Fungsi Trigonometri Invers

Apa itu fungsi trigonometri invers?

Fungsi trigonometri invers memberi sudut, dalam radian, yang sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, atau kosekannya adalah bilangan tertentu, dipilih dari satu selang tetap sehingga ia menjadi fungsi. Setiap fungsi trigonometri berulang, sehingga ia tidak satu-satu dan tidak memiliki invers; membatasinya pada selang tempat ia satu-satu memperbaikinya, dan mencerminkan grafik terbatas itu dalam garis y=x menggambar inversnya.

Jadi \arctan x adalah sudut antara -\fracπ2 dan \fracπ2 yang tangennya x. Selang terbuka menghindari nilai tempat tangen, kotangen, sekan, atau kosekan tidak terdefinisi.

Notasi. Invers sinus juga ditulis \sin^-1x, dan begitu pula yang lain. Pangkat -1 di sini berarti fungsi invers, dan bukan kebalikan: \sin^-1x=\arcsin x bukan (1)/(\sin x), yaitu \csc x.

Simetri dan asimtot. Grafik y=\arctan x simetris terhadap titik asal, sehingga \arctan(-x)=-\arctan x: arkus tangen adalah fungsi ganjil. Ia memiliki dua asimtot mendatar, y=\fracπ2 dan y=-\fracπ2, karena \arctan x→\fracπ2 saat x→∞ dan →-\fracπ2 saat x→-∞.

Cabang arkus sekan. Tidak ada kesepakatan umum tentang \arcsec x untuk x negatif. Di sini ia diambil di kuadran kedua, antara \fracπ2 dan π. Pilihan ini membuat \arcsec x=\arccos\frac1x, identitas yang dipakai kalkulator, dan membuat \arcsec naik pada tiap bagian. Sebagian buku memilih kuadran ketiga, yang menyederhanakan turunan tetapi merusak identitas itu.

Identitas kofungsi. Ketiga fungsi "ko" adalah ketiga yang lain yang dicerminkan dan digeser: \arccos x=\fracπ2-\arcsin x \arccot x=\fracπ2-\arctan x \arccsc x=\fracπ2-\arcsec x dan \arcsec x=\arccos\frac1x, \arccsc x=\arcsin\frac1x.

Contoh 1. Nilai \arctan berasal dari kuadran pertama dan keempat. \arctan1=\fracπ4, karena \tan\fracπ4=1. \arctan\left(-√3\right)=-\fracπ3, karena \tan\left(-\fracπ3\right)=-√3 dan -\fracπ3 terletak di \left(-\fracπ2,\fracπ2\right). Lainnya: \arcsin\frac12=\fracπ6, \arccos\left(-\frac12\right)=(2π)/(3) (di [0,π], bukan -\fracπ3), \arccot(-1)=(3π)/(4).

Pilih fungsi di bawah dan geser x: grafiknya, garis singgung di sana, dan grafik gradiennya digambar.

Berapa sin(arcsin x), arcsin(sin y), dan cos(arcsin x)?

Fungsi trigonometri membatalkan inversnya di mana-mana pada domain invers itu, \sin(\arcsin x)=x untuk -1\le x\le1, tetapi invers hanya membatalkan fungsi trigonometri pada selang terbatasnya: \arcsin(\sin y)=y hanya bila -\fracπ2\le y\le\fracπ2. Sinus berulang, sehingga banyak sudut memiliki sinus yang sama, dan arkus sinus mengembalikan yang ada di jangkauannya. Misalnya \arcsin(\sinπ)=\arcsin0=0 \arcsin(\sin2)=π-2≈1,14, karena \sin2=\sin(π-2) dan π-2 terletak di \left[-\fracπ2,\fracπ2\right]. Begitu pula \arccos(\cos(-1))=1.

Fungsi trigonometri dari suatu invers bersifat aljabar. Gambar segitiga acuan: jika θ=\arcsin x dengan 0<x<1, maka \sinθ=x, sehingga segitiga siku-siku dengan sisi depan x dan sisi miring 1 memiliki sudut θ. Dengan Pythagoras sisi sampingnya √(1-x^2). Membaca segitiga itu, \cos(\arcsin x)=√(1-x^2) \tan(\arcsin x)=(x)/(√(1-x^2)). Untuk θ=\arctan x dengan x>0 ambil sisi depan x dan sisi samping 1, sehingga sisi miringnya √(1+x^2) dan \sec(\arctan x)=√(1+x^2), \sin(\arctan x)=(x)/(√(1+x^2)). Untuk θ=\arcsec x dengan x>1 ambil sisi miring x dan sisi samping 1, sehingga sisi depannya √(x^2-1) dan \tan(\arcsec x)=√(x^2-1).

Misalnya \cos\left(\arcsin\frac35\right)=√(1-(9)/(25))=\frac45 dan \tan\left(\arcsin\frac35\right)=\frac34.

Inilah ekspresi yang muncul dalam turunannya, yang bukan kebetulan: turunan suatu invers adalah kebalikan turunan fungsi trigonometri, ditulis dengan segitiga.

Geser x di bawah dan lihat segitiga berubah: sisi ketiganya dari Pythagoras, dan turunannya dibaca langsung darinya.

Berapa turunan arcsin dan arctan?

(d)/(dx)\arcsin x=(1)/(√(1-x^2)) untuk -1<x<1 dan (d)/(dx)\arctan x=(1)/(1+x^2) untuk setiap x real. Keduanya berasal dari aturan turunan untuk invers: \left(f^-1\right)'(x)=(1)/(f'\left(f^-1(x)\right)).

Arkus sinus. Sinus terdiferensialkan dengan turunan \cos y>0 pada -\fracπ2<y<\fracπ2, sehingga arkus sinus terdiferensialkan pada -1<x<1. Dengan f=\sin: \left(\arcsin\right)'(x)=(1)/(\cos(\arcsin x)) =(1)/(√(1-\sin^2(\arcsin x))) =(1)/(√(1-x^2)). Kita tidak dapat mengharapkan turunan di x=±1: grafik memiliki garis singgung tegak di sana, dan gradien (1)/(√(1-x^2)) membesar tanpa batas saat x→±1. Di antaranya gradiennya paling sedikit 1.

Arkus tangen. Tangen memiliki turunan \sec^2y>0 pada -\fracπ2<y<\fracπ2: \left(\arctan\right)'(x)=(1)/(\sec^2(\arctan x)) =(1)/(1+\tan^2(\arctan x)) =(1)/(1+x^2). Ini terdefinisi untuk semua x real, terbesar, 1, di x=0, dan menuju 0 saat x→±∞: grafik melandai menuju asimtot mendatarnya.

Dengan aturan rantai. Jika u adalah fungsi x yang terdiferensialkan, (d)/(dx)\arcsin u=(1)/(√(1-u^2))·(du)/(dx) (|u|<1) (d)/(dx)\arctan u=(1)/(1+u^2)·(du)/(dx).

Contoh 2. (d)/(dx)\arcsin\left(x^2\right)=(1)/(√(1-\left(x^2\right)^2))·2x=(2x)/(√(1-x^4)) untuk |x|<1.

Contoh 3. (d)/(dx)(1)/(\arctan x)=-(1)/(\arctan^2x)·(1)/(1+x^2)=-(1)/(\left(1+x^2\right)\arctan^2x) untuk x\ne0. Ini turunan kebalikan arkus tangen, yang bukan inversnya: aturan rantai dengan pangkat -1.

Penyederhanaan yang mengejutkan. (d)/(dx)\arctan\frac1x=(1)/(1+(1)/(x^2))·\left(-(1)/(x^2)\right)=-(1)/(x^2+1), turunan -\arctan x. Memang \arctan\frac1x=\fracπ2-\arctan x untuk x>0.

Antiturunan yang menyamar. Kedua rumus itu menyatakan bahwa \arcsin x dan \arctan x adalah fungsi yang gradiennya ekspresi aljabar (1)/(√(1-x^2)) dan (1)/(1+x^2). Membacanya mundur adalah yang dilakukan bab integrasi kemudian.

Berapa turunan arcsec, arccos, arccot, dan arccsc?

(d)/(dx)\arcsec x=(1)/(|x|√(x^2-1)) untuk |x|>1, dan turunan \arccos, \arccot, dan \arccsc adalah negatif dari turunan \arcsin, \arctan, dan \arcsec.

Arkus sekan, dengan diferensiasi implisit. Aturan untuk invers tidak berlaku langsung pada \sec, karena domainnya tidak terhubung, tetapi ia berlaku pada tiap bagian. Misalkan y=\arcsec x, sehingga \sec y=x. Turunkan kedua ruas terhadap x, dengan aturan rantai: \sec y\tan y·(dy)/(dx)=1, (dy)/(dx)=(1)/(\sec y\tan y). Untuk |x|>1 sudut y terletak di \left(0,\fracπ2\right)∪\left(\fracπ2,π\right), tempat \sec y\tan y>0. Karena \sec y=x dan \tan y=±√(\sec^2y-1)=±√(x^2-1), kita dapatkan (dy)/(dx)=(1)/(± x√(x^2-1)). Gradien grafik positif di mana-mana, sehingga tandanya adalah yang membuat penyebut positif: x√(x^2-1) untuk x>1 dan -x√(x^2-1) untuk x<-1. Satu ekspresi mencakup keduanya: (d)/(dx)\arcsec x=(1)/(|x|√(x^2-1)).

Fungsi-fungsi ko. Karena \arccos x=\fracπ2-\arcsin x, menurunkannya memberi (d)/(dx)\arccos x=-(d)/(dx)\arcsin x =-(1)/(√(1-x^2)). Hal yang sama berlaku untuk yang lain: \arccot x=\fracπ2-\arctan x dan \arccsc x=\fracπ2-\arcsec x.

Dengan fungsi u(x) di dalam, tiap rumus mendapat faktor (du)/(dx), dan yang untuk arcsec memerlukan |u|>1: (d)/(dx)\arcsec u=(1)/(|u|√(u^2-1))·(du)/(dx).

Contoh 4. (d)/(dx)\arcsec\left(5x^4\right)=(1)/(5x^4√(25x^8-1))·20x^3=(4)/(x√(25x^8-1)) untuk 5x^4>1. Nilai mutlak \left|5x^4\right|=5x^4 hanyalah 5x^4 karena ia tidak pernah negatif, dan x yang tersisa di penyebut mempertahankan tandanya.

Ketik fungsi apa saja di bawah, yang dibangun dari ini dan fungsi-fungsi terdahulu, dan lihat tiap aturan yang dipakai.

Di mana sebaiknya berdiri agar melihat lukisan dengan paling baik?

Lukisan yang tepi bawahnya tergantung p dan tepi atasnya q di atas matamu terlihat pada sudut θ(x)=\arctan\frac qx-\arctan\frac px ketika kamu berdiri x dari dinding, dan sudut itu terbesar di x=√(pq), rata-rata geometri kedua tinggi. Sudut antara garis pandang ke atas dan garis pandang ke bawah adalah selisih dua sudut elevasi, masing-masing arkus tangen dari tinggi per jarak.

Turunannya. Dengan aturan rantai, (d)/(dx)\arctan\frac qx=(1)/(1+(q^2)/(x^2))·\left(-(q)/(x^2)\right)=-(q)/(x^2+q^2), dan sama dengan p, sehingga θ'(x)=-(q)/(x^2+q^2)+(p)/(x^2+p^2). Ini nol bila q\left(x^2+p^2\right)=p\left(x^2+q^2\right), yaitu (q-p)x^2=pq(q-p), sehingga x^2=pq dan x=√(pq). Untuk x sedikit lebih kecil θ'>0 dan untuk x sedikit lebih besar θ'<0: sudut membesar saat kamu mundur dari sangat dekat, dan mengecil saat kamu menjauh, sehingga x=√(pq) adalah puncak kurva.

Contoh. Sebuah lukisan tergantung dari 1 m sampai 3 m di atas matamu. Jarak terbaiknya x=√(1·3)=√3≈1,73 m, dan sudut di sana θ=\arctan(3)/(√3)-\arctan(1)/(√3) =\arctan√3-\arctan(1)/(√3) =\fracπ3-\fracπ6=\fracπ6, yaitu 30^\circ. Secara umum sudut terbesar adalah \arctan(q-p)/(2√(pq)). Berdiri sangat dekat, lukisan berada di atasmu dan terjepit pada sudut sempit; di kejauhan ia kecil. Pandangan terbaik ada di antaranya.

Pilih kedua tinggi dan berjalanlah maju mundur di bawah.

Bagaimana menghitung fungsi trigonometri invers dan turunannya dalam kode?

Bahasa pemrograman menamainya asin, acos, atan, dan atan2: math.asin(x) mengembalikan sudut dalam radian di \left[-\fracπ2,\fracπ2\right], dan sp.asin, sp.atan, serta sp.asec milik SymPy menurunkan ke rumus-rumus artikel ini. Tidak ada asec di math Python; pakai math.acos(1/x), yaitu cabang yang dipilih di sini. Ingat bahwa math.asin(math.sin(x)) adalah x hanya untuk x di \left[-\fracπ2,\fracπ2\right]. Baris terakhir memindai sudut pandang lukisan dari 1 m sampai 3 m dan mencari jarak terbaik dan sudut terbesar tanpa memakai turunan: √3≈1,732 dan 30^\circ.

import math
import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
for f in (sp.asin(x), sp.acos(x), sp.atan(x), sp.acot(x), sp.asec(x), sp.acsc(x), sp.asin(x**2), sp.atan(1 / x), sp.asec(5 * x**4)):
    print(f, '->', sp.simplify(sp.diff(f, x)))
# asin(x) -> 1/sqrt(1 - x**2)
# acos(x) -> -1/sqrt(1 - x**2)
# atan(x) -> 1/(x**2 + 1)
# acot(x) -> -1/(x**2 + 1)
# asec(x) -> 1/(x*sqrt(x**2 - 1))
# acsc(x) -> -1/(x*sqrt(x**2 - 1))
# asin(x**2) -> 2*x/sqrt(1 - x**4)
# atan(1/x) -> -1/(x**2 + 1)
# asec(5*x**4) -> 4/(x*sqrt(25*x**8 - 1))

print(round(math.asin(math.sin(math.pi)), 6), round(math.asin(math.sin(2)), 6), round(math.pi - 2, 6))   # 0.0 1.141593 1.141593
print(round(math.cos(math.asin(0.6)), 6), round(math.tan(math.asin(0.6)), 6))                             # 0.8 0.75
print(round(math.degrees(math.atan(1)), 6), round(math.degrees(math.acos(-0.5)), 6))                     # 45.0 120.0

angle = lambda t, p=1, q=3: math.atan(q / t) - math.atan(p / t)      # the viewing angle
best = max((k / 1000 for k in range(1, 20001)), key=angle)           # a scan, no derivative
print(best, round(math.degrees(angle(best)), 4))                     # 1.732 30.0
print(round(math.sqrt(1 * 3), 4), round(math.degrees(math.atan((3 - 1) / (2 * math.sqrt(1 * 3)))), 4))   # 1.7321 30.0

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);

double angle(double t, double p, double q) {           // the viewing angle of a picture from p to q above the eye
  return atan(q / t) - atan(p / t);
}

int main() {
  printf("%.6f %.6f %.6f\n", asin(sin(PI)), asin(sin(2.0)), PI - 2);        // 0 1.141593 1.141593
  printf("%.6f %.6f\n", cos(asin(0.6)), tan(asin(0.6)));                    // 0.8 0.75
  printf("%.6f %.6f\n", atan(1.0) * 180 / PI, acos(-0.5) * 180 / PI);      // 45 120

  double best = 1, top = 0;                            // a scan, no derivative
  for (int k = 1; k <= 20000; k++) {
    double t = k / 1000.0;
    if (angle(t, 1, 3) > top) { top = angle(t, 1, 3); best = t; }
  }
  printf("%.3f %.4f\n", best, top * 180 / PI);                              // 1.732 30
  printf("%.4f %.4f\n", sqrt(1.0 * 3), atan((3 - 1) / (2 * sqrt(1.0 * 3))) * 180 / PI);   // 1.7321 30
  return 0;
}

/* output:
0.000000 1.141593 1.141593
0.800000 0.750000
45.000000 120.000000
1.732 30.0000
1.7321 30.0000
*/

Siapa yang menamai fungsi trigonometri invers, dan siapa yang menemukan derenya?

Arkus tangen memiliki deretnya jauh sebelum memiliki turunannya, dan notasinya baru mapan pada abad ke-19.

• Deret. Deret \arctan x=x-(x^3)/(3)+(x^5)/(5)-… ditemukan oleh Madhava dari Sangamagrama di India sekitar abad ke-14, dan lagi oleh James Gregory pada 1671, dan oleh Leibniz tak lama kemudian. Memasukkan x=1 memberi \fracπ4=1-\frac13+\frac15-…, deret Leibniz untuk π.
• Turunan. Dengan kalkulus Newton dan Leibniz, gradien (1)/(1+x^2) dari arkus tangen menjelaskan deret itu: deret (1)/(1+x^2) adalah deret geometri, dan mengintegralkannya suku demi suku memberi deret \arctan x.
• Nama. Awalan arc untuk fungsi trigonometri invers, karena sudut mengukur busur lingkaran satuan, dikreditkan kepada Karl Scherffer pada abad ke-18. Notasi pangkat \sin^-1x diperkenalkan oleh John Herschel pada 1813, itulah sebabnya \sin^-1 dan (1)/(\sin) begitu sering tertukar.
• Euler. Leonhard Euler memperlakukan fungsi trigonometri invers bersama eksponensial dan logaritma, dan menemukan hubungan menakjubkan mereka lewat bilangan kompleks, \arctan x=(1)/(2i)\ln(1+ix)/(1-ix).

Kesalahan apa yang sering terjadi pada fungsi trigonometri invers?

Kesalahan paling umum pada fungsi trigonometri invers adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: fungsi trigonometri invers sekilas

• Definisi: sudut dengan nilai trigonometri tertentu, dalam satu jangkauan tetap: \arcsin dan \arctan di \left(-\fracπ2,\fracπ2\right) (tertutup untuk arcsin), \arccos di [0,π], \arccot di (0,π).
• Komposisi: \sin(\arcsin x)=x tetapi \arcsin(\sin y)=y hanya pada \left[-\fracπ2,\fracπ2\right]; \cos(\arcsin x)=√(1-x^2) dari segitiga acuan.
• Turunan: (1)/(√(1-x^2)) untuk arcsin, (1)/(1+x^2) untuk arctan, (1)/(|x|√(x^2-1)) untuk arcsec; fungsi ko memiliki negatifnya.
• Aturan rantai: ganti x dengan u dan kalikan dengan u'; (d)/(dx)\arcsin\left(x^2\right)=(2x)/(√(1-x^4)).
• Identitas: \arccos x=\fracπ2-\arcsin x, \arcsec x=\arccos\frac1x; arkus tangen ganjil dengan asimtot ±\fracπ2.
• Sudut pandang: \arctan\frac qx-\arctan\frac px terbesar di x=√(pq).
• Kode: math.asin, math.acos(1/x) untuk arcsec, sp.diff(sp.asin(x), x).

Glosarium: istilah penting

Fungsi trigonometri invers

Fungsi yang memberi sudut dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, atau kosekan tertentu, dipilih dari satu selang tetap sehingga bernilai tunggal.

Arkus sinus

Sudut pada selang dari minus pi per 2 sampai pi per 2 yang sinusnya x, terdefinisi untuk x dari minus 1 sampai 1; ditulis arcsin x atau sin pangkat minus 1 dari x.

Arkus tangen

Sudut yang tepat di antara minus pi per 2 dan pi per 2 yang tangennya x, terdefinisi untuk setiap x real, dengan asimtot mendatar di plus dan minus pi per 2.

Segitiga acuan

Segitiga siku-siku yang digambar untuk suatu sudut seperti arcsin x, dengan sisi dipilih sehingga rasio yang tepat sama dengan x, dipakai untuk membaca nilai trigonometri lainnya.

Identitas kofungsi

Hubungan bahwa kofungsi invers adalah pi per 2 dikurangi fungsi invers, seperti arccos x sama dengan pi per 2 dikurangi arcsin x, sehingga turunannya saling negatif.

Sudut elevasi

Sudut antara garis mendatar dan garis pandang ke suatu titik di atasnya; untuk tinggi h pada jarak x nilainya arctan dari h per x.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 3.9: Inverse Trigonometric Functions. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 3.5: Inverse Trigonometric Functions (in the 8th ed. section 3.5). Cengage Learning.
3. Leonhard Euler (1748). Introductio in analysin infinitorum. Lausanne.
4. James Gregory (1667). Vera circuli et hyperbolae quadratura. Padua.

Artikel terkait

• Turunan Fungsi Invers dan Logaritma: Turunan fungsi invers dan logaritma: aturan untuk invers, d/dx ln x = 1/x, a^x, logaritma basis a, diferensiasi logaritmik, dan bilangan e.
• Turunan Fungsi Trigonometri: Turunan fungsi trigonometri dengan bukti: sin x dan cos x, lalu tan, cot, sec, dan csc, mengapa radian, gerak harmonik sederhana, turunan tingkat tinggi, dan kode.
• Aturan Rantai: Aturan rantai dijelaskan: cara menemukan fungsi dalam dan luar suatu fungsi komposit, aturan rantai pangkat, fungsi bersarang, turunan kedua, dan kode.
• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.