Bilangan Biner: Konversi, Operasi, Bit, dan Komplemen Dua

Apa itu bilangan biner?

Bilangan biner ditulis dalam basis 2: ia hanya memakai dua angka 0 dan 1, yang disebut bit (dari binary digit), dan tiap tempat bernilai dua kali tempat di kanannya. Bilangan desimal biasa bekerja dengan cara yang sama dengan sepuluh angka dan tempat bernilai 1, 10, 100, 1000. Pada keduanya, nilai sebuah angka bergantung pada tempatnya, yaitu gagasan nilai tempat yang ada di setiap sistem posisi.

Nilai tempat dalam biner adalah pangkat 2, dihitung dari kanan mulai 2^0 (lihat eksponen):

Bilangan pada tabel itu adalah 01011010_2=64+16+8+2=90. Angka subskrip 2 menyatakan basisnya, sebab 10_2 adalah dua tetapi 10 adalah sepuluh.

Menghitung dalam biner sama dengan menghitung dalam desimal dengan hanya dua angka. Ketika angka terakhir mencapai 1, hitungan berikutnya membawa ke tempat selanjutnya, seperti 9 menjadi 10 dalam desimal:

Mengapa komputer memakai biner. Transistor menghantar atau tidak, bintik magnetik menghadap ke satu arah atau yang lain, lubang pada cakram ada atau tidak. Dua keadaan mudah dibedakan bahkan ketika sinyalnya berderau, sehingga mesin dapat menyalin dan mengolahnya tanpa galat; sepuluh tingkat tegangan jauh lebih sulit. Segala yang lain, bilangan, teks, gambar, dan suara, lebih dulu diubah menjadi bilangan lalu menjadi bit. Bit terakhir juga memberi tahu hal sederhana: bilangan biner genap bila berakhir 0, seperti pada bilangan genap dan ganjil di artikel bilangan bulat.

Bagaimana mengubah antara biner, desimal, dan heksadesimal?

Untuk mengubah biner menjadi desimal, jumlahkan nilai tempat angka 1; untuk mengubah desimal menjadi biner, bagi 2 berulang kali dan baca sisanya dari bawah ke atas. Keduanya hanya memakai pangkat 2.

Biner ke desimal. 1011010_2 punya angka 1 di tempat bernilai 64, 16, 8, dan 2, sehingga ia 64+16+8+2=90.

Desimal ke biner. Bagi 2, tulis sisanya, dan lanjutkan dengan hasil baginya sampai mencapai 0. Untuk 90:

Baca sisanya ke atas: 1011010_2. Ini pembagian bersisa yang sama dengan pada artikel bilangan bulat, dan sisa terakhir adalah angka paling kiri karena ia tempat tertinggi.

Oktal dan heksadesimal. Untai biner panjang, sehingga pemrogram mengelompokkan bit. Tiga bit membentuk satu angka oktal (basis 8, angka 0 sampai 7) dan empat bit membentuk satu angka heksadesimal (basis 16, angka 0 sampai 9 lalu A sampai F untuk 10 sampai 15):

Kelompokkan dari kanan: 01011010_2 adalah 0101 1010, yaitu 5A_16, dan 5·16+10=90. Satu byte selalu tepat dua angka heksadesimal, itulah sebabnya FF adalah 11111111_2=255. Heksadesimal adalah cara menulis warna di web: #FF8800 adalah merah 255, hijau 88_16=136, dan biru 0, sebuah oranye. Oktal masih bertahan pada izin berkas Unix, tempat 755 adalah 111 101 101, baca, tulis, dan eksekusi untuk pemilik serta baca dan eksekusi untuk semua yang lain.

Ketik bilangan di bawah dalam basis apa pun dan lihat dalam keempatnya.

Bagaimana menjumlah, mengurang, dan mengalikan dalam biner?

Aritmetika biner memakai metode kolom yang sama dengan desimal, dengan hanya empat jumlah yang perlu diingat: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, dan 1+1=10, yang berarti tulis 0 dan bawa 1. Menjumlahkan tiga angka 1 dalam satu kolom menghasilkan 11_2: tulis 1 dan bawa 1.

Penjumlahan. Kerjakan dari kanan dan bawa ke kiri. Untuk 1011_2+110_2:

Kolom demi kolom, dari kanan: 1+0=1; 1+1=10, tulis 0 dan bawa 1; 0+1+1=10, tulis 0 dan bawa 1; 1+0+1=10, tulis 0 dan bawa 1; bawaan menjadi angka 1 di depan. Hasilnya 10001_2, dan sebagai pemeriksaan 11+6=17.

Pengurangan. Bila sebuah kolom tidak dapat dikurangi angkanya, pinjam 1 dari kolom di kiri, yang bernilai 2 pada kolom yang sedang kamu kerjakan. Untuk 1011_2-110_2 jawabannya 101_2, dan 11-6=5. Komputer jarang mengurangi dengan cara ini: ia menjumlahkan komplemen dua, pada bagian bilangan negatif.

Perkalian. Setiap bit pada bilangan bawah memberi 0 atau salinan bilangan atas yang digeser ke kiri, dan salinannya dijumlahkan. 101_2×11_2 adalah 101+1010=1111_2, dan 5·3=15. Tidak ada tabel perkalian yang perlu dipelajari, hanya menggeser dan menjumlahkan, itulah sebabnya pengali perangkat keras sederhana.

Menggandakan dan membagi dua. Menambah angka 0 di ujung menggandakan bilangan biner (101_2=5, 1010_2=10), seperti menambah 0 mengalikan bilangan desimal dengan sepuluh. Membuang bit terakhir membaginya dua dan membuang sisanya. Inilah gagasan di balik geseran bit di bawah.

Coba penjumlahan buatanmu sendiri; langkahnya ditampilkan sebagai susunan kolom.

Berapa nilai yang dapat dimuat bit, dan apa itu byte?

n bit dapat memuat 2^n nilai berbeda, yaitu bilangan dari 0 sampai 2^n-1, karena tiap bit tambahan menggandakan banyak pola. Satu byte adalah 8 bit sehingga memuat 2^8=256 nilai, 0 sampai 255.

Ukuran. Satu kilobita (kB) adalah 1000 byte dalam sistem SI, tetapi memori berukuran pangkat 2, sehingga pada 1998 IEC menamai satuan biner: satu kibibyte (KiB) adalah 2^10=1024 byte, satu mebibyte (MiB) adalah 2^20=1.048.576 byte, dan satu gibibyte (GiB) adalah 2^30 byte. Cakram yang dijual 500 GB (pangkat 1000) tampak sekitar 465 GiB pada sistem operasi yang menghitung dengan pangkat 1024, yang menjadi sumber umum ruang yang "hilang".

Teks. Sebuah karakter disimpan sebagai bilangan. ASCII, dari 1963, memberi kode 0 sampai 127 untuk huruf Inggris, angka, tanda baca, dan kode kendali, dan muat dalam 7 bit. Huruf A adalah 65, yaitu 01000001_2, dan a adalah 97, yaitu 01100001_2. Keduanya berbeda tepat satu bit, yang bernilai 32, sehingga mengubah huruf besar-kecil huruf ASCII berarti membalik bit itu. Unicode memperluas gagasan ini ke semua sistem tulisan, dan UTF-8 menyimpan setiap titik kode dalam 1 sampai 4 byte.

Klik bit-bit sebuah byte di bawah dan perhatikan bilangan, dua cara membacanya, dan karakternya berubah.

Bagaimana bilangan negatif disimpan dalam biner?

Komputer menyimpan bilangan bulat negatif dalam komplemen dua: bit paling kiri bernilai -2^n-1 dan bukan +2^n-1, sehingga rangkaian penjumlah yang sama bekerja untuk bilangan positif dan negatif. Untuk menegasikan sebuah bilangan, balik setiap bit lalu tambah 1.

Untuk 8 bit, mendapatkan -5: mulai dari 5=00000101, balik menjadi 11111010, lalu tambah 1 menjadi 11111011. Bacalah dengan bit teratas bernilai -128: -128+64+32+16+8+2+1=-5.

Dengan n bit rentang bertanda adalah -2^n-1 sampai 2^n-1-1, sehingga 8 bit memuat −128 sampai 127 dan 32 bit memuat −2.147.483.648 sampai 2.147.483.647. Ada satu bilangan negatif lebih banyak daripada positif karena 0 memakai salah satu pola tidak negatif.

Mengapa skema ini. Gagasan yang lebih tua, seperti bit tanda tersendiri, memberi dua nol (+0 dan −0) dan memerlukan aturan khusus untuk penjumlahan. Dalam komplemen dua hanya ada satu nol, dan pengurangan adalah penjumlahan: 5+(-5)=00000101+11111011=100000000, dan bit kesembilan dibuang, menyisakan 0. Penjumlah perangkat keras tidak memerlukan logika tanda.

Overflow. Hasil yang tidak muat berputar kembali. Dalam 8 bit 127+1=01111111+00000001=10000000, yang terbaca −128. Bilangan bulat berukuran tetap di C dan Java berputar seperti ini (lihat bagian bilangan bulat dalam kode), sedangkan bilangan bulat Python membesar selama memori cukup, sehingga Python hanya memperlihatkan perputaran bila kamu menutup bitnya sendiri.

Coba tombol ×2, +1, dan NOT pada penyunting bit di atas untuk melihat perputarannya.

Apa itu operator bitwise dan geseran?

Operator bitwise bekerja pada setiap bit sebuah bilangan secara terpisah: AND mempertahankan 1 hanya di tempat kedua bit 1, OR memberi 1 di tempat salah satu bit 1, XOR memberi 1 di tempat bitnya berbeda, dan NOT membalik setiap bit. Geseran menggeser semua bit ke kiri atau kanan.

Misalnya 1100_2 AND 1010_2 adalah 1000_2, sehingga 12 \& 10=8; OR memberi 1110_2=14 dan XOR memberi 0110_2=6.

Kegunaannya.

• Topeng (mask). x & 0xFF mempertahankan byte terendah, dan x & 1 bernilai 1 tepat bila x ganjil.
• Bendera (flag). Beberapa pengaturan ya-atau-tidak muat dalam satu bilangan, satu bit masing-masing: nyalakan bendera dengan OR, matikan dengan AND dan NOT, balik dengan XOR. Izin berkas Unix adalah tiga bendera seperti itu per kelompok.
• Geseran. Menggeser ke kiri sebanyak k mengalikan dengan 2^k dan menggeser ke kanan sebanyak k membagi dengan 2^k, membuang sisanya, yaitu penggandaan dan pembagian dua yang terlihat tadi. Bit yang melewati ujung hilang.
• Trik. x \& (x-1) bernilai 0 tepat bila x pangkat 2 (atau 0), dan x XOR x selalu 0.

Mencampur operator dengan aritmetika biasa memerlukan kehati-hatian soal urutan operasi, seperti pada bilangan negatif di artikel bilangan bulat: beri kurung pada ekspresi bitwise. Coba operatornya pada dua byte di bawah.

Bagaimana pecahan ditulis dalam biner?

Setelah koma biner, tempatnya bernilai \frac12,\frac14,\frac18,…, sehingga pecahan berakhir dalam biner hanya bila penyebutnya, dalam bentuk paling sederhana, adalah pangkat 2. Misalnya 0,101_2=\frac12+\frac18=\frac58=0,625.

Alasannya adalah aturan desimal yang diterapkan pada basis 2. Pecahan paling sederhana berakhir dalam basis b tepat bila setiap faktor prima penyebutnya membagi b: pada basis 10 bilangan prima 2 dan 5, seperti pada bagian pecahan ke desimal, dan pada basis 2 hanya bilangan prima 2. Jadi:

Untuk mencari angkanya, kalikan bagian pecahan dengan 2: bagian bulatnya adalah bit berikutnya, dan sisanya dilanjutkan. 0,1→0,2→0,4→0,8→1,6 memberi bit 0, 0, 0, 1 dan berlanjut dengan 0,6, 1,2, 0,4, sehingga blok 0011 berulang selamanya.

Mengapa ini penting bagi program. Bilangan floating point menyimpan sejumlah tetap bit signifikan, 53 pada format 64 bit yang umum (IEEE 754 binary64), sebagai tanda, eksponen, dan bagian pecahan. Jadi hanya pecahan berpenyebut pangkat 2, seperti 0,5, 0,25, 0,75, dan 0,125, yang disimpan dengan tepat. Bilangan seperti 0,1, 0,2, dan 0,3 terpotong di tengah blok yang berulang, dan nilai tersimpan terdekat dipakai sebagai gantinya. Itulah sebabnya 0.1 + 0.2 adalah 0.30000000000000004, seperti dijelaskan di artikel bilangan real. Obatnya adalah membandingkan dengan toleransi, atau menghitung dalam satuan utuh seperti sen.

Ketik bilangan apa pun di bawah dan lihat ekspansinya dalam biner, oktal, atau heksadesimal.

Bagaimana mengolah bilangan biner di Python dan JavaScript?

Kedua bahasa menulis literal biner dengan 0b, mengubah dengan bin dan int(teks, 2) di Python atau toString(2) dan parseInt(teks, 2) di JavaScript, dan memakai operator bitwise yang sama &, |, ^, ~, <<, dan >>. Keduanya berbeda soal ukuran bilangan bulat: bilangan bulat Python tidak terbatas, sedangkan operator bitwise JavaScript diam-diam bekerja pada bilangan bulat bertanda 32 bit.

>>> bin(10), bin(255), hex(255), oct(64)
('0b1010', '0b11111111', '0xff', '0o100')
>>> int('1011010', 2), int('ff', 16), 0b1011010
(90, 255, 90)
>>> f'{90:08b}', f'{255:#x}', format(5, '04b')   # padded binary, hex, width
('01011010', '0xff', '0101')
>>> (255).bit_length()
8
>>> 0b1100 & 0b1010, 0b1100 | 0b1010, 0b1100 ^ 0b1010
(8, 14, 6)
>>> 1 << 4, 100 >> 2                              # times 16, divide by 4
(16, 25)
>>> ~5                                            # NOT: -x - 1
-6
>>> bin(-5)                                       # a sign, not two's complement
'-0b101'
>>> (-5) & 0xFF                                   # the low 8 bits of -5
251
>>> 2 ** 64                                       # no overflow
18446744073709551616
>>> (0.1).hex()                                   # the stored binary value of 0.1
'0x1.999999999999ap-4'

(10).toString(2)             // '1010'
(255).toString(16)           // 'ff'
parseInt('1011010', 2)       // 90
0b1011010                    // 90
5 & 3, 5 | 3, 5 ^ 3          // 1, 7, 6
~5                           // -6
1 << 31                      // -2147483648: bitwise operators use 32-bit signed integers
(1 << 31) >>> 0              // 2147483648: >>> reads the 32 bits as unsigned
-5 >>> 0                     // 4294967291
(-5 >>> 0).toString(2)       // '11111111111111111111111111111011': two's complement in 32 bits
2 ** 32 >> 0                 // 0: the high bits are discarded
2n ** 64n                    // 18446744073709551616n (BigInt has no 32-bit limit)

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

void printBinary(int n, int width) {                // the lowest `width` bits, high bit first
  for (int i = width - 1; i >= 0; i--) cout << ((n >> i) & 1);
  cout << endl;
}

int parseBinary(const char* s) {                    // "1011010" -> 90
  int value = 0;
  for (int i = 0; s[i] != 0; i++) value = value * 2 + (s[i] - '0');
  return value;
}

int main() {
  printBinary(90, 8);
  printBinary(255, 8);
  printf("%x %o\n", 255, 64);                       // hexadecimal and octal
  cout << parseBinary("1011010") << endl;
  cout << (12 & 10) << " " << (12 | 10) << " " << (12 ^ 10) << endl;   // AND, OR, XOR
  cout << (1 << 4) << " " << (100 >> 2) << endl;    // times 16, divide by 4
  cout << ~5 << endl;                               // NOT: -x - 1
  printBinary(-5, 8);                               // the low 8 bits of -5 (two's complement)
  cout << ((-5) & 0xFF) << endl;
  return 0;
}

/* output:
01011010
11111111
ff 100
90
8 14 6
16 25
-6
11111011
251
*/

Jebakannya, berurutan dari yang paling sering menggigit:

Pakai int(teks, 2) atau parseInt(teks, 2) untuk membaca biner yang diketik orang, dan format dengan f'{n:08b}' atau n.toString(2).padStart(8, '0') untuk merapikan bit-bitnya.

Dari mana asal biner?

Aritmetika biner jauh lebih tua daripada komputer: pemikir India, Mesir, dan Eropa memakainya jauh sebelum elektronik menjadikannya penting.

• Sekitar 200 SM. Pingala, dalam karya Sanskerta tentang matra puisi, menjelaskan pola suku kata pendek dan panjang yang setara dengan bilangan biner.
• Mesir. Papirus Rhind mengalikan dengan penggandaan dan penjumlahan berulang, yaitu perkalian dengan angka biner dari salah satu bilangan.
• 1703. Leibniz menerbitkan Explication de l'arithmétique binaire. Ia melihat pada heksagram I Ching, yaitu pola enam garis putus dan tak putus, bilangan 0 sampai 63 dalam biner.
• 1854. Laws of Thought karya George Boole menjadikan logika aljabar benar dan salah, 1 dan 0.
• 1937. Claude Shannon menunjukkan dalam tesis masternya bahwa saklar relai dapat melakukan logika Boole, penghubung antara aljabar dan rangkaian. Pada 1948 ia menjadikan kata bit, yang disarankan John Tukey, sebagai satuan informasi.
• 1963. ASCII memberi huruf dan simbol kode standar 7 bit.

Satu benang merah mengalir melalui semuanya: dua simbol cukup untuk menulis bilangan apa pun, dan setiap keputusan antara dua pilihan dapat dicatat sebagai satu bit.

Apa kesalahan umum pada bilangan biner?

Kesalahan paling umum pada bilangan biner adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar dan bilangan yang menunjukkan alasannya.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: bilangan biner sekilas

• Biner: basis 2, angka 0 dan 1 (bit), tempat bernilai 1,2,4,8,…; 1011_2=11.
• Mengubah: jumlahkan pangkat 2 di bawah angka 1; bagi 2 dan baca sisanya ke atas; empat bit membentuk satu angka heksadesimal, tiga bit satu angka oktal.
• Aritmetika: 1+1=10 dengan bawaan; kalikan dengan menggeser dan menjumlahkan; menambah 0 menggandakan.
• Ukuran: n bit memuat 2^n nilai, satu byte 8 bit (256 nilai); KiB adalah 1024 byte, kB adalah 1000.
• Negatif: komplemen dua, bit teratas bernilai -2^n-1; negasikan dengan membalik dan menambah 1; overflow berputar.
• Bitwise: AND menutup, OR menyalakan, XOR membalik; x≪ k adalah x·2^k; x \& 1 menguji ganjil.
• Pecahan: tempat \frac12,\frac14,…; berakhir hanya untuk penyebut pangkat 2, sehingga 0,1 berulang dan float menghampirinya.
• Kode: bin, int(s, 2), toString(2); operator bitwise JavaScript 32 bit; ~x adalah -x - 1.

Glosarium: istilah penting

Bit

Angka biner, 0 atau 1, satuan informasi terkecil; kata itu singkatan dari binary digit.

Byte

Sekelompok 8 bit, yang dapat memuat 256 nilai berbeda, 0 sampai 255 bila dibaca tanpa tanda.

Bilangan biner

Bilangan yang ditulis dalam basis 2 dengan hanya angka 0 dan 1, tiap tempat bernilai pangkat 2.

Nilai tempat

Prinsip bahwa sebuah angka bernilai nilai tampaknya dikali pangkat basis untuk tempat ia berada.

Heksadesimal

Basis 16, dengan angka 0 sampai 9 dan A sampai F; satu angka heksadesimal tepat empat bit, sehingga satu byte adalah dua angka heksadesimal.

Oktal

Basis 8, dengan angka 0 sampai 7; satu angka oktal tepat tiga bit.

Nibble

Sekelompok empat bit, yaitu satu angka heksadesimal.

Bit paling bermakna

Bit paling kiri sebuah bilangan biner, yang ada di tempat tertinggi; dalam komplemen dua ia adalah bit tanda.

Komplemen dua

Cara umum menyimpan bilangan bulat negatif, tempat bit paling kiri bernilai minus 2 pangkat n dikurangi 1 dan sebuah bilangan dinegasikan dengan membalik bitnya dan menambah 1.

Overflow

Perputaran yang terjadi ketika hasil tidak muat dalam banyak bit yang tetap, seperti 127 ditambah 1 menjadi minus 128 dalam 8 bit.

Operator bitwise

Operator seperti AND, OR, XOR, atau NOT yang bekerja pada setiap bit operannya secara terpisah.

Geseran bit

Operasi yang menggeser semua bit ke kiri atau kanan; menggeser ke kiri sebanyak k mengalikan dengan 2 pangkat k.

Topeng bit

Bilangan yang bit 1-nya memilih bit mana dari bilangan lain yang dipertahankan, diubah, atau diuji, dipakai dengan AND, OR, dan XOR.

Kibibyte

Satuan biner yang sama dengan 1024 byte, ditulis KiB, untuk membedakannya dari kilobita sebesar 1000 byte.

ASCII

Standar 1963 yang memberi huruf Inggris, angka, tanda baca, dan karakter kendali kode 0 sampai 127.

Bilangan floating point

Bilangan yang disimpan sebagai tanda, eksponen, dan sejumlah tetap bit signifikan, sehingga sebagian besar pecahan hanya disimpan secara hampiran.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin and Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (7th ed.). Cengage Learning.
2. Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.), section 4.1 (positional number systems). Addison-Wesley.
3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1703). Explication de l’arithmétique binaire. Mémoires de l’Académie royale des sciences.
4. George Boole (1854). An Investigation of the Laws of Thought.
5. Claude E. Shannon (1938). A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 57, 713–723.
6. IEEE (2019). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754-2019). Institute of Electrical and Electronics Engineers.
7. International Electrotechnical Commission (2008). IEC 80000-13:2008, Quantities and units, Part 13: Information science and technology (binary prefixes kibi, mebi, gibi).
8. Python Software Foundation. The Python Standard Library: bitwise operations on integer types. docs.python.org. https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#bitwise-operations-on-integer-types.

Artikel terkait

• Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK: Bilangan bulat: garis bilangan, operasi pada bilangan negatif, aturan habis dibagi, bilangan prima, FPB dan KPK, serta sisa pembagian, lengkap dengan latihan.
• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Bilangan Real: Pengertian, Jenis, Contoh, dan Sifat-sifatnya: Pengertian bilangan real, jenis (rasional dan irasional), contoh, sifat, dan garis bilangan, lengkap dengan latihan interaktif, pembuktian, dan FAQ.
• Eksponen dan Akar: Sifat Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Eksponen dan akar: lima sifat bilangan berpangkat, pangkat nol, negatif, dan pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut, dan notasi ilmiah, dengan latihan.