Aturan Rantai

Q: Apa itu aturan rantai dalam kalkulus?

Aturan rantai memberi turunan suatu fungsi komposit. Ia menyatakan untuk menurunkan fungsi luar pada fungsi dalam lalu mengalikannya dengan turunan fungsi dalam, sehingga turunan f dari g dari x adalah f aksen dari g dari x kali g aksen dari x.

Q: Bagaimana mengetahui kapan memakai aturan rantai?

Pakai ia bila satu fungsi diletakkan di dalam fungsi lain, seperti sinus dari dua x, e pangkat x kuadrat, atau pangkat dari suatu jumlah. Jika operasi terakhir pada x adalah fungsi yang diterapkan pada suatu ekspresi, dan bukan jumlah atau hasil kali bagian-bagian terpisah, ada rantai.

Q: Apa itu aturan luar-dalam?

Itu aturan rantai dengan kata-kata: turunkan fungsi luar dan hitung pada fungsi dalam yang dibiarkan, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam. Ia mengingatkan bahwa turunan fungsi luar dihitung pada fungsi dalam, bukan pada x.

Q: Berapa turunan sin 2x?

Turunannya dua kosinus dari dua x. Fungsi luarnya sinus, yang turunannya kosinus dihitung pada dua x, dan fungsi dalam dua x berturunan 2, sehingga faktor 2 muncul di depan. Melupakannya adalah kesalahan yang paling umum.

Q: Berapa turunan e pangkat x kuadrat?

Turunannya dua x kali e pangkat x kuadrat. Turunan e pangkat u adalah e pangkat u kali turunan u, dan di sini u adalah x kuadrat dengan turunan dua x. Aturan pangkat tidak berlaku untuk pangkat yang memuat x.

Q: Bagaimana memakai aturan rantai lebih dari sekali?

Kerjakan dari luar ke dalam, satu lapisan dalam satu waktu. Turunkan fungsi paling luar dengan semua yang ada di dalamnya dibiarkan, kalikan dengan turunan apa yang ada di dalamnya, dan terapkan aturan lagi pada itu, sampai bagian dalamnya hanya x. Tiap lapisan memberi satu faktor.

Q: Apa itu aturan rantai pangkat?

Itu aturan rantai untuk pangkat dari suatu fungsi: turunan u pangkat n adalah n kali u pangkat n dikurangi satu kali turunan u. Ia menangani pangkat dari jumlah, kebalikan, dan akar kuadrat dari ekspresi apa pun.

Q: Berapa turunan kedua fungsi komposit?

Turunan keduanya adalah f aksen ganda dari g kali kuadrat g aksen, ditambah f aksen dari g kali g aksen ganda. Aturan hasil kali membuat dua suku, dan aturan rantai pada f aksen dari g memberi faktor tambahan g aksen pada suku pertama.

Q: Apakah aturan rantai bekerja jika fungsi dalamnya tidak terdiferensialkan?

Aturan itu sendiri memerlukan fungsi dalam terdiferensialkan di tempat ia dipakai. Komposit itu mungkin tetap terdiferensialkan: kuadrat nilai mutlak x adalah x kuadrat, yang memiliki turunan di nol walaupun nilai mutlak tidak.

Diperbarui 15 Oktober 2026 19 menit baca Menengah Read in English

Kalkulus Pembuktian Komputasi

Jawaban singkat

Aturan rantai menyatakan bahwa turunan suatu fungsi komposit adalah turunan fungsi luar, dihitung pada fungsi dalam, dikali turunan fungsi dalam: (f\circ g)'(x)=f'(g(x))· g'(x). Dalam notasi Leibniz, dengan y=f(u) dan u=g(x), ia berbunyi (dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx): laju perubahan saling dikalikan. Itulah sebabnya (d)/(dx)\sin 2x=2\cos 2x dan (d)/(dx)e^x^2=2x e^x^2.

Poin penting

Fungsi komposit f(g(x)) memasukkan fungsi dalam g ke fungsi luar f; fungsi luar adalah hal terakhir yang dilakukan pada x, dan menemukan kedua lapisan itu adalah langkah pertama setiap soal aturan rantai.
(dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx): jika y berubah separuh secepat u dan u berubah tiga kali secepat x, maka y berubah \frac32 kali secepat x, seperti rangkaian roda gigi.
Aturan luar-dalam: turunkan fungsi luar dan biarkan fungsi dalam apa adanya, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam; misalnya (d)/(dx)e^u=e^u(du)/(dx) dan (d)/(dx)\sin u=\cos u (du)/(dx).
Aturan rantai pangkat (d)/(dx)u^n=n u^n-1(du)/(dx) menangani \left(5x^3-x^4\right)^7, (1)/(3x-2), \sin^5x, dan √(3x+1), dan memberi (d)/(dx)|x|=(x)/(|x|) untuk x\ne0.
Konstanta k di dalam sinus memunculkan faktor k: menggandakan frekuensi piston menggandakan kecepatannya, melipatempatkan percepatannya, dan mengalikan sentakannya dengan 8; dalam derajat faktornya (π)/(180).
Turunan kedua fungsi komposit adalah f''(g) (g')^2+f'(g) g'', bukan f''(g) g''; dan aturan ini memerlukan kedua fungsi terdiferensialkan di tempat ia dipakai.

Apa itu fungsi komposit, dan bagaimana menemukan fungsi dalam dan luarnya?

Fungsi komposit menerapkan satu fungsi pada hasil fungsi lain: (f\circ g)(x)=f(g(x)), dengan g adalah fungsi dalam, diterapkan lebih dulu, dan f adalah fungsi luar, diterapkan terakhir. Fungsi F(x)=\sin\left(x^2-4\right) adalah jenis ini. Ia tidak dapat diturunkan dengan aturan-aturan sejauh ini, tetapi ia dibangun dari dua fungsi yang dapat: fungsi luar f(u)=\sin u dan fungsi dalam u=g(x)=x^2-4.

Untuk menemukan lapisannya, tanyakan apa hal terakhir yang dilakukan pada x? Itulah fungsi luar. Apa yang dikenainya adalah fungsi dalam.

Fungsi	Luar f(u)	Dalam u=g(x)
\left(3x^2+1\right)^2	u^2	3x^2+1
\sin\left(x^2-4\right)	\sin u	x^2-4
e^\cos x	e^u	\cos x
√(3x+1)	√ u	3x+1
(1)/(3x-2)	u^-1	3x-2
\sin^5x	u^5	\sin x

Urutannya penting. f(g(x)) bukan g(f(x)): \sin\left(x^2\right) menaruh kuadrat di dalam sinus, sedangkan \sin^2x=(\sin x)^2 menaruh sinus di dalam kuadrat. Di x=2 keduanya \sin4≈-0,757 dan \sin^22≈0,827.

Lebih dari dua lapisan. Fungsi \tan\left(5-\sin2x\right) adalah tangen dari 5-\sin2x, yaitu 5 dikurangi sinus dari 2x, yaitu dua kali x. Mengupasnya seperti bawang memberi empat lapisan: tangen, "5 dikurangi", sinus, dan "dua kali". Tiap lapisan akan menambah satu faktor pada turunannya.

Tidak setiap kombinasi adalah komposisi. x^2\sin x adalah hasil kali dua fungsi dari x, dan x^2+\sin x adalah jumlah: keduanya tidak menaruh satu fungsi di dalam fungsi lain, sehingga aturan hasil kali dan aturan jumlahlah yang dipakai. Satu fungsi dapat memerlukan keduanya, seperti x\sin2x.

Apa itu aturan rantai?

Aturan rantai menyatakan bahwa jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di g(x), maka f\circ g terdiferensialkan di x dan (f\circ g)'(x)=f'(g(x))· g'(x). Dalam notasi Leibniz, dengan y=f(u) dan u=g(x), (dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx), dengan (dy)/(du) dihitung pada u=g(x).

Mengapa laju saling dikalikan. Tiga roda gigi dipasang berderet. Saat roda A berputar x kali, roda B berputar u=3x kali, karena B berputar tiga kali untuk tiap putaran A, dan roda C berputar y=u/2 kali, karena C berputar setengah putaran untuk tiap putaran B. Jadi y=(3x)/(2) dan (dy)/(dx)=\frac32=\frac12·3=(dy)/(du)·(du)/(dx). Jika y berubah separuh secepat u dan u berubah tiga kali secepat x, maka y berubah \frac32 kali secepat x. Untuk kurva hal yang sama berlaku saat demi saat: gradien komposit di x adalah laju fungsi luar di titik g(x) yang telah dicapai fungsi dalam dikali laju fungsi dalam di x.

Aturan luar-dalam. Dengan kata-kata: turunkan fungsi luar dan hitung pada fungsi dalam yang dibiarkan apa adanya, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam. Bentuk Leibniz menyembunyikan di mana tiap turunan dihitung; bentuk fungsional f'(g(x))· g'(x) menunjukkannya: f' di g(x), bukan di x.

Contoh 1. Tentukan turunan y=\left(3x^2+1\right)^2. Fungsi luarnya y=u^2 dan fungsi dalamnya u=3x^2+1, sehingga (dy)/(du)=2u=2\left(3x^2+1\right) dan (du)/(dx)=6x: (dy)/(dx)=2\left(3x^2+1\right)·6x=36x^3+12x. Menjabarkan lebih dulu memberi y=9x^4+6x^2+1 dan 36x^3+12x yang sama. Aturan rantai tidak diperlukan untuk yang satu ini, tetapi diperlukan untuk \left(3x^2+1\right)^50.

Contoh 2. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan posisi x(t)=\cos\left(t^2+1\right) pada waktu t\ge0. Fungsi luarnya \cos u, berturunan -\sin u, dan fungsi dalamnya u=t^2+1, berturunan 2t. Kecepatannya v=-\sin\left(t^2+1\right)·2t =-2t\sin\left(t^2+1\right).

Bukti satu kasus, dan celahnya. Misalkan \Delta u=g(x+\Delta x)-g(x) dan \Delta y=f(u+\Delta u)-f(u). Jika \Delta u\ne0 kita dapat menulis (\Delta y)/(\Delta x)=(\Delta y)/(\Delta u)·(\Delta u)/(\Delta x). Saat \Delta x→0 kita juga punya \Delta u→0, karena g kontinu, sehingga ruas kanan menuju f'(u)· g'(x). Celahnya adalah bahwa jika g berosilasi cepat di dekat x, \Delta u dapat bernilai 0 walaupun \Delta x\ne0, dan pencoretan itu tidak diperbolehkan. Bukti lengkap menghindari pembagian dengan \Delta u: ia menulis \Delta y=\left(f'(u)+\varepsilon\right)\Delta u, dengan \varepsilon→0 saat \Delta u→0 dan \varepsilon=0 saat \Delta u=0. Bentuk itu benar dalam setiap kasus.

Pilih fungsi luar dan fungsi dalam di bawah, geser x, dan bandingkan hasil kali kedua laju dengan gradien grafik komposit.

Interaktif: laju saling dikalikan

Pilih fungsi luar dan fungsi dalam, geser x, dan lihat bahwa laju bagian dalam dikali laju bagian luar adalah gradien grafik komposit.

Bagaimana menurunkan sin u, e^u, dan fungsi lain dari suatu fungsi?

Untuk setiap fungsi u(x) yang terdiferensialkan, tiap rumus untuk x mendapat satu faktor tambahan (du)/(dx): (d)/(dx)\sin u=\cos u·(du)/(dx), (d)/(dx)\cos u=-\sin u·(du)/(dx), (d)/(dx)e^u=e^u·(du)/(dx), dan seterusnya. Aturan rantai mengubah tabel turunan fungsi trigonometri menjadi tabel untuk fungsi dalam apa pun:

(d)/(dx)\sin u=\cos u· u' dan (d)/(dx)\cos u=-\sin u· u';
(d)/(dx)\tan u=\sec^2u· u' dan (d)/(dx)\cot u=-\csc^2u· u';
(d)/(dx)\sec u=\sec u\tan u· u' dan (d)/(dx)\csc u=-\csc u\cot u· u';
(d)/(dx)e^u=e^u· u'.

Contoh 3. Turunkan \sin\left(x^2+e^x\right). Fungsi luarnya sinus, fungsi dalamnya x^2+e^x, dan fungsi dalam itu berturunan 2x+e^x: (d)/(dx)\sin\left(x^2+e^x\right) =\cos\left(x^2+e^x\right)·\left(2x+e^x\right).

Contoh 4. Turunkan y=e^\cos x. Fungsi luarnya eksponensial, dan turunannya di fungsi dalam \cos x adalah e^\cos x lagi. Fungsi dalamnya berturunan -\sin x: (dy)/(dx)=e^\cos x·(-\sin x)=-\sin x e^\cos x.

Konstanta di dalam. Untuk konstanta k fungsi dalam kx berturunan k, sehingga (d)/(dx)e^kx=k e^kx (d)/(dx)\sin(kx)=k\cos(kx) (d)/(dx)\tan(4x)=4\sec^2(4x). Juga (d)/(dx)e^x^2=e^x^2·2x dan (d)/(dx)\sec\left(x^2\right)=2x\sec\left(x^2\right)\tan\left(x^2\right). Aturan rantai bekerja bersama aturan lain: untuk x\sin2x aturan hasil kali memberi \sin2x+x·(d)/(dx)\sin2x=\sin2x+2x\cos2x.

Ketik fungsi apa saja di bawah yang dibangun dari bagian-bagian ini, dan baca tiap aturan yang dipakai, dengan fungsi luar dan fungsi dalamnya.

Interaktif: menurunkan fungsi komposit

Ketik fungsi yang dibangun dari pangkat, e^u, sin, cos, tan, cot, sec, csc, dan akar kuadrat dari fungsi lain, lalu lihat tiap langkah aturan rantai dengan fungsi luar dan fungsi dalamnya, turunan dan turunan tingkat tingginya, dicocokkan dengan hasil bagi selisih.

Apa yang dilakukan bila fungsi bersarang tiga lapis atau lebih?

Terapkan aturan rantai sekali untuk tiap lapisan, dari luar ke dalam: turunkan fungsi paling luar dengan semua yang ada di dalamnya dibiarkan, kalikan dengan turunan apa yang ada di dalamnya, dan ulangi pada itu sampai bagian dalamnya hanya x. Tulis dulu lapisannya, dan turunannya adalah hasil kali dengan satu faktor untuk tiap lapisan.

Contoh 5. Tentukan turunan g(t)=\tan\left(5-\sin2t\right). Tangen adalah fungsi dari 5-\sin2t; sinus adalah fungsi dari 2t, yang sendiri adalah fungsi dari t. Kupas lapisannya: g'(t)=\sec^2\left(5-\sin2t\right) ·(d)/(dt)\left(5-\sin2t\right) =\sec^2\left(5-\sin2t\right) ·\left(-\cos2t·(d)/(dt)(2t)\right) =-2\cos2t \sec^2\left(5-\sin2t\right).

Contoh 6. Fungsi \sin\left(\cos(\tan x)\right) memiliki tiga lapisan, sehingga tiga faktor: (d)/(dx)\sin\left(\cos(\tan x)\right) =\cos\left(\cos(\tan x)\right) ·\left(-\sin(\tan x)\right)·\sec^2x. Tiap faktor adalah turunan satu lapisan dengan lapisan di dalamnya dibiarkan: kosinus dari kosinus, minus sinus dari tangen, dan sekan kuadrat.

Contoh 7. Untuk y=√(1+\cos^2x) lapisannya adalah akar kuadrat, "1 ditambah", kuadrat, dan kosinus: y'=(1)/(2√(1+\cos^2x))·2\cos x·(-\sin x) =-(\sin x\cos x)/(√(1+\cos^2x)).

Coba fungsi pada Contoh 5, dan fungsi apa saja milikmu, pada alat di bagian sebelumnya: ia mendaftar satu langkah aturan rantai untuk tiap lapisan.

Apa itu aturan rantai pangkat, dan kapan ia menggantikan aturan hasil bagi?

Jika u adalah fungsi x yang terdiferensialkan dan n bilangan real mana pun, maka (d)/(dx)u^n=n u^n-1 (du)/(dx). Ini adalah aturan rantai dengan fungsi luar f(u)=u^n, yang turunannya adalah aturan pangkat nu^n-1. Fungsi dalam u boleh fungsi apa pun: jumlah, sinus, hasil bagi.

Contoh 8. Empat turunan dengan aturan rantai pangkat.

(d)/(dx)\left(5x^3-x^4\right)^7=7\left(5x^3-x^4\right)^6·\left(15x^2-4x^3\right).
(d)/(dx)(1)/(3x-2)=(d)/(dx)(3x-2)^-1=-(3x-2)^-2·3=-(3)/((3x-2)^2). Aturan hasil bagi memberi jawaban yang sama, dengan lebih banyak tulisan.
(d)/(dx)\sin^5x=5\sin^4x·\cos x, karena \sin^5x berarti (\sin x)^5.
(d)/(dx)e^√(3x+1)=e^√(3x+1)·(d)/(dx)(3x+1)^1/2=e^√(3x+1)·(3)/(2√(3x+1)). Dua lapisan berada di dalam eksponensial, sehingga ada dua langkah rantai.

Contoh 9: nilai mutlak. Karena |x|=√(x^2), aturan rantai pangkat dengan u=x^2 dan n=\frac12 memberi, untuk x\ne0, (d)/(dx)|x|=\frac12\left(x^2\right)^-1/2·2x =(x)/(√(x^2))=(x)/(|x|). Itu 1 untuk x>0 dan -1 untuk x<0. Di x=0 rumusnya tak terdefinisi, yang sesuai dengan sudut pada grafiknya, titik tempat tidak ada turunan.

Contoh 10: selalu menanjak. Tunjukkan bahwa setiap garis singgung pada y=(1)/((1-2x)^3) bergradien positif. Tulis y=(1-2x)^-3. Maka (dy)/(dx)=-3(1-2x)^-4·(-2)=(6)/((1-2x)^4). Di setiap titik pada kurva x\ne\frac12, sehingga penyebutnya pangkat empat dan positif: gradiennya adalah hasil bagi dua bilangan positif.

Satu lagi yang berguna. (d)/(dx)√(x^2+1)=(1)/(2√(x^2+1))·2x=(x)/(√(x^2+1)), yaitu gradien kurva yang titik-titiknya setinggi √(x^2+1) di atas sumbu, sebuah hiperbola.

Bagaimana aturan rantai menjelaskan frekuensi, amplitudo, dan derajat?

Konstanta k di dalam sinus mengalikan turunannya dengan k: (d)/(dx)\sin(kx)=k\cos(kx), sehingga gelombang yang berosilasi k kali secepat itu k kali lebih curam. Fungsi dalam kx berturunan k, dan tidak ada lagi yang berubah. Kurva y=\sin x, y=\sin2x, dan y=\sinx/2 memotong sumbu di titik asal dengan gradien 1, 2, dan \frac12.

sin x (hijau), sin 2x (jingga), dan sin(x/2) (biru): di titik asal gradiennya 1, 2, dan 1/2, yaitu konstanta di dalamnya.

Turunan tingkat tinggi. Setiap turunan \sin(kx) memunculkan satu faktor k lagi, sehingga turunannya mengikuti siklus empat dengan k^n di depannya: k\cos(kx), lalu -k^2\sin(kx), lalu -k^3\cos(kx), lalu k^4\sin(kx).

Sebuah piston. Misalkan posisi sebuah piston s=A\cos(2π bt), dengan amplitudo A dan frekuensi b siklus per detik. Ambil w=2π b. Maka v=-wA\sin(wt) a=-w^2A\cos(wt) j=w^3A\sin(wt), sehingga kecepatan, percepatan, dan sentakan terbesarnya wA, w^2A, dan w^3A. Menggandakan frekuensi menggandakan kecepatan, melipatempatkan percepatan, dan mengalikan sentakan dengan 8. Inilah sebabnya mesin dapat rusak bila dijalankan terlalu cepat: gaya, yang mengikuti percepatan, tumbuh sebesar kuadrat kecepatan geraknya. Gerak sepanjang garis lurus pada pegas adalah kasus b=(1)/(2π).

Suhu di Fairbanks, Alaska. Suhu rata-rata pada hari ke-x dalam setahun, dalam derajat Celsius, kira-kira y=20\sin\left((2π)/(365)(x-101)\right)-4. Dengan aturan rantai laju perubahannya y'=(40π)/(365)\cos\left((2π)/(365)(x-101)\right). Suhu naik paling cepat saat kosinus sama dengan 1, di x=101, yaitu 11 April, dan saat itu ia naik (40π)/(365)≈0,34 derajat per hari. Faktor (40π)/(365) adalah amplitudo 20 kali konstanta di dalam, (2π)/(365).

Derajat. Karena x^\circ=(π x)/(180) radian, fungsi dalam \sin\left(x^\circ\right) adalah (π x)/(180), dan (d)/(dx)\sin\left(x^\circ\right)=(π)/(180)\cos\left(x^\circ\right). Sinus x derajat berosilasi hanya (π)/(180)≈0,01745 kali sesering \sin x, dan gradien terbesarnya (π)/(180). Faktor itu akan muncul lagi pada setiap turunan, yaitu keuntungan ukuran radian yang sudah ditunjukkan oleh limit sin h per h.

Ubah k, ganti ke derajat, atau gandakan frekuensi piston di bawah.

Interaktif: konstanta di dalam sinus

Ubah k pada A sin(kx) dan lihat gradien membesar dengan faktor k, ganti ke derajat untuk melihat faktor π/180, atau gandakan frekuensi piston dan lihat kecepatan, percepatan, dan sentakannya membesar 2, 4, dan 8 kali.

Bagaimana mencari turunan kedua fungsi komposit?

Turunkan f'(g(x))· g'(x) dengan aturan hasil kali, dan aturan rantai pada faktor pertamanya, dan kamu mendapat (f\circ g)''=f''(g(x))·\left(g'(x)\right)^2+f'(g(x))· g''(x). Inilah langkahnya. Turunan pertamanya y'=f'(g) g'. Aturan hasil kali memberi y''=\left((d)/(dx)f'(g)\right)g'+f'(g) g''. Dengan aturan rantai (d)/(dx)f'(g)=f''(g) g', sehingga suku pertamanya f''(g) g'· g'=f''(g)\left(g'\right)^2. Ada dua suku karena fungsi dalam masuk dua kali: sekali lewat lajunya g' dan sekali lewat laju perubahannya sendiri g''.

Contoh 11. Tentukan y'' untuk y=\sin\left(x^2\right). Dengan f=\sin dan g=x^2: f'(g)=\cos\left(x^2\right), g'=2x, f''(g)=-\sin\left(x^2\right), g''=2. Jadi y'=2x\cos\left(x^2\right), y''=-\sin\left(x^2\right)·4x^2+\cos\left(x^2\right)·2 =2\cos\left(x^2\right)-4x^2\sin\left(x^2\right).

Contoh 12. Untuk y=\left(x^2+1\right)^3 ambil f=u^3 dan g=x^2+1: f'=3u^2, f''=6u, g'=2x, g''=2. Maka y''=6\left(x^2+1\right)·4x^2 +3\left(x^2+1\right)^2·2 =30x^4+36x^2+6. Menjabarkan lebih dulu memberi y=x^6+3x^4+3x^2+1 dan y''=30x^4+36x^2+6, sama saja.

Kekeliruan yang umum adalah menulis f''(g)· g'' untuk turunan kedua. Suku f'(g) g'' hilang, dan faktor \left(g'\right)^2 juga. Bila fungsi dalamnya garis lurus g=ax+b, maka g''=0 dan hanya f''(g)· a^2 yang tersisa: itulah sebabnya (d^2)/(dx^2)\sin(kx)=-k^2\sin(kx).

Alat pada bagian fungsi bersarang juga menampilkan turunan kedua dan ketiga dari apa yang kamu ketik.

Kapan aturan rantai berlaku, dan apa yang terjadi bila tidak?

Aturan rantai adalah pernyataan jika: jika fungsi dalam terdiferensialkan di x dan fungsi luar terdiferensialkan di g(x), maka komposit terdiferensialkan dan rumusnya berlaku. Ia tidak menyatakan apa yang terjadi bila suatu syarat gagal, dan dalam hal itu komposit mungkin atau mungkin tidak terdiferensialkan.

Contoh 13: fungsi dalam tidak terdiferensialkan, komposit terdiferensialkan. Misalkan f(x)=x^2 dan g(x)=|x|. Baik f\circ g maupun g\circ f sama dengan x^2, karena |x|^2=x^2 dan \left|x^2\right|=x^2, dan keduanya terdiferensialkan di x=0 walaupun g=|x| tidak. Ini tidak bertentangan dengan aturan rantai: aturan itu memerlukan g terdiferensialkan di 0, dan tidak menyatakan komposit tidak terdiferensialkan bila tidak demikian.

Turunan yang tidak kontinu. Tinjau f(x)=x^2\sin\frac1x untuk x\ne0, dengan f(0)=0. Untuk x\ne0 aturan rantai pada \sin\frac1x dan aturan hasil kali memberi f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x. Di x=0 fungsi dalam \frac1x tidak ada, sehingga aturan rantai tidak dapat dipakai; kita kembali ke definisi. Hasil baginya (h^2\sin(1/h))/(h)=h\sin\frac1h, dan karena \left|h\sin\frac1h\right|\le|h| ia menuju 0: f'(0)=0. Namun f'(x) tidak memiliki limit saat x→0, karena \cos\frac1x berosilasi di antara -1 dan 1. Jadi f terdiferensialkan di mana-mana, dan turunannya tidak kontinu di 0.

Fungsi yang kontinu tetapi tidak memiliki turunan. Untuk x\sin\frac1x (dan 0 di 0) hasil bagi di 0 adalah \sin\frac1h, yang berosilasi dan tidak memiliki limit: fungsi itu kontinu di 0 dan tidak terdiferensialkan di sana. Inilah jenis osilasi cepat yang menyebabkan celah pada bukti aturan rantai.

Bagaimana menerapkan aturan rantai dalam kode?

**SymPy menerapkan aturan rantai pada fungsi komposit apa pun: sp.diff(sp.sin(2x), x) memberi 2cos(2*x), dan sp.diff(f, x, 2) memberi turunan kedua. Ia menulis \sec^2u sebagai `tan(u)2 + 1, fungsi yang sama. Angka-angka pada contoh di atas keluar sebagaimana mestinya: (3*x2 + 1)2 berturunan 12x(3*x**2 + 1), dan sp.simplify mengubah turunan (5*x3 - x4)7 menjadi x20(105 - 28x)*(x - 5)**6`, yaitu 7\left(5x^3-x^4\right)^6\left(15x^2-4x^3\right) dengan faktor persekutuan dikumpulkan.

Python dan SymPy: aturan rantai pada fungsi komposit

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
for f in (sp.sin(2 * x), (3 * x**2 + 1) ** 2, sp.exp(sp.cos(x)),
          sp.sin(x**2 + sp.exp(x)), sp.sqrt(3 * x + 1), sp.tan(5 - sp.sin(2 * x))):
    print(f, '->', sp.diff(f, x))
# sin(2*x) -> 2*cos(2*x)
# (3*x**2 + 1)**2 -> 12*x*(3*x**2 + 1)
# exp(cos(x)) -> -exp(cos(x))*sin(x)
# sin(x**2 + exp(x)) -> (2*x + exp(x))*cos(x**2 + exp(x))
# sqrt(3*x + 1) -> 3/(2*sqrt(3*x + 1))
# -tan(sin(2*x) - 5) -> -2*(tan(sin(2*x) - 5)**2 + 1)*cos(2*x)

print(sp.diff(sp.sin(x**2), x, 2))                    # 2*(-2*x**2*sin(x**2) + cos(x**2))
print(sp.simplify(sp.diff((5 * x**3 - x**4) ** 7, x)))   # x**20*(105 - 28*x)*(x - 5)**6

Sebuah program dapat menerapkan aturan rantai pada bilangan dan bukan rumus. Bawa bersama setiap nilai turunannya, sepasang (v,d), dan beri tiap operasi aturan rantainya: untuk sinus, (v,d)\mapsto\left(\sin v, \cos v· d\right), yaitu f'(u)· u' lagi. Mulai dengan x=(0,7;1), karena x berturunan 1, dan program menghitung \sin\left(x^2+e^x\right) dan turunannya sekaligus. Inilah diferensiasi otomatis mode maju. Hasilnya -2,742554, sama dengan rumus \cos\left(x^2+e^x\right)\left(2x+e^x\right) di x=0,7 dan sama dengan selisih terpusat.

Menerapkan aturan itu dari luar ke dalam, pada program dengan jutaan langkah, adalah diferensiasi otomatis mode mundur, yang dilakukan propagasi balik dalam jaringan saraf: satu lintasan menghitung keluaran, dan satu lintasan balik mengalikan laju tiap lapisan.

Python: penurunan mode maju dengan pasangan (nilai, turunan)

import math

f = lambda x: math.sin(x**2 + math.exp(x))
x0 = 0.7
chain = math.cos(x0**2 + math.exp(x0)) * (2 * x0 + math.exp(x0))     # the formula
central = (f(x0 + 1e-6) - f(x0 - 1e-6)) / 2e-6                       # a difference quotient
print(round(chain, 6), round(central, 6))                            # -2.742554 -2.742554


class Dual:
    """A number and its derivative, carried together."""
    def __init__(self, v, d=0.0):
        self.v, self.d = v, d
    def __add__(self, o):
        o = o if isinstance(o, Dual) else Dual(o)
        return Dual(self.v + o.v, self.d + o.d)
    __radd__ = __add__
    def __mul__(self, o):
        o = o if isinstance(o, Dual) else Dual(o)
        return Dual(self.v * o.v, self.d * o.v + self.v * o.d)     # the product rule
    __rmul__ = __mul__

def sin(u): return Dual(math.sin(u.v), math.cos(u.v) * u.d)        # the chain rule: f'(u) * u'
def exp(u): return Dual(math.exp(u.v), math.exp(u.v) * u.d)

x = Dual(0.7, 1.0)                                                  # x has derivative 1
y = sin(x * x + exp(x))
print(round(y.v, 6), round(y.d, 6))                                 # 0.595461 -2.742554

C++

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

// A dual number is {value, derivative}: the two travel together through every operation.
void add(const double a[], const double b[], double r[]) { r[0] = a[0] + b[0]; r[1] = a[1] + b[1]; }
void mul(const double a[], const double b[], double r[]) {
  r[0] = a[0] * b[0];
  r[1] = a[1] * b[0] + a[0] * b[1];                    // the product rule
}
void dsin(const double u[], double r[]) { r[0] = sin(u[0]); r[1] = cos(u[0]) * u[1]; }   // the chain rule: f'(u) u'
void dexp(const double u[], double r[]) { r[0] = exp(u[0]); r[1] = exp(u[0]) * u[1]; }

double f(double x) { return sin(x * x + exp(x)); }

int main() {
  double x0 = 0.7;
  double chain = cos(x0 * x0 + exp(x0)) * (2 * x0 + exp(x0));              // the formula
  double central = (f(x0 + 1e-6) - f(x0 - 1e-6)) / 2e-6;                    // a difference quotient
  printf("%.6f %.6f\n", chain, central);

  double x[2] = {0.7, 1};                              // x has derivative 1
  double xx[2], e[2], s[2], y[2];
  mul(x, x, xx);
  dexp(x, e);
  add(xx, e, s);
  dsin(s, y);                                          // y = sin(x * x + exp(x))
  printf("%.6f %.6f\n", y[0], y[1]);
  return 0;
}

/* output:
-2.742554 -2.742554
0.595461 -2.742554
*/

Siapa yang menemukan aturan rantai, dan bagaimana ia pertama dibuktikan?

Aturan rantai setua kalkulus, tetapi bukti tanpa celah memerlukan sekitar dua abad lagi.

Leibniz. Aturan rantai tampaknya pertama kali dipakai oleh Gottfried Leibniz, dalam naskah tahun 1676, untuk menurunkan akar kuadrat dari a+bz+cz^2 sebagai akar kuadrat dari kuadrat. Notasinya (dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx) membuat aturan itu tampak seperti pecahan yang saling mencoret, itulah sebabnya ia mudah diingat, dan itulah sebabnya ia bukan bukti.
Bernoulli dan l'Hôpital. Johann Bernoulli mengajarkan kalkulus baru kepada Marquis de l'Hôpital, yang buku teksnya pada 1696, Analyse des infiniment petits, menyebarkannya ke seluruh Eropa.
Lagrange. Notasi aksen f'(x), yang menulis aturan rantai sebagai f'(g(x))· g'(x) dan menunjukkan di mana tiap turunan diambil, diperkenalkan oleh Joseph-Louis Lagrange.
Bukti tanpa celah. Pada abad ke-20 cara Constantin Carathéodory mendefinisikan turunan, f(x)-f(a)=φ(x)(x-a) dengan φ kontinu di a, memberi bukti singkat aturan rantai yang tidak pernah membagi dengan \Delta u.
Propagasi balik. Menerapkan aturan itu dari keluaran kembali ke masukan suatu perhitungan, dalam mode mundur, diuraikan oleh Seppo Linnainmaa pada 1970, dan David Rumelhart, Geoffrey Hinton, dan Ronald Williams menjadikannya cara baku melatih jaringan saraf pada 1986.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada aturan rantai?

Kesalahan paling umum pada aturan rantai adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Kesalahan	Yang benar
❌ (d)/(dx)\sin2x=\cos2x	Turunan fungsi dalam adalah faktor: (d)/(dx)\sin2x=2\cos2x.
❌ (d)/(dx)\left(x^2+1\right)^5=5\left(x^2+1\right)^4	Aturan pangkat hanya memberi fungsi luar: kalikan dengan 2x untuk mendapat 10x\left(x^2+1\right)^4.
❌ (d)/(dx)e^2x=2x e^2x-1	Pangkatnya memuat x, sehingga aturan pangkat tidak berlaku. Turunan e^u adalah e^u· u', yaitu 2e^2x.
❌ (d)/(dx)\cos\left(x^2\right)=-\sin x·2x	Turunan fungsi luar dihitung pada fungsi dalam, bukan pada x: -\sin\left(x^2\right)·2x.
❌ (d)/(dx)\sin^2x=2\sin x	Ada dua lapisan, kuadrat dan sinus: 2\sin x·\cos x.
❌ Turunan kedua f(g(x)) adalah f''(g(x))· g''(x)	Yang benar f''(g)\left(g'\right)^2+f'(g) g'': suku kedua dan kuadratnya hilang.
❌ (f\circ g)'=f'\circ g', komposisi turunan-turunan	Ia hasil kali: f'(g(x))· g'(x), dengan f' diambil di g(x).
❌ Jika g tidak terdiferensialkan di a, maka f(g(x)) juga tidak	Belum tentu: dengan g=\|x\| dan f=x^2 komposit itu x^2, terdiferensialkan di 0.
❌ (d)/(dx)\sin\left(x^\circ\right)=\cos\left(x^\circ\right)	Fungsi dalam (π x)/(180) menambah faktor: (π)/(180)\cos\left(x^\circ\right).

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Benar atau salah?

Tentukan tiap pernyataan Benar atau Salah.

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))· g'(x).
(d)/(dx)\sin3x=3\cos3x.
(d)/(dx)e^x^2=e^x^2.
(d)/(dx)\left(x^2+1\right)^5=5\left(x^2+1\right)^4.
Jika g tidak terdiferensialkan di a, maka f(g(x)) tidak mungkin terdiferensialkan di a.
(d)/(dx)\sin^2x=2\sin x\cos x.

Pilih semua yang benar

Pilih semua turunan yang benar.

(d)/(dx)\cos5x=-5\sin5x
(d)/(dx)e^-x=-e^-x
(d)/(dx)√(x^2+1)=(x)/(√(x^2+1))
(d)/(dx)\tan\left(x^2\right)=2x\sec^2\left(x^2\right)
(d)/(dx)\sin\left(x^2\right)=\cos\left(x^2\right)

Pangkat dari suatu jumlah

Untuk y=\left(3x^2+1\right)^2 tentukan y'(1).

Konstanta di dalam sinus

Tentukan gradien y=\sin2x di x=0.

Selalu menanjak

Tentukan gradien y=(1)/((1-2x)^3) di x=0.

Luar pada dalam

Berapa (d)/(dx)\cos\left(x^2\right)?

-2x\sin\left(x^2\right)
-\sin\left(x^2\right)
-2x\sin x
2x\cos x

Turunan kedua

Untuk y=\sin\left(x^2\right) tentukan y''(0).

Rumus turunan kedua

Berapa (d^2)/(dx^2)f(g(x))?

f''(g)\left(g'\right)^2+f'(g) g''
f''(g) g''
f''(g)\left(g'\right)^2
f'(g) g''

Piston yang lebih cepat

Sebuah piston bergerak sebagai s=A\cos(2π bt). Berapa kali lipat percepatan terbesarnya bertambah bila frekuensi b digandakan?

Kenaikan tercepat

Suhu adalah y=20\sin\left((2π)/(365)(x-101)\right)-4 pada hari ke-x. Pada hari ke berapa ia naik paling cepat?

Kosinus dalam derajat

Berapa (d)/(dx)\cos\left(x^\circ\right)?

-\sin\left(x^\circ\right)
-(π)/(180)\sin\left(x^\circ\right)
(π)/(180)\sin\left(x^\circ\right)
-(180)/(π)\sin\left(x^\circ\right)

Turunan di titik asal

Misalkan f(x)=x^2\sin\frac1x untuk x\ne0 dan f(0)=0. Berapa f'(0)?

0
1
tidak ada
-1

Ringkasan: aturan rantai sekilas

Aturannya: (f\circ g)'(x)=f'(g(x))· g'(x), atau (dy)/(dx)=(dy)/(du)·(du)/(dx): turunkan fungsi luar dengan fungsi dalam dibiarkan, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.
Lapisan: temukan fungsi luar dengan bertanya apa yang dilakukan terakhir pada x; dengan tiga lapisan atau lebih, satu faktor untuk tiap lapisan, dari luar ke dalam.
Rumus: (\sin u)'=\cos u· u', (e^u)'=e^u· u', \left(u^n\right)'=n u^n-1u', dan begitu pula untuk fungsi lainnya.
Konstanta di dalam: (d)/(dx)\sin(kx)=k\cos(kx); menggandakan frekuensi piston mengalikan kecepatan, percepatan, dan sentakan dengan 2, 4, 8; dalam derajat faktornya (π)/(180).
Turunan kedua: f''(g)\left(g'\right)^2+f'(g) g''.
Batas aturan: kedua fungsi harus terdiferensialkan di tempat ia dipakai; komposit dapat terdiferensialkan bila fungsi dalamnya tidak, seperti |x|^2.
Kode: sp.diff untuk rumus; sepasang (v,d) dengan f'(u)· u' untuk bilangan.

Glosarium: istilah penting

Fungsi komposit: Fungsi yang dibentuk dengan menerapkan satu fungsi pada keluaran fungsi lain, ditulis f dari g dari x, dengan fungsi dalam g diterapkan lebih dulu dan fungsi luar f terakhir.
Fungsi dalam: Fungsi dalam suatu komposit yang diterapkan lebih dulu, sehingga keluarannya menjadi masukan fungsi luar; ia adalah u pada y sama dengan f dari u.
Fungsi luar: Fungsi pada suatu komposit yang diterapkan terakhir, pada hasil fungsi dalam; ia adalah f pada y sama dengan f dari u.
Aturan rantai: Aturan bahwa turunan suatu fungsi komposit adalah turunan fungsi luar yang dihitung pada fungsi dalam, dikali turunan fungsi dalam.
Aturan rantai pangkat: Aturan rantai untuk pangkat dari suatu fungsi: turunan u pangkat n adalah n kali u pangkat n dikurangi 1 kali turunan u.
Frekuensi: Banyak siklus lengkap yang dibuat suatu osilasi per satuan waktu; pada sinus dari 2 pi b t nilainya b, dan setiap turunan mengalikan gerak dengan 2 pi b.
Diferensiasi otomatis: Cara menghitung turunan eksak suatu program dengan membawa turunan bersama setiap nilai dan menerapkan aturan rantai pada setiap operasi.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu aturan rantai dalam kalkulus?