Trigonometri Dasar: Sinus, Kosinus, dan Tangen

Apa itu sinus, kosinus, dan tangen?

Trigonometri adalah bagian matematika yang menghubungkan sudut segitiga dengan panjang sisinya; tiga alat dasarnya adalah sinus, kosinus, dan tangen sebuah sudut. Namanya berasal dari bahasa Yunani yang berarti pengukuran segitiga. Ia bermula dari segitiga siku-siku, yang memiliki sudut 90^\circ.

Pilih satu dari dua sudut lancipnya dan sebut θ. Ketiga sisi sekarang memiliki nama relatif terhadap θ:

• sisi miring (hipotenusa) adalah sisi di depan sudut siku-siku, selalu yang terpanjang;
• sisi depan adalah sisi yang berseberangan dengan θ;
• sisi samping adalah sisi tegak lainnya, yang menyentuh θ.

Maka ketiga perbandingannya adalah

\sinθ=(depan)/(miring), \cosθ=(samping)/(miring), \tanθ=(depan)/(samping).

Cara mengingatnya adalah sin-de-mi, cos-sa-mi, tan-de-sa: Sinus adalah sisi DEpan per sisi MIring, Kosinus adalah sisi SAmping per sisi MIring, Tangen adalah sisi DEpan per sisi SAmping. Ada pula tiga kebalikannya: kosekan \cscθ=(1)/(\sinθ), sekan \secθ=(1)/(\cosθ), dan kotangen \cotθ=(1)/(\tanθ).

Mengapa ini masuk akal? Dua segitiga siku-siku yang sama-sama memiliki sudut θ memiliki ketiga sudut sama, sehingga sebangun: yang satu adalah pembesaran yang lain, dan perbandingan dua sisi tetap sama. Jadi \sinθ adalah bilangan milik sudut, bukan milik segitiga: ia sama untuk segitiga di atas kertas dan untuk segitiga sebesar menara. Karena sisi miring adalah sisi terpanjang, \sinθ dan \cosθ sebuah sudut lancip selalu di antara 0 dan 1.

Dua fakta lagi mengikuti. Sudut lancip yang lain adalah 90^\circ-θ, dan sisi depan dan samping bertukar bila kita melihat darinya, sehingga \sin(90^\circ-θ)=\cosθ. Dan menurut teorema Pythagoras, depan^2+samping^2=miring^2; bagi dengan kuadrat sisi miring dan diperoleh \sin^2θ+\cos^2θ=1.

Cobalah: geser sudut dan ukurannya, dan ganti sudut yang dilihat.

Bagaimana mencari sisi atau sudut yang hilang pada segitiga siku-siku?

Untuk mencari sisi yang hilang, pilih perbandingan yang memuat sisi yang diketahui dan sisi yang dicari, tulis, lalu selesaikan untuk bilangan yang tidak diketahui; untuk mencari sudut yang hilang, pakai fungsi invers dari perbandingan itu. Setiap segitiga siku-siku dapat dipecahkan dari satu sudut dan satu sisi, atau dari dua sisi.

1. Gambar segitiganya dan tandai sudut θ yang dipakai.
2. Namai sisi-sisinya relatif terhadap θ: depan, samping, miring.
3. Pilih perbandingan yang memuat sisi yang diketahui dan sisi yang tidak diketahui: depan dan miring berarti sinus, samping dan miring berarti kosinus, depan dan samping berarti tangen.
4. Tulis persamaannya, misalnya \sinθ=(depan)/(miring), dan selesaikan: kalikan untuk mencari sisi, atau ambil fungsi invers (\arcsin, \arccos, \arctan) untuk mencari sudut.
5. Periksa bahwa sisi miring adalah sisi terpanjang, dan bahwa depan^2+samping^2=miring^2.

Contoh, sebuah sisi. Anda berdiri 40 m dari kaki sebuah menara dan melihat puncaknya dengan sudut elevasi 35^\circ (sudut di atas garis mendatar). Sisi yang diketahui adalah sisi samping 40 dan yang tidak diketahui sisi depan, jadi tangen adalah perbandingan yang tepat: \tan35^\circ=(h)/(40), sehingga h=40\tan35^\circ≈28,01 m. (Tambahkan tinggi mata Anda untuk mendapat tinggi menara.) Memandang ke bawah dari menara ke sebuah perahu memakai sudut depresi, diukur di bawah garis mendatar; ia sama dengan sudut elevasi yang dilihat dari perahu.

Contoh, sebuah sudut. Sebuah jalan naik 8 m pada jarak mendatar 100 m. Maka \tanθ=(8)/(100), sehingga θ=\arctan0,08≈4,57^\circ. Kemiringan 8\% tepat adalah tangen ini.

Contoh, sebuah tangga. Tangga 5 m bersandar pada dinding dengan sudut 70^\circ terhadap tanah. Sisi miringnya 5, jadi ia mencapai 5\sin70^\circ≈4,70 m ke atas dinding, dan kakinya 5\cos70^\circ≈1,71 m dari dinding.

Fungsi invers adalah topik artikelnya sendiri: \arcsin x adalah sudut di antara -90^\circ dan 90^\circ yang sinusnya x. Untuk segitiga yang bukan siku-siku, pakai aturan sinus dan aturan kosinus (memecahkan segitiga). Pemecah di bawah menerima pasangan ukuran apa pun dan juga menyediakan contoh-contoh ini.

Berapa nilai eksak sinus dan kosinus pada 30°, 45°, dan 60°?

Nilai eksak pada 30^\circ, 45^\circ, dan 60^\circ berasal dari dua segitiga yang dapat digambar: setengah segitiga sama sisi, dan setengah persegi.

Setengah segitiga sama sisi. Ambil segitiga sama sisi dengan sisi 2 dan belah menjadi dua sepanjang tingginya. Diperoleh segitiga siku-siku dengan sudut 30^\circ, 60^\circ, dan 90^\circ, sisi miring 2, sisi tegak pendek 1 (setengah alas), dan sisi tegak panjang √(2^2-1^2)=√3. Baca perbandingannya: \sin30^\circ=\frac12, \cos30^\circ=(√3)/(2), \tan30^\circ=(1)/(√3)=(√3)/(3), dan dari sudut yang lain \sin60^\circ=(√3)/(2), \cos60^\circ=\frac12, \tan60^\circ=√3.

Setengah persegi. Belah persegi bersisi 1 sepanjang diagonalnya. Diperoleh segitiga siku-siku dengan dua sudut 45^\circ, sisi tegak 1, dan sisi miring √2. Jadi \sin45^\circ=\cos45^\circ=(1)/(√2)=(√2)/(2) dan \tan45^\circ=1.

Pola yang mudah diingat. Tulis sinus 0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ sebagai (√0)/(2),(√1)/(2),(√2)/(2),(√3)/(2),(√4)/(2); kosinusnya adalah daftar yang sama dari belakang, dan tangen adalah sinus dibagi kosinus. Sudut 0^\circ adalah segitiga yang merosot tanpa tinggi (\sin0^\circ=0) dan pada 90^\circ sisi samping menyusut menjadi nol, sehingga \tan90^\circ=1/0 tidak bernilai.

Kelipatan 15^\circ memerlukan sedikit lebih banyak: \sin15^\circ=(√6-√2)/(4), \cos15^\circ=(√6+√2)/(4), dan \tan15^\circ=2-√3, yang mengikuti dari rumus sudut di bawah (15^\circ=45^\circ-30^\circ). Lingkaran satuan di bawah memberi nilai eksak semuanya. Segitiga-segitiga ini juga yang ada pada segitiga siku-siku, tempat sisi-sisinya muncul sebagai perbandingan 1:1:√2 dan 1:√3:2.

Bagaimana lingkaran satuan memberi sinus dan kosinus untuk setiap sudut?

Pada lingkaran satuan, lingkaran berjari-jari 1 berpusat di titik asal, titik yang dicapai dengan berputar sebesar sudut θ dari sumbu-x positif adalah (\cosθ,\sinθ). Inilah definisi yang berlaku untuk setiap sudut. Untuk sudut lancip ia sesuai dengan segitiga: jatuhkan garis tegak lurus dari titik itu ke sumbu-x, dan segitiga siku-sikunya memiliki sisi miring 1, sehingga sisi samping adalah \cosθ dan sisi depan adalah \sinθ. Sudut positif berputar berlawanan arah jarum jam, sudut negatif searah jarum jam (lihat cara sudut diukur), dan \tanθ=(\sinθ)/(\cosθ) di mana pun kosinus bukan 0.

Tiga hal mengikuti.

Tanda menurut kuadran. Tanda \cosθ adalah tanda koordinat-x dan tanda \sinθ adalah tanda koordinat-y:

Dengan kata-kata: ketiganya positif di I, hanya sinus di II, hanya tangen di III, dan hanya kosinus di IV (urutan kuadran I sampai IV: semua, sin, tan, cos).

Sudut acuan. Sudut acuan θ adalah sudut lancip antara kaki terminalnya dan sumbu-x. Karena kesimetrian, setiap fungsi di θ memiliki nilai mutlak yang sama dengan nilainya pada sudut acuan, dan tandanya ditentukan kuadran.

1. Cari sudut acuan: θ di kuadran II memberi 180^\circ-θ, di III memberi θ-180^\circ, di IV memberi 360^\circ-θ.
2. Baca nilai pada sudut acuan (tabel di bagian sebelumnya).
3. Pasang tanda kuadran di depannya.

Misalnya \sin210^\circ: ia di kuadran III, sudut acuannya 30^\circ, dan sinus negatif di sana, jadi \sin210^\circ=-\frac12. Dan \cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12, \tan135^\circ=-\tan45^\circ=-1.

Periodisitas dan sudut negatif. Satu putaran penuh tidak mengubah apa pun, sehingga \sin(θ+360^\circ)=\sinθ dan hal yang sama untuk kosinus; tangen berulang setelah setengah putaran, \tan(θ+180^\circ)=\tanθ. Berputar ke arah sebaliknya mencerminkan titik pada sumbu-x: \sin(-θ)=-\sinθ dan \cos(-θ)=\cosθ. Jadi \sin(-30^\circ)=-\frac12 dan \cos(-30^\circ)=(√3)/(2). (Ahli matematika mengukur putaran yang sama dalam radian, dengan 360^\circ=2π.)

Geser sudut di bawah, dari -360^\circ sampai 720^\circ, dan lihat titik, tanda, dan nilai eksaknya.

Bagaimana menyelesaikan sin x = c, cos x = c, dan tan x = c?

Untuk menyelesaikan \sin x=c, \cos x=c, atau \tan x=c, cari satu sudut dengan fungsi invers, cari bayangan cerminnya pada lingkaran satuan, dan tambahkan putaran penuh pada keduanya. Alasan adanya sudut kedua adalah bahwa dua titik pada lingkaran satuan memiliki tinggi yang sama (sinus yang sama), dua titik memiliki koordinat-x yang sama (kosinus yang sama), dan dua titik berlawanan memberi tangen yang sama.

1. Bila c di luar -1\le c\le1 untuk sinus atau kosinus, tidak ada penyelesaian. 2. Cari sudut pokok α dengan fungsi invers (\arcsin c, \arccos c, atau \arctan c). 3. Cari sudut kedua di antara 0^\circ dan 360^\circ dari kesimetrian: - sinus: x=α dan x=180^\circ-α; - kosinus: x=α dan x=360^\circ-α (yaitu ±α); - tangen: x=α dan x=α+180^\circ. 4. Tambahkan putaran penuh untuk semua penyelesaian: 360^\circ k untuk sinus dan kosinus, 180^\circ k untuk tangen, dengan k bilangan bulat apa saja. 5. Periksa jawabannya dengan substitusi.

Contoh. \sin x=\frac12. Sudut pokoknya α=30^\circ, sehingga penyelesaian di antara 0^\circ dan 360^\circ adalah 30^\circ dan 180^\circ-30^\circ=150^\circ; secara umum x=30^\circ+360^\circ k atau x=150^\circ+360^\circ k. Untuk \cos x=-(√2)/(2) sudut pokoknya 135^\circ, dan penyelesaiannya 135^\circ dan 225^\circ. Untuk \tan x=√3 penyelesaiannya 60^\circ dan 240^\circ.

Kalkulator atau program hanya memberi nilai pokok (\arcsin mengembalikan sudut di antara -90^\circ dan 90^\circ), sehingga penyelesaian kedua harus dicari sendiri. Cara yang sama menyelesaikan persamaan yang lebih sulit setelah dibawa ke bentuk ini, misalnya 2\sin^2x=\sin x menjadi \sin x (2\sin x-1)=0, sehingga \sin x=0 atau \sin x=\frac12.

Apa saja identitas trigonometri dasar?

Identitas trigonometri adalah persamaan yang benar untuk setiap sudut yang kedua ruasnya terdefinisi, yang membedakannya dari persamaan biasa, yang benar hanya untuk sebagian sudut. \sin x=\frac12 adalah persamaan (berlaku pada 30^\circ dan 150^\circ dan seterusnya); \sin^2x+\cos^2x=1 adalah identitas (berlaku selalu). Berikut yang perlu diketahui.

Asalnya. Identitas Pythagoras adalah persamaan lingkaran satuan, x^2+y^2=1, dengan x=\cosθ dan y=\sinθ; bagi dengan \cos^2x untuk bentuk kedua. Identitas fungsi komplemen mengatakan bahwa sinus sebuah sudut adalah kosinus penyikunya (kedua sudut lancip segitiga siku-siku). Rumus sudut ganda adalah rumus jumlah dengan y=x, dan rumus jumlah dapat dibuktikan dari geometri lingkaran satuan. Dengannya diperoleh nilai eksak di luar tabel, misalnya \sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ), yang menurut rumus jumlah adalah (√2)/(2)·(√3)/(2)+(√2)/(2)·\frac12, yaitu (√6+√2)/(4).

Identitas tidak dibuktikan dengan mencoba satu bilangan. Rumus yang menggoda \sin(x+y)=\sin x+\sin y, \sin2x=2\sin x, dan \sin x+\cos x=1 salah, namun masing-masing benar pada beberapa sudut: \sin2x=2\sin x berlaku pada x=0^\circ dan x=180^\circ, dan satu uji yang kebetulan cocok dapat meyakinkan kita. Identitas yang salah dibantah oleh satu contoh penyangkal (\sin(30^\circ+60^\circ)=1 tetapi \sin30^\circ+\sin60^\circ≈1,366); yang benar harus dibuktikan, dengan aljabar atau geometri. Penguji di bawah membandingkan kedua ruas pada semua 360 derajat bulat.

Seperti apa grafik sinus dan kosinus?

Grafik y=\sin x dan y=\cos x adalah gelombang yang berulang setiap 360^\circ dan berosilasi di antara -1 dan 1; kosinus adalah sinus yang digeser 90^\circ ke kiri. Gambarkan tinggi titik pada lingkaran satuan terhadap sudutnya dan diperoleh gelombang sinus: ia mulai dari 0, naik ke 1 pada 90^\circ, turun melewati 0 pada 180^\circ ke -1 pada 270^\circ, dan kembali di 0 pada 360^\circ. Tangen memiliki bentuk lain: ia berulang setiap 180^\circ dan meledak di dekat 90^\circ dan 270^\circ, tempat kosinus bernilai 0.

Setiap gelombang berbentuk y=a\sin(b(x-c))+d (atau dengan kosinus) diuraikan oleh empat bilangan:

• amplitudo |a|, jarak dari garis tengah ke puncak; a negatif membalik gelombang;
• periode (360^\circ)/(b), panjang satu siklus penuh (dalam radian, (2π)/(b)); b yang lebih besar merapatkan gelombang;
• pergeseran fase c, seberapa jauh gelombang digeser ke kanan;
• garis tengah y=d, tinggi tempat gelombang berosilasi; maksimumnya d+|a| dan minimumnya d-|a|.

Contoh. y=2\sin(3x)+1: amplitudo 2, periode (360^\circ)/(3)=120^\circ, tanpa pergeseran, garis tengah y=1, maksimum 3, minimum -1. Nolnya ada di tempat \sin3x=-\frac12.

Gelombang berbentuk ini menggambarkan apa pun yang berputar atau bolak-balik: tinggi pasang surut, bandul yang berayun, bunyi satu nada murni, arus bolak-balik, pergantian panjang siang. Gradiennya adalah gelombang lain, yang menjadi topik turunan sinus dan kosinus. Ubah keempat bilangan di bawah dan lihat tabelnya.

Di mana trigonometri dipakai?

Trigonometri dipakai di mana pun kita tidak dapat mengukur panjang atau arah secara langsung tetapi dapat mengukur sudut, atau di mana sesuatu berputar atau berosilasi.

• Tinggi dan jarak. Tinggi menara, pohon, atau gunung, lebar sungai, jarak ke sebuah kapal: satu sudut dan satu panjang yang terukur memberi sisanya (survei bekerja persis seperti ini, dengan teodolit untuk mengukur sudutnya).
• Kemiringan. Gradien jalan atau atap adalah tangen sudutnya; landasan miring untuk kursi roda sebaiknya tidak melebihi sekitar 5^\circ.
• Navigasi. Bearing adalah sudut dari utara (lihat arah dan bearing); komponen arah timur dan utara dari sebuah haluan adalah d\sinθ dan d\cosθ untuk bearing θ.
• Fisika dan teknik. Gaya atau kecepatan pada sudut θ memiliki komponen F\cosθ dan F\sinθ; sebuah balok pada bidang miring merasakan mg\sinθ sepanjang bidang itu.
• Gelombang dan sinyal. Bunyi, cahaya, radio, arus bolak-balik, dan pasang surut adalah jumlah gelombang sinus.
• Komputer. Sebuah titik yang diputar sebesar θ terhadap titik asal berpindah ke (x\cosθ-y\sinθ, x\sinθ+y\cosθ), dasar grafika, permainan, dan lengan robot; posisi titik pada lingkaran adalah (r\cosθ, r\sinθ).

Semuanya bertumpu pada gambar yang sama: sebuah segitiga siku-siku, atau titik pada lingkaran satuan.

Bagaimana memakai trigonometri dalam kode?

Setiap bahasa pemrograman menerima sudut dalam radian, jadi ubah dulu: math.sin(math.radians(30)) di Python, Math.sin(30 Math.PI / 180) di JavaScript, sin(30 PI / 180) di C++. Melupakan ini adalah kesalahan paling umum: math.sin(30) adalah sinus 30 radian, sekitar -0,988.

Jebakan kedua adalah pembulatan. Karena π disimpan dengan galat kecil, nilai yang kita harapkan tepat ternyata tidak: math.sin(math.radians(30)) memberi 0.49999999999999994, math.cos(math.radians(90)) memberi 6.1e-17 alih-alih 0, dan math.tan(math.radians(90)) memberi sekitar 1,6×10^16 alih-alih "tak terdefinisi". Bandingkan dengan toleransi, jangan pernah dengan ==, atau lipat sudut ke sudut acuan di antara 0^\circ dan 90^\circ dulu, seperti fungsi sin_deg di bawah.

Untuk arah sebaliknya, pakai fungsi invers, dan pilih atan2(depan, samping) daripada atan(depan / samping): ia mendapatkan kuadran yang benar dan tidak membagi dengan nol (lihat sudut antara dua vektor). Program memecahkan menara dan jalan dari contoh, segitiga 3-4-5, dan persamaan \sin x=\frac12.

import math


def sin_deg(d):
    """Sine of an angle in degrees: fold to a reference angle first, so 30 and 90 come out exact."""
    n = d % 360
    ref, sign = (n, 1) if n <= 90 else (180 - n, 1) if n <= 180 else (n - 180, -1) if n <= 270 else (360 - n, -1)
    v = {0: 0.0, 30: 0.5, 90: 1.0}.get(ref, math.sin(math.radians(ref)))
    return sign * v if v else 0.0


def cos_deg(d):
    return sin_deg(90 - d)


print(math.sin(math.radians(30)), sin_deg(30))       # 0.49999999999999994 0.5
print(math.cos(math.radians(90)), cos_deg(90))       # 6.123233995736766e-17 0.0
print(math.tan(math.radians(90)))                    # 1.633123935319537e+16, not "undefined"
print(round(40 * math.tan(math.radians(35)), 2))     # 28.01: the tower seen at 35 degrees from 40 m
print(round(math.degrees(math.atan2(8, 100)), 2))    # 4.57: the road that rises 8 m in 100 m
print(round(math.degrees(math.atan2(3, 4)), 4), math.hypot(3, 4))     # 36.8699 5.0
x = math.degrees(math.asin(0.5))                     # the principal value of sin x = 1/2
print(round(x, 6), round(180 - x, 6))                # 30.0 150.0: the mirror image is yours to add
print(round(math.sin(math.radians(75)), 6), round((math.sqrt(6) + math.sqrt(2)) / 4, 6))   # 0.965926 0.965926
print(sin_deg(210), sin_deg(-30), cos_deg(120))      # -0.5 -0.5 -0.5

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180
const deg = (r) => (r * 180) / Math.PI

function sinDeg(d) {
  const n = ((d % 360) + 360) % 360                     // JavaScript's % keeps the sign of d, so fix it
  const [ref, sign] = n <= 90 ? [n, 1] : n <= 180 ? [180 - n, 1] : n <= 270 ? [n - 180, -1] : [360 - n, -1]
  const v = ref === 0 ? 0 : ref === 30 ? 0.5 : ref === 90 ? 1 : Math.sin(rad(ref))
  return v === 0 ? 0 : sign * v
}
const cosDeg = (d) => sinDeg(90 - d)

;[Math.sin(rad(30)), sinDeg(30)]                        // [0.49999999999999994, 0.5]
;[Math.cos(rad(90)), cosDeg(90)]                        // [6.123233995736766e-17, 0]
Math.tan(rad(90))                                       // 16331239353195370, not "undefined"
+(40 * Math.tan(rad(35))).toFixed(2)                    // 28.01
+deg(Math.atan2(8, 100)).toFixed(2)                     // 4.57
;[deg(Math.asin(0.5)), 180 - deg(Math.asin(0.5))].map((x) => +x.toFixed(6))   // [30, 150]
;[sinDeg(210), sinDeg(-30), cosDeg(120)]                // [-0.5, -0.5, -0.5]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.14159265358979323846;

double radians(double d) { return d * PI / 180.0; }

double sinDeg(double d) {
  double n = d - 360.0 * floor(d / 360.0);        // into [0, 360)
  double ref = n;
  double sign = 1;
  if (n > 270) { ref = 360 - n; sign = -1; }
  else if (n > 180) { ref = n - 180; sign = -1; }
  else if (n > 90) { ref = 180 - n; }
  double v;
  if (ref == 0) v = 0;
  else if (ref == 30) v = 0.5;
  else if (ref == 90) v = 1;
  else v = sin(radians(ref));
  return v == 0 ? 0 : sign * v;
}

double cosDeg(double d) { return sinDeg(90 - d); }

int same(double a, double b) { return a == b ? 1 : 0; }

int main() {
  printf("%d %d\n", same(sin(radians(30)), 0.5), same(sinDeg(30), 0.5));
  printf("%d %d\n", same(cos(radians(90)), 0), same(cosDeg(90), 0));
  printf("%.2f\n", 40 * tan(radians(35)));
  printf("%.2f\n", atan2(8, 100) * 180 / PI);
  printf("%.4f %.4f\n", sinDeg(210), cosDeg(120));
  printf("%.6f %.6f\n", asin(0.5) * 180 / PI, 180 - asin(0.5) * 180 / PI);
  return 0;
}

/* output:
0 1
0 1
28.01
4.57
-0.5000 -0.5000
30.000000 150.000000
*/

Dari mana trigonometri berasal?

Trigonometri bermula sebagai astronomi tali busur, tumbuh menjadi sinus dan kosinus di India dan dunia Islam, dan menjadi fungsi yang kita tulis sekarang pada abad kedelapan belas.

• Sekitar 150 SM. Hipparchus menyusun tabel tali busur pertama (panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran untuk suatu sudut), untuk meramalkan posisi Matahari dan Bulan. Sekitar 150 M, Almagest Ptolemeus memuat tabel tali busur untuk setiap setengah derajat.
• Sekitar 500 M. Astronom India seperti Aryabhata bekerja dengan setengah tali busur, yaitu jya, yang adalah sinus kita, dan menabelkannya; kosinus muncul sebagai sinus sudut penyiku.
• Sekitar 800 sampai 1000. Di dunia Islam, cendekiawan termasuk al-Khwarizmi dan Abu al-Wafa memperluas tabel dan memakai keenam fungsi, dan al-Battani mengganti tali busur Yunani dengan sinus dalam astronominya.
• Abad ke-12. Penerjemah Latin menerjemahkan jayb dalam bahasa Arab (salah baca atas jya Sanskerta) sebagai sinus, yang berarti "lipatan" atau "teluk": begitulah kata sine mendapat namanya.
• 1464. Regiomontanus menulis De triangulis omnimodis, buku Eropa pertama tentang trigonometri sebagai bidang tersendiri, terpisah dari astronomi.
• 1595. Bartholomaeus Pitiscus menerbitkan Trigonometria dan memberi bidang itu namanya.
• 1748. Introductio in analysin infinitorum karya Euler menetapkan notasi modern (sin, cos, tan) dan memperlakukannya sebagai fungsi dari sebuah bilangan, yang membuka jalan bagi kalkulus dan gelombang.

Apa kesalahan umum dalam trigonometri?

Kesalahan paling umum dalam trigonometri adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: trigonometri dasar sekilas

• Perbandingan: \sinθ=(dep)/(mir), \cosθ=(sam)/(mir), \tanθ=(dep)/(sam) (sin-de-mi, cos-sa-mi, tan-de-sa); kebalikan \csc, \sec, \cot; hanya bergantung pada sudut (segitiga sebangun).
• Memecahkan segitiga siku-siku: satu sudut dan satu sisi, atau dua sisi; pilih perbandingan dengan sisi yang diketahui dan dicari; fungsi invers untuk sudut; periksa dengan Pythagoras.
• Sudut istimewa: \sin30^\circ=\frac12, \sin45^\circ=(√2)/(2), \sin60^\circ=(√3)/(2); kosinus terbalik; \tan: (√3)/(3), 1, √3; \tan90^\circ tak terdefinisi.
• Lingkaran satuan: titik pada sudut θ adalah (\cosθ,\sinθ); tanda: semua, sinus, tangen, kosinus di kuadran I sampai IV; sudut acuan; periode 360^\circ (tangen 180^\circ); \sin(-θ)=-\sinθ, \cos(-θ)=\cosθ.
• Persamaan: \sin x=c: α dan 180^\circ-α; \cos x=c: ±α; \tan x=c: α dan α+180^\circ; tambahkan putaran.
• Identitas: \sin^2x+\cos^2x=1, \tan x=(\sin x)/(\cos x), \sin(90^\circ-x)=\cos x, \sin2x=2\sin x\cos x, \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y; satu contoh penyangkal membantah, bukti diperlukan untuk memastikan.
• Grafik: y=a\sin(b(x-c))+d memiliki amplitudo |a|, periode (360^\circ)/(b), pergeseran fase c, garis tengah d.
• Kode: radian untuk sin dan cos; bandingkan dengan toleransi; atan2 untuk sudut; fungsi invers hanya memberi satu penyelesaian.

Glosarium: istilah penting

Trigonometri

Cabang matematika yang menghubungkan sudut segitiga dengan panjang sisinya, melalui sinus, kosinus, dan tangen.

Sisi miring

Sisi segitiga siku-siku di depan sudut siku-siku, dan sisi terpanjangnya.

Sinus

Untuk sudut lancip segitiga siku-siku, panjang sisi depan dibagi sisi miring; pada lingkaran satuan, koordinat-y titik pada sudut itu.

Kosinus

Untuk sudut lancip segitiga siku-siku, sisi samping dibagi sisi miring; pada lingkaran satuan, koordinat-x titik pada sudut itu.

Tangen

Sisi depan dibagi sisi samping, yang sama dengan sinus dibagi kosinus; ia tak terdefinisi di tempat kosinus bernilai nol.

Lingkaran satuan

Lingkaran berjari-jari 1 berpusat di titik asal, dipakai untuk mendefinisikan sinus dan kosinus untuk setiap sudut.

Sudut acuan

Sudut lancip antara kaki terminal sebuah sudut dan sumbu-x; nilai fungsi pada sudut itu sama dengan pada sudut acuan kecuali tandanya.

Sudut elevasi

Sudut di atas garis mendatar saat kita memandang ke atas sebuah benda; sudut depresi adalah sudut yang sama diukur di bawah garis mendatar.

Identitas trigonometri

Persamaan yang memuat fungsi trigonometri yang benar untuk setiap sudut yang kedua ruasnya terdefinisi, seperti sin kuadrat ditambah cos kuadrat sama dengan 1.

Amplitudo dan periode

Pada gelombang sinus atau kosinus, amplitudo adalah tinggi dari garis tengah ke puncak, dan periode adalah panjang satu siklus penuh.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Eli Maor (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press.
2. I. M. Gelfand, Mark Saul (2001). Trigonometry (2nd ed.). Birkhäuser.
3. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (chapters on trigonometric functions). Cengage Learning.
4. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
5. G. J. Toomer (1984). Ptolemy's Almagest (translated and annotated). Springer.
6. Leonhard Euler (1748). Introductio in analysin infinitorum. Marcum-Michaelem Bousquet.

Artikel terkait

• Sudut: Pengukuran, Jenis, Pasangan, dan Garis Sejajar: Sudut dijelaskan: derajat, radian, dan putaran, jenis dan pasangan sudut, garis sejajar dan garis lintang, sudut segi banyak, sudut jam, dan bearing.
• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Teorema Pythagoras: Bukti, Tripel, dan Penerapan: Teorema Pythagoras: pernyataan, empat bukti, kebalikan dan aturan 3-4-5, tripel Pythagoras, rumus jarak, dan perluasannya, dengan latihan soal.
• Fungsi Trigonometri Invers: Fungsi trigonometri invers: domain dan jangkauan, turunan arcsin, arctan, dan arcsec dengan bukti, identitas kofungsi, dan sudut pandang terbaik.