Diferensiasi Implisit

Apa itu fungsi implisit, dan mengapa tidak selalu dapat menyelesaikan untuk y?

Fungsi implisit adalah fungsi yang didefinisikan oleh persamaan dalam x dan y tanpa memberi y dengan rumus: y adalah bilangan apa pun yang membuat persamaan itu benar. Kebanyakan fungsi sejauh ini eksplisit, y=f(x), dengan y sendirian di satu ruas. Tiga persamaan berikut berbeda:

• y^2=x memberi dua nilai y untuk tiap x>0, yaitu √ x dan -√ x;
• x^2+y^2=25, lingkaran berjari-jari 5, memberi y=√(25-x^2) atau y=-√(25-x^2);
• x^3+y^3=9xy, folium Descartes, adalah kubik dalam y yang tiga penyelesaiannya tidak punya rumus sederhana.

Masing-masing adalah relasi, bukan fungsi: satu nilai x dapat memiliki lebih dari satu y. Tetapi kurvanya dapat dipotong menjadi busur-busur, dan tiap busur adalah grafik fungsi x yang terdiferensialkan, misalnya setengah bawah lingkaran yang melalui (3,-4).

Mengapa ini penting. Gradien kurva seperti itu tetap turunan busur-busur tersebut, dan aturan turunan akan menemukannya bila kita dapat menurunkan persamaannya sendiri dan bukan rumus untuk y. Itulah diferensiasi implisit. Ia satu-satunya cara untuk folium, dan untuk lingkaran ia lebih singkat daripada cara eksplisit.

Asumsinya. Pada setiap contoh persamaan diasumsikan menentukan y sebagai fungsi x yang terdiferensialkan di dekat titik yang ditinjau, sehingga (dy)/(dx) ada. Bagian tentang apa yang dapat salah menjelaskan kapan hal itu gagal.

Bagaimana diferensiasi implisit bekerja?

Untuk menurunkan secara implisit, turunkan kedua ruas persamaan terhadap x, dengan memperlakukan y sebagai fungsi x yang terdiferensialkan, kumpulkan suku-suku dengan (dy)/(dx) di satu ruas, dan selesaikan untuk (dy)/(dx).

1. Turunkan kedua ruas terhadap x, dengan memperlakukan y sebagai fungsi x yang terdiferensialkan.
2. Kumpulkan suku-suku dengan (dy)/(dx) di satu ruas dan selesaikan untuk (dy)/(dx).

Dari mana faktor itu berasal. Kata memperlakukan adalah aturan rantai. Dengan y=f(x), y^2 adalah fungsi komposit: fungsi luarnya kuadrat dan fungsi dalamnya y, sehingga (d)/(dx)y^2=2y·(dy)/(dx). Secara umum setiap fungsi dari y mendapat satu faktor tambahan y': (d)/(dx)f(y)=f'(y)·(dy)/(dx), dan hasil kali seperti xy memerlukan aturan hasil kali: (d)/(dx)(xy)=y+x (dy)/(dx). Fungsi dari x saja tidak mendapat faktor.

Contoh 1. Tentukan (dy)/(dx) jika y^2=x. Persamaan itu mendefinisikan dua fungsi yang dapat kita tulis, y=√ x dan y=-√ x untuk x>0, dengan turunan (1)/(2√ x) dan -(1)/(2√ x). Tetapi tanpa mengetahuinya, turunkan kedua ruas: 2y (dy)/(dx)=1, (dy)/(dx)=(1)/(2y). Satu rumus memberi keduanya: (1)/(2y)=(1)/(2√ x) bila y=√ x dan (1)/(2y)=-(1)/(2√ x) bila y=-√ x.

Contoh 2. Tentukan gradien lingkaran x^2+y^2=25 di titik (3,-4). Turunkan: 2x+2y (dy)/(dx)=0, (dy)/(dx)=-x/y. Di (3,-4) gradiennya -(3)/(-4)=\frac34. Cara eksplisit setuju: setengah lingkaran bawah adalah y=-√(25-x^2), yang turunannya (x)/(√(25-x^2)) bernilai \frac34 di x=3. Perhatikan bahwa rumus eksplisit hanya berlaku pada setengah lingkaran itu, tetapi -\frac xy berlaku di mana-mana pada lingkaran kecuali di tempat y=0, dan bahwa ia memuat kedua peubah.

Contoh 3. Tentukan (dy)/(dx) jika y^2=x^2+\sin(xy). Turunkan kedua ruas, dengan aturan hasil kali di dalam sinus: 2y y'=2x+\cos(xy) (y+x y'). Kumpulkan suku-suku dengan y' di ruas kiri: 2y y'-x\cos(xy) y'=2x+y\cos(xy). Faktorkan dan selesaikan: y'=(2x+y\cos(xy))/(2y-x\cos(xy)). Rumus itu berlaku di setiap titik kurva tempat penyebutnya bukan 0.

Ketik persamaan apa saja dalam x dan y di bawah, dengan satu titik untuk mencari garis singgung dan garis normal di sana. Kurvanya digambar, langkahnya ditampilkan, dan gradiennya diperiksa dengan menyelesaikan persamaan secara numerik di kedua sisi titik itu.

Bagaimana mencari garis singgung dan garis normal pada kurva implisit?

Di titik (x_0,y_0) pada kurva tempat gradiennya m, garis singgungnya y-y_0=m(x-x_0) dan garis normalnya, yang tegak lurus padanya, bergradien -\frac1m. Periksa dulu bahwa titik itu berada pada kurva, lalu hitung (dy)/(dx) di sana dengan kedua koordinat. Kedua garis itu adalah persamaan garis singgung pada artikel terdahulu, dengan gradien yang ditemukan secara implisit. Garis normal penting dalam optika: sudut tempat sinar cahaya memasuki lensa diukur dari garis normal pada permukaannya.

Contoh 4. Tunjukkan bahwa (2,4) terletak pada folium x^3+y^3=9xy, dan tentukan garis singgung dan garis normal di sana. Titik itu berada pada kurva karena 8+64=72=9·2·4. Turunkan: 3x^2+3y^2y'=9y+9x y'. Kumpulkan dan selesaikan, lalu bagi pembilang dan penyebut dengan 3: y'=(9y-3x^2)/(3y^2-9x)=(3y-x^2)/(y^2-3x). Di (2,4) gradiennya (12-4)/(16-6)=\frac45. Garis singgungnya y-4=\frac45(x-2), yaitu y=\frac45x+(12)/(5). Garis normalnya bergradien -\frac54: y-4=-\frac54(x-2), yaitu y=-\frac54x+(13)/(2).

Contoh 5: garis singgung sejajar. Kurva x^2+xy+y^2=7 memotong sumbu-x di tempat y=0 dan x^2=7, di \left(√7,0\right) dan \left(-√7,0\right). Menurunkannya memberi 2x+y+x y'+2y y'=0, sehingga y'=-(2x+y)/(x+2y). Di kedua titik y=0 dan gradiennya -(2x)/(x)=-2: garis singgungnya sejajar.

Contoh 6: garis singgung mendatar dan tegak pada folium. Garis singgung mendatar di tempat pembilang y'=(3y-x^2)/(y^2-3x) bernilai 0, yaitu y=(x^2)/(3), dan tegak di tempat penyebutnya 0, yaitu y^2=3x. Masukkan y=(x^2)/(3) ke persamaan kurva: x^3+(x^6)/(27)=3x^3, x^6=54 x^3. Selain titik asal, x^3=54, sehingga x=54^(1/3)=32^(1/3)≈3,78 dan y=(x^2)/(3)=34^(1/3)≈4,76. Persamaan tidak berubah bila x dan y dipertukarkan, sehingga garis singgung tegaknya di titik cermin \left(34^(1/3), 32^(1/3)\right)≈(4,76; 3,78).

Gerakkan titik mengelilingi lingkaran, elips, dan persegi bulat di bawah, dan lihat garis singgung dan garis normalnya berputar.

Bagaimana mencari turunan kedua fungsi implisit?

Untuk mencari (d^2y)/(dx^2), turunkan rumus y' sekali lagi, dengan memperlakukan y sebagai fungsi x, lalu masukkan rumus y' sebagai pengganti setiap y' yang muncul. Hasilnya hanya memuat x dan y, dan persamaan semula sering dapat memperpendeknya.

Contoh 7. Tentukan y'' jika 2x^3-3y^2=8. Pertama, 6x^2-6y y'=0, sehingga y'=(x^2)/(y) (y\ne0). Turunkan dengan aturan hasil bagi, dengan ingat bahwa y adalah fungsi x: y''=(2x· y-x^2· y')/(y^2). Sekarang substitusikan y'=(x^2)/(y): y''=(2xy-x^2·(x^2)/(y))/(y^2)=(2x)/(y)-(x^4)/(y^3).

Contoh 8: lingkaran. Untuk x^2+y^2=25 kita menemukan y'=-x/y. Maka y''=-(y-x y')/(y^2)=-(y+(x^2)/(y))/(y^2) =-(x^2+y^2)/(y^3). Persamaan semula menyatakan x^2+y^2=25, sehingga (d^2y)/(dx^2)=-(25)/(y^3). Di (3,-4) itu (25)/(64)>0: setengah lingkaran bawah melengkung ke atas di sana, seperti mangkuk, sebagaimana mestinya. Di (0,5) itu -(25)/(125)=-\frac15<0: puncak lingkaran melengkung ke bawah.

Pola yang sama berlaku untuk turunan ketiga dan lebih tinggi: tiap langkah menurunkan rumus sebelumnya dan mengganti y' lagi. Centang juga turunan kedua pada alat di atas untuk melihat y'' dari persamaan apa saja; rumusnya keluar lebih panjang daripada cara manual, karena alat itu tidak memakai persamaan semula untuk memperpendeknya.

Bagaimana diferensiasi implisit membuktikan aturan pangkat untuk pecahan?

Jika p dan q bilangan bulat dengan q>0 dan y=x^p/q, maka (dy)/(dx)=\frac pq x^p/q-1: aturan pangkat berlaku untuk setiap pangkat rasional. Buktinya adalah diferensiasi implisit pada persamaan yang tidak memuat pecahan. Karena y=x^p/q, kita punya y^q=x^p. Turunkan kedua ruas terhadap x: q y^q-1 y'=p x^p-1. Selesaikan untuk y', dan ganti y^q-1 dengan x^p(q-1)/q: y'=\frac pq·(x^p-1)/(y^q-1) =\frac pq· x^p-1-(p(q-1))/(q)=\frac pq· x^\frac pq-1. Pangkatnya cocok karena p-1-p+\frac pq=\frac pq-1. Hasilnya berlaku di tempat y\ne0 dan y terdiferensialkan.

Contoh. Untuk y=√ x ambil y^2=x: 2y y'=1 dan y'=(1)/(2√ x). Untuk y=x^2/3 ambil y^3=x^2: 3y^2y'=2x, sehingga y'=(2x)/(3y^2)=(2x)/(3x^4/3)=\frac23 x^-1/3. Ini adalah turunan x^2/3 yang dijumpai pada artikel-artikel terdahulu, yang tak terdefinisi di x=0, seperti diramalkan rumus x^-1/3.

Aturan rantai lalu memungkinkan pangkat itu berada pada fungsi apa pun: (d)/(dx)u^p/q=\frac pq u^p/q-1(du)/(dx).

Apa yang dapat salah pada diferensiasi implisit?

Rumus y'=-\frac AB hanya bermakna di titik yang berada pada kurva dan tempat B\ne0; di titik lain ia salah, tak terdefinisi, atau \frac00.

• Titiknya harus berada pada kurva. Rumus -\frac xy memberi bilangan di (1,1), tetapi (1,1) tidak berada pada x^2+y^2=25, sehingga bilangan itu adalah gradien tak ada apa-apa. Selalu periksa lebih dulu bahwa koordinatnya memenuhi persamaan, seperti pada Contoh 4.
• Penyebut nol berarti garis singgung tegak, bukan "tidak ada garis singgung". Di tempat B=0 dan A\ne0 besaran (dy)/(dx) tidak ada tetapi kurvanya mulus dan garis singgungnya tegak: pada lingkaran di (5,0) dan (-5,0), tempat y=0. Pada folium, di \left(34^(1/3),32^(1/3)\right).
• \frac00 pada persilangan. Di titik asal rumus folium (3y-x^2)/(y^2-3x) bernilai \frac00. Itu bukan gradien 0. Di dekat titik asal suku 9xy mendominasi, sehingga kurvanya tampak seperti xy=0: dua cabang berpotongan di sana, satu sepanjang tiap sumbu, dengan garis singgung y=0 dan x=0. Titik tempat kurva memotong dirinya sendiri memiliki dua garis singgung dan tidak punya satu gradien.
• Rumus bukan kurva. Persamaan x^2+y^2=-1 tidak dipenuhi titik real mana pun, namun menurunkannya tetap menghasilkan y'=-\frac xy. Cara ini mengasumsikan bahwa y ada sebagai fungsi yang terdiferensialkan, dan tidak memeriksanya.
• Kapan asumsi itu berlaku? Jika persamaannya F(x,y)=0 dengan F mulus dan B\ne0 di suatu titik kurva, teorema fungsi implisit menyatakan bahwa di dekat titik itu kurva benar-benar grafik fungsi y(x) yang terdiferensialkan. Itulah sebabnya penyebut tak nol adalah syarat yang perlu dilihat.

Bagaimana menurunkan secara implisit dalam kode?

SymPy memiliki metode ini bawaan: sp.idiff(F, y, x) menurunkan persamaan F(x,y)=0 secara implisit dan mengembalikan (dy)/(dx), dan argumen keempat meminta turunan yang lebih tinggi. Persamaan diberikan sebagai ekspresi yang sama dengan nol, sehingga x^3+y^3=9xy menjadi x**3 + y**3 - 9xy. SymPy menulis gradien folium sebagai (x^2-3y)/(3x-y^2), yaitu (3y-x^2)/(y^2-3x) kita dengan pembilang dan penyebut sama-sama dikalikan -1. Untuk lingkaran ia memberi turunan kedua -1/y\left((x^2)/(y^2)+1\right), yaitu -(x^2+y^2)/(y^3).

Pemeriksaan yang tidak memerlukan kalkulus. Selesaikan persamaan secara numerik untuk y di x=2+h dan di x=2-h dengan metode Newton, lalu ambil hasil bagi selisih: itulah gradiennya, karena ia turunan fungsi yang didefinisikan kurva itu, tanpa pernah menulis rumus untuk y.

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
print(sp.idiff(x**3 + y**3 - 9 * x * y, y, x))          # (x**2 - 3*y)/(3*x - y**2)
print(sp.idiff(x**2 + y**2 - 25, y, x, 2))              # -(x**2/y**2 + 1)/y
print(sp.idiff(2 * x**3 - 3 * y**2 - 8, y, x, 2))       # x*(-x**3/y**2 + 2)/y
print(sp.simplify(sp.idiff(sp.sin(x * y) - x - y, y, x)))   # (-y*cos(x*y) + 1)/(x*cos(x*y) - 1)


def solve_y(x, y):
    """Newton's method on F(x, y) = 0, for y, starting from a guess."""
    for _ in range(50):
        f = x**3 + y**3 - 9 * x * y
        d = 3 * y**2 - 9 * x                              # the derivative of F with respect to y
        y -= f / d
    return y


h = 1e-6
print(round((solve_y(2 + h, 4) - solve_y(2 - h, 4)) / (2 * h), 6))   # 0.8  (a difference quotient of the solutions)
print(round(solve_y(2, 4), 6))                                        # 4.0  (the point (2, 4) is on the curve)
slope = lambda x, y: (3 * y - x**2) / (y**2 - 3 * x)
print(round(slope(2, 4), 6))                                          # 0.8  (the formula of Example 4)

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

// Newton's method on F(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy = 0, for y, starting from a guess
double solveY(double x, double y) {
  for (int i = 0; i < 50; i++) {
    double f = x * x * x + y * y * y - 9 * x * y;
    double d = 3 * y * y - 9 * x;                      // the derivative of F with respect to y
    y -= f / d;
  }
  return y;
}

// the implicit derivative: dy/dx = (3y - x^2) / (y^2 - 3x)
double slope(double x, double y) { return (3 * y - x * x) / (y * y - 3 * x); }

int main() {
  double h = 1e-6;
  printf("%.6f\n", (solveY(2 + h, 4) - solveY(2 - h, 4)) / (2 * h));   // a difference quotient of the solutions
  printf("%.6f\n", solveY(2, 4));                                       // the point (2, 4) is on the curve
  printf("%.6f\n", slope(2, 4));                                        // the formula of Example 4
  return 0;
}

/* output:
0.800000
4.000000
0.800000
*/

Siapa yang pertama menurunkan persamaan tanpa menyelesaikannya?

Kurva yang diberikan oleh persamaan adalah soal-soal pertama kalkulus, dan folium Descartes adalah salah satu ujian pertamanya.

• Descartes dan Fermat. Pada 1638 René Descartes mengajukan kurva x^3+y^3=3axy, kini disebut folium Descartes, sebagai tantangan bagi Pierre de Fermat: tentukan garis singgungnya di titik mana pun. Fermat menyelesaikannya dengan mudah, yang tidak dapat dilakukan Descartes, dan peristiwa itu dikenang sebagai ujian bagi cara-cara baru mencari garis singgung.
• Newton. Method of Fluxions karya Isaac Newton, ditulis pada 1671 dan diterbitkan pada 1736, memperlakukan kurva yang diberikan oleh persamaan antara dua besaran mengalir x dan y dan menemukan perbandingan laju perubahannya langsung dari persamaan itu, tanpa menyelesaikannya untuk y. Itu adalah diferensiasi implisit dalam bahasa fluksi.
• Teorema di baliknya. Mengapa y ada sebagai fungsi yang terdiferensialkan di dekat titik tempat B\ne0 dituntaskan jauh kemudian. Augustin-Louis Cauchy dikreditkan dengan teorema fungsi implisit rigor yang pertama, dan Ulisse Dini memberi bentuk umumnya untuk beberapa peubah pada 1878.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada diferensiasi implisit?

Kesalahan paling umum pada diferensiasi implisit adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: diferensiasi implisit sekilas

• Cara: turunkan kedua ruas terhadap x, dengan memperlakukan y sebagai fungsi x ((d)/(dx)f(y)=f'(y) (dy)/(dx), (d)/(dx)(xy)=y+x(dy)/(dx)), kumpulkan suku (dy)/(dx), selesaikan.
• Lingkaran: x^2+y^2=25 memberi (dy)/(dx)=-\frac xy, gradien \frac34 di (3,-4), dan (d^2y)/(dx^2)=-(25)/(y^3).
• Garis: singgung y-y_0=m(x-x_0), gradien normal -\frac1m; singgung mendatar di tempat pembilang 0, tegak di tempat penyebut 0.
• Folium: (dy)/(dx)=(3y-x^2)/(y^2-3x), gradien \frac45 di (2,4), singgung mendatar di x=54^(1/3).
• Turunan kedua: turunkan lagi dan masukkan y' kembali; sederhanakan dengan persamaan semula.
• Pangkat rasional: y^q=x^p memberi (d)/(dx)x^p/q=\frac pq x^p/q-1.
• Hati-hati: titik harus berada pada kurva; \frac00 menandai persilangan; rumus dapat ada di tempat kurva tidak ada.
• Kode: sp.idiff(F, y, x); periksa dengan metode Newton dan hasil bagi selisih.

Glosarium: istilah penting

Fungsi implisit

Fungsi yang didefinisikan oleh persamaan dalam x dan y yang tidak diselesaikan untuk y, sehingga y adalah nilai apa pun yang membuat persamaan itu benar.

Fungsi eksplisit

Fungsi yang ditulis dengan y sendirian di satu ruas, y sama dengan f dari x, yang memberi y langsung dari x.

Diferensiasi implisit

Mencari dy per dx dengan menurunkan kedua ruas persamaan terhadap x, memperlakukan y sebagai fungsi x, lalu menyelesaikan untuk dy per dx.

Garis normal

Garis melalui suatu titik kurva yang tegak lurus pada garis singgung di sana; gradiennya adalah minus kebalikan gradien garis singgung.

Folium Descartes

Kurva x pangkat tiga ditambah y pangkat tiga sama dengan 9xy, sebuah simpul dengan dua cabang yang berpotongan di titik asal, pertama diajukan Descartes pada 1638.

Garis singgung tegak

Garis singgung yang sejajar sumbu-y, di titik tempat dy per dx membesar tanpa batas karena penyebutnya nol.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.7: Implicit Differentiation. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.5: Implicit Differentiation. Cengage Learning.
3. Steven G. Krantz, Harold R. Parks (2002). The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Applications. Birkhäuser.
4. Isaac Newton (1736). The Method of Fluxions and Infinite Series (translated by John Colson). Henry Woodfall, London.

Artikel terkait

• Aturan Rantai: Aturan rantai dijelaskan: cara menemukan fungsi dalam dan luar suatu fungsi komposit, aturan rantai pangkat, fungsi bersarang, turunan kedua, dan kode.
• Aturan Turunan: Aturan turunan dengan bukti dan contoh: aturan konstanta, pangkat, kelipatan, jumlah, hasil kali, hasil bagi, turunan e^x, dan turunan tingkat tinggi.
• Turunan Fungsi Invers dan Logaritma: Turunan fungsi invers dan logaritma: aturan untuk invers, d/dx ln x = 1/x, a^x, logaritma basis a, diferensiasi logaritmik, dan bilangan e.
• Laju Terkait: Laju terkait: turunkan persamaan terhadap waktu untuk mencari laju yang dicari, dengan strategi empat langkah, enam contoh soal, tangga meluncur, dan kesalahan umum.