Barisan dan Deret Geometri: Rasio, Jumlah, dan Pertumbuhan

Apa itu barisan geometri?

Barisan geometri (atau progresi geometri) adalah daftar bilangan bukan nol a_1,a_2,a_3,… yang rasio tiap suku terhadap suku sebelumnya selalu bilangan yang sama r, yang disebut rasio. Aturannya a_n+1=r a_n: untuk mendapat suku berikutnya, kalikan dengan r.

Cara mengetahuinya. Bagi tiap suku dengan suku sebelumnya, yang kemudian per yang lebih dulu. Jika setiap rasio sama, barisannya geometri. Tidak boleh ada suku 0, karena rasio suatu suku terhadap 0 tidak terdefinisi dan suku 0 membuat setiap suku berikutnya 0.

Bandingkan dengan aritmetika. Barisan aritmetika menambah jumlah yang sama tiap langkah, sehingga sukunya terletak pada garis lurus; barisan geometri mengalikan, sehingga sukunya terletak pada kurva eksponensial dan akhirnya meninggalkan barisan aritmetika apa pun jauh di belakang.

Rata-rata geometri. Untuk tiga tetangga yang bertanda sama a_n^2=a_n-1a_n+1, sehingga tiap suku adalah rata-rata geometri √(ab) dari dua suku di sampingnya, seperti tiap suku barisan aritmetika adalah rata-rata aritmetika keduanya. Dari situlah namanya berasal.

Ketik daftar bilangan di bawah dan lihat apakah ia geometri.

Bagaimana mencari suku ke-n barisan geometri?

Suku ke-n barisan geometri adalah a_n=a_1r^n-1: mulai dari suku pertama dan kalikan dengan rasio sebanyak n-1 kali. Seperti pada kasus aritmetika, dari suku 1 ke suku n diperlukan n-1 langkah.

Untuk 3,6,12,… kita punya a_1=3 dan r=2, sehingga a_n=3·2^n-1 dan a_10=3·2^9=1536. Untuk 64,32,16,…, r=\frac12 dan a_7=64·\left(\frac12\right)^6=1.

Ia fungsi eksponensial. Menulis a_n=(a_1)/(r) r^n menunjukkan peubah n berada di eksponen, sehingga hukum eksponen berlaku, dan titik-titik barisan terletak pada kurva, bukan garis. Besarnya r menentukan gambarnya:

• r>1: pertumbuhan eksponensial. Suku-sukunya membesar makin cepat.
• 0<r<1: peluruhan eksponensial. Suku-sukunya mengecil menuju 0 tetapi tidak pernah mencapainya.
• r<0: tandanya bergantian, dan ukurannya tumbuh bila |r|>1 atau mengecil bila |r|<1.
• r=1: konstan. r=-1: barisan bergantian antara a_1 dan -a_1.

Mengapa terasa begitu cepat. Uang Rp100 yang dilipatduakan tiap hari selama 30 hari bernilai 100·2^29= Rp53.687.091.200 pada hari ke-30; menambah Rp1.000.000 tetap tiap hari hanya memberi Rp30.000.000. Penggandaan akhirnya mengalahkan penambahan tetap mana pun.

Suku keberapa yang sama dengan bilangan tertentu? Selesaikan a_1r^n-1=L. Untuk 3,6,12,…,768: (768)/(3)=256=2^8, sehingga n-1=8 dan n=9. Bila rasionya bukan pangkat yang rapi, banyak suku memerlukan logaritma, yaitu kebalikan dari eksponen.

Pilih suku pertama, rasio, dan panjang di bawah dan perhatikan batangnya.

Bagaimana mencari rasio dari dua suku, dan apa itu rata-rata geometri?

Dua suku dan posisinya memberi rasio: di antara suku p dan suku q ada q-p perkalian dengan r, sehingga a_q=a_p r^q-p dan r^q-p=(a_q)/(a_p). Lalu a_1=a_p÷ r^p-1.

Contoh: a_2=6 dan a_5=48. Maka r^3=(48)/(6)=8, sehingga r=2 dan a_1=\frac62=3: barisannya 3,6,12,24,48,…

Berapa banyak jawaban? Menarik akar dapat memberi dua. Jika banyak langkah q-p ganjil ada satu rasio real, bertanda sama dengan (a_q)/(a_p). Jika genap ada dua, +r dan -r, asalkan (a_q)/(a_p) positif: a_1=3 dan a_3=12 cocok dengan 3,6,12,… maupun 3,-6,12,…. Jika ia negatif dan banyak langkahnya genap, tidak ada rasio real. Dan rasio tidak harus pecahan: a_1=1 dan a_3=2 memberi r=±√2, yang irasional.

Rata-rata geometri. Menyisipkan k bilangan di antara a dan b sehingga seluruh daftarnya geometri adalah masalah yang sama dengan k+1 langkah: r^k+1=\frac ba. Dua sisipan di antara 3 dan 81 memiliki r^3=27, sehingga r=3 dan sisipannya 9 dan 27. Dengan satu sisipan, r^2=\frac ba dan sisipannya √(ab): di antara 2 dan 32 ia √(64)=8.

Mengapa rata-rata geometri penting. Bila suatu besaran tumbuh dengan faktor, rata-rata yang tepat adalah yang geometri. Harga yang naik 10% lalu 20% tumbuh dengan faktor 1,1 dan 1,2, yang rata-rata geometrinya √1,1·1,2≈1,149, rata-rata sekitar 14,9% per periode, bukan 15% seperti yang disarankan merata-ratakan persentasenya.

Coba dua sukumu sendiri di bawah.

Bagaimana mencari jumlah deret geometri?

Jumlah n suku pertama barisan geometri dengan r≠1 adalah S_n=(a_1(1-r^n))/(1-r), yang sama dengan (a_1(r^n-1))/(r-1); jika r=1 setiap suku adalah a_1 dan S_n=na_1. Jumlah suku-suku seperti ini adalah deret geometri.

Dari mana rumusnya. Kalikan jumlah dengan r lalu kurangkan; hampir semuanya saling meniadakan:

S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+…+a_1r^n-1

rS_n= a_1r+a_1r^2+…+a_1r^n-1+a_1r^n

S_n-rS_n=a_1-a_1r^n ⇒ S_n(1-r)=a_1(1-r^n)

Membagi dengan 1-r hanya boleh bila r≠1, itulah sebabnya kasus itu terpisah.

Contoh.

• 3+6+12+… dengan 10 suku: S_10=(3(2^10-1))/(2-1)=3069.
• 1+\frac12+\frac14+…+\frac1512 dengan 10 suku: S_10=(1-(1/2)^10)/(1-1/2)=2-\frac1512=(1023)/(512).
• Soal Papirus Rhind tentang tujuh rumah dengan tujuh kucing, tujuh tikus, tujuh bulir gandum, dan tujuh takaran biji menjumlahkan 7+49+343+2401+16807=19607, yaitu (7(7^5-1))/(6).
• Papan catur. Satu butir beras pada petak pertama, dua pada petak kedua, berlipat dua pada tiap dari 64 petak, menghasilkan 2^64-1=18.446.744.073.709.551.615 butir, jauh lebih banyak daripada yang pernah ditanam dunia.

Kaitan dengan biner. Dengan a_1=1 dan r=2 jumlahnya 1+2+4+…+2^n-1=2^n-1, yaitu bilangan yang ditulis sebagai n angka satu dalam biner: 11111111_2=255=2^8-1, seperti pada artikel bilangan biner.

Perhatikan pengurangan dan jumlahnya di bawah, beserta jumlah parsialnya.

Kapan deret geometri tak hingga punya jumlah?

Deret geometri tak hingga punya jumlah tepat bila |r|<1, dan kemudian S_∞=(a_1)/(1-r); untuk |r|\ge1 ia divergen (kecuali setiap sukunya 0). Alasannya ada dalam rumus berhingga: S_n=(a_1(1-r^n))/(1-r), dan bila |r|<1 pangkat r^n mengecil menuju 0, sehingga S_n mendekati (a_1)/(1-r). Selisih setelah n suku tepat (a_1r^n)/(1-r), yang dapat dibuat sekecil yang kamu mau.

• \frac12+\frac14+\frac18+…=(1/2)/(1-1/2)=1: membagi dua apa yang tersisa dari persegi satuan, berulang-ulang, memenuhi persegi itu.
• 6+4+\frac83+… punya r=\frac23, sehingga S_∞=(6)/(1/3)=18.
• 1-\frac12+\frac14-… punya r=-\frac12, sehingga S_∞=(1)/(3/2)=\frac23.
• 1+\frac14+\frac116+…=\frac43, deret yang dipakai Archimedes untuk luas segmen parabola.

Untuk |r|\ge1 jumlah parsial tidak menetap: r=1 memberi na_1, yang membesar; r=-1 memberi a_1,0,a_1,0,…; dan |r|>1 membesar tanpa batas, seperti 1+2+4+8+…. Rumus (a_1)/(1-r) akan memberi -1 untuk deret terakhir itu, yang tidak bermakna, jadi periksa |r|<1 sebelum memakainya. Deret aritmetika tidak pernah konvergen, seperti ditunjukkan bagian deret aritmetika tak hingga.

Desimal berulang adalah deret geometri. 0,(3 repeating)=\frac310+\frac3100+… punya a_1=\frac310 dan r=\frac110, sehingga ia (3/10)/(9/10)=\frac13. Dengan cara yang sama 0,(9 repeating)=(9/10)/(9/10)=1 tepat, dan 0,(27 repeating)=(27/100)/(99/100)=(3)/(11). Blok berulang berisi m angka punya r=10^-m. Inilah metode di balik pengubahan desimal berulang menjadi pecahan pada artikel bilangan real, dan itulah sebabnya setiap desimal berulang rasional.

Paradoks Zeno. Achilles mengejar kura-kura yang mendapat start lebih dulu. Setiap kali ia sampai di tempat kura-kura tadi, kura-kura sudah bergerak sedikit lebih jauh, sehingga ada tak berhingga banyak langkah. Tetapi waktu tiap langkah membentuk deret geometri dengan jumlah berhingga, sehingga Achilles memang menyalip kura-kura, pada saat yang pasti.

Bola memantul. Dijatuhkan dari 10 m dan memantul kembali setinggi \frac35 dari tinggi sebelumnya setiap kali, sebuah bola menempuh 10+2\left(6+3,6+2,16+…\right)=10+2·(6)/(1-3/5)=40 m seluruhnya.

Di mana barisan geometri muncul: bunga, peluruhan, dan pertumbuhan?

Apa pun yang berubah dengan persentase tetap tiap periode adalah barisan geometri: kenaikan p\% mengalikan dengan r=1+\frac p100 dan penurunan p\% mengalikan dengan r=1-\frac p100. Perhatikan bahwa kenaikan 5% berasio 1,05, bukan 0,05, dan penurunan 20% berasio 0,8, bukan 0,2.

Bunga majemuk memberi saldo P (1+i)^n setelah n periode dengan bunga i per periode. Bunga yang ditambahkan hanya pada simpanan awal memberi barisan aritmetika. Memajemukkan lebih sering hanya membantu sedikit: faktor \left(1+\frac1n\right)^n mendekati bilangan irasional e≈2,71828, yang dijumpai Jacob Bernoulli pada 1683 saat mempelajari hal ini, seperti dikisahkan artikel π, e, dan bilangan transenden.

Peluruhan tidak pernah mencapai nol. Waktu paruh, nilai yang menyusut, atau selisih suhu yang mendingin terus dikalikan rasio di bawah 1, sehingga mengecil menuju 0 tanpa pernah menjadi 0.

Anuitas adalah jumlah deret geometri. Tiap setoran tumbuh dengan r=1+i selama banyak periode yang berbeda, sehingga totalnya P \bigl(1+(1+i)+…+(1+i)^n-1\bigr)=P ((1+i)^n-1)/(i), rumus jumlah dengan rasio 1+i.

Melipat kertas menunjukkan betapa cepatnya penggandaan. Selembar kertas setebal 0,1 mm yang dilipat 42 kali, yang sebenarnya tidak dapat dilakukan, akan setebal 0,1·2^42 mm, sekitar 440.000 km, lebih dari jarak ke Bulan.

Bagaimana mengolah barisan geometri di Python dan JavaScript?

**Bangun suku-sukunya dengan operator pangkat, a1 * r ** i di kedua bahasa, dan pakai fractions.Fraction di Python bila jumlahnya harus eksak.** Pangkat tumbuh atau mengecil begitu cepat sehingga float meluap menjadi tak hingga atau menjadi 0 jauh sebelum matematikanya menarik.

>>> a1, r, n = 3, 2, 10
>>> [a1 * r ** i for i in range(5)]           # a_1 r^(i), i from 0
[3, 6, 12, 24, 48]
>>> a1 * r ** (n - 1)                         # the n-th term
1536
>>> a1 * (r ** n - 1) // (r - 1)              # the sum of n terms (exact for integers)
3069
>>> from fractions import Fraction
>>> sum(Fraction(1, 2) ** i for i in range(10))   # exact, no rounding
Fraction(1023, 512)
>>> 2 ** 64 - 1                               # the chessboard
18446744073709551615
>>> 1000 * 1.05 ** 10                         # compound interest, as a float
1628.894626777442
>>> 2.0 ** 1024                               # beyond the largest float: raises OverflowError

const terms = (a1, r, n) => Array.from({ length: n }, (_, i) => a1 * r ** i)
terms(3, 2, 5)                              // [3, 6, 12, 24, 48]
terms(3, 2, 10).reduce((s, x) => s + x, 0)  // 3069
2 ** 1024                                   // Infinity: beyond the largest float
0.5 ** 1075                                 // 0: smaller than the smallest float
2n ** 64n - 1n                              // 18446744073709551615n (BigInt is exact)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
  int a1 = 3, r = 2, n = 10;
  int term = a1, sum = 0, rn = 1;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (i < 5) cout << term << " ";                    // the first five terms
    sum += term;
    term *= r;
    rn *= r;
  }
  cout << endl;
  cout << a1 * (rn / r) << endl;                       // the n-th term: a1 r^(n-1)
  cout << sum << " " << a1 * (rn - 1) / (r - 1) << endl;   // the sum of n terms, by loop and by formula

  int num = 0;
  for (int i = 0; i < 10; i++) num += 1 << (9 - i);    // (1/2)^0 + ... + (1/2)^9 over the denominator 512
  cout << num << "/512" << endl;

  printf("%.0f\n", pow(2, 64) - 1);                    // 18446744073709551616: a double cannot hold 2^64 - 1
  printf("%.4f\n", 1000 * pow(1.05, 10));              // compound interest
  cout << (pow(2.0, 1024) > 1.7976931348623157e308) << endl;   // 1: beyond the largest double (inf)
  return 0;
}

/* output:
3 6 12 24 48
1536
3069 3069
1023/512
18446744073709551616
1628.8946
1
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Pecahan eksak menghindari pembulatan float, seperti pada artikel bilangan rasional. Periksa bentuk tertutup dengan perulangan pendek sebelum mengandalkannya.

Dari mana asal deret geometri?

Barisan geometri muncul dalam matematika tertua, dan gagasan bahwa tak berhingga banyak suku dapat berjumlah bilangan berhingga membutuhkan berabad-abad bagi bangsa Yunani untuk menerimanya.

• Sekitar 1550 SM. Soal 79 Papirus Rhind mendaftar tujuh rumah, masing-masing dengan tujuh kucing, masing-masing membunuh tujuh tikus, dan seterusnya: pangkat 7 dan jumlahnya, 19607.
• Abad ke-5 SM. Paradoks gerak Zeno, seperti Achilles dan kura-kura, membingungkan bangsa Yunani karena tampak menjumlahkan tak berhingga banyak langkah.
• Sekitar 300 SM. Elements Euclid, Buku IX, proposisi 35, memberi jumlah suku-suku dalam progresi geometri dalam bahasa perbandingan, bukti pertama rumus jumlah berhingga.
• Sekitar 250 SM. Archimedes, dalam Quadrature of the Parabola, menjumlahkan 1+\frac14+\frac116+…=\frac43 untuk mencari luas segmen parabola, penggunaan awal deret tak hingga dengan jumlah yang ditemukan lewat argumen yang cermat.
• 1683. Jacob Bernoulli menemukan bilangan e sebagai limit bunga majemuk \left(1+\frac1n\right)^n.

Legenda terkenal bercerita tentang penemu catur yang meminta kepada raja satu butir beras pada petak pertama, dua pada petak kedua, dan seterusnya, dan meminta lebih daripada yang dapat disediakan kerajaan. Kisah ini tua, dengan versi yang diceritakan dalam sumber Arab pada abad ke-13, dan tetap menjadi cara paling berkesan untuk merasakan betapa cepat 2^n tumbuh.

Apa kesalahan umum pada barisan geometri?

Kesalahan paling umum pada barisan geometri adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: barisan dan deret geometri sekilas

• Definisi: (a_n+1)/(a_n)=r konstan dan tidak ada suku 0; tiap suku adalah rata-rata geometri tetangganya.
• Suku ke-n: a_n=a_1r^n-1, eksponensial dalam n; |r|>1 tumbuh, |r|<1 meluruh, r<0 bergantian.
• Dari dua suku: r^q-p=(a_q)/(a_p) (satu atau dua rasio real); k sisipan di antara a dan b: r^k+1=\frac ba.
• Jumlah n suku: S_n=(a_1(1-r^n))/(1-r) untuk r≠1, dan na_1 untuk r=1.
• Deret tak hingga: S_∞=(a_1)/(1-r) hanya untuk |r|<1; desimal berulang adalah deret seperti itu.
• Perubahan persen: kenaikan p\% berarti r=1+\frac p100, penurunan berarti r=1-\frac p100; bunga majemuk adalah P(1+i)^n.
• Kode: a1 * r ** (n - 1); pakai bilangan bulat, BigInt, atau Fraction untuk menghindari luapan dan pembulatan float.

Glosarium: istilah penting

Barisan geometri

Barisan bilangan bukan nol yang setiap sukunya adalah suku sebelumnya dikali bilangan tetap yang sama, seperti 3, 6, 12, 24.

Rasio

Pengali tetap r antara suku-suku bertetangga pada barisan geometri, diperoleh dengan membagi sebuah suku dengan suku sebelumnya.

Deret geometri

Jumlah suku-suku barisan geometri, berhingga atau tak hingga.

Pertumbuhan eksponensial

Pertumbuhan yang besarannya dikali faktor yang sama lebih dari 1 tiap periode, seperti pada barisan geometri dengan rasio di atas 1.

Peluruhan eksponensial

Penurunan yang besarannya dikali faktor yang sama antara 0 dan 1 tiap periode, sehingga mengecil menuju 0 tetapi tidak pernah mencapainya.

Rata-rata geometri

Untuk dua bilangan positif a dan b, bilangan yang sama dengan akar dari a kali b; tiap suku barisan geometri adalah rata-rata geometri tetangganya.

Jumlah parsial

Jumlah S indeks n dari n suku pertama sebuah deret.

Deret konvergen

Deret yang jumlah parsialnya mendekati bilangan berhingga tetap, yang disebut jumlahnya; deret geometri tak hingga konvergen tepat bila rasionya berukuran kurang dari 1.

Deret divergen

Deret yang jumlah parsialnya tidak mendekati bilangan berhingga, seperti 1 ditambah 2 ditambah 4 ditambah 8 dan seterusnya.

Jumlah tak hingga

Nilai yang didekati deret tak hingga yang konvergen, sama dengan suku pertama per 1 dikurangi rasio untuk deret geometri.

Bunga majemuk

Bunga yang ditambahkan ke saldo sehingga ia sendiri berbunga, yang membuat saldo menjadi barisan geometri dengan rasio 1 ditambah suku bunga.

Waktu paruh

Waktu yang diperlukan suatu besaran yang meluruh untuk turun menjadi setengah nilainya, sehingga dikali setengah tiap waktu paruh.

Anuitas

Serangkaian pembayaran sama besar pada selang teratur, yang nilai totalnya adalah jumlah geometri.

Barisan aritmetika

Barisan yang setiap sukunya adalah suku sebelumnya ditambah bilangan tetap yang sama, bukan dikali.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.), chapter 12 (sequences and series). Cengage Learning.
2. Euclid. Elements, Book IX, proposition 35 (the sum of numbers in geometric progression). c. 300 BCE.
3. Archimedes. Quadrature of the Parabola. c. 250 BCE.
4. Arnold Buffum Chace (1927). The Rhind Mathematical Papyrus. Mathematical Association of America.
5. Jacob Bernoulli (1690). Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum. Acta Eruditorum.
6. Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), chapter 3 (series). McGraw-Hill.
7. Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd ed.), chapter 2 (sums). Addison-Wesley.
8. Python Software Foundation. The Python Standard Library: fractions, rational numbers. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/fractions.html.

Artikel terkait

• Barisan dan Deret Aritmetika: Rumus, Jumlah, dan Contoh: Barisan dan deret aritmetika: beda, rumus suku ke-n, rumus jumlah, trik Gauss, rata-rata aritmetika, dan soal cerita, lengkap dengan latihan.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.
• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Bilangan Irasional: Pengertian, Contoh, Bukti, dan Hampiran: Bilangan irasional: mengapa √2 irasional, akar mana yang irasional, jumlah dan hasil kali, π dan e, bilangan transenden, serta hampiran pecahan, dengan latihan.