Melukis Ruas Garis dan Sudut dengan Penggaris dan Jangka

Apa artinya melukis sebuah bangun dalam geometri?

Lukisan geometri adalah gambar yang dibuat hanya dengan dua alat, penggaris tanpa skala dan jangka, dengan setiap titik baru harus berupa perpotongan garis dan lingkaran yang sudah digambar. Penggaris (dalam geometri disebut straightedge) menarik garis lurus melalui dua titik; ia tidak punya angka, jadi tidak dapat mengukur. Jangka menggambar lingkaran, atau hanya busurnya, berpusat di sebuah titik, dengan jari-jari sama dengan jarak yang sudah kita punya. Selain itu tidak boleh: tidak ada busur derajat, tidak ada skala pada penggaris, dan tidak ada menaruh titik dengan perkiraan mata.

Mengapa seketat itu? Karena lukisan itu tepat dan dapat dibuktikan. Bangun yang digambar dengan busur derajat hanya sebaik tebal garis pensilnya, sedangkan lukisan disertai alasan (biasanya dua segitiga memiliki tiga sisi sama) yang menunjukkan bahwa hasilnya tepat, secermat atau seceroboh apa pun kita menggambar. Begitulah Euklides membangun geometri dalam Elements sekitar 300 SM, dan itu sebabnya membagi dua sudut atau melukis garis sumbu masih menjadi hal pertama yang diajarkan pelajaran geometri.

Bagaimana menyalin, menjumlahkan, dan mengurangkan ruas garis?

Untuk menyalin ruas garis AB pada sinar yang berawal di C, bukalah jangka sampai kakinya di A dan pensilnya di B, lalu letakkan kaki jangka di C dan ayunkan busur memotong sinar: titik potong D memberi CD=AB. Penggaris hanya dipakai untuk menarik sinar. Jangka mengukur tanpa angka, karena ia mempertahankan bukaannya, sehingga setiap titik pada busur berjarak tepat AB dari C.

1. Tarik sinar dari C (atau pakai yang sudah ada).
2. Bukalah jangka dari A sampai B.
3. Pertahankan bukaan itu, letakkan kaki jangka di C dan gambar busur yang memotong sinar di D.

Dengan satu langkah ini kita dapat berhitung dengan panjang:

• Menjumlahkan dua ruas garis: salin yang pertama pada sinar dari C, berakhir di D; lalu letakkan kaki jangka di D dan salin yang kedua lebih jauh sepanjang sinar yang sama, berakhir di E. Maka CE adalah jumlahnya.
• Mengurangkan: salin ruas garis yang lebih panjang pada sebuah sinar, lalu salin yang lebih pendek dari ujungnya kembali ke arah C. Sisanya adalah selisihnya.
• Mengalikan dengan bilangan bulat: salin ruas garis yang sama ujung ke ujung, 2, 3, 4 kali.

Panjang di sini disalin, tidak dibaca: kita mungkin tidak tahu berapa sentimeter panjang AB, dan tidak perlu tahu. Bila satu ruas garis dipilih sebagai satuan, langkah yang sama menghasilkan panjang seperti 2, 3, atau 3/2 kali satuan itu.

Bagaimana mencari titik tengah dan garis sumbu sebuah ruas garis?

Gambar dua lingkaran berjari-jari sama berpusat di ujung A dan B ruas garis; garis melalui kedua titik potongnya P dan Q adalah garis sumbu AB, dan ia memotong AB di titik tengahnya M. Garis sumbu adalah garis yang membagi sebuah ruas garis menjadi dua sama panjang dengan sudut siku-siku; ia juga himpunan semua titik yang sama jauh dari A dan dari B.

1. Bukalah jangka lebih dari setengah AB (panjang AB sendiri adalah pilihan yang baik).
2. Letakkan kaki jangka di A dan gambar satu busur di atas ruas garis dan satu lagi di bawahnya.
3. Pertahankan bukaan yang sama, letakkan kaki jangka di B dan gambar dua busur yang memotong kedua busur pertama, di P di atas dan Q di bawah.
4. Tarik garis PQ dengan penggaris. Ia memotong AB di titik tengah M dan tegak lurus padanya.

Mengapa berhasil. Kedua lingkaran berjari-jari sama, jadi PA=PB=QA=QB: segi empat APBQ memiliki empat sisi sama panjang, sehingga merupakan belah ketupat. Diagonal belah ketupat saling membagi dua dan berpotongan siku-siku (lihat sifat-sifat segi empat), dan diagonal-diagonal itu tepat AB dan PQ. Cara lain melihatnya: segitiga APQ dan BPQ memiliki tiga sisi sama, jadi kongruen, dan sudut-sudut di P sama besar.

Lukisan ini sangat berguna. Mencari titik tengah sisi adalah langkah pertama menuju garis berat segitiga, dan garis sumbu dua sisi segitiga bertemu di pusat lingkaran luarnya (lihat titik-titik penting segitiga).

Bagaimana melukis 60°, membagi dua sudut, dan menyalin sudut?

Tiga lukisan sudut dasar semuanya memakai lingkaran berjari-jari satu saja, dan masing-masing dibuktikan oleh dua segitiga yang memiliki tiga sisi sama (SSS).

Segitiga sama sisi memberi 60^\circ. Ini proposisi pertama Euklides. Gambar ruas garis AB, lalu lingkaran berpusat di A melalui B dan lingkaran berpusat di B melalui A. Keduanya berpotongan di C, dan CA=AB=CB: tiga sisi sama panjang. Ketiga sudut segitiga sama sisi sama besar dan berjumlah 180^\circ, jadi masing-masing 60^\circ (lihat sudut-sudut segitiga).

Untuk membagi dua sudut POQ dengan titik sudut O:

1. Letakkan kaki jangka di O dan gambar busur yang memotong kedua kaki sudut, di P dan Q.
2. Letakkan kaki jangka di P dan gambar busur di dalam sudut.
3. Pertahankan bukaan yang sama, letakkan kaki jangka di Q dan gambar busur yang memotong busur sebelumnya di R.
4. Tarik sinar OR. Ia membagi sudut menjadi dua sudut sama besar.

Mengapa: segitiga OPR dan OQR memiliki OP=OQ (busur pertama), PR=QR (bukaan yang sama), dan sisi OR yang dipakai bersama. Tiga sisi sama membuatnya kongruen, jadi sudut POR dan QOR sama besar. Bila busur kedua dan ketiga juga memakai jari-jari OP, maka O, P, R, Q membentuk belah ketupat, dan diagonal belah ketupat membagi dua sudutnya.

Untuk menyalin sudut POQ pada sinar ST:

1. Dengan kaki jangka di O, gambar busur yang memotong kaki sudut di P dan Q. Gambar busur yang sama (bukaan yang sama) berpusat di S, memotong sinar ST di U.
2. Bukalah jangka sebesar jarak PQ.
3. Dengan kaki jangka di U, gambar busur yang memotong busur pertama di V.
4. Tarik sinar SV. Sudut USV sama dengan POQ.

Mengapa: segitiga OPQ dan SUV memiliki OP=SU, OQ=SV, dan PQ=UV, semuanya disalin dengan jangka, jadi kongruen menurut SSS dan sudut di O dan S sama besar. Membagi dua, menyalin, dan menjumlahkan sudut adalah satu-satunya langkah yang diperlukan untuk membangun sudut lain (lihat cara sudut dinamai dan dijumlahkan).

Bagaimana melukis garis tegak lurus dan garis sejajar?

Garis tegak lurus adalah garis sumbu dari dua titik yang kita tandai pada garis dengan sebuah lingkaran, dan garis sejajar adalah sisi berhadapan sebuah belah ketupat, jadi keduanya berasal dari lukisan di atas.

Garis tegak lurus di titik C pada sebuah garis.

1. Letakkan kaki jangka di C dan gambar lingkaran yang memotong garis di dua titik, A di satu sisi dan X di sisi lain. Keduanya sama jauh dari C.
2. Lukis garis sumbu AX (dua lingkaran berjari-jari sama berpusat di A dan X).
3. Garis sumbu itu melalui titik tengah AX, yaitu C, dan tegak lurus pada garis. Untuk membuat sudut siku-siku 90^\circ di ujung sebuah sinar, perpanjang sinar itu ke belakang dan ambil C sebagai ujungnya.

Garis tegak lurus dari titik C yang tidak berada pada garis.

1. Gambar lingkaran berpusat di C yang memotong garis di dua titik, A dan X.
2. Lukis garis sumbu AX. Karena CA=CX, titik C berada di atasnya.
3. Garis sumbu itu adalah garis tegak lurus dari C; ia memotong garis di kaki F, dan CF adalah jalan terpendek dari C ke garis.

Garis sejajar AB melalui titik C yang tidak berada di atasnya.

1. Gambar lingkaran berpusat di A melalui C. Ia memotong garis di X.
2. Dengan bukaan yang sama, gambar lingkaran berpusat di X dan satu lagi berpusat di C. Keduanya berpotongan di A dan di titik kedua Q.
3. Tarik garis CQ. Keempat titik A, X, Q, C adalah titik sudut belah ketupat (empat sisi sama dengan satu bukaan), dan sisi berhadapan belah ketupat sejajar, jadi CQ\parallel AB.

Cara kedua membuat garis sejajar adalah menyalin sudut: tarik sembarang garis melalui C yang memotong AB, salin sudut yang dibentuknya dengan AB sehingga menjadi sudut sehadap di C, dan pakai fakta bahwa sudut sehadap yang sama besar berarti garis sejajar (lihat garis yang dipotong garis lintang).

Dapatkah kita melihat setiap lingkaran dan garis tiap lukisan?

Pilih sebuah lukisan, ikuti satu lingkaran atau garis pada satu waktu, dan ukur gambar yang sudah jadi. Gambar ini menaati aturan tiga langkah: titik baru hanya dapat muncul di tempat dua hal yang sudah kita gambar berpotongan, dan program menolak langkah lain. Tekan gambar lain untuk menjalankan lukisan yang sama pada ruas garis atau sudut yang baru: pengukurannya tetap tepat karena buktinya tidak bergantung pada letak titik-titiknya.

Sudut mana yang dapat dilukis dengan penggaris dan jangka?

Mulai dari 60^\circ dan 90^\circ dan hanya memakai membagi dua, menambah, dan mengurangi, kita dapat membangun 30^\circ, 45^\circ, 15^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ dan banyak lagi, tetapi bukan 20^\circ atau 1^\circ. Setiap baris di bawah adalah beberapa langkah dari lukisan di atas.

Ada satu bahan lagi, yang ditemukan bangsa Yunani: segi lima beraturan. Sudut pusatnya 72^\circ, karena \cos72^\circ=(√5-1)/(4) dan akar kuadrat adalah sesuatu yang dapat dibuat jangka (lingkaran berjari-jari (√5)/(2) berpusat di titik tengah sebuah jari-jari, dan dua pembagian dua lagi). Dari 72^\circ diperoleh 36^\circ, 18^\circ dan, dengan mengurangkan 60^\circ, 12^\circ. Lalu 15^\circ-12^\circ=3^\circ: sudut satu derajat tidak terjangkau, tetapi tiga derajat terjangkau.

Derajat bulat yang dapat dilukis tepat adalah kelipatan 3. Setiap kelipatan 3 dicapai dengan menambah dan mengurangi salinan 3^\circ. Untuk yang lain, misalkan n^\circ dapat dilukis dengan n bukan kelipatan 3. Maka n dan 3 tidak punya faktor persekutuan, sehingga ada bilangan bulat a dan b dengan an+3b=1, dan menambah serta mengurangi salinan n^\circ dan 3^\circ akan membuat 1^\circ. Tetapi 1^\circ tidak dapat dilukis, seperti dijelaskan pada bagian tentang lukisan yang mustahil.

Ketik sembarang bilangan bulat derajat di bawah dan kita mendapat resep termurah dan gambar jadinya, atau alasan mengapa resepnya tidak ada.

Bagaimana membagi ruas garis menjadi bagian-bagian sama?

Untuk membagi AB menjadi n bagian sama, langkahkan n panjang yang sama sepanjang sinar dari A, hubungkan tanda terakhir dengan B, dan tarik garis-garis sejajar dengan garis itu melalui tanda-tanda lainnya; garis-garis itu membagi AB menjadi n bagian sama. Alasannya adalah teorema intersep: garis-garis sejajar yang memotong bagian sama dari satu garis lintang memotong bagian sama dari setiap garis lintang lainnya. Berikut lukisan untuk n=3.

1. Tarik sinar dari A dengan sudut sembarang terhadap AB.
2. Pilih sembarang bukaan jangka dan langkahkan tiga panjang yang sama sepanjang sinar, dari A: tanda D_1, D_2, D_3.
3. Tarik garis D_3B.
4. Tarik garis-garis sejajar D_3B melalui D_2 dan D_1 (lihat cara belah ketupat di atas). Keduanya memotong AB di K_2 dan K_1.
5. AK_1=K_1K_2=K_2B.

Langkah yang sama membagi ruas garis dengan perbandingan tertentu: untuk memotong AB dengan perbandingan 2:3, bagi menjadi 5 bagian sama dan ambil tanda kedua. Membagi ruas garis menjadi dua bagian sama adalah garis sumbu, yang lebih cepat daripada cara ini. Dan karena kita dapat membuat a/n dari panjang mana pun, panjang yang dapat dibuat dari satu ruas garis satuan mencakup setiap pecahan.

Gambar di bawah memutar seluruh lukisan untuk 2 sampai 10 bagian; tabel di akhir mengukur setiap tanda terhadap k/n perjalanan dari A ke B.

Apa yang tidak akan pernah dapat dilukis dengan penggaris dan jangka?

Sudut sembarang tidak dapat dibagi tiga sama besar, kubus tidak dapat digandakan, dan lingkaran tidak dapat dikuadratkan dengan penggaris dan jangka; ketiganya terbukti mustahil pada abad kesembilan belas. Ketiga masalah itu terbuka selama lebih dari dua ribu tahun. Jawabannya bukan bahwa tak seorang pun cukup cerdas, melainkan bahwa alat-alat itu hanya mencapai bilangan tertentu.

Bilangan apa yang dapat dibuat? Ambil satu panjang satuan. Tiga langkah itu hanya dapat menghasilkan bilangan yang diperoleh dari 1 dengan menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, dan menarik akar kuadrat, karena perpotongan garis dengan garis menghasilkan persamaan linear dan perpotongan garis atau lingkaran dengan lingkaran menghasilkan persamaan kuadrat. Setiap akar kuadrat paling banyak menggandakan derajat sebuah bilangan atas bilangan rasional (derajat terkecil polinomial berkoefisien bulat yang memiliki bilangan itu sebagai akar). Jadi bilangan yang dapat dibuat berderajat pangkat dari 2: 1, 2, 4, 8, … Inilah teorema Wantzel (1837).

Mengapa 20^\circ tidak dapat dilukis. Identitas sudut rangkap tiga berbunyi \cos3φ=4\cos^3φ-3\cosφ. Ambil φ=20^\circ dan \cos60^\circ=\frac12, maka x=\cos20^\circ memenuhi 8x^3-6x-1=0. Polinomial kubik ini tidak punya akar rasional (kandidatnya hanya ±1, ±\frac12, ±\frac14, ±\frac18, dan tidak ada yang berhasil), sehingga tidak dapat dipecah, dan \cos20^\circ berderajat 3. Tiga bukan pangkat dari 2, jadi 20^\circ tidak dapat dilukis, dan sudut 60^\circ tidak dapat dibagi tiga. Bila 1^\circ dapat dilukis, maka 20^\circ juga (dua puluh salinan), itulah sebabnya tidak ada derajat bulat di luar kelipatan 3 yang dapat dilukis.

Tiga masalah klasik.

• Membagi tiga sudut: mungkin untuk sudut khusus (90^\circ memberi 30^\circ), mustahil secara umum (60^\circ memberi 20^\circ).
• Menggandakan kubus: kubus bervolume dua kali lipat memerlukan rusuk 2^(1/3) kali rusuk lama, bilangan berderajat 3.
• Mengkuadratkan lingkaran: persegi yang luasnya sama dengan lingkaran berjari-jari 1 memerlukan sisi √π. Lindemann membuktikan pada 1882 bahwa π transenden, artinya bukan akar polinomial berkoefisien bulat mana pun, sehingga √π juga tak terjangkau (lihat π dan bilangan transenden).

Alat lain dapat melakukannya. Archimedes membagi tiga sudut mana pun dengan penggaris yang memiliki dua tanda berjarak satu satuan (penggaris bertanda, disebut neusis dalam bahasa Yunani). Letakkan penggaris melalui B sehingga satu tanda berada di lingkaran di C dan tanda lainnya di garis AO yang diperpanjang, di D; sudut di D tepat sepertiga sudut di O. Lipat kertas (origami) dan beberapa kurva lain juga dapat membagi tiga sebuah sudut. Kemustahilan itu hanya berlaku untuk penggaris dan jangka saja.

Gambar di bawah memperlihatkan pembagian tiga Archimedes untuk sudut mana pun, dan menyatakan apakah penggaris dan jangka saja dapat melakukannya.

Segi banyak beraturan mana yang dapat dilukis dengan penggaris dan jangka?

Segi banyak beraturan bersisi n dapat dilukis tepat bila n adalah pangkat dari 2 dikali bilangan prima Fermat yang berbeda (3, 5, 17, 257, 65537); beberapa yang pertama adalah 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17. Inilah teorema Gauss–Wantzel. Carl Friedrich Gauss menemukan pada usia 18 tahun bahwa segi tujuh belas beraturan dapat dilukis, menerbitkannya pada 1801, dan meminta satu di batu nisannya; Pierre Wantzel membuktikan pada 1837 bahwa tidak ada segi banyak beraturan lain yang dapat.

Mengapa bilangan-bilangan itu? Melukis segi-n berarti melukis sudut (360^\circ)/(n), yaitu bilangan \cos(2π)/(n), yang derajatnya atas bilangan rasional adalah (φ(n))/(2) untuk n\ge3. Di sini φ(n) adalah fungsi Euler, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang tidak punya faktor persekutuan dengan n. Derajat itu pangkat dari 2 tepat bila φ(n) demikian, dan φ(n) pangkat dari 2 tepat bila n adalah pangkat dari 2 dikali bilangan prima berbeda yang berbentuk 2^2^k+1 (prima Fermat). Hanya lima yang diketahui: 3, 5, 17, 257, dan 65537.

• Segi lima (5): \cos72^\circ=(√5-1)/(4), satu akar kuadrat. Dilukis bangsa Yunani.
• Segi tujuh (7) dan segi sembilan (9): φ(7)=6 dan φ(9)=6 bukan pangkat dari 2, jadi tidak dapat dilukis. Segi sembilan memerlukan pembagian tiga 120^\circ, yang mustahil.
• Segi tujuh belas: φ(17)=16, dan \cos(2π)/(17) memerlukan tiga lapis akar kuadrat bersarang.
• Segi 257 dan segi 65537: dilukis di atas kertas oleh Richelot (1832) dan oleh Hermes (1894, setelah sekitar sepuluh tahun kerja).

Ketik banyak sisi untuk melihat mengapa sebuah segi banyak dapat atau tidak dapat dilukis.

Bagaimana melakukan lukisan dalam kode?

Dalam program, sebuah lukisan adalah perpotongan dua lingkaran (atau garis dan lingkaran) yang dihitung dari jarak antarpusat. Untuk lingkaran berjari-jari r_1 dan r_2 dengan pusat berjarak d, titik potongnya berada pada jarak a=(r_1^2-r_2^2+d^2)/(2d) dari pusat pertama sepanjang garis antarpusat, dan pada tinggi h=√(r_1^2-a^2) di kedua sisinya. Bila d>r_1+r_2 atau d<|r_1-r_2| lingkaran saling melewati dan tidak ada titik.

Dua hal penting dalam aritmetika floating-point (lihat mengapa penjumlahan floating-point tidak tepat). Pertama, ketika lingkaran hanya bersinggungan, r_1^2-a^2 dapat bernilai -10^-17, jadi ambil max(h², 0) sebelum akar kuadrat. Kedua, jangan pernah membandingkan panjang dengan ==: dua jarak yang sama di atas kertas berbeda di angka terakhir, jadi bandingkan dengan toleransi kecil, dan ukur sudut dengan atan2.

Program membangun lensa garis sumbu untuk A=(0,0) dan B=(4,0), memeriksa bahwa titik potong atas membentuk segitiga sama sisi, dan menguji derajat bulat dan segi banyak mana yang dapat dilukis dengan fungsi φ Euler.

import math


def circles_meet(c1, r1, c2, r2):
    """The two points where two circles cross, the one on the left of c1 -> c2 first; None if they miss."""
    dx, dy = c2[0] - c1[0], c2[1] - c1[1]
    d = math.hypot(dx, dy)
    if d == 0 or d > r1 + r2 or d < abs(r1 - r2):
        return None
    a = (r1 * r1 - r2 * r2 + d * d) / (2 * d)
    h = math.sqrt(max(r1 * r1 - a * a, 0.0))      # rounding can leave -1e-17 when the circles only touch
    mx, my = c1[0] + a * dx / d, c1[1] + a * dy / d
    return (mx - h * dy / d, my + h * dx / d), (mx + h * dy / d, my - h * dx / d)


def totient(n):
    return sum(1 for k in range(1, n + 1) if math.gcd(k, n) == 1)


def is_power_of_two(n):
    return n >= 1 and n & (n - 1) == 0


def angle_buildable(deg):
    """A whole number of degrees can be built when cos(deg) has a degree that is a power of two."""
    m = 360 // math.gcd(deg, 360)
    return is_power_of_two(1 if m <= 2 else totient(m) // 2)


def polygon_buildable(n):
    return n >= 3 and is_power_of_two(totient(n))


A, B = (0.0, 0.0), (4.0, 0.0)
P, Q = circles_meet(A, 4, B, 4)                       # the lens of the perpendicular bisector
print([round(v, 4) for v in P], [round(v, 4) for v in Q])    # [2.0, 3.4641] [2.0, -3.4641]
print(round(math.dist(P, A), 4), round(math.dist(P, B), 4), round(math.dist(A, B), 4))    # 4.0 4.0 4.0
print(round(math.degrees(math.atan2(P[1] - A[1], P[0] - A[0])), 4))    # 60.0: the angle PAB
print([d for d in range(1, 31) if angle_buildable(d)])     # [3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30]
print([n for n in range(3, 41) if polygon_buildable(n)])   # [3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40]
print(circles_meet((0, 0), 1, (5, 0), 1))                  # None: too far apart

const circlesMeet = ([x1, y1], r1, [x2, y2], r2) => {
  const dx = x2 - x1, dy = y2 - y1
  const d = Math.hypot(dx, dy)
  if (d === 0 || d > r1 + r2 || d < Math.abs(r1 - r2)) return null
  const a = (r1 * r1 - r2 * r2 + d * d) / (2 * d)
  const h = Math.sqrt(Math.max(r1 * r1 - a * a, 0))     // rounding can leave -1e-17 when the circles only touch
  const mx = x1 + (a * dx) / d, my = y1 + (a * dy) / d
  return [[mx - (h * dy) / d, my + (h * dx) / d], [mx + (h * dy) / d, my - (h * dx) / d]]
}
const gcd = (a, b) => (b === 0 ? a : gcd(b, a % b))
const totient = (n) => { let t = 0; for (let k = 1; k <= n; k++) if (gcd(k, n) === 1) t++; return t }
const isPowerOfTwo = (n) => n >= 1 && (n & (n - 1)) === 0
const angleBuildable = (deg) => { const m = 360 / gcd(deg, 360); return isPowerOfTwo(m <= 2 ? 1 : totient(m) / 2) }
const polygonBuildable = (n) => n >= 3 && isPowerOfTwo(totient(n))

const [P, Q] = circlesMeet([0, 0], 4, [4, 0], 4)
;[P.map((v) => +v.toFixed(4)), Q.map((v) => +v.toFixed(4))]                 // [[2, 3.4641], [2, -3.4641]]
;+(Math.atan2(P[1], P[0]) * 180 / Math.PI).toFixed(4)                       // 60
Array.from({ length: 30 }, (_, i) => i + 1).filter(angleBuildable)           // [3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30]
Array.from({ length: 38 }, (_, i) => i + 3).filter(polygonBuildable)         // [3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40]
circlesMeet([0, 0], 1, [5, 0], 1)                                             // null: too far apart

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double px, py, qx, qy;   // the two crossings, set by circlesMeet

int circlesMeet(double x1, double y1, double r1, double x2, double y2, double r2) {
  double dx = x2 - x1;
  double dy = y2 - y1;
  double d = sqrt(dx * dx + dy * dy);
  if (d == 0 || d > r1 + r2 || d < fabs(r1 - r2)) return 0;
  double a = (r1 * r1 - r2 * r2 + d * d) / (2 * d);
  double h2 = r1 * r1 - a * a;
  double h = h2 > 0 ? sqrt(h2) : 0;       // rounding can leave -1e-17 when the circles only touch
  double mx = x1 + a * dx / d;
  double my = y1 + a * dy / d;
  px = mx - h * dy / d;
  py = my + h * dx / d;
  qx = mx + h * dy / d;
  qy = my - h * dx / d;
  return 1;
}

int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

int totient(int n) {
  int result = n;
  int m = n;
  for (int p = 2; p * p <= m; p++) {
    if (m % p == 0) {
      while (m % p == 0) m /= p;
      result -= result / p;
    }
  }
  if (m > 1) result -= result / m;
  return result;
}

int isPowerOfTwo(int n) { return n >= 1 && (n & (n - 1)) == 0; }

int angleBuildable(int deg) {
  int m = 360 / gcd(deg, 360);
  return isPowerOfTwo(m <= 2 ? 1 : totient(m) / 2);
}

int main() {
  circlesMeet(0, 0, 4, 4, 0, 4);
  printf("%.4f %.4f %.4f %.4f\n", px, py, qx, qy);
  printf("%.1f\n", atan2(py, px) * 180.0 / 3.14159265358979323846);
  for (int d = 1; d <= 30; d++) if (angleBuildable(d)) printf("%d ", d);
  printf("\n");
  for (int n = 3; n <= 40; n++) if (isPowerOfTwo(totient(n))) printf("%d ", n);
  printf("\n");
  printf("%d\n", circlesMeet(0, 0, 1, 5, 0, 1));
  return 0;
}

/* output:
2.0000 3.4641 2.0000 -3.4641
60.0
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24 30 32 34 40
0
*/

Dari mana lukisan dengan penggaris dan jangka berasal?

Melukis adalah cara tertua mengerjakan geometri, dan pertanyaan tentang apa yang bisa dan tidak bisa dilakukannya memerlukan dua ribu tahun untuk dijawab.

• Sekitar 300 SM. Elements Euklides diawali dengan segitiga sama sisi dan dibangun dengan penggaris dan jangka saja: membagi dua sudut dan ruas garis, garis tegak lurus, garis sejajar, menyalin sudut, dan segi lima beraturan (Buku I dan IV). Buku VI membagi ruas garis menjadi bagian sama dengan teorema intersep.
• Sekitar 250 SM. Archimedes membagi tiga sebuah sudut dengan penggaris bertanda. Ahli geometri Yunani berabad-abad mencoba membagi tiga sudut, menggandakan kubus, dan mengkuadratkan lingkaran dengan penggaris dan jangka saja.
• 1672 dan 1797. Georg Mohr dan, secara terpisah, Lorenzo Mascheroni menunjukkan bahwa setiap titik yang dapat dilukis dengan penggaris dan jangka dapat dilukis dengan jangka saja.
• 1796. Gauss, berusia 18 tahun, melukis segi tujuh belas beraturan, segi banyak beraturan baru pertama sejak zaman kuno, dan menerbitkan aturan umumnya pada 1801.
• 1832. Friedrich Richelot memberikan lukisan segi 257.
• 1837. Pierre Wantzel membuktikan bahwa menggandakan kubus dan membagi tiga sudut sembarang adalah mustahil, dan bahwa daftar segi banyak Gauss sudah lengkap.
• 1882. Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa π transenden, yang mengakhiri soal mengkuadratkan lingkaran.
• 1894. Johann Gustav Hermes menyelesaikan lukisan segi 65537, setelah sekitar sepuluh tahun.

Apa kesalahan umum dalam melukis?

Kesalahan paling umum dalam melukis adalah delapan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: lukisan sekilas

• Aturan: penggaris tanpa skala dan jangka; tiga langkah (garis melalui dua titik, lingkaran berpusat di satu titik, titik di perpotongan); lukisan itu tepat dan memiliki bukti.
• Menyalin ruas garis: atur jangka sepanjang ruas itu dan ayunkan busur dari titik yang baru; jumlahkan dan kurangkan dengan menyalin ujung ke ujung atau ke belakang.
• Garis sumbu dan titik tengah: dua lingkaran berjari-jari sama di kedua ujung, hubungkan titik potongnya; dibenarkan oleh belah ketupat atau oleh SSS.
• Sudut: segitiga sama sisi →60^\circ; bagi dua dengan satu busur dan dua busur sama; salin dengan menyalin tali busur; semuanya dengan SSS.
• Tegak lurus dan sejajar: garis sumbu dua titik yang ditandai; sisi berhadapan belah ketupat.
• Sudut istimewa: 90^\circ, 60^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 15^\circ, 75^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ dari membagi dua, menambah, dan mengurangi; dengan 72^\circ, setiap derajat bulat kelipatan 3.
• Bagian sama: langkah sama panjang pada sinar dan garis sejajar (teorema intersep).
• Mustahil: membagi tiga sudut sembarang, menggandakan kubus, mengkuadratkan lingkaran; bilangan yang dapat dilukis berderajat pangkat dari 2.
• Segi banyak: segi-n beraturan dapat dilukis tepat bila φ(n) pangkat dari 2, yaitu n pangkat dari 2 dikali prima Fermat yang berbeda.
• Kode: perpotongan dua lingkaran dari a=(r_1^2-r_2^2+d^2)/(2d) dan h=√(r_1^2-a^2); max(h², 0) dan toleransi.

Glosarium: istilah penting

Lukisan geometri

Bangun yang digambar hanya dengan penggaris tanpa skala dan jangka, dengan setiap titik baru berupa perpotongan garis dan lingkaran yang sudah digambar.

Penggaris tanpa skala

Penggaris tanpa tanda apa pun, hanya dipakai untuk menarik garis lurus melalui dua titik.

Garis sumbu

Garis yang membagi sebuah ruas garis menjadi dua sama panjang dengan sudut siku-siku; setiap titik padanya sama jauh dari kedua ujung.

Garis bagi sudut

Sinar dari titik sudut sebuah sudut yang membaginya menjadi dua sudut sama besar.

Belah ketupat

Segi empat dengan empat sisi sama panjang; diagonalnya saling membagi dua secara siku-siku dan membagi dua sudutnya.

Bilangan yang dapat dikonstruksi

Bilangan yang dapat dibuat sebagai panjang dari panjang satuan dengan penggaris dan jangka; ia diperoleh dari 1 dengan menambah, mengurangi, mengalikan, membagi, dan menarik akar kuadrat.

Derajat sebuah bilangan

Derajat terkecil polinomial berkoefisien bilangan bulat yang memiliki bilangan itu sebagai akar; bilangan yang dapat dikonstruksi berderajat pangkat dari 2.

Prima Fermat

Bilangan prima berbentuk 2 pangkat 2^k, ditambah 1; hanya lima yang diketahui: 3, 5, 17, 257, dan 65537.

Fungsi totien Euler

Banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai n yang tidak memiliki faktor persekutuan dengan n, ditulis phi dari n.

Neusis

Lukisan yang memakai penggaris dengan dua tanda, yang dapat membagi tiga sudut mana pun walaupun penggaris dan jangka biasa tidak dapat.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Euclid, translated by Thomas L. Heath (1956). Euclid's Elements (Books I, IV and VI). Dover.
2. Richard Courant, Herbert Robbins (1996). What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (chapter III, geometrical constructions). Oxford University Press.
3. Nicholas D. Kazarinoff (2003). The Ruler and the Round: Classic Problems in Geometric Constructions. Dover.
4. Robin Hartshorne (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
5. Ian Stewart (2015). Galois Theory (chapter on geometric constructions). CRC Press.
6. Pierre-Laurent Wantzel (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 2.
7. Carl Friedrich Gauss (1801). Disquisitiones Arithmeticae (section VII, the division of the circle). Gerhard Fleischer.

Artikel terkait

• Sudut: Pengukuran, Jenis, Pasangan, dan Garis Sejajar: Sudut dijelaskan: derajat, radian, dan putaran, jenis dan pasangan sudut, garis sejajar dan garis lintang, sudut segi banyak, sudut jam, dan bearing.
• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Lingkaran: Keliling, Luas, Sudut, dan Persamaan: Lingkaran: pi, keliling dan luas, busur dan juring, teorema sudut, tali busur dan garis singgung, persamaan lingkaran, dan kedudukan garis, dengan latihan.
• Bilangan Floating-Point: Cara kerja bilangan floating-point: bit IEEE 754, jarak dan pembulatan, NaN dan tak hingga, galat yang menumpuk, pembatalan, perbandingan, dan tipe yang dipakai.