bilangan bulat besar yang eksak. Kedua bahasa itu berbeda tepat di tempat yang ditunjuk artikel ini. Mengapa bilangan bulat berukuran tetap berputar kembali dijelaskan oleh komplemen dua pada artikel bilangan biner.

>>> 7 // 2, -7 // 2          # floor division rounds down
(3, -4)
>>> 7 % 3, -7 % 3, 7 % -3        # the remainder takes the sign of the divisor
(1, 2, -2)
>>> divmod(-7, 3)                # quotient and remainder together
(-3, 2)
>>> int(-7 / 2)                  # / gives a float, int() truncates toward zero
-3
>>> import math
>>> math.gcd(48, 180), math.lcm(4, 6)
(12, 12)
>>> 2 ** 100                     # no overflow
1267650600228229401496703205376

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a % b
    return abs(a)

def factorize(n):
    out, p = [], 2
    while p * p <= n:
        while n % p == 0:
            out.append(p)
            n //= p
        p += 1
    if n > 1:
        out.append(n)
    return out

gcd(48, 180)      # 12
factorize(360)    # [2, 2, 2, 3, 3, 5]

-7 % 3                          // -1   the remainder takes the sign of the dividend
((-7 % 3) + 3) % 3              // 2    the usual fix for a non-negative remainder
Math.trunc(-7 / 2)              // -3
Math.floor(-7 / 2)              // -4
Number.MAX_SAFE_INTEGER         // 9007199254740991
2 ** 53 + 1 === 2 ** 53         // true: beyond 2^53 integers lose exactness
2n ** 100n                      // 1267650600228229401496703205376n
-7n % 3n                        // -1n  BigInt behaves like Number here
7n / 2n                         // 3n   BigInt division truncates

#include <iostream>
using namespace std;

int mod(int a, int b) { return ((a % b) + b) % b; }       // a non-negative remainder, for b > 0
int floorDiv(int a, int b) { return (a - mod(a, b)) / b; }
int gcd(int a, int b) {                                    // Euclid's algorithm
  while (b != 0) { int t = a % b; a = b; b = t; }
  return a < 0 ? -a : a;
}
int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a, b) * b; }

int main() {
  cout << 7 / 2 << " " << 7 % 3 << endl;                   // 3 1
  // C++ truncates toward zero: -7 / 2 is -3 and -7 % 3 is -1
  cout << floorDiv(-7, 2) << " " << mod(-7, 3) << endl;    // floor division and the usual remainder
  cout << gcd(48, 180) << " " << lcm(4, 6) << endl;
  int n = 360;                                             // factorization by trial division
  for (int p = 2; p * p <= n; p++)
    while (n % p == 0) { cout << p << " "; n /= p; }
  if (n > 1) cout << n;
  cout << endl;
  return 0;
}

/* output:
3 1
-4 2
12 12
2 2 2 3 3 5
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

math.gcd dan math.lcm Python (sejak Python 3.9) menerima bilangan bulat sebesar apa pun, sehingga jarang perlu membuat sendiri, tetapi menulis perulangan Euclid sekali adalah cara terbaik melihat mengapa ia berhenti.

Apa kesalahan umum pada bilangan bulat?

Kesalahan paling umum pada bilangan bulat adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: bilangan bulat sekilas

• Bilangan bulat: …,-2,-1,0,1,2,…; nol bukan positif dan bukan negatif; setiap a punya lawan -a.
• Urutan dan ukuran: makin ke kanan makin besar, sehingga -7<-3; |a| adalah jarak dari 0.
• Menjumlah dan mengurang: tanda sama dijumlahkan dan tandanya dipertahankan; tanda berbeda dikurangkan dan mengikuti tanda yang lebih besar; a-b=a+(-b).
• Mengalikan dan membagi: tanda sama menghasilkan positif, tanda berbeda menghasilkan negatif; jangan pernah membagi dengan 0.
• Urutan operasi: kurung, pangkat, lalu ×÷, lalu +− dari kiri ke kanan; -3^2=-9 tetapi (-3)^2=9.
• Habis dibagi: aturan angka untuk 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11; setiap bilangan bulat di atas 1 punya satu faktorisasi prima.
• FPB dan KPK: eksponen prima terkecil atau terbesar, atau algoritma Euclid; \gcd·\operatornamelcm=a· b.
• Sisa: a=bq+r dengan 0\le r<|b|; Python, JavaScript, dan matematika berbeda untuk bilangan negatif.

Glosarium: istilah penting

Bilangan bulat

Bilangan dalam himpunan ℤ, tanpa bagian pecahan: nol, bilangan bulat positif, dan negatifnya.

Lawan (bilangan berlawanan)

Bilangan di seberang nol pada jarak yang sama, sehingga sebuah bilangan ditambah lawannya sama dengan nol.

Nilai mutlak

Jarak sebuah bilangan dari nol yang tidak pernah negatif, sehingga nilai mutlak minus 7 adalah 7.

Tertutup terhadap suatu operasi

Sebuah himpunan tertutup terhadap suatu operasi bila menerapkannya pada anggota himpunan selalu memberi anggota; bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.

Pembagi (faktor)

Bilangan bulat b adalah pembagi a bila a sama dengan b kali suatu bilangan bulat, sehingga pembagian tidak menyisakan sisa.

Kelipatan

Hasil kali sebuah bilangan dengan bilangan bulat mana pun, seperti 12, 24, dan 36 untuk bilangan 12.

Bilangan prima

Bilangan bulat lebih dari 1 yang satu-satunya pembagi positifnya adalah 1 dan dirinya sendiri.

Bilangan komposit

Bilangan bulat lebih dari 1 yang bukan prima, sehingga punya pembagi selain 1 dan dirinya sendiri.

Faktorisasi prima

Cara tunggal menulis bilangan bulat lebih dari 1 sebagai hasil kali bilangan prima, seperti 360 sama dengan 2 pangkat tiga kali 3 kuadrat kali 5.

Faktor persekutuan terbesar (FPB)

Bilangan bulat terbesar yang membagi dua bilangan bulat yang diberikan; untuk 48 dan 180 nilainya 12.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dua bilangan bulat yang diberikan; untuk 12 dan 18 nilainya 36.

Saling prima

Dua bilangan bulat yang faktor persekutuan terbesarnya 1, seperti 8 dan 15.

Sisa pembagian

Yang tersisa setelah membagi: dalam a sama dengan b kali q ditambah r, bilangan r, yang terletak dari 0 sampai ukuran b dikurangi 1.

Modulo

Operasi yang memberi sisa suatu pembagian, sehingga 17 modulo 5 adalah 2.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.). Cengage Learning.
2. Euclid. Elements, Book VII (the Euclidean algorithm) and Book IX, proposition 20 (there are infinitely many primes). c. 300 BCE.
3. Brahmagupta (628). Brahmasphutasiddhanta (rules for arithmetic with zero, debts and fortunes).
4. Carl Friedrich Gauss (1801). Disquisitiones Arithmeticae.
5. Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd ed.), chapter 3 (floor, ceiling and mod). Addison-Wesley.
6. Shen Kangshen, John Crossley and Anthony Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press.
7. Python Software Foundation. The Python Language Reference: binary arithmetic operations (floor division and modulo). docs.python.org. https://docs.python.org/3/reference/expressions.html#binary-arithmetic-operations.
8. Ecma International. ECMAScript Language Specification: multiplicative operators (the remainder operator). tc39.es. https://tc39.es/ecma262/#sec-multiplicative-operators.

Artikel terkait

• Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya: Pengertian bilangan real, jenis (rasional dan irasional), contoh, sifat, dan garis bilangan, lengkap dengan latihan interaktif, pembuktian, dan FAQ.
• Bilangan Biner: Konversi, Operasi, Bit, dan Komplemen Dua: Bilangan biner: bit dan nilai tempat, konversi ke desimal dan heksadesimal, aritmetika biner, komplemen dua, operator bitwise, dan pecahan biner.
• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Bilangan dalam Bahasa China: Angka Mandarin 0 sampai Miliaran: Cara menyebut dan membaca bilangan dalam bahasa China (Mandarin): angka 0 sampai miliaran, 万 dan 亿, aturan nol, 两 dan 二, lengkap dengan konverter dan kuis.