Kecekungan dan Penggambaran Kurva

Apa itu kecekungan?

Grafik fungsi terdiferensialkan y=f(x) cekung ke atas pada selang terbuka I jika f' naik pada I, dan cekung ke bawah pada I jika f' turun pada I. Fungsi yang grafiknya cekung ke atas juga sering disebut konveks. Gambarannya adalah bagaimana kurva berbelok. Sepanjang y=x^3 yang mendekati titik asal dari kiri, kurva berbelok ke kanan dan jatuh di bawah garis singgungnya, dan gradien garis singgung itu mengecil: cekung ke bawah. Menjauhi titik asal ke kanan, kurva berbelok ke kiri dan naik di atas garis singgungnya, dan gradiennya membesar: cekung ke atas.

Karena f' adalah fungsi tersendiri, fungsi monoton dari artikel sebelumnya berlaku padanya: f' naik di tempat turunannya sendiri f'' positif, dan turun di tempat f'' negatif.

Uji Turunan Kedua untuk kecekungan. Misalkan y=f(x) terdiferensialkan dua kali pada selang I. 1. Jika f''>0 pada I, grafik f pada I cekung ke atas. 2. Jika f''<0 pada I, grafik f pada I cekung ke bawah.

Kita menulis f'' atau y'' untuk turunan kedua. Kecekungan bukan naik atau turun: grafik cekung ke atas dapat naik, turun, atau keduanya, seperti x^2, sedangkan yang tidak dapat dilakukannya adalah bergelombang.

Contoh 1. (a) Kurva y=x^3 memiliki y''=6x, negatif untuk x<0 dan positif untuk x>0, sehingga cekung ke bawah pada (-∞,0) dan cekung ke atas pada (0,∞). (b) Kurva y=x^2 memiliki y''=2>0 di mana-mana, sehingga cekung ke atas pada seluruh garis.

Contoh 2. Tentukan kecekungan y=3+\sin x pada 0\le x\le2π. Di sini y'=\cos x dan y''=-\sin x, yang negatif pada (0,π) dan positif pada (π,2π). Grafiknya cekung ke bawah pada (0,π) dan cekung ke atas pada (π,2π).

Ketik fungsi dan jendela di bawah, atau pilih contoh. Grafiknya gelap saat cekung ke atas dan oranye saat cekung ke bawah, dan grafik f'' menunjukkan sebabnya.

Apa itu titik belok?

Titik (c,f(c)) tempat grafik fungsi memiliki garis singgung dan tempat kecekungan berubah adalah titik belok. Di titik seperti itu grafik memotong garis singgungnya sendiri. Pada Contoh 2 kurva y=3+\sin x mengubah kecekungan di (π,3), tempat garis singgung bergradien y'(π)=\cosπ=-1.

Karena garis singgung ada, maka f'(c) ada (terhingga), atau grafik memiliki garis singgung tegak di sana. Pada garis singgung tegak f' maupun f'' tidak ada. Jadi di titik belok salah satu dari dua hal terjadi: f''(c)=0 atau f''(c) tidak ada. Ketika f'' kontinu, yang pertama mengikuti dari Teorema Nilai Antara, karena f'' berganti tanda. Syarat ini perlu dan tidak cukup: f''=0 atau tidak ada hanya menandai kandidat, dan tandanya harus berganti.

Contoh 3. Tentukan kecekungan dan titik belok f(x)=x^3-3x^2+2. Di sini f'(x)=3x^2-6x dan f''(x)=6x-6, yang negatif untuk x<1, nol di x=1, dan positif untuk x>1. Grafiknya cekung ke bawah pada (-∞,1), cekung ke atas pada (1,∞), dan memiliki titik belok (1,0).

Contoh 4: f'' tidak ada. Grafik f(x)=x^5/3 memiliki garis singgung mendatar di titik asal, karena f'(x)=\frac53x^2/3=0 di x=0. Turunan kedua f''(x)=\frac109x^-1/3 tidak ada di 0, tetapi negatif untuk x<0 dan positif untuk x>0, sehingga berganti tanda: titik belok di titik asal.

Contoh 5: f''=0 dan bukan titik belok. Kurva y=x^4 memiliki y''=12x^2, yang 0 di x=0 tetapi tidak berganti tanda: kurva cekung ke atas di mana-mana.

Contoh 6: garis singgung tegak. Grafik y=x^1/3 memiliki titik belok di titik asal karena y''=-\frac29x^-5/3 positif untuk x<0 dan negatif untuk x>0. Tetapi y'=\frac13x^-2/3 dan y'' keduanya tidak ada di 0, dan ada garis singgung tegak.

Peringatan. Ketika turunan kedua tidak ada di c, titik belok mungkin ada dan mungkin tidak. x^2/3 tidak memiliki turunan kedua di 0 dan bukan titik belok: turunan keduanya -\frac29x^-4/3 negatif di kedua sisi, dan grafiknya memiliki titik puncak, tanpa garis singgung sama sekali. Kasus lain: f(x)=x|x| memiliki f'(x)=2|x|, yang ada di 0, walaupun f''=2 sign x tidak, dan itu titik belok. Di tempat seperti itu grafik dapat memiliki garis singgung tegak, sudut, titik puncak, atau putus, jadi baca tanda f'' di kedua sisi dan tanyakan apakah ada garis singgung. Pilih masing-masing kasus di bawah untuk melihat tanda, garis singgung, dan putusannya.

Apa kata turunan kedua tentang gerak?

Untuk partikel dengan posisi s(t) percepatannya a=s'', dan titik belok grafik posisi adalah tempat percepatan berganti tanda. Bersama gerak sepanjang garis di artikel laju perubahan, kecepatan v=s' menyatakan ke arah mana partikel bergerak, dan tanda a terhadap tanda v menyatakan apakah ia bertambah cepat atau melambat: bertambah cepat ketika v dan a bertanda sama, dan melambat ketika bertanda berlawanan.

Contoh 7. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat mendatar (positif ke kanan) dengan posisi s(t)=2t^3-14t^2+22t-5 untuk t\ge0. Kecepatannya v(t)=s'(t)=6t^2-28t+22 v(t)=2(t-1)(3t-11) dan percepatannya a(t)=s''(t)=12t-28=4(3t-7). Kecepatan nol di t=1 dan t=\frac113, dan percepatan di t=\frac73. Menggabungkan tanda-tandanya:

Partikel mulai bergerak ke kanan sementara percepatan ke kiri memperlambatnya, berbalik di t=1 dan bertambah cepat ke kiri. Di t=\frac73 percepatan berubah arah, yaitu titik belok grafik posisi, tetapi partikel tetap bergerak ke kiri, kini melambat. Di t=\frac113 ia berbalik lagi dan, bergerak searah percepatan, bertambah cepat ke kanan.

Apa itu Uji Turunan Kedua untuk ekstrem lokal?

Alih-alih mencari pergantian tanda f' di titik kritis, kadang kita dapat membaca kecekungan di sana: grafik yang cekung ke bawah di titik tempat garis singgung mendatar berada di puncak bukit, dan yang cekung ke atas berada di dasar lembah.

Uji Turunan Kedua untuk ekstrem lokal. Misalkan f'' kontinu pada selang terbuka yang memuat x=c. 1. Jika f'(c)=0 dan f''(c)<0, maka f memiliki maksimum lokal di x=c. 2. Jika f'(c)=0 dan f''(c)>0, maka f memiliki minimum lokal di x=c. 3. Jika f'(c)=0 dan f''(c)=0, maka ujinya gagal: f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak keduanya.

Bukti bagian 1. Jika f''(c)<0 maka f''<0 pada suatu selang terbuka I di sekitar c, karena f'' kontinu. Jadi f' turun pada I. Karena f'(c)=0, tanda f' berubah dari positif ke negatif di c, dan f memiliki maksimum lokal di c menurut Uji Turunan Pertama. Bagian 2 serupa. ∎

Bagian 3. Ambil y=x^4, y=-x^4, dan y=x^3. Pada masing-masingnya turunan pertama dan kedua nol di x=0. Namun x^4 memiliki minimum lokal di sana, -x^4 memiliki maksimum lokal, dan x^3 naik pada setiap selang terbuka di sekitar 0 dan tidak memiliki keduanya. Uji ini tidak dapat membedakannya.

Uji ini memerlukan f'' hanya di c sendiri, yang membuatnya mudah diterapkan: satu bilangan menjawab pertanyaan. Harganya adalah ujinya tidak meyakinkan ketika f''(c)=0 atau ketika f'' tidak ada di c (seperti x^2/3 di titik puncaknya); maka dipakai Uji Turunan Pertama. Pilih satu kasus di bawah dan baca kedua uji berdampingan.

Bagaimana menggambar grafik suatu fungsi?

Untuk menggambar y=f(x), kumpulkan apa yang dikatakan f, f', dan f'' dan gabungkan: di mana grafik naik dan turun, bagaimana ia melengkung, di mana ia berbalik, dan apa yang didekatinya.

Prosedur menggambar y=f(x). 1. Tentukan domain f dan simetri yang mungkin dimiliki kurva. 2. Cari turunan y' dan y''. 3. Cari titik kritis f, jika ada, dan tentukan perilaku f di masing-masingnya. 4. Cari di mana kurva naik dan di mana turun. 5. Cari titik belok, jika ada, dan tentukan kecekungan kurva. 6. Tentukan asimtot yang mungkin ada. 7. Gambar titik penting, seperti perpotongan dan titik-titik dari langkah 3 sampai 5, dan sketsakan kurva bersama asimtotnya.

Asimtot. Garis x=a adalah asimtot tegak jika f(x)→±∞ ketika x→ a dari satu sisi atau kedua sisi, yang untuk fungsi rasional terjadi di tempat penyebut nol dan pembilang tidak. Garis y=L adalah asimtot mendatar jika f(x)→ L ketika x→∞ atau x→-∞. Asimtot miring y=mx+b muncul ketika f(x)-(mx+b)→0; untuk fungsi rasional itu adalah sisa pembagian panjang ketika pembilang berderajat satu lebih tinggi daripada penyebut. Grafik boleh memotong asimtot mendatar atau miring di nilai x terhingga; yang dilakukannya adalah mendekatinya di ujung.

Contoh 8. Gambarlah f(x)=x^4-4x^3+10. Fungsi ini kontinu dengan domain seluruh garis. Turunan f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3) nol di x=0 dan x=3, dengan tanda -,-,+: jadi f turun pada (-∞,3] dan naik pada [3,∞), tidak ada nilai ekstrem di 0 dan ada minimum lokal f(3)=-17 di 3. Turunan kedua f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2) nol di 0 dan 2, dengan tanda +,-,+: grafik cekung ke atas pada (-∞,0), cekung ke bawah pada (0,2), dan cekung ke atas pada (2,∞), dengan titik belok (0,10) dan (2,-6). Kurva memotong sumbu y di 10. Perhatikan bahwa x=0 adalah titik kritis dan titik belok, tempat kurva mendatar sambil tetap turun.

Sekarang coba prosedur ini pada fungsi apa pun di bawah, atau pada lima contoh grafik di buku. Alatnya mengikuti tujuh langkah dan menggambar hasilnya: gelap saat f naik, oranye saat turun, titik oranye di ekstrem lokal, titik hitam di titik belok, dan garis putus-putus untuk asimtot.

Seperti apa sketsa fungsi rasional, eksponensial, dan trigonometri?

Empat grafik lagi menunjukkan langkah-langkahnya dengan asimtot, putus, simetri, dan suku trigonometri.

Contoh 9: f(x)=((x+1)^2)/(1+x^2). Domainnya seluruh garis, tanpa simetri. Karena f(x)=1+(2x)/(1+x^2), f'(x)=(2(1-x^2))/((1+x^2)^2) f''(x)=(4x(x^2-3))/((1+x^2)^3). Titik kritisnya x=±1. Karena f''(-1)=1>0 ada minimum lokal f(-1)=0, dan karena f''(1)=-1<0 ada maksimum lokal f(1)=2. Tanda f' adalah -,+,-, sehingga f turun, naik, lalu turun lagi. Penyebut f'' selalu positif, dan pembilangnya nol di -√3, 0, dan √3 dengan tanda -,+,-,+: masing-masing titik belok, \left(-√3,1-\frac√32\right), (0,1), dan \left(√3,1+\frac√32\right), dengan grafik cekung ke bawah, atas, bawah, atas. Membagi dengan x^2 menunjukkan f(x)→1 ketika x→±∞: garis y=1 adalah asimtot mendatar, dan tidak ada asimtot tegak. Grafik menemui asimtotnya di x=0 dan mendekatinya dari bawah di kiri, cekung ke bawah, dan dari atas di kanan, cekung ke atas.

Contoh 10: f(x)=(x^2+4)/(2x)=\frac x2+\frac2x. Domainnya x≠0, tidak ada perpotongan, dan f(-x)=-f(x): fungsi ganjil, simetris terhadap titik asal. Turunannya f'(x)=\frac12-\frac2x^2=(x^2-4)/(2x^2) f''(x)=\frac4x^3. Titik kritis x=±2 memberi maksimum lokal f(-2)=-2 dan minimum lokal f(2)=2, dari tanda f''. Fungsi naik pada (-∞,-2), turun pada (-2,0) dan (0,2), dan naik pada (2,∞). Turunan kedua negatif untuk x<0 dan positif untuk x>0 dan tidak pernah nol, sehingga tidak ada titik belok. Karena \frac2x→±∞ ketika x→0^±, sumbu y adalah asimtot tegak, dan karena f(x)-\frac x2=\frac2x→0 di kedua ujung, y=\frac x2 adalah asimtot miring.

Contoh 11: f(x)=e^2/x. Domainnya x≠0 dan tidak ada simetri. Turunannya f'(x)=-(2e^2/x)/(x^2) f''(x)=(4(x+1)e^2/x)/(x^4). Karena f'<0 di seluruh domain, grafik turun pada (-∞,0) dan pada (0,∞). Turunan kedua bertanda sama dengan x+1, sehingga berganti tanda di x=-1: titik \left(-1,e^-2\right) adalah titik belok, cekung ke bawah di kirinya dan cekung ke atas setelahnya. Ketika x→0^+, \frac2x→∞ dan f→∞: sumbu y adalah asimtot tegak. Dari kiri f→0. Ketika x→±∞, \frac2x→0 dan f→1, sehingga y=1 adalah asimtot mendatar. f tidak pernah 0, dan tidak memiliki ekstrem mutlak.

Contoh 12: f(x)=\cos x-\frac√22x pada 0\le x\le2π. Di sini f'(x)=-\sin x-\frac√22 nol di tempat \sin x=-\frac√22, yaitu x=\frac5π4 dan x=\frac7π4. Karena f''(x)=-\cos x, f''\left(\frac5π4\right)=\frac√22>0 memberi minimum lokal f\left(\frac5π4\right)≈-3,48, dan f''\left(\frac7π4\right)=-\frac√22<0 maksimum lokal f\left(\frac7π4\right)≈-3,18. Turunan kedua nol di \fracπ2 dan \frac3π2 dan berganti tanda di sana: titik belok \left(\fracπ2,-1,11\right) dan \left(\frac3π2,-3,33\right). Di ujung f(0)=1 dan f(2π)≈-3,44, sehingga pada selang tertutup ini maksimum mutlaknya f(0)=1 dan minimum mutlaknya f\left(\frac5π4\right)≈-3,48.

Bagaimana f, f′, dan f″ saling melengkapi, dan apa yang dapat diputuskannya?

Turunan pertama menyatakan di mana grafik naik dan turun dan di mana ia berbalik; turunan kedua menyatakan bagaimana ia melengkung; dan bersama asimtot dan beberapa titik keduanya menetapkan gambarnya. Tandanya bergabung seperti ini:

Fakta yang sama menjawab pertanyaan tentang konstanta dalam rumus.

Kuadrat dan kubik. Untuk parabola y=ax^2+bx+c dengan a≠0, y'=2ax+b nol di x=-\frac b2a, puncaknya, dan y''=2a tidak pernah berganti tanda: cekung ke atas jika a>0, ke bawah jika a<0, dan kurva kuadrat tidak pernah memiliki titik belok. Untuk kubik y=ax^3+bx^2+cx+d, y''=6ax+2b nol di tepat satu titik, x=-\frac b3a, dan berganti tanda di sana: setiap kubik memiliki tepat satu titik belok. Jika titik itu harus di x=1 untuk y=x^3+bx^2+cx+d, maka 6+2b=0 dan b=-3.

Mencari konstanta. Untuk a, b, c berapa y=ax^3+bx^2+cx memiliki maksimum lokal di x=3, minimum lokal di x=-1, dan titik belok di (1,11)? Titik belok di x=1 memerlukan y''(1)=6a+2b=0, sehingga b=-3a. Maka y'=3ax^2+2bx+c dengan y'(3)=27a+6b+c=0 memberi c=-9a, dan y'(-1)=3a-2b+c=0 berlaku dengan sendirinya. Titik (1,11) memerlukan a+b+c=-11a=11, sehingga a=-1, b=3, c=9, dan y=-x^3+3x^2+9x. Periksa: y''=-6x+6 adalah -12<0 di 3 (maksimum y(3)=27) dan 12>0 di -1 (minimum y(-1)=-5).

Hanya diberi f''. Jika y''=(x+1)(x-2), tanda y'' adalah +,-,+ dengan perubahan di x=-1 dan x=2: itulah titik belok, tanpa perlu mengetahui f.

Bagaimana mencari kecekungan dan titik belok dalam kode?

Dalam kode, kecekungan adalah uji tanda yang sama seperti sebelumnya, satu turunan lebih tinggi: cari titik tempat f'' nol atau tidak ada, baca tanda f'' di satu titik di antara tiap pasangan, dan sebut kandidat titik belok ketika tandanya berganti. SymPy melakukannya secara eksak dengan sp.solve_univariate_inequality(d2f > 0, x, relational=False) dan yang sama dengan < 0; Uji Turunan Kedua adalah satu substitusi, d2f.subs(x, c). Tanpa CAS, ambil titik tengah, yang dilakukan program JavaScript dan C++. Untuk f numerik turunan kedua sendiri didekati oleh (f(c+h)-2f(c)+f(c-h))/(h^2), yang memerlukan h sedang karena pembilangnya selisih bilangan yang hampir sama.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)


def concavity_report(f):
    """Where the graph of f is concave up and down, its inflection points, and the Second Derivative Test."""
    df, d2f = sp.diff(f, x), sp.diff(f, x, 2)
    up = sp.solve_univariate_inequality(d2f > 0, x, relational=False)
    down = sp.solve_univariate_inequality(d2f < 0, x, relational=False)
    eps = sp.Rational(1, 10**6)
    inflections = [(c, f.subs(x, c)) for c in sorted(sp.solveset(sp.Eq(d2f, 0), x, sp.S.Reals), key=float)
                   if (up.contains(c - eps) and down.contains(c + eps)) or (down.contains(c - eps) and up.contains(c + eps))]
    second = {}
    for c in sorted(sp.solveset(sp.Eq(df, 0), x, sp.S.Reals), key=float):
        k = d2f.subs(x, c)
        second[c] = 'min' if k > 0 else 'max' if k < 0 else 'fails'
    return up, down, inflections, second


for f in (x**4 - 4 * x**3 + 10, (x + 1)**2 / (1 + x**2), x**3):
    print(f, '->', concavity_report(f))
# x**4 - 4*x**3 + 10 -> (Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(2, oo)), Interval.open(0, 2), [(0, 10), (2, -6)], {0: 'fails', 3: 'min'})
# (x + 1)**2/(x**2 + 1) -> (Union(Interval.open(-sqrt(3), 0), Interval.open(sqrt(3), oo)), Union(Interval.open(-oo, -sqrt(3)), Interval.open(0, sqrt(3))), [(-sqrt(3), (1 - sqrt(3))**2/4), (0, 1), (sqrt(3), (1 + sqrt(3))**2/4)], {-1: 'min', 1: 'max'})
# x**3 -> (Interval.open(0, oo), Interval.open(-oo, 0), [(0, 0)], {0: 'fails'})

// concavity between the candidates, and the verdict at each candidate: an inflection point when the bending changes
const bendChart = (d2, candidates, lo, hi) => {
  const edges = [lo, ...candidates, hi]
  const pieces = edges.slice(1).map((to, i) => [edges[i], to, d2((edges[i] + to) / 2) > 0 ? 'up' : 'down'])
  const inflections = candidates.filter((c, i) => pieces[i][2] !== pieces[i + 1][2])
  return { pieces, inflections }
}
// the Second Derivative Test at c, given f' and f'' as functions
const secondTest = (df, d2, c) => {
  if (Math.abs(df(c)) > 1e-9) return 'not critical'
  const k = d2(c)
  return Math.abs(k) < 1e-9 ? 'fails' : k > 0 ? 'min' : 'max'
}
const d2 = (x) => 12 * x * x - 24 * x                        // f(x) = x^4 - 4x^3 + 10
bendChart(d2, [0, 2], -2, 5)
// pieces [[-2,0,'up'], [0,2,'down'], [2,5,'up']]   inflections [0, 2]
const df = (x) => 4 * x ** 3 - 12 * x ** 2
secondTest(df, d2, 0)                                        // 'fails': f'(0) = f''(0) = 0 (the First Derivative Test: no extreme value)
secondTest(df, d2, 3)                                        // 'min': f''(3) = 36 > 0
bendChart((x) => 12 * x * x, [0], -2, 2)                     // x^4: pieces [[-2,0,'up'], [0,2,'up']]   inflections []: f'' = 0 at 0 but no inflection

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double d2(double x) { return 12 * x * x - 24 * x; }       // f(x) = x^4 - 4x^3 + 10, f'' = 12x(x - 2)
double d1(double x) { return 4 * x * x * x - 12 * x * x; }

int main() {
  double edge[4];
  edge[0] = -2; edge[1] = 0; edge[2] = 2; edge[3] = 5;       // the ends and the places where f'' is zero
  int sign[3];
  for (int i = 0; i < 3; i++) {
    double mid = (edge[i] + edge[i + 1]) / 2;                // one test point in each interval
    sign[i] = d2(mid) > 0 ? 1 : -1;
    if (sign[i] > 0) printf("from %.1f to %.1f; f'' at %.2f is %.2f; concave up\n", edge[i], edge[i + 1], mid, d2(mid));
    else printf("from %.1f to %.1f; f'' at %.2f is %.2f; concave down\n", edge[i], edge[i + 1], mid, d2(mid));
  }
  for (int i = 0; i < 2; i++)                                // an inflection point where the bending changes
    if (sign[i] != sign[i + 1]) printf("x=%.1f inflection point\n", edge[i + 1]);
    else printf("x=%.1f no inflection point\n", edge[i + 1]);
  double crit[2];
  crit[0] = 0; crit[1] = 3;                                  // the zeros of f'
  for (int i = 0; i < 2; i++) {                              // the Second Derivative Test
    double k = d2(crit[i]);
    if (fabs(k) < 1e-9) printf("x=%.1f; f''=%.2f; the test fails\n", crit[i], k);
    else if (k > 0) printf("x=%.1f; f''=%.2f; local minimum\n", crit[i], k);
    else printf("x=%.1f; f''=%.2f; local maximum\n", crit[i], k);
  }
  return 0;
}

/* output:
from -2.0 to 0.0; f'' at -1.00 is 36.00; concave up
from 0.0 to 2.0; f'' at 1.00 is -12.00; concave down
from 2.0 to 5.0; f'' at 3.50 is 63.00; concave up
x=0.0 inflection point
x=2.0 inflection point
x=0.0; f''=0.00; the test fails
x=3.0; f''=36.00; local minimum
*/

Dari mana asal titik belok dan penggambaran kurva?

Mempelajari bentuk kurva dengan turunan dimulai bersama aturan pertama kalkulus dan menjadi prosedur rutin pada abad ke-18.

• Leibniz, 1684. Dalam makalah pertamanya tentang kalkulus diferensial, Gottfried Wilhelm Leibniz memakai diferensial kedua untuk membedakan maksimum dari minimum, dan mencatat bahwa diferensial kedua lenyap di titik belok.
• l'Hôpital, 1696. Buku teks Guillaume de l'Hôpital Analyse des infiniment petits, yang pertama tentang kalkulus diferensial, menerapkan metode itu untuk mencari titik belok dan titik puncak kurva yang diberikan oleh persamaan.
• Maclaurin, 1742. Treatise of Fluxions karya Colin Maclaurin menata uji maksimum, minimum, dan titik belok dari tanda fluksi pertama dan kedua, dalam bentuk yang masih diajarkan.
• Euler, 1748. Introductio in analysin infinitorum karya Leonhard Euler mempelajari kurva lewat asimtot dan cabangnya, bagian prosedur yang berasal dari aljabar dan bukan dari turunan.
• Sekarang. Perangkat lunak grafik menggambar kurva titik demi titik; langkah-langkah sketsa masih menjadi cara memeriksa bahwa suatu plot menunjukkan setiap ekstrem, setiap titik belok, dan setiap asimtot.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada kecekungan?

Kesalahan paling umum pada kecekungan dan penggambaran kurva adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: kecekungan dan penggambaran kurva sekilas

• Kecekungan: cekung ke atas di tempat f' naik (f''>0), cekung ke bawah di tempat f' turun (f''<0).
• Titik belok: titik yang memiliki garis singgung dan tempat kecekungan berubah; f''=0 atau tidak ada di sana, tetapi nol f'' saja belum cukup.
• Kasus: x^3 ya, x^4 tidak, x^5/3 dan x^(1/3) ya (dengan f'' tak terdefinisi), x^2/3 tidak (titik puncak).
• Gerak: a=s''; bertambah cepat ketika v dan a bertanda sama, melambat ketika berbeda.
• Uji Turunan Kedua: f'(c)=0 dan f''(c)<0 maksimum, f''(c)>0 minimum, f''(c)=0 gagal; lalu pakai Uji Turunan Pertama.
• Penggambaran kurva: domain dan simetri, f' dan f'', titik kritis, naik dan turun, titik belok dan kecekungan, asimtot, titik penting.
• Asimtot: tegak di tempat f→±∞, mendatar dan miring dari ujung; grafik dapat memotong salah satunya.
• Kubik: tepat satu titik belok, di x=-\frac b3a; parabola tidak punya.
• Kode: sp.solve_univariate_inequality(d2f > 0, x, relational=False) dan d2f.subs(x, c).

Glosarium: istilah penting

Cekung ke atas

Grafik cekung ke atas pada selang tempat gradiennya naik, yaitu tempat turunan kedua positif; ia melengkung seperti cangkir dan berada di atas garis singgungnya.

Cekung ke bawah

Grafik cekung ke bawah pada selang tempat gradiennya turun, yaitu tempat turunan kedua negatif; ia melengkung seperti topi dan berada di bawah garis singgungnya.

Titik belok

Titik pada grafik yang memiliki garis singgung dan tempat kecekungan berubah dari atas ke bawah atau dari bawah ke atas.

Uji Turunan Kedua

Uji yang menggolongkan titik kritis menurut tanda turunan kedua di sana: negatif maksimum lokal, positif minimum lokal, nol tidak meyakinkan.

Asimtot

Garis yang didekati grafik fungsi tanpa batas: tegak di tempat fungsi membesar tanpa batas, mendatar atau miring di ujung sumbu x.

Penggambaran kurva

Menggambar grafik fungsi dari domain, simetri, turunan pertama dan kedua, titik kritis, titik belok, asimtot, dan beberapa titik penting.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 4.4: Concavity and Curve Sketching. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 4.3 and 4.5: How Derivatives Affect the Shape of a Graph; Summary of Curve Sketching. Cengage Learning.
3. Guillaume de l'Hôpital (1696). Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes. Paris.
4. Colin Maclaurin (1742). A Treatise of Fluxions. Edinburgh.
5. Leonhard Euler (1748). Introductio in analysin infinitorum. Lausanne.

Artikel terkait

• Fungsi Monoton dan Uji Turunan Pertama: Fungsi monoton dan Uji Turunan Pertama: di mana fungsi naik dan turun dari tanda f′, ekstrem lokal, bagan tanda, dan pertidaksamaan, dengan contoh dan kode.
• Teorema Nilai Rata-rata: Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Rolle: pernyataan, bukti, cara mencari c, kecepatan dan laju, serta akibatnya tentang fungsi konstan, dengan contoh dan kode.
• Nilai Ekstrem Fungsi pada Selang Tertutup: Nilai ekstrem pada selang tertutup: maksimum dan minimum mutlak dan lokal, Teorema Nilai Ekstrem, titik kritis, dan metode selang tertutup, dengan contoh dan kode.
• Turunan sebagai Fungsi: Turunan sebagai fungsi: f′(x) dari definisi, notasi, menggambar grafik f′ dari f, fungsi tangga, daerah asal, turunan sepihak dan sudut tajam, serta kode numerik.