Sudut: Pengukuran, Jenis, Pasangan, dan Garis Sejajar

Apa itu sudut?

Sudut adalah bangun yang dibentuk oleh dua sinar, disebut sisi atau kaki-nya, yang berawal dari titik yang sama, disebut titik sudut-nya; besarnya menyatakan seberapa jauh satu sinar harus diputar untuk jatuh di atas yang lain. Buka sebuah pintu, dan sudut antara pintu dan kusen membesar; ayunkan jarum jam, dan ia menyapu sebuah sudut. Besarnya tidak bergantung pada panjang sinar yang digambar, hanya pada putaran di antaranya.

Penamaan. Sudut ditulis dengan tiga huruf dan tanda sudut, dengan titik sudut di tengah: \angle ABC memiliki titik sudut di B dan sisinya sepanjang BA dan BC. Satu huruf (\angle B) cukup bila tidak ada sudut lain yang berbagi titik sudut, dan huruf Yunani (θ, α) sering dipakai untuk besarnya.

Arah. Dalam matematika sudut diukur dari sebuah sinar awal, sisi awal, ke sisi akhir, dan putaran berlawanan arah jarum jam adalah positif dan searah jarum jam negatif. Jadi -90^\circ adalah seperempat putaran searah jarum jam, dan 450^\circ adalah satu putaran penuh ditambah seperempat: ia berakhir di tempat yang sama dengan 90^\circ. Euklides, dalam Elements, menguraikan sudut sebagai kemiringan dua garis satu terhadap yang lain dalam sebuah bidang, dan berabad-abad geometri hanya memakai sudut di bawah sudut lurus; gagasan sudut sebagai besarnya putaran, yang dapat dijumlahkan, negatif, atau lebih besar dari satu putaran penuh, adalah yang diperlukan trigonometri, rotasi, dan navigasi.

Mengapa mengukur. Dua sudut dapat dibandingkan dan dijumlahkan: menaruhnya berdampingan sepanjang sinar bersama memberi jumlahnya. Untuk menyatakan seberapa besar diperlukan satuan, dan bagian berikutnya menguraikan satuan, nama sudut menurut besarnya, dan aturan yang menghubungkan sudut satu sama lain serta dengan garis, segi banyak, lingkaran, jam, dan vektor.

Bagaimana sudut diukur dalam derajat, radian, dan putaran?

Satu putaran penuh adalah 360 derajat, 2π radian, 400 gradian, atau 1 putaran, dan setiap satuan adalah cara memotong putaran yang sama menjadi bagian-bagian yang sama besar.

Derajat. Derajat adalah (1)/(360) putaran. Bilangan 360 berasal dari bangsa Babilonia, yang menghitung dalam enam puluhan dan yang tahunnya mendekati 360 hari; ia habis dibagi 24 bilangan, sehingga setengah, sepertiga, seperempat, seperlima, seperenam, dan seperdelapan putaran menjadi bilangan bulat. Sebuah derajat dipotong menjadi 60 menit (1^\circ=60') dan sebuah menit menjadi 60 detik (1'=60''), seperti pada jam: 12^\circ30'15''=12+(30)/(60)+(15)/(3600)=12,504(16 repeating)^\circ. Lintang dan bujur pada peta ditulis dengan cara ini.

Radian. Satu radian adalah sudut di pusat lingkaran yang memotong busur sepanjang jari-jari. Karena kelilingnya 2π r, satu putaran penuh adalah 2π radian, dan sudut θ radian memotong busur sepanjang rθ (lihat busur dan juring untuk lingkarannya). Radian membuat rumus kalkulus bersih (turunan \sin x adalah \cos x hanya bila x dalam radian), sehingga matematikawan dan bahasa pemrograman memakainya secara bawaan.

Mengubah. Karena 180^\circ=π radian, radian=derajat·(π)/(180),\qquadderajat=radian·(180)/(π). Sudut yang umum: 30^\circ=(π)/(6), 45^\circ=(π)/(4), 60^\circ=(π)/(3), 90^\circ=(π)/(2), 120^\circ=(2π)/(3), 135^\circ=(3π)/(4), 180^\circ=π, 270^\circ=(3π)/(2), 360^\circ=2π. Satu radian adalah (180)/(π)≈57,2958^\circ, dan satu derajat sekitar 0,017453 radian.

Ketik sudut dalam satuan apa pun di bawah, atau pilih salah satu sudut yang umum, dan baca dalam semuanya, dengan namanya serta penyiku, pelurus, dan pelengkap penuhnya (sudut yang melengkapinya menjadi 360^\circ).

Apa saja jenis sudut dan pasangan sudut?

Sudut dinamai menurut besarnya, dan dua sudut dinamai sebagai pasangan bila besarnya terikat oleh aturan sederhana.

Pasangan. - Sudut berpenyiku berjumlah 90^\circ: penyiku 35^\circ adalah 55^\circ. Hanya sudut lancip yang punya penyiku. - Sudut berpelurus berjumlah 180^\circ: pelurus 112^\circ adalah 68^\circ. Pengingatnya penyiku lebih dulu daripada pelurus seperti 90 sebelum 180. - Sudut pelengkap penuh (atau konjugat) berjumlah 360^\circ. - Sudut bersisian berbagi titik sudut dan satu sisi dan tidak tumpang tindih. Bila sisi luarnya membentuk garis lurus mereka adalah pasangan linear, dan pasangan linear berpelurus. - Sudut bertolak belakang adalah sudut yang berhadapan di tempat dua garis berpotongan, dan sudut bertolak belakang sama besar. Buktinya: bila sudut-sudut berurutan di sekitar perpotongan adalah a, b, a', b', maka a+b=180^\circ dan b+a'=180^\circ (keduanya pasangan linear), sehingga a=a'; argumen yang sama menunjukkan b=b'.

Dua garis yang berpotongan siku-siku disebut tegak lurus. Di sekitar satu titik sudut-sudut berjumlah 360^\circ, dan sepanjang garis 180^\circ; kebanyakan latihan "cari sudut yang hilang" adalah kedua fakta ini dan pasangan di atas, dipakai berulang-ulang.

Sudut mana yang sama besar ketika sebuah garis memotong dua garis sejajar?

Sebuah garis, disebut garis lintang (transversal), yang memotong dua garis sejajar membuat delapan sudut, dan mereka hanya bernilai dua: sebuah sudut α dan pelurusnya 180^\circ-α. Beri nomor 1 sampai 8, empat pertama pada garis atas dan empat lainnya pada garis bawah, setiap kali dengan urutan kiri atas, kanan atas, kiri bawah, kanan bawah. Sudut dalam adalah keempat sudut di antara garis sejajar (3, 4, 5, 6) dan sudut luar keempat lainnya.

Teorema dan kebalikannya. Jika kedua garis sejajar, sudut sehadap sama besar, dan jika sebuah garis lintang membuat sudut sehadap yang sama besar, kedua garis itu sejajar. Inilah bentuk yang dipakai postulat kesejajaran Euklides (Elements I.27 dan I.29), dan ia cara membuktikan garis sejajar. Pasangan lain mengikuti dari sudut sehadap dan sudut bertolak belakang: sudut 3 bertolak belakang dengan 2, dan 2 sehadap dengan 6, sehingga 3=6, pasangan dalam berseberangan. Rantai yang sama memberi yang lain.

Memakainya. Bila satu sudut diketahui, kedelapannya diketahui: jika \angle2=65^\circ maka \angle1=\angle4=\angle5=\angle8=115^\circ dan \angle3=\angle6=\angle7=65^\circ. Widget di bawah memungkinkan kamu menggeser garis lintang dan menyorot pasangan setiap jenis beserta nilainya. Penalaran yang sama membuktikan bahwa sudut-sudut segitiga berjumlah 180^\circ: gambar garis sejajar salah satu sisi melalui titik sudut di seberangnya (lihat jumlah sudut segitiga).

Berapa jumlah sudut segi banyak mana pun?

Sudut-sudut dalam segi banyak dengan n sisi berjumlah (n-2)·180^\circ, dan sudut luarnya berjumlah 360^\circ, apa pun bentuknya.

Mengapa (n-2)·180^\circ. Pilih satu titik sudut dan gambar semua diagonal dari situ. Mereka memotong segi banyak menjadi n-2 segitiga (segiempat menjadi 2, segilima menjadi 3), dan sudut-sudut segitiga itu bersama-sama tepat membentuk sudut dalam segi banyak. Setiap segitiga menyumbang 180^\circ. Jadi jumlah=(n-2)·180^\circ: 180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, 720^\circ, … untuk n=3,4,5,6,… (Segitiga memberi 180^\circ dan segiempat 360^\circ, yang merupakan fakta segitiga dan segiempat.) Ini berlaku untuk segi banyak cembung dan juga yang cekung.

Sudut luar. Pada setiap titik sudut, sudut luar adalah belokan yang kamu buat ketika berjalan mengelilingi segi banyak: ia 180^\circ dikurangi sudut dalam. Setelah mengelilinginya sekali kamu telah berbelok satu putaran penuh, sehingga sudut luar berjumlah 360^\circ, untuk segi banyak cembung mana pun. Periksa dengan jumlah sudut dalam: n·180^\circ-(n-2)·180^\circ=360^\circ.

Segi banyak beraturan. Bila semua sudutnya sama, setiap sudut dalam adalah ((n-2)·180^\circ)/(n) dan setiap sudut luar (360^\circ)/(n): 60^\circ untuk segitiga, 90^\circ untuk persegi, 108^\circ untuk segilima, 120^\circ untuk segienam, 135^\circ untuk segidelapan. Dari sebuah sudut kamu dapat mencari n: segi banyak beraturan dengan sudut luar 24^\circ memiliki (360)/(24)=15 sisi. Sebuah segi banyak memiliki (n(n-3))/(2) diagonal.

Pengubinan. Salinan segi banyak beraturan muat mengelilingi satu titik tanpa celah tepat ketika sudut dalamnya membagi 360^\circ. Itu terjadi hanya untuk segitiga (6 di sekeliling satu titik), persegi (4), dan segienam (3), itulah sebabnya ubin kamar mandi berupa persegi, segitiga, atau segienam, dan sarang lebah berbentuk segienam. Geser banyak sisi di bawah.

Bagaimana sudut berhubungan dengan busur lingkaran?

Sudut di pusat lingkaran adalah pecahan putaran yang diambil busurnya, dan setiap panjang dan luas irisan itu adalah pecahan tersebut dari keseluruhan. Jika sudut pusatnya θ radian, busurnya sepanjang rθ, juringnya seluas \frac12r^2θ dan tali busur yang menghubungkan ujungnya sepanjang 2r\sin\fracθ2. Bahwa busur dibagi jari-jari memberi sudut adalah definisi radian.

Sudut dengan titik sudut pada lingkaran, di antara dua tali busur, adalah sudut keliling. Untuk tali busur AB dengan sudut pusat θ, sudut keliling di titik P di luar busur dari A ke B selalu \fracθ2, ke mana pun P bergerak, dan di titik pada busur itu ia 180^\circ-\fracθ2. Bila AB adalah diameter (θ=180^\circ) sudut kelilingnya selalu 90^\circ (Thales). Bukti dan teorema lainnya ada di teorema sudut pada lingkaran.

Widget di bawah mengukur sudut di P dari koordinat titik-titiknya, tanpa teorema, dan membandingkannya dengan setengah sudut pusat: keduanya sesuai ke mana pun kamu menyeret P. Ia juga memberi busur, juring, dan tali busur untuk jari-jari yang kamu ketik.

Bagaimana jarum jam membentuk sudut?

Jarum menit berputar 6^\circ setiap menit dan jarum jam 0,5^\circ setiap menit, sehingga pada jam h dan menit m sudut di antaranya adalah |30h-5,5m|, dan bila itu lebih dari 180^\circ sudutnya adalah 360^\circ dikurangi itu. Ukur setiap jarum searah jarum jam dari angka 12. Jarum jam berada pada 30h+0,5m derajat: 30^\circ untuk setiap jam, ditambah bagian jam berikutnya yang telah berlalu. Jarum menit berada pada 6m derajat. Selisihnya |30h+0,5m-6m|=|30h-5,5m|. Contoh: pada 3:00 nilainya |90-0|=90^\circ; pada 2:30 nilainya |60-165|=105^\circ; pada 12:30 nilainya |0-165|=165^\circ; pada 6:00 nilainya 180^\circ.

Seberapa sering. Jarum menit mendahului jarum jam 5,5^\circ per menit, sehingga ia menyusulnya setiap \frac3605,5=65(5)/(11) menit: kedua jarum bertumpuk 11 kali dalam dua belas jam, pertama pada 1:05:27\frac311 (dan bukan tepat 1:05), lalu pada 2:10:54\frac611, dan seterusnya, dan tumpukan kesebelas adalah pada 12:00 lagi. Sudut relatifnya melewati semua nilai dari 0^\circ sampai 360^\circ sebanyak sebelas kali dalam dua belas jam, sehingga setiap sudut yang benar-benar di antara 0^\circ dan 180^\circ terjadi 22 kali (dua kali per putaran, sekali dengan masing-masing jarum di depan): kedua jarum membentuk sudut siku-siku 22 kali dalam dua belas jam, 44 kali sehari, dan tepat berlawanan 11 kali. Sudut siku-siku itu terjadi pada 3:00 dan 9:00 dan pada dua puluh waktu lain yang janggal seperti 12:16:21(9)/(11).

Geser jarum di bawah, dan pilih sebuah sudut untuk melihat semua waktu ketika jarum membentuknya, sampai pecahan detik yang tepat (klik sebuah waktu untuk mengatur jam).

Bagaimana bearing kompas berhubungan dengan sudut matematika?

Bearing kompas adalah sudut yang diukur searah jarum jam dari utara, sedangkan sudut matematika diukur berlawanan arah jarum jam dari timur, sehingga keduanya berhubungan dengan bearing =90^\circ-θ (modulo 360^\circ). Matematika menaruh sudut 0^\circ sepanjang sumbu-x positif (timur) dan berputar menuju y (utara). Navigator dan juru ukur mulai dari utara dan berputar searah jarum jam. Konversinya adalah pencerminan dan pergeseran:

Enam belas titik kompas berjarak 22,5^\circ: N, NNE, NE, ENE, E, ESE, SE, SSE, S, SSW, SW, WSW, W, WNW, NW, NNW. Bearing biasanya ditulis dengan tiga angka (045^\circ), dan bearing balik (arah sebaliknya) adalah bearing ditambah atau dikurangi 180^\circ. Program yang menggambar di layar menambah konvensi ketiga: y layar bertambah ke bawah, sehingga sudut berlawanan arah jarum jam memerlukan sinus yang dinegasikan.

Mode kedua widget di akhir bagian berikutnya mengubah di antara kedua sistem dan memberi nama kompasnya.

Bagaimana mencari sudut antara dua garis atau dua vektor?

Antara dua vektor sudut berasal dari hasil kali titik, \cosθ=(\mathbf a·\mathbf b)/(|\mathbf a||\mathbf b|), dan antara dua garis dari gradiennya, \tanθ=\left|(m_1-m_2)/(1+m_1m_2)\right|.

Vektor. Untuk \mathbf a=(a_1,a_2) dan \mathbf b=(b_1,b_2) hasil kali titiknya a_1b_1+a_2b_2=|\mathbf a||\mathbf b|\cosθ dan hasil kali silangnya a_1b_2-a_2b_1=|\mathbf a||\mathbf b|\sinθ. Tanda hasil kali titik menunjukkan jenis sudutnya: positif untuk lancip, nol untuk siku-siku, negatif untuk tumpul. Membaginya memberi \tanθ, itulah sebabnya sudut dapat dihitung sebagai θ=\operatornameatan2\bigl(|a_1b_2-a_2b_1|, a_1b_1+a_2b_2\bigr) tanpa pembagian dan tanpa akar. Banyak program sebaliknya menulis θ=\arccos(\mathbf a·\mathbf b)/(|\mathbf a||\mathbf b|), yang benar di atas kertas tetapi kehilangan presisi dalam titik mengambang: kosinus sudut yang sangat kecil adalah 1 sampai enam belas angka, sehingga untuk θ=10^-8 arc kosinus mendapat \cosθ=1 persis dan menjawab 0, dan di dekat 180^\circ ia menjawab persis 180^\circ (lihat bilangan titik mengambang). Tanpa nilai mutlak, ungkapan yang sama adalah sudut berarah dalam (-180^\circ,180^\circ], positif berlawanan arah jarum jam.

Garis. Garis dengan gradien m membuat sudut \arctan m dengan sumbu-x, sehingga sudut antara dua garis adalah θ_1-θ_2, dan rumus tangen selisih memberi \tanθ=(m_1-m_2)/(1+m_1m_2). Garis-garis itu tegak lurus tepat ketika m_1m_2=-1, dan sejajar ketika m_1=m_2. Misalnya garis dengan gradien 1 dan -1 bertemu pada 90^\circ, dan gradien 0 dan √3 pada 60^\circ. Garis tegak tidak punya gradien: pakai vektor arahnya.

Coba dua vektor di bawah: prasetnya mencakup sudut 10^-8 radian, ketika kedua rumus berbeda.

Bagaimana bekerja dengan sudut di Python, JavaScript, dan C++?

Program mengukur sudut dalam radian, jadi ubah derajat lebih dulu, normalkan hasilnya ke rentang tetap, dan pakai atan2 bukan acos untuk sudut antara vektor. Fungsi trigonometri setiap bahasa (sin, cos, tan) menerima radian, sehingga sin(30) adalah sinus 30 radian, bukan 30^\circ. Operator sisa perlu hati-hati: % Python selalu memberi hasil bertanda sama dengan pembagi, sehingga -30 % 360 adalah 330; milik JavaScript dan C++ mempertahankan tanda yang dibagi, sehingga -30 % 360 adalah -30 dan kamu menambah 360 dan mengambil sisa lagi (C++ memakai fmod untuk desimal). Dan karena ukuran radian adalah bilangan titik mengambang, sin(π) bukan 0 melainkan sekitar 1,2×10^-16. Program Python di bawah menormalkan sudut, mencari sudut antara vektor dengan kedua cara, sudut antara jarum jam, jumlah sudut segi banyak, dan bearing kompas. Program JavaScript dan C++ melakukan hal yang sama dengan caranya.

import math
from fractions import Fraction


def normalize(deg):
    """The same direction as an angle in [0, 360): Python's % already gives a non-negative result."""
    return deg % 360


def angle_between(a, b):
    """The angle between two 2D vectors in degrees, from atan2: accurate for every angle."""
    cross = a[0] * b[1] - a[1] * b[0]
    dot = a[0] * b[0] + a[1] * b[1]
    return math.degrees(math.atan2(abs(cross), dot))


def angle_between_acos(a, b):
    c = (a[0] * b[0] + a[1] * b[1]) / (math.hypot(*a) * math.hypot(*b))
    return math.degrees(math.acos(max(-1.0, min(1.0, c))))


def clock_angle(h, m):
    """The angle between the hands at h:m, from 0 to 180 degrees."""
    d = abs(30 * (h % 12) - 5.5 * m) % 360
    return min(d, 360 - d)


def interior_sum(n):
    return (n - 2) * 180


def bearing(math_angle):
    """Compass bearing (clockwise from north) of a direction given counterclockwise from east."""
    return (90 - math_angle) % 360


print(normalize(-30), normalize(725), normalize(360))
print(angle_between((1, 0), (1, 1)), angle_between((1, 0), (0, 2)), angle_between((1, 0), (-1, 0)))
print(angle_between((1, 0), (1, 1e-8)), angle_between_acos((1, 0), (1, 1e-8)))
print(clock_angle(3, 0), clock_angle(2, 30), clock_angle(12, 30), clock_angle(6, 0))
print([interior_sum(n) for n in (3, 4, 5, 6, 10)], [(n - 2) * 180 / n for n in (3, 4, 5, 6, 8, 12)])
print(math.degrees(math.pi / 6), math.radians(180), Fraction(150, 180))
print(bearing(0), bearing(90), bearing(135), bearing(-90))
print(math.sin(math.radians(30)), math.cos(math.radians(60)), math.sin(math.pi))
# 330 5 0
# 45.0 90.0 180.0
# 5.729577951308232e-07 0.0
# 90.0 105.0 165.0 180.0
# [180, 360, 540, 720, 1440] [60.0, 90.0, 108.0, 120.0, 135.0, 150.0]
# 29.999999999999996 3.141592653589793 5/6
# 90 0 315 180
# 0.49999999999999994 0.5000000000000001 1.2246467991473532e-16

const toDeg = (r) => (r * 180) / Math.PI
const normalize = (d) => ((d % 360) + 360) % 360          // JavaScript's % keeps the sign of d, so fix it
const angleBetween = (a, b) => toDeg(Math.atan2(Math.abs(a[0] * b[1] - a[1] * b[0]), a[0] * b[0] + a[1] * b[1]))
const angleBetweenAcos = (a, b) => toDeg(Math.acos((a[0] * b[0] + a[1] * b[1]) / (Math.hypot(...a) * Math.hypot(...b))))
;[-30 % 360, normalize(-30), normalize(725), normalize(360)]       // [-30, 330, 5, 0]
;[angleBetween([1, 0], [1, 1]), angleBetween([1, 0], [0, 2])]      // [45, 90]
angleBetween([1, 0], [1, 1e-8])                                    // 5.729577951308232e-7
angleBetweenAcos([1, 0], [1, 1e-8])                                // 0: the arc cosine lost the angle
angleBetween([1, 0], [-1, 1e-8])                                   // 179.9999994270422
angleBetweenAcos([1, 0], [-1, 1e-8])                               // 180
const clockAngle = (h, m) => { const d = Math.abs(30 * (h % 12) - 5.5 * m) % 360; return Math.min(d, 360 - d) }
;[clockAngle(3, 0), clockAngle(2, 30), clockAngle(12, 30)]         // [90, 105, 165]
const bearing = (mathAngle) => normalize(90 - mathAngle)
;[bearing(0), bearing(90), bearing(135)]                           // [90, 0, 315]
;[Math.sin(Math.PI / 6), Math.sin(30)]                             // [0.49999999999999994, -0.9880316240928618]: sin takes radians
;[Math.atan2(1, 1), Math.atan2(-1, -1)].map(toDeg)                 // [45, -135]: atan2 knows the quadrant, atan does not

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.14159265358979323846;

double degrees(double rad) { return rad * 180.0 / PI; }

double angleBetween(double ax, double ay, double bx, double by) {
  double cross = ax * by - ay * bx;
  double dot = ax * bx + ay * by;
  return degrees(atan2(fabs(cross), dot));
}

double clockAngle(int h, int m) {
  double d = fabs(30.0 * (h % 12) - 5.5 * m);
  while (d >= 360) d -= 360;
  return d > 180 ? 360 - d : d;
}

int main() {
  printf("%.1f\n", angleBetween(1, 0, 1, 1));
  printf("%.1f\n", angleBetween(1, 0, 0, 2));
  printf("%.1f %.1f %.1f\n", clockAngle(3, 0), clockAngle(2, 30), clockAngle(12, 30));
  printf("%d\n", (5 - 2) * 180);                               // the angles of a pentagon
  double a = -30;
  printf("%.1f\n", a - 360.0 * floor(a / 360.0));              // for decimals: subtract whole turns, rounding down
  return 0;
}

/* output:
45.0
90.0
90.0 105.0 165.0
540
330.0
*/

Dari mana derajat dan sudut berasal?

Lingkaran 360^\circ berasal dari Babilonia, teori sudut dari Yunani, dan radian adalah gagasan modern.

• Pada milenium pertama SM. Astronom Babilonia, menghitung dalam basis 60, membagi lingkaran menjadi 360 bagian, dekat dengan banyak hari dalam setahun, dan seperenam puluhnya adalah menit dan detik yang masih kita pakai untuk sudut dan waktu.
• Sekitar 300 SM. Elements Euklides mendefinisikan sudut bidang dan sudut siku-siku, membuktikan bahwa sudut bertolak belakang sama besar, menyatakan postulat kesejajaran, dan membuktikan bahwa garis lintang pada garis sejajar membuat sudut berseberangan yang sama (Buku I).
• Sekitar 150 SM. Hipparchus menyusun tabel tali busur pertama, leluhur tabel sinus, membagi lingkaran menjadi 360^\circ di dunia Yunani; Ptolemeus memakainya dalam Almagest (sekitar 150 M).
• Sekitar 500 M. Astronom India, seperti Aryabhata, mengganti tali busur dengan setengah tali busur, yaitu sinus, yang mengarah ke trigonometri yang dipakai sekarang.
• 1714. Roger Cotes menguraikan pengukuran sudut dengan busur yang dipotongnya pada lingkaran berjari-jari 1, gagasan radian, tanpa memberinya nama.
• 1790-an. Sistem metrik Prancis mengusulkan membagi sudut siku-siku menjadi 100 grade (gradian, kini gon), yang masih dipakai dalam survei.
• 1873. Nama radian muncul dalam cetakan, dikaitkan dengan insinyur Irlandia James Thomson, saudara Lord Kelvin.
• 1900-an–kini. Sudut menjadi rotasi: satuan kalkulus, bilangan kompleks (e^iθ), grafika komputer dan robotika, dan putaran yang dipakai untuk frekuensi.

Apa kesalahan umum pada sudut?

Kesalahan paling umum pada sudut adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: sudut sekilas

• Sudut: putaran antara dua sinar di titik sudut; berlawanan arah jarum jam positif; 360^\circ=2π rad =400 gradian =1 putaran.
• Mengubah: radian = derajat ·(π)/(180); 1 rad ≈57,2958^\circ; derajat, menit, detik adalah seperenam puluhan.
• Jenis: lancip <90^\circ, siku-siku =90^\circ, tumpul di antara 90^\circ dan 180^\circ, lurus =180^\circ, refleks di atasnya.
• Pasangan: berpenyiku 90^\circ, berpelurus 180^\circ, sudut bertolak belakang sama besar, pasangan linear berpelurus.
• Garis sejajar: pasangan sehadap, berseberangan, dan bertolak belakang sama besar; pasangan dalam sepihak dan linear berjumlah 180^\circ; sudut sehadap yang sama besar membuktikan garis sejajar.
• Segi banyak: jumlah sudut dalam (n-2)·180^\circ, jumlah sudut luar 360^\circ, sudut dalam beraturan ((n-2)·180^\circ)/(n); hanya segitiga, persegi, dan segienam yang mengubin.
• Jam: |30h-5,5m|; 11 tumpukan dan 22 sudut siku-siku dalam dua belas jam.
• Arah: bearing =90^\circ-θ; enam belas titik kompas berjarak 22,5^\circ.
• Vektor dan garis: \operatornameatan2(|silang|,titik), gradien dengan \tanθ=\left|(m_1-m_2)/(1+m_1m_2)\right|.
• Kode: radian dalam fungsi trigonometri, normalkan dengan \% (perhatikan tandanya), pilih atan2 daripada acos.

Glosarium: istilah penting

Sudut

Bangun yang dibentuk dua sinar dengan titik ujung bersama, atau besarnya putaran dari satu sinar ke sinar lain.

Titik sudut

Titik ujung bersama dari dua sinar yang membentuk sudut.

Derajat

Satuan sudut yang sama dengan sepertiga ratus enam puluh putaran penuh, dibagi menjadi 60 menit yang masing-masing 60 detik.

Sudut berpenyiku

Dua sudut yang besarnya berjumlah 90 derajat.

Sudut berpelurus

Dua sudut yang besarnya berjumlah 180 derajat; pasangan linear berpelurus.

Sudut bertolak belakang

Sudut berhadapan yang terbentuk di tempat dua garis berpotongan; mereka sama besar.

Garis lintang

Garis yang memotong dua garis atau lebih, membuat pasangan sudut sehadap, berseberangan, dan sepihak.

Sudut luar segi banyak

Belokan di sebuah titik sudut ketika berjalan mengelilingi segi banyak, 180 derajat dikurangi sudut dalam; sudut luar berjumlah 360 derajat.

Bearing

Arah yang diukur sebagai sudut searah jarum jam dari utara, biasanya ditulis dengan tiga angka.

Busur derajat

Alat setengah lingkaran atau lingkaran dengan skala derajat untuk mengukur dan menggambar sudut.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Euclid, translated by Thomas L. Heath (1956). Euclid's Elements, Book I (definitions of angles, propositions 13, 15, 27, 29, 32). Dover.
2. Roger Cotes (1722). Harmonia mensurarum. Cambridge.
3. H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer (1967). Geometry Revisited, chapters on angles and circles. Mathematical Association of America.
4. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
5. IEEE (2019). IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754-2019). IEEE.

Artikel terkait

• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.
• Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan: Lingkaran: pi, keliling dan luas, busur dan juring, teorema sudut, tali busur dan garis singgung, persamaan lingkaran, dan kedudukan garis, dengan latihan.
• Bilangan Floating-Point: Cara kerja bilangan floating-point: bit IEEE 754, jarak dan pembulatan, NaN dan tak hingga, galat yang menumpuk, pembatalan, perbandingan, dan tipe yang dipakai.