Turunan Fungsi Invers dan Logaritma

Berapa turunan suatu fungsi invers?

Jika f berdomain selang dan f' ada dan tidak pernah nol di sana, maka f^-1 terdiferensialkan di setiap titik domainnya dan \left(f^-1\right)'(b)=(1)/(f'\left(f^-1(b)\right)). Dengan kata-kata: gradien f^-1 di x=b adalah kebalikan gradien f di x=f^-1(b). Invers f membatalkannya, sehingga grafiknya adalah bayangan cermin grafik f dalam garis y=x, dan cermin mengubah gradien m menjadi \frac1m.

Garis lebih dulu. Fungsi f(x)=\frac12x+1 memiliki invers f^-1(x)=2x-2. Turunannya \frac12 dan 2, saling berkebalikan. Mencerminkan garis apa pun yang tidak mendatar dan tidak tegak dalam y=x membalik gradiennya.

Fungsi lain: bandingkan di titik yang bersesuaian. Jika gradien y=f(x) di titik (a,b) adalah f'(a), dengan b=f(a), maka gradien y=f^-1(x) di titik cermin (b,a) adalah (1)/(f'(a)). Turunan f dibaca di a dan turunan f^-1 di b=f(a). Jika f memiliki garis singgung mendatar di (a,b), inversnya memiliki garis singgung tegak di (b,a) dan tidak berturunan di sana, itulah sebabnya f'\ne0 adalah bagian dari syaratnya.

Mengapa rumus itu berlaku. Mulai dari f\left(f^-1(x)\right)=x dan turunkan kedua ruas, dengan aturan rantai di ruas kiri: f'\left(f^-1(x)\right)·\left(f^-1\right)'(x)=1. Selesaikan untuk \left(f^-1\right)'(x) dan aturannya muncul. Buktinya mengasumsikan bahwa f^-1 terdiferensialkan; bahwa ia memang demikian, bila f'\ne0, adalah separuh pertama teorema, yang di artikel ini diterima begitu saja.

Contoh 1. Fungsi f(x)=x^2 untuk x>0 memiliki invers f^-1(x)=√ x. Aturan itu menyatakan \left(f^-1\right)'(x)=(1)/(f'\left(√ x\right))=(1)/(2√ x), turunan akar kuadrat yang sudah dikenal. Di a=2 dan b=f(2)=4: f'(2)=4 dan \left(f^-1\right)'(4)=\frac14.

Contoh 2. Misalkan f(x)=x^3-2 untuk x>0. Tentukan \left(f^-1\right)'(6) tanpa rumus untuk f^-1. Pertama cari a dengan f(a)=6: a^3-2=6, sehingga a=2. Lalu f'(2)=3·2^2=12, dan \left(f^-1\right)'(6)=(1)/(f'(2))=(1)/(12). Di sini persamaan f(a)=6 yang melakukan pekerjaan rumus yang tidak ada.

Pilih fungsi di bawah dan geser a: grafik bayangan cermin dan kedua garis singgungnya digambar, dan gradien invers diperiksa dengan invers numerik.

Berapa turunan ln x?

Turunan logaritma natural adalah (d)/(dx)\ln x=\frac1x untuk x>0, dan dengan aturan rantai, (d)/(dx)\ln u=1/u·(du)/(dx) untuk u(x) positif yang terdiferensialkan. Fungsi \ln x adalah invers e^x, yang turunannya e^x sendiri. Dengan aturan untuk invers, dengan f(x)=e^x dan f^-1(x)=\ln x: \left(f^-1\right)'(x)=(1)/(f'\left(\ln x\right))=(1)/(e^\ln x)=\frac1x.

Penurunan kedua, dengan diferensiasi implisit. Misalkan y=\ln x, sehingga e^y=x. Turunkan kedua ruas terhadap x, dengan aturan rantai pada e^y: e^y (dy)/(dx)=1, (dy)/(dx)=(1)/(e^y)=\frac1x. Ini adalah diferensiasi implisit pada persamaan yang tidak dapat diselesaikan untuk y tanpa fungsi yang sedang diturunkan itu sendiri.

Contoh 3. Empat turunan dengan \ln.

• (d)/(dx)\ln2x=(1)/(2x)·2=\frac1x. Konstantanya hilang: \ln2x=\ln2+\ln x.
• (d)/(dx)\ln\left(x^2+3\right)=(1)/(x^2+3)·2x=(2x)/(x^2+3).
• (d)/(dx)\ln^3x=3\ln^2x·\frac1x=(3\ln^2x)/(x), karena fungsi luarnya pangkat tiga dan fungsi dalamnya \ln x.
• (d)/(dx)\ln|x|=(1)/(|x|)·(x)/(|x|)=\frac1x untuk x\ne0, dengan (d)/(dx)|x|=(x)/(|x|). Jadi \frac1x adalah turunan \ln x pada x>0 dan \ln(-x) pada x<0.

Logaritma hasil kali dan pangkat lebih dulu. Hukum logaritma membuat banyak turunan lebih pendek. Misalnya \ln√(x^2+1)=\frac12\ln\left(x^2+1\right) berturunan \frac12·(2x)/(x^2+1)=(x)/(x^2+1), tanpa turunan akar kuadrat sama sekali.

Contoh 4. Garis bergradien m yang melalui titik asal menyinggung grafik y=\ln x. Berapa m? Misalkan titik singgungnya (a,\ln a). Gradien di sana \frac1a, dan garis yang melalui titik asal dan (a,\ln a) bergradien (\ln a)/(a). Menyamakannya, \frac1a=(\ln a)/(a), \ln a=1, a=e, m=\frac1e. Garis singgungnya y=x/e, dan ia menyentuh grafik di (e,1).

Kurva \ln x naik makin pelan, dan gradien \frac1x turun dari nilai besar di dekat 0 ke nilai kecil.

Berapa turunan a^x dan logaritma basis a, dan dari mana e berasal?

Untuk a>0, (d)/(dx)a^x=a^x\ln a, dan untuk a>0 dengan a\ne1, (d)/(dx)\log_ax=(1)/(x\ln a). Keduanya mengikuti dari logaritma natural. Menurut definisi a^x=e^x\ln a, sehingga dengan aturan rantai turunan eksponensial e^u dengan u=x\ln a adalah e^x\ln a·\ln a=a^x\ln a. Dengan fungsi u(x) di pangkat, (d)/(dx)a^u=a^u\ln a·(du)/(dx). Untuk logaritma, rumus perubahan basis \log_ax=(\ln x)/(\ln a) menunjukkan konstanta (1)/(\ln a) di depan \ln x, sehingga (d)/(dx)\log_au=(1)/(u\ln a)·(du)/(dx).

Contoh 5. Turunan eksponensial umum.

• (d)/(dx)3^x=3^x\ln3.
• (d)/(dx)3^-x=3^-x\ln3·(-1)=-3^-x\ln3.
• (d)/(dx)3^\sin x=3^\sin x\ln3·\cos x.
• (d)/(dx)\sin\left(3^x\right)=\cos\left(3^x\right)·3^x\ln3, dengan dua lapisan, sinus dan eksponensial.

Contoh 6. Turunan logaritma berbasis lain: (d)/(dx)\log_10x=(1)/(x\ln10), dan (d)/(dx)\log_2\left(x^2+1\right)=(2x)/(\left(x^2+1\right)\ln2).

Mengapa e basis yang disukai. Jika a=e maka \ln a=1 dan faktornya hilang: (d)/(dx)e^x=e^x, dan (d)/(dx)\log_ex=\frac1x. Untuk basis lain, konstanta \ln a mengikuti setiap turunan. Gradien a^x di tempat grafiknya memotong sumbu-y adalah a^0\ln a=\ln a, dan menurut definisi turunan ia adalah limit \lim_h→0(a^h-1)/(h)=\ln a. Untuk a=e limit itu 1: e adalah basis yang kurva a^x-nya meninggalkan sumbu-y dengan gradien tepat 1.

Bilangan e sebagai limit. Turunan \ln di 1 adalah \frac11=1, dan menurut definisi turunan ia adalah \lim_h→0(\ln(1+h)-\ln1)/(h)=\lim_h→0(\ln(1+h))/(h). Jadi (\ln(1+h))/(h)→1. Karena (\ln(1+h))/(h)=\ln\left((1+h)^1/h\right) dan e^x kontinu, \lim_h→0(1+h)^1/h=e^1=e. Inilah limit di balik bunga majemuk. Dengan h=\frac1n ia berbunyi \left(1+\frac1n\right)^n→ e: uang yang berbunga 12 kali setahun tumbuh dengan faktor \left(1+(1)/(12)\right)^12≈2,613 dalam setahun pada suku bunga nominal 100\%, 365 kali setahun dengan 2,7146, dan terus-menerus dengan e≈2,71828.

Catatan yang jujur. Penurunan di atas mengasumsikan bahwa limit (a^h-1)/(h) ada. Memang ada, dan bab kemudian dalam buku mendefinisikan \ln dan e^x dengan cara yang membuktikannya; di sini ia diterima sebagai diketahui.

Kecilkan h di bawah dan lihat ketiga limit itu menetap.

Apa itu diferensiasi logaritmik, dan kapan ia membantu?

Diferensiasi logaritmik mengambil logaritma natural kedua ruas y=f(x), menyederhanakan dengan hukum logaritma, menurunkan secara implisit, dan mengalikan dengan y. Ia paling cepat untuk hasil kali, hasil bagi, dan pangkat dari banyak faktor, dan ia satu-satunya cara untuk fungsi dengan pangkat peubah.

1. Ambil \ln kedua ruas dan sederhanakan: \ln(ab)=\ln a+\ln b, \ln\frac ab=\ln a-\ln b, \ln a^n=n\ln a.
2. Turunkan kedua ruas terhadap x, yang memberi (y')/(y) di ruas kiri (lihat diferensiasi implisit).
3. Selesaikan untuk y', dan substitusikan y.

Contoh 7. Tentukan y' untuk y=(x^2(x+1)^3)/(x-2), dengan x>2. Ambil logaritma: \ln y=2\ln x+3\ln(x+1)-\ln(x-2). Turunkan kedua ruas: (y')/(y)=\frac2x+(3)/(x+1)-(1)/(x-2). Kalikan dengan y: y'=(x^2(x+1)^3)/(x-2)\left(\frac2x+(3)/(x+1)-(1)/(x-2)\right). Di x=3: y=(9·64)/(1)=576 dan kurungnya \frac23+\frac34-1=(5)/(12), sehingga y'(3)=576·(5)/(12)=240. Aturan hasil kali dan hasil bagi akan mencapai bilangan yang sama, dengan jalan yang lebih panjang.

Contoh 8: pangkat peubah. Untuk y=x^x dengan x>0 baik aturan pangkat (pangkatnya tidak konstan) maupun aturan untuk a^x (basisnya tidak konstan) tidak berlaku. Ambil logaritma: \ln y=x\ln x. Turunkan dengan aturan hasil kali: (y')/(y)=\ln x+x·\frac1x=\ln x+1 y'=x^x(\ln x+1).

Contoh 9. Untuk y=x^\sin x: \ln y=\sin x\ln x dan (y')/(y)=\cos x\ln x+(\sin x)/(x), sehingga y'=x^\sin x\left(\cos x\ln x+(\sin x)/(x)\right).

Nilai negatif. Logaritma memerlukan bilangan positif. Jika suatu faktor y negatif, atau y sendiri, tulis \ln|y|: (d)/(dx)\ln|y|=(y')/(y) juga, sehingga langkah yang sama berlaku.

Ketik fungsi di bawah: alat itu menerapkan aturan, menampilkan diferensiasi logaritmik untuk hasil kali, hasil bagi, atau pangkat, dan memeriksa hasilnya dengan hasil bagi selisih.

Mengapa aturan pangkat berlaku untuk pangkat irasional?

Untuk x>0 dan bilangan real n mana pun, (d)/(dx)x^n=nx^n-1, karena x^n didefinisikan sebagai e^n\ln x. Sampai sekarang pangkat didefinisikan dengan perkalian berulang dan akar, yang tidak dapat memangkatkan bilangan ke π atau √2. Eksponensial dan logaritma dapat: untuk x>0 dan setiap n real, x^n=e^n\ln x, sehingga \ln x^n=n\ln x untuk semua n real, hukum logaritma yang tadinya hanya dibuktikan untuk pangkat rasional.

Bukti. Turunkan e^n\ln x dengan aturan rantai: fungsi luarnya eksponensial, yang tetap e^n\ln x=x^n, dan fungsi dalamnya n\ln x, berturunan \frac nx: (d)/(dx)x^n=x^n·\frac nx=nx^n-1.

Contoh. (d)/(dx)x^π=π x^π-1 dan (d)/(dx)x^√2=√2 x^√2-1.

Tiga kasus yang berbeda. Tampilan ekspresi berpangkat menunjukkan aturan mana yang dipakai.

Dua yang pertama adalah aturan tunggal; yang ketiga adalah kasus yang memerlukan logaritma. Kekeliruan yang umum adalah memperlakukan x^x dengan aturan pangkat, sebagai x· x^x-1, atau dengan aturan eksponensial, sebagai x^x\ln x: masing-masing hanya memberi satu dari dua suku x^x\ln x+x^x.

Bagaimana menurunkan logaritma dan invers dalam kode?

SymPy menurunkan sp.log dan pangkat umum secara langsung: sp.diff(sp.log(x), x) adalah 1/x dan `sp.diff(xx, x) adalah x**x*(log(x) + 1).** Di SymPy log adalah logaritma natural, dan sp.log(x, 10) adalah yang berbasis 10, log(x)/log(10). Menyatakan x` positif memungkinkannya menyederhanakan logaritma dari pangkat. Program kedua memeriksa aturan untuk invers tanpa rumus untuk f^-1: ia mencari f^-1(6) untuk f(x)=x^3-2 dengan bagi dua, lalu membandingkan (1)/(f'(a)) dengan hasil bagi selisih dari invers numerik. Keduanya memberi (1)/(12)≈0,083333.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
for f in (sp.log(x), sp.log(2 * x), sp.log(x**2 + 3), sp.log(x, 10), 3**x, 3 ** sp.sin(x), x**x, x ** sp.sin(x), x**sp.pi):
    print(f, '->', sp.simplify(sp.diff(f, x)))
# log(x) -> 1/x
# log(2*x) -> 1/x
# log(x**2 + 3) -> 2*x/(x**2 + 3)
# log(x)/log(10) -> 1/(x*log(10))
# 3**x -> 3**x*log(3)
# 3**sin(x) -> 3**sin(x)*log(3)*cos(x)
# x**x -> x**x*(log(x) + 1)
# x**sin(x) -> x**(sin(x) - 1)*(x*log(x)*cos(x) + sin(x))
# x**pi -> pi*x**(-1 + pi)

y = x**2 * (x + 1) ** 3 / (x - 2)                    # Example 7
print(sp.diff(y, x).subs(x, 3), y.subs(x, 3), sp.diff(sp.log(y), x).subs(x, 3))   # 240 576 5/12

import math


def inverse(f, b, lo, hi):
    """f is increasing on [lo, hi]: find f^-1(b) by bisection."""
    for _ in range(200):
        mid = (lo + hi) / 2
        if f(mid) < b:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return (lo + hi) / 2


f = lambda t: t**3 - 2
df = lambda t: 3 * t**2
h = 1e-6
a = inverse(f, 6, 0, 3)
print(round(a, 6), round(1 / df(a), 6))                                          # 2.0 0.083333
print(round((inverse(f, 6 + h, 0, 3) - inverse(f, 6 - h, 0, 3)) / (2 * h), 6))   # 0.083333

for h in (0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.000001):
    print(h, round((1 + h) ** (1 / h), 6), round(math.log(1 + h) / h, 6), round((2**h - 1) / h, 6))
# 0.1      2.593742  0.953102  0.717735
# 0.01     2.704814  0.995033  0.695555
# 0.001    2.716924  0.9995    0.693387
# 0.0001   2.718146  0.99995   0.693171
# 1e-06    2.71828   0.999999  0.693147
print(round(math.e, 6), round(math.log(2), 6))                                   # 2.718282 0.693147

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(double t) { return t * t * t - 2; }

// f is increasing on [lo, hi]: find f^-1(b) by bisection
double inverse(double b, double lo, double hi) {
  for (int i = 0; i < 200; i++) {
    double mid = (lo + hi) / 2;
    if (f(mid) < b) lo = mid; else hi = mid;
  }
  return (lo + hi) / 2;
}

int main() {
  double h = 1e-6, a = inverse(6, 0, 3);
  printf("%.6f %.6f\n", a, 1 / (3 * a * a));                      // f^-1(6) = 2 and 1 / f'(2)
  printf("%.6f\n", (inverse(6 + h, 0, 3) - inverse(6 - h, 0, 3)) / (2 * h));   // the slope of the inverse

  double hs[5] = {0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.000001};
  for (int i = 0; i < 5; i++) {
    double x = hs[i];
    printf("%.6f  %.6f  %.6f  %.6f\n", x, pow(1 + x, 1 / x), log(1 + x) / x, (pow(2, x) - 1) / x);
  }
  printf("%.6f %.6f\n", exp(1.0), log(2.0));                      // e and ln 2
  return 0;
}

/* output:
2.000000 0.083333
0.083333
0.100000  2.593742  0.953102  0.717735
0.010000  2.704814  0.995033  0.695555
0.001000  2.716924  0.999500  0.693387
0.000100  2.718146  0.999950  0.693171
0.000001  2.718280  0.999999  0.693147
2.718282 0.693147
*/

Siapa yang menemukan logaritma, dan kapan e dan turunan ln muncul?

Logaritma mula-mula adalah cara mengalikan bilangan besar dengan menjumlahkan, dan kalkulus \ln ditemukan ketika luas di bawah hiperbola dikenali sebagai logaritma.

• Napier dan Briggs. Matematikawan Skotlandia John Napier menerbitkan tabel logaritmanya pada 1614, untuk mengubah perkalian panjang dalam astronomi menjadi penjumlahan. Henry Briggs, yang bekerja dengan Napier, membuat tabel logaritma basis 10, diterbitkan sejak 1617.
• Hiperbola. Pada 1640-an Gregory dari Saint-Vincent dan muridnya de Sarasa menunjukkan bahwa luas di bawah y=\frac1x bertambah dengan langkah sama ketika x bertambah dengan faktor sama: luas itu adalah logaritma. Itulah \ln x=\int_1^x(dt)/(t), dan itulah sebabnya turunannya \frac1x.
• Mercator. Nicolaus Mercator menamai logaritma natural dan menerbitkan deretnya \ln(1+x)=x-(x^2)/(2)+(x^3)/(3)-… pada 1668.
• Bilangan e. Pada 1683 Jacob Bernoulli mempelajari limit \left(1+\frac1n\right)^n dalam soal bunga majemuk. Pada 1730-an Leonhard Euler memberi bilangan itu huruf e dan mengembangkan eksponensial dan logaritma sebagai invers satu sama lain.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada invers dan logaritma?

Kesalahan paling umum pada turunan invers dan logaritma adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: invers dan logaritma sekilas

• Invers: \left(f^-1\right)'(b)=(1)/(f'\left(f^-1(b)\right)) bila f'\ne0; gradien di titik cermin saling berkebalikan.
• Logaritma natural: (d)/(dx)\ln x=\frac1x, (d)/(dx)\ln u=(u')/(u), (d)/(dx)\ln|x|=\frac1x.
• Basis lain: (d)/(dx)a^u=a^u\ln a· u' dan (d)/(dx)\log_au=(u')/(u\ln a); \ln e=1 menjadikan e basis natural.
• Bilangan e: \lim(1+h)^1/h=e dan \lim(a^h-1)/(h)=\ln a.
• Diferensiasi logaritmik: \ln y, pecah, turunkan, kalikan dengan y; (d)/(dx)x^x=x^x(\ln x+1).
• Aturan pangkat: (d)/(dx)x^n=nx^n-1 untuk setiap n real karena x^n=e^n\ln x; x^π, π^x, dan x^x adalah tiga kasus.
• Kode: sp.diff(sp.log(x), x); periksa invers dengan bagi dua dan hasil bagi selisih.

Glosarium: istilah penting

Fungsi invers

Fungsi yang membatalkan fungsi lain, sehingga menerapkan satu setelah yang lain mengembalikan bilangan awal; grafiknya adalah bayangan cermin grafik pertama dalam garis y sama dengan x.

Logaritma natural

Logaritma berbasis e, ditulis ln x, invers fungsi eksponensial e pangkat x, yang turunannya 1 per x.

Diferensiasi logaritmik

Mencari turunan dengan mengambil logaritma kedua ruas, menyederhanakan dengan hukum logaritma, menurunkan secara implisit, dan mengalikan dengan fungsi semula.

Bilangan Euler e

Bilangan sekitar 2,71828 yang merupakan limit satu ditambah h pangkat satu per h saat h menuju nol, dan basis yang gradien eksponensialnya di sumbu-y tepat 1.

Rumus perubahan basis

Kesamaan bahwa logaritma basis a dari x sama dengan ln x dibagi ln a, yang mengubah setiap logaritma menjadi logaritma natural.

Fungsi pangkat umum

Fungsi x pangkat n untuk n real mana pun, didefinisikan untuk x positif sebagai e pangkat n ln x, sehingga pangkat irasional bermakna.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.8: Derivatives of Inverse Functions and Logarithms. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.6: Derivatives of Logarithmic Functions. Cengage Learning.
3. John Napier (1614). Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Andrew Hart, Edinburgh.
4. Nicolaus Mercator (1668). Logarithmotechnia. London.
5. Eli Maor (1994). e: The Story of a Number. Princeton University Press.

Artikel terkait

• Aturan Rantai: Aturan rantai dijelaskan: cara menemukan fungsi dalam dan luar suatu fungsi komposit, aturan rantai pangkat, fungsi bersarang, turunan kedua, dan kode.
• Diferensiasi Implisit: Diferensiasi implisit dijelaskan: mencari dy/dx tanpa menyelesaikan untuk y, garis singgung dan normal, turunan kedua, pangkat rasional, jebakan, dan kode.
• Fungsi Trigonometri Invers: Fungsi trigonometri invers: domain dan jangkauan, turunan arcsin, arctan, dan arcsec dengan bukti, identitas kofungsi, dan sudut pandang terbaik.
• Turunan Fungsi Trigonometri: Turunan fungsi trigonometri dengan bukti: sin x dan cos x, lalu tan, cot, sec, dan csc, mengapa radian, gerak harmonik sederhana, turunan tingkat tinggi, dan kode.