Fungsi Monoton dan Uji Turunan Pertama

Apa itu fungsi naik dan fungsi turun?

Fungsi f naik pada selang I jika f(x_1)<f(x_2) setiap kali x_1<x_2 berada di I, dan turun pada I jika f(x_1)>f(x_2) setiap kali x_1<x_2 berada di I. Dengan kata lain: grafik naik dari kiri ke kanan, atau turun dari kiri ke kanan. Fungsi yang naik pada suatu selang atau turun pada suatu selang disebut monoton di sana. Ketika sebuah buku menulis "naik" kadang artinya bentuk yang lebih lemah f(x_1)\le f(x_2), yang membolehkan bagian datar; artikel ini memakai bentuk tegas, dan menyebut "konstan" untuk bagian datar.

Kata-kata itu milik suatu selang. Kita tidak mengatakan fungsi naik atau turun di satu titik, karena definisinya membandingkan dua titik yang berbeda. f(x)=x^2 turun pada (-∞,0] dan naik pada [0,∞), dan tidak monoton pada seluruh garis. Apakah ujung disertakan tidak mengubah apa-apa untuk fungsi kontinu: jika ia naik pada (0,1) ia juga naik pada [0,1].

Fungsi monoton tegas tidak pernah bernilai sama dua kali, karena dua masukan yang berbeda berurutan dan begitu pula keluarannya. Itulah alasan fungsi monoton memiliki invers, yang dibahas lagi di bagian akhir. Pertanyaan praktisnya adalah bagaimana mencari selangnya; menguji definisi untuk setiap pasangan titik tidak mungkin, dan turunan melakukannya untuk kita.

Bagaimana tanda turunan menunjukkan di mana fungsi naik dan turun?

Akibat 3 Teorema Nilai Rata-rata: misalkan f kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b). Jika f'(x)>0 di setiap titik (a,b), maka f naik pada [a,b]; jika f'(x)<0 di setiap titik, maka f turun pada [a,b].

Bukti. Misalkan x_1<x_2 dua titik mana pun pada [a,b]. Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada f di [x_1,x_2] memberi titik c di antaranya dengan f(x_2)-f(x_1)=f'(c) (x_2-x_1). Faktor x_2-x_1 positif, sehingga ruas kanan bertanda sama dengan f'(c). Jika f' positif pada (a,b) maka f(x_2)>f(x_1), dan jika f' negatif maka f(x_2)<f(x_1). ∎

Akibat ini juga berlaku pada selang terbuka dan tak hingga, dan turunan tidak harus ada di ujung. f(x)=√ x memiliki f'(x)=\frac12√ x>0 pada (0,b), sehingga ia naik pada [0,b] untuk setiap b>0 walaupun f'(0) tidak ada. Nol f' di satu titik juga bukan masalah: x^3 memiliki f'=3x^2=0 di 0 dan naik pada seluruh garis.

Metodenya. Untuk mencari selang tempat f naik dan turun: 1. cari titik kritis f, tempat f' nol atau tidak ada; 2. titik-titik itu memotong domain menjadi selang terbuka; pada masing-masingnya f' kontinu dan tidak pernah nol, sehingga menurut Teorema Nilai Antara ia bertanda sama di seluruhnya; 3. baca tanda itu dengan menghitung f' di satu titik yang mudah pada setiap selang, lalu terapkan akibatnya.

Contoh 1. Tentukan titik kritis f(x)=x^3-12x-5 dan selang tempat ia naik dan turun. Turunannya f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2), yang nol di x=-2 dan x=2. Selang (-∞,-2), (-2,2), dan (2,∞) diuji di -3, 0, dan 3:

Karena akibatnya juga membolehkan \le, f naik pada (-∞,-2], turun pada [-2,2], dan naik pada [2,∞). Ketik fungsi apa pun di bawah, atau pilih contoh: grafiknya gelap saat naik dan oranye saat turun, dan grafik f' menunjukkan sebabnya, di atas sumbu atau di bawahnya.

Apa itu Uji Turunan Pertama untuk ekstrem lokal?

Di titik tempat f memiliki minimum lokal, f'<0 tepat di kiri dan f'>0 tepat di kanan, sehingga f turun lalu naik; di maksimum lokal sebaliknya. Di titik ekstrem lokal tanda f' berganti. Bersama titik kritis dari artikel sebelumnya, yang menyatakan di mana nilai ekstrem dapat berada, ini memberi uji untuk apa yang terjadi di sana.

Uji Turunan Pertama untuk ekstrem lokal. Misalkan c titik kritis fungsi kontinu f, dan f terdiferensialkan di setiap titik pada suatu selang yang memuat c kecuali mungkin di c sendiri. Bergerak melintasi selang dari kiri ke kanan: 1. jika f' berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki minimum lokal di c; 2. jika f' berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki maksimum lokal di c; 3. jika f' tidak berganti tanda di c (f' positif di kedua sisi, atau negatif di kedua sisi), maka f tidak memiliki nilai ekstrem lokal di c.

Bukti bagian 1. Tanda f' berubah dari negatif ke positif di c, sehingga ada bilangan a<c<b dengan f'<0 pada (a,c) dan f'>0 pada (c,b). Jika x di (a,c), maka f(c)<f(x) karena f'<0 membuat f turun pada [a,c]. Jika x di (c,b), maka f(c)<f(x) karena f'>0 membuat f naik pada [c,b]. Jadi f(x)\ge f(c) untuk setiap x di (a,b), yang adalah definisi minimum lokal di c. ∎ Bagian 2 dan 3 dibuktikan dengan cara yang sama.

Di ujung domain hanya ada satu sisi. Jika f naik dari ujung kiri a (yaitu f'>0 tepat di kanan a), maka f(a) adalah minimum lokal; jika turun, maksimum lokal. Di ujung kanan, sebaliknya.

Uji ini memakai tanda, bukan besar: titik kritis tempat f'=0 bukan nilai ekstrem jika tandanya tetap, dan titik tempat f' tidak ada bisa menjadi nilai ekstrem, seperti ditunjukkan sudut |x| dan titik puncak x^2/3. Pilih masing-masing dari delapan kasus di bawah dan baca tanda di kiri dan di kanan.

Bagaimana mengerjakan satu contoh lengkap?

Analisis lengkap mencari titik kritis, tanda f' di antaranya, selang naik dan turun, nilai ekstrem lokal, dan mana di antaranya yang mutlak.

Contoh 2. f(x)=x^1/3(x-4)=x^4/3-4x^1/3. Fungsi ini kontinu di mana-mana, dan f'(x)=\tfrac43x^1/3-\tfrac43x^-2/3=(4(x-1))/(3x^2/3) nol di x=1 dan tak terdefinisi di x=0. Itulah satu-satunya titik kritis.

Ujinya menyatakan tidak ada nilai ekstrem di 0 (f' tidak berganti tanda: f turun melalui garis singgung tegak di sana, karena f'→-∞) dan minimum lokal di x=1, bernilai f(1)=-3. Karena f turun pada (-∞,1) dan naik pada (1,∞), ini juga minimum mutlak.

Contoh 3. f(x)=(x^2-3)e^x. Fungsi ini terdiferensialkan di mana-mana, sehingga titik kritisnya adalah nol dari f'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x f'(x)=(x^2+2x-3)e^x f'(x)=(x+3)(x-1)e^x. Karena e^x tidak pernah nol, titiknya x=-3 dan x=1. Tanda f' adalah + untuk x<-3, - untuk -3<x<1, dan + untuk x>1. Jadi f naik pada (-∞,-3] dan [1,∞), turun pada [-3,1], memiliki maksimum lokal f(-3)=6e^-3≈0,299 dan minimum lokal f(1)=-2e≈-5,437. Minimumnya mutlak, karena f(x)>0 untuk x>√3 dan f(x)→0 ketika x→-∞; maksimumnya bukan, karena f membesar tanpa batas. Inilah keadaan yang tidak dapat ditangani metode selang tertutup sendirian: pada seluruh garis tanda f' menunjukkan nilai mana yang mutlak.

Contoh 4. f(x)=x^4-8x^2+16=(x^2-4)^2. Di sini f'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2), nol di -2, 0, dan 2, dengan tanda -,+,-,+ pada keempat selang. Jadi f memiliki minimum lokal f(±2)=0 dan maksimum lokal f(0)=16.

Contoh 5. f(x)=\sin x-\cos x pada [0,2π]. Di sini f'(x)=\cos x+\sin x nol di x=(3π)/(4) dan x=(7π)/(4), dan f'(0)=1>0. Jadi f naik pada \left[0,\frac3π4\right], turun pada \left[\frac3π4,\frac7π4\right], dan naik pada \left[\frac7π4,2π\right], dengan maksimum lokal √2 di (3π)/(4) dan minimum lokal -√2 di (7π)/(4). Di ujung f(0)=f(2π)=-1, yang merupakan ekstrem lokal jendelanya: minimum lokal di 0 (ia naik dari sana) dan maksimum lokal di 2π.

Bagaimana membaca fungsi dari turunannya saja?

Ketika hanya f' yang diberikan, bagan tanda f' adalah satu-satunya yang diperlukan: di mana f' di atas sumbu f naik, di mana di bawah sumbu f turun, dan titik kritis tempat ia memotong sumbu adalah ekstrem lokal. Rumus f tidak penting, begitu pula nilai sebenarnya f'; hanya tandanya yang penting.

Turunan yang difaktorkan membuat bagannya mudah. Setiap faktor (x-r)^m berganti tanda di r ketika pangkat m ganjil, dan mempertahankan tandanya ketika m genap. Untuk f'(x)=(x-1)^2(x+2): - di x=-2 faktor x+2 berganti tanda, dan (x-1)^2 positif: f' berubah dari negatif ke positif, minimum lokal; - di x=1 faktor (x-1)^2 tidak pernah berganti tanda: f' tetap positif, sehingga f terus naik dan tidak ada nilai ekstrem, walaupun f'(1)=0.

Untuk f'(x)=(x-1)^2(x+2)^2 turunan tidak pernah negatif, sehingga f naik pada seluruh garis dan sama sekali tidak memiliki nilai ekstrem, walaupun memiliki dua titik kritis. Titik tempat f' tidak ada dihitung kritis hanya jika f terdefinisi di sana; untuk f'(x)=1-(4)/(x^2) titik x=0 tidak berada di domain f(x)=x+\frac4x, sehingga ia adalah putus, bukan nilai ekstrem, walaupun f' bertanda sama di kedua sisinya.

Cobalah turunan dari latihan buku di bawah dan lihat titik kritis mana yang ekstrem. Grafik f' gelap di tempat f'>0 (sehingga f naik) dan oranye di tempat f'<0.

Bagaimana kemonotonan membuktikan pertidaksamaan?

Untuk membuktikan f(x)\ge g(x) untuk x\ge a, lihat selisih h=f-g: jika h(a)\ge0 dan h'\ge0 untuk x>a, maka h tidak pernah turun dari nilai yang paling sedikit 0, sehingga h\ge0 dan f\ge g. Turunan mengubah perbandingan dua fungsi menjadi tanda satu turunan.

Contoh 6. Tunjukkan bahwa \ln x<x untuk x>1. Misalkan h(x)=x-\ln x. Maka h'(x)=1-\frac1x>0 untuk x>1, sehingga h naik pada [1,∞) dan h(x)>h(1)=1>0. Jadi x>\ln x+1>\ln x. Sebenarnya h memiliki minimum 1 di x=1, sehingga x>\ln x untuk setiap x>0.

Contoh 7. Tunjukkan bahwa e^x\ge1+x untuk x\ge0. Misalkan h(x)=e^x-1-x. Maka h(0)=0 dan h'(x)=e^x-1\ge0 untuk x\ge0, sehingga h naik dari 0 dan h\ge0. Mengulang gagasan itu satu langkah lagi: dengan k(x)=e^x-1-x-(x^2)/(2) kita punya k(0)=0 dan k'(x)=e^x-1-x\ge0 menurut yang baru dibuktikan, sehingga e^x\ge1+x+(x^2)/(2) untuk x\ge0. Setiap pertidaksamaan menjadi dasar bagi yang berikutnya.

Bukti ini memerlukan titik awal yang tepat: e^x\ge1+x juga berlaku untuk x negatif, tetapi di sana h turun (ia turun ke 0 di x=0), sehingga argumen di atas tidak menunjukkannya; minimum h di 0 yang menunjukkannya. Pilih satu pasangan di bawah; grafik kedua adalah selisih h, gelap saat naik dan oranye saat turun. Pasangan terakhir salah, dan widget menemukan di mana.

Di mana lagi kemonotonan penting: gerak, kuadrat, dan invers?

Di mana pun satu besaran adalah fungsi dari besaran lain, tanda turunan menyatakan ke arah mana ia bergerak.

Gerak sepanjang garis. Untuk posisi s(t) kecepatannya v=s': ketika s naik partikel bergerak ke kanan, dan ketika s turun ia bergerak ke kiri, seperti pada gerak sepanjang garis di artikel laju perubahan. Contoh 8. Sebuah partikel memiliki s(t)=2t^3-14t^2+22t-5 untuk t\ge0. Maka v(t)=6t^2-28t+22=2(t-1)(3t-11), yang nol di t=1 dan t=(11)/(3). Tanda v adalah + untuk 0\le t<1, - untuk 1<t<\frac113, dan + setelahnya: partikel bergerak ke kanan, lalu ke kiri, lalu ke kanan lagi, dan sesaat diam di t=1 (di s=5, maksimum lokal posisi) dan di t=(11)/(3) (di s=-(377)/(27)≈-13,96, minimum lokal). Percepatan a=12t-28 berganti tanda di t=\frac73, tempat posisi mengubah lengkungannya, topik artikel berikutnya.

Kuadrat. Untuk f(x)=ax^2+bx+c dengan a≠0 kita punya f'(x)=2ax+b, dengan satu nol di x=-\frac b2a. Jika a>0, f turun di kiri titik itu dan naik di kanannya, sehingga puncaknya minimum; jika a<0 sebaliknya. Satu rumus mencakup setiap parabola.

Invers. Fungsi monoton tegas satu-satu: x_1\ne x_2 memaksa f(x_1)\ne f(x_2), karena salah satu dari dua masukan lebih besar dan keluarannya berurutan sama. Jadi fungsi dengan f'>0 pada suatu selang, atau f'<0, memiliki invers di sana. Untuk f(x)=x^3+x kita punya f'(x)=3x^2+1>0, sehingga f naik pada seluruh garis dan memiliki invers, walaupun tanpa rumus sederhana untuknya. Turunannya di titik 2 tetap tersedia lewat aturan invers: f(1)=2, sehingga \left(f^-1\right)'(2)=\frac1f'(1)=\frac14.

Bagaimana mencari di mana fungsi naik dan turun dalam kode?

Dalam kode metodenya tetap tiga langkah: cari titik kritis, baca tanda f' di satu titik pada setiap selang di antaranya, dan bandingkan tanda yang bertetangga. SymPy memberi selangnya secara eksak: sp.solve_univariate_inequality(df > 0, x, relational=False) mengembalikan himpunan tempat f naik, dan yang sama dengan < 0 tempat ia turun. Tanpa CAS, ambil titik tengah setiap selang, yang dilakukan program JavaScript dan C++; tanda yang dibaca di satu titik sudah cukup karena f' tidak dapat berganti tanda di dalam selang yang tidak memiliki titik kritis.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)


def first_derivative_test(f):
    """Where f rises and falls, and what the First Derivative Test says at each critical point."""
    df = sp.diff(f, x)
    rising = sp.solve_univariate_inequality(df > 0, x, relational=False)
    falling = sp.solve_univariate_inequality(df < 0, x, relational=False)
    eps = sp.Rational(1, 10**6)
    verdict = {}
    for c in sorted(sp.solveset(sp.Eq(df, 0), x, sp.S.Reals), key=float):
        left_down, right_up = falling.contains(c - eps), rising.contains(c + eps)
        left_up, right_down = rising.contains(c - eps), falling.contains(c + eps)
        verdict[c] = 'min' if left_down and right_up else 'max' if left_up and right_down else 'none'
    return rising, falling, verdict


for f in (x**3 - 12 * x - 5, (x**2 - 3) * sp.exp(x), x**4 - 8 * x**2 + 16, x**3, (x - 1)**2 * (x + 2)):
    print(f, '->', first_derivative_test(f))
# x**3 - 12*x - 5 -> (Union(Interval.open(-oo, -2), Interval.open(2, oo)), Interval.open(-2, 2), {-2: 'max', 2: 'min'})
# (x**2 - 3)*exp(x) -> (Union(Interval.open(-oo, -3), Interval.open(1, oo)), Interval.open(-3, 1), {-3: 'max', 1: 'min'})
# x**4 - 8*x**2 + 16 -> (Union(Interval.open(-2, 0), Interval.open(2, oo)), Union(Interval.open(-oo, -2), Interval.open(0, 2)), {-2: 'min', 0: 'max', 2: 'min'})
# x**3 -> (Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(0, oo)), EmptySet, {0: 'none'})
# (x - 1)**2*(x + 2) -> (Union(Interval.open(-oo, -1), Interval.open(1, oo)), Interval.open(-1, 1), {-1: 'max', 1: 'min'})

// the pieces between the critical points, the sign of f' at the middle of each, and the verdict at every critical point
const signChart = (df, critical, lo, hi) => {
  const edges = [lo, ...critical, hi]
  const pieces = edges.slice(1).map((to, i) => {
    const mid = (edges[i] + to) / 2
    return { from: edges[i], to, slope: df(mid), trend: df(mid) > 0 ? 'rising' : 'falling' }
  })
  const verdicts = critical.map((c, i) => {
    const [l, r] = [pieces[i].trend, pieces[i + 1].trend]
    return [c, l === 'falling' && r === 'rising' ? 'min' : l === 'rising' && r === 'falling' ? 'max' : 'none']
  })
  return { pieces: pieces.map((p) => [p.from, p.to, p.trend]), verdicts }
}
signChart((x) => 3 * x * x - 12, [-2, 2], -5, 5)
// pieces [[-5,-2,'rising'], [-2,2,'falling'], [2,5,'rising']]   verdicts [[-2,'max'], [2,'min']]
signChart((x) => 3 * x * x, [0], -2, 2)
// pieces [[-2,0,'rising'], [0,2,'rising']]   verdicts [[0,'none']]: f' = 0 at 0, but the sign does not change
signChart((x) => 4 * x * (x - 2) * (x + 2), [-2, 0, 2], -3, 3)
// pieces [[-3,-2,'falling'], [-2,0,'rising'], [0,2,'falling'], [2,3,'rising']]   verdicts [[-2,'min'], [0,'max'], [2,'min']]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double df(double x) { return 3 * x * x - 12; }       // f(x) = x^3 - 12x - 5, Example 1

int main() {
  double edge[4];
  edge[0] = -5; edge[1] = -2; edge[2] = 2; edge[3] = 5;    // the ends and the critical points
  int sign[3];
  for (int i = 0; i < 3; i++) {
    double mid = (edge[i] + edge[i + 1]) / 2;               // one test point in each interval
    sign[i] = df(mid) > 0 ? 1 : -1;
    if (sign[i] > 0) printf("from %.1f to %.1f; f' at %.2f is %.2f; rising\n", edge[i], edge[i + 1], mid, df(mid));
    else printf("from %.1f to %.1f; f' at %.2f is %.2f; falling\n", edge[i], edge[i + 1], mid, df(mid));
  }
  for (int i = 0; i < 2; i++) {                             // the First Derivative Test at each critical point
    double c = edge[i + 1];
    if (sign[i] < 0 && sign[i + 1] > 0) printf("x=%.1f local minimum\n", c);
    else if (sign[i] > 0 && sign[i + 1] < 0) printf("x=%.1f local maximum\n", c);
    else printf("x=%.1f no extreme value\n", c);
  }
  printf("f(-2)=%.0f f(2)=%.0f\n", pow(-2.0, 3) - 12 * (-2.0) - 5, pow(2.0, 3) - 12 * 2.0 - 5);
  return 0;
}

/* output:
from -5.0 to -2.0; f' at -3.50 is 24.75; rising
from -2.0 to 2.0; f' at 0.00 is -12.00; falling
from 2.0 to 5.0; f' at 3.50 is 24.75; rising
x=-2.0 local maximum
x=2.0 local minimum
f(-2)=11 f(2)=-21
*/

Dari mana asal tanda turunan?

Membedakan naik dari turun lewat tanda suatu laju sama tuanya dengan turunan, tetapi membuktikan bahwa tanda itu berlaku sebagaimana mestinya baru terjadi pada abad ke-19.

• Fermat, sekitar 1629. Pierre de Fermat menentukan letak maksimum dan minimum dengan membandingkan f(x) dengan f(x+e). Yang ia temukan adalah syarat f'=0; membedakan maksimum dari minimum dilakukan dengan melihat nilai di kedua sisi.
• Leibniz, 1684. Gottfried Wilhelm Leibniz menerbitkan aturan pertama kalkulus diferensial dalam Nova methodus pro maximis et minimis, yang judulnya menempatkan pencarian maksimum dan minimum lebih dahulu.
• Cauchy, 1823. Augustin-Louis Cauchy, dengan turunan yang didefinisikan sebagai limit, menunjukkan lewat teorema nilai rata-rata bahwa turunan positif pada suatu selang memaksa fungsi naik. Sebelumnya, "turunannya positif, jadi fungsi naik" dianggap jelas dari gambar.
• Sekarang. Bagan tanda adalah alat pertama untuk menggambar grafik dan optimasi, dan metode numerik yang berhenti ketika gradien berganti tanda menerapkan uji yang sama.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada tanda turunan?

Kesalahan paling umum pada fungsi monoton dan Uji Turunan Pertama adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: fungsi monoton dan ujinya sekilas

• Definisi: naik berarti f(x_1)<f(x_2) untuk x_1<x_2 dalam suatu selang; monoton berarti naik atau turun; tidak pernah "di satu titik".
• Akibat 3: f'>0 pada suatu selang memberi naik, f'<0 memberi turun; ujung dan nol terpencil f' diperbolehkan.
• Metode: titik kritis, satu titik uji di setiap selang terbuka di antaranya, tanda f' di sana.
• Uji Turunan Pertama: -→+ minimum lokal, +→- maksimum lokal, tidak berganti berarti bukan nilai ekstrem; di ujung hanya ada satu sisi.
• Tanda, bukan besar: faktor ganda seperti (x-1)^2 tidak mengubah tanda, dan titik tempat f' tidak ada tetap bisa menjadi nilai ekstrem.
• Pertidaksamaan: f\ge g dari h=f-g dengan h(a)\ge0 dan h'\ge0.
• Kegunaan: arah partikel, puncak parabola, dan invers fungsi monoton tegas.
• Berikutnya: turunan kedua menyatakan bagaimana grafik melengkung, topik artikel berikutnya.
• Kode: sp.solve_univariate_inequality(df > 0, x, relational=False), atau tanda df di titik tengah setiap selang.

Glosarium: istilah penting

Fungsi naik

Fungsi yang nilainya lebih besar pada masukan yang lebih besar di mana pun pada suatu selang: f(x1) kurang dari f(x2) setiap kali x1 kurang dari x2.

Fungsi turun

Fungsi yang nilainya lebih kecil pada masukan yang lebih besar di mana pun pada suatu selang; grafiknya turun dari kiri ke kanan.

Fungsi monoton

Fungsi yang naik pada suatu selang atau turun pada selang itu; fungsi monoton tegas bersifat satu-satu.

Uji Turunan Pertama

Uji yang mencari ekstrem lokal dari tanda turunan di kedua sisi titik kritis: negatif lalu positif minimum, positif lalu negatif maksimum, tidak berubah berarti bukan ekstrem.

Bagan tanda

Tabel tanda turunan pada setiap selang di antara titik kritis, dengan apa yang dilakukan fungsi pada masing-masingnya.

Fungsi satu-satu

Fungsi yang tidak pernah bernilai sama pada dua masukan berbeda, sehingga memiliki invers.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 4.3: Monotonic Functions and the First Derivative Test. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 4.3: How Derivatives Affect the Shape of a Graph. Cengage Learning.
3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1684). Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Acta Eruditorum.
4. Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris.

Artikel terkait

• Teorema Nilai Rata-rata: Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Rolle: pernyataan, bukti, cara mencari c, kecepatan dan laju, serta akibatnya tentang fungsi konstan, dengan contoh dan kode.
• Nilai Ekstrem Fungsi pada Selang Tertutup: Nilai ekstrem pada selang tertutup: maksimum dan minimum mutlak dan lokal, Teorema Nilai Ekstrem, titik kritis, dan metode selang tertutup, dengan contoh dan kode.
• Turunan sebagai Laju Perubahan: Turunan sebagai laju perubahan: kecepatan, laju, percepatan dan sentakan, jatuh bebas, biaya dan pendapatan marjinal, kepekaan terhadap perubahan, serta kode.
• Turunan Fungsi Invers dan Logaritma: Turunan fungsi invers dan logaritma: aturan untuk invers, d/dx ln x = 1/x, a^x, logaritma basis a, diferensiasi logaritmik, dan bilangan e.