Teorema Nilai Rata-rata

Apa itu Teorema Rolle?

Teorema Rolle menyatakan bahwa jika y=f(x) kontinu pada selang tertutup [a,b], terdiferensialkan di setiap titik (a,b), dan f(a)=f(b), maka ada paling sedikit satu bilangan c di (a,b) tempat f'(c)=0. Seperti ditunjukkan grafiknya, kurva terdiferensialkan yang memotong garis mendatar di dua titik memiliki garis singgung mendatar di suatu tempat di antara keduanya. Titik seperti itu bisa hanya satu, bisa juga beberapa.

Bukti. Karena f kontinu, Teorema Nilai Ekstrem memberi maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a,b], dan masing-masing dicapai di titik dalam tempat f' nol, di titik dalam tempat f' tidak ada, atau di ujung selang. Syarat teorema menyingkirkan kemungkinan kedua. Jika maksimum atau minimum ada di titik dalam c, maka f'(c)=0 menurut Teorema Turunan Pertama, dan c adalah titik yang kita cari. Jika keduanya di ujung selang, maka karena f(a)=f(b) nilai terbesar dan terkecil sama, sehingga f konstan, f'(x)=0 di seluruh bagian dalam, dan c boleh titik mana pun di (a,b). ∎

Syaratnya mutlak diperlukan. Jika syarat gagal di satu titik saja, grafik mungkin tidak memiliki garis singgung mendatar sama sekali: - tidak kontinu di ujung: f(x)=x untuk 0\le x<1 dan f(1)=0 memiliki f(0)=f(1)=0, tetapi gradiennya 1 di mana-mana di dalam; - tidak kontinu di titik dalam: grafik yang melompati celah meninggalkan kedua bagiannya miring ke arah yang sama; - kontinu tetapi tidak terdiferensialkan di titik dalam: |x| pada [-1,1] memiliki f(-1)=f(1) dan sudut di 0, dengan gradien -1 lalu 1, tidak pernah 0; x^2/3 pada [-1,1] memiliki titik puncak di 0.

Kebalikannya juga perlu hati-hati: syarat yang gagal tidak membuat kesimpulan salah, hanya tidak dijanjikan. Pilih satu kasus di bawah dan lihat syarat mana yang dilanggarnya.

Bagaimana Teorema Rolle menghitung penyelesaian suatu persamaan?

Teorema Rolle mengubah pernyataan tentang nol f menjadi pernyataan tentang nol f': di antara dua nol f ada nol f'. Jadi jika f' memiliki k nol, f tidak dapat memiliki lebih dari k+1.

Contoh 1. Tunjukkan bahwa x^3+3x+1=0 memiliki tepat satu penyelesaian real. Misalkan f(x)=x^3+3x+1, yang kontinu. Karena f(-1)=-3 dan f(0)=1, Teorema Nilai Antara menyatakan grafik memotong sumbu x di suatu tempat dalam (-1,0), sehingga ada paling sedikit satu penyelesaian. Sekarang andaikan ada dua nol x=a dan x=b. Teorema Rolle akan memberi titik c di antara keduanya dengan f'(c)=0. Tetapi f'(x)=3x^2+3 tidak pernah nol, karena selalu paling sedikit 3. Jadi tidak mungkin ada dua nol, dan ada tepat satu.

Penalaran yang sama menghitung akar secara umum. Polinom kubik memiliki turunan kuadrat dengan paling banyak dua nol, sehingga polinom kubik memiliki paling banyak tiga nol real. Untuk polinom dengan n nol real berbeda, setiap dari n-1 celah antara nol bertetangga memuat nol f', dan f' berderajat n-1, sehingga itulah semua nolnya: tepat satu di setiap celah. Pilih nol di bawah dan lihat hal itu terjadi; titik dengan garis singgung mendatar selalu terjepit di antara dua nol.

Apa isi Teorema Nilai Rata-rata?

Teorema Nilai Rata-rata adalah versi miring dari Teorema Rolle: jika y=f(x) kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b), maka ada paling sedikit satu titik c di (a,b) tempat (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c). Secara geometri, ruas kiri adalah gradien tali busur melalui A(a,f(a)) dan B(b,f(b)), dan ruas kanan adalah gradien garis singgung di c: di suatu tempat antara a dan b kurva memiliki garis singgung yang sejajar dengan tali busur. Ketika f(a)=f(b) tali busur mendatar dan ini adalah Teorema Rolle.

Bukti. Tali busur adalah grafik dari g(x)=f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a). Jarak tegak antara grafik f dan tali busur adalah h(x)=f(x)-g(x) h(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a). Fungsi h kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b) karena f dan g demikian, dan h(a)=h(b)=0 karena kedua grafik melalui A dan B. Jadi Teorema Rolle memberi titik c di (a,b) dengan h'(c)=0. Dengan menurunkan h dan mengambil x=c: h'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0, yang merupakan persamaan pada teorema. ∎

Apa yang dibutuhkan, dan apa yang tidak. Kekontinuan pada selang tertutup dan keterdiferensialan di dalam adalah semua yang dipakai bukti. Khususnya f tidak harus terdiferensialkan di a atau di b: kekontinuan satu sisi sudah cukup. Fungsi f(x)=√(1-x^2) pada [-1,1] memiliki garis singgung tegak di kedua ujung, namun memenuhi teorema, dengan c=0.

Apa yang tidak dikatakan. Teorema ini tidak menyatakan hanya ada satu titik, dan tidak memberi rumus untuk c; ia hanya menyatakan paling sedikit satu ada. Ketik fungsi dan selang di bawah, atau pilih contoh. Garis oranye adalah tali busur, garis hijau adalah garis singgung di titik yang dijanjikan teorema, dan dua kasus tempat syaratnya gagal menunjukkan apa yang tidak dicakup teorema.

Bagaimana mencari titik c?

Untuk mencari c, hitung gradien tali busur m=(f(b)-f(a))/(b-a), selesaikan f'(c)=m, dan simpan penyelesaian yang berada di dalam selang terbuka (a,b). Teorema menjamin daftarnya tidak kosong ketika syaratnya terpenuhi.

Contoh 2. f(x)=x^2 pada [0,2]. Gradiennya (4-0)/(2-0)=2 dan f'(c)=2c=2, sehingga c=1.

Contoh 3. f(x)=x^2+2x-1 pada [0,1]. Gradiennya (2-(-1))/(1-0)=3, dan f'(c)=2c+2=3 memberi c=\frac12.

Contoh 4. f(x)=x^2/3 pada [0,1]. Gradiennya 1 dan f'(c)=\frac23c^-1/3=1 memberi c^1/3=\frac23, sehingga c=(8)/(27). Titik puncak ada di 0, sebuah ujung selang, sehingga f terdiferensialkan di dalam dan teorema berlaku.

Contoh 5. f(x)=x^3-x^2 pada [-1,2]. Gradiennya (4-(-2))/(3)=2, dan f'(c)=3c^2-2c=2 memberi 3c^2-2c-2=0 c=(1±√7)/(3). Baik c≈-0,549 maupun c≈1,215 berada di (-1,2), sehingga ada dua titik. Teorema menyatakan "paling sedikit satu".

Dua rata-rata. Untuk f(x)=\frac1x pada selang [a,b] bilangan positif, gradiennya -\frac1ab dan f'(c)=-\frac1c^2, sehingga c=√(ab), rata-rata geometri a dan b. Untuk f(x)=x^2 menjadi 2c=a+b, sehingga c=(a+b)/(2), rata-rata aritmetika. Memang untuk setiap kuadrat px^2+qx+r gradien tali busur adalah p(a+b)+q dan f'(c)=2pc+q, sehingga c selalu titik tengah, dan itulah satu-satunya titik seperti itu.

Ketika c tidak dapat dituliskan. Untuk f(x)=xe^x pada [0,1] gradiennya e dan persamaannya (1+c)e^c=e. Persamaan ini memiliki tepat satu penyelesaian di (0,1), tetapi tidak ada rumus elementernya; komputer menemukan c≈0,5571. Teorema ini berharga karena menjanjikan c tanpa perlu menghitungnya.

Apa kata teorema tentang kecepatan dan laju rata-rata?

Dibaca sebagai pernyataan tentang laju, Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa laju perubahan rata-rata pada suatu selang adalah laju sesaat di suatu titik dalam. Bilangan (f(b)-f(a))/(b-a) adalah perubahan rata-rata f pada [a,b], dan f'(c) adalah perubahan sesaat; teorema menyatakan keduanya bertemu. Teorema ini berlaku untuk apa pun yang lajunya adalah turunan, seperti pada gerak sepanjang garis di artikel laju perubahan.

Contoh 6. Mobil yang berakselerasi dari diam membutuhkan 8 detik untuk menempuh 176 m. Kecepatan rata-ratanya (176)/(8)=22 m/detik, sehingga pada suatu saat selama akselerasi spidometer pasti menunjukkan tepat 22 m/detik, yaitu 22×3,6=79,2 km/jam. Jika mobil itu memiliki s=2,75t^2, yang memang cocok dengan 176 m di t=8, maka v=s'=5,5t sama dengan 22 di t=4 detik.

Surat tilang. Seorang pengemudi truk menyerahkan karcis di gerbang tol yang menunjukkan ia menempuh 230 km jalan tol berbatas 100 km/jam dalam 2 jam. Kecepatan rata-ratanya 115 km/jam, sehingga menurut teorema truk itu melaju tepat 115 km/jam pada suatu saat, di atas batas: tilang dibenarkan tanpa ada yang melihat kecepatannya.

Contoh serupa. - Termometer yang dipindahkan dari pembeku bersuhu -19 °C ke air mendidih 100 °C dan dibaca setelah 14 detik naik rata-rata (119)/(14)=8,5 °C per detik, sehingga pada suatu saat air raksa naik tepat 8,5 °C/detik. - Kapal trireme yang menempuh 184 mil laut dalam 24 jam rata-rata melaju 7,67 knot, sehingga pada suatu titik kecepatannya melebihi 7,5 knot. - Pelari maraton yang menempuh 42 km dalam 2,2 jam rata-rata melaju 19,09 km/jam. Kecepatannya 19,09 km/jam pada suatu saat, menurut teorema. Ia mulai dari 0 dan berakhir di 0, dan kecepatan yang berubah kontinu tidak dapat melompati nilai (Teorema Nilai Antara), sehingga ia melewati 18 km/jam sekali saat naik dan sekali lagi saat turun: paling sedikit dua kali.

Apa yang tidak dikatakan. Teorema menjanjikan suatu saat, bukan bahwa kecepatan bertahan di rata-rata, dan tidak menyatakan kapan. Ini pernyataan keberadaan, dan itulah yang dibutuhkan bukti atau argumen hukum.

Apa akibatnya jika dua fungsi memiliki turunan yang sama?

Pertanyaan pertama yang dijawab teorema ini adalah fungsi mana yang berturunan nol: hanya yang konstan. Akibat 1: jika f'(x)=0 di setiap titik pada selang terbuka (a,b), maka f(x)=C untuk semua x di (a,b), dengan C konstanta.

Bukti. Ambil dua titik mana pun x_1<x_2 di (a,b). Fungsi f terdiferensialkan pada [x_1,x_2], sehingga kontinu, maka teorema memberi titik c di antara keduanya dengan (f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)=f'(c)=0. Maka f(x_2)-f(x_1)=0 dan f(x_1)=f(x_2). Karena x_1 dan x_2 sembarang, f bernilai sama di seluruh selang. ∎

Pertanyaan kedua adalah bagaimana dua fungsi dengan turunan yang sama berhubungan. Akibat 2: jika f'(x)=g'(x) di setiap titik pada selang terbuka (a,b), maka ada konstanta C dengan f(x)=g(x)+C untuk semua x di (a,b). Terapkan Akibat 1 pada h=f-g, yang turunannya h'=f'-g'=0 pada (a,b), sehingga h=C di sana. Kedua akibat tetap benar untuk selang tak hingga. Secara geometri, grafik fungsi-fungsi dengan turunan yang sama hanya berbeda oleh pergeseran tegak, seperti parabola y=x^2+C untuk turunan 2x.

Inilah yang membuat antiturunan teratur. Begitu satu fungsi g memiliki turunan yang kamu inginkan, setiap fungsi seperti itu adalah g(x)+C, dan satu titik pada grafik menetapkan C.

Contoh 7. Tentukan fungsi f(x) yang turunannya \sin x dan grafiknya melalui (0,2). Fungsi g(x)=-\cos x memiliki g'(x)=\sin x, sehingga f(x)=-\cos x+C. Dari f(0)=-\cos0+C=2 kita peroleh C=3, dan f(x)=-\cos x+3.

Contoh 8, jatuh bebas. Benda jatuh dari diam dengan percepatan 9,8 m/detik², dan posisi s diukur ke bawah dari posisi diam. Kecepatan v memiliki turunan 9,8, begitu pula 9,8t, maka v(t)=9,8t+C, dan v(0)=0 memberi C=0: v(t)=9,8t. Posisi s memiliki turunan 9,8t, begitu pula 4,9t^2, maka s(t)=4,9t^2+C, dan s(0)=0 memberi s(t)=4,9t^2, sampai benda menyentuh tanah. Ini jatuh bebas yang sama dengan jatuh bebas dan lemparan di artikel laju perubahan, dikerjakan mundur dari percepatan.

Pilih turunan di bawah dan geser titik yang harus dilalui grafik. Kurva lainnya adalah grafik yang sama digeser, dan hanya satu yang melalui titik itu.

Bagaimana teorema ini membuktikan pertidaksamaan dan batas?

Jika m\le f'(x)\le M untuk setiap x di (a,b), dan f kontinu pada [a,b], maka m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a). Alasannya satu baris: teorema memberi (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) untuk suatu c, dan f'(c) berada di antara m dan M. Mengetahui seberapa cepat fungsi dapat berubah memberi tahu seberapa jauh ia dapat bergerak.

Contoh 9. Jika |f'(x)|\le1 untuk 1\le x\le4, maka -3\le f(4)-f(1)\le3, karena b-a=3.

Contoh 10, pertidaksamaan sinus. Untuk sembarang a dan b, |\sin b-\sin a|\le|b-a|. Turunan \sin adalah \cos, dan |\cos|\le1, sehingga |\sin b-\sin a|=|\cos c| |b-a|\le|b-a|. Dengan cara yang sama |\cos x-1|\le|x| untuk semua x: terapkan teorema pada \cos t pada selang dari 0 sampai x, tempat |\sin c|\le1.

Contoh 11, perkiraan. Untuk f(x)=√(1+x) pada [0,0,1] turunan f'(x)=\frac12√(1+x) menurun dari 0,5 ke \frac12√1,1≈0,4767, sehingga 0,4767·0,1\le f(0,1)-f(0)\le0,5·0,1, dan 1,0477\le√1,1\le1,05. Nilai sebenarnya 1,0488. Ini perkiraan yang sama dengan linearisasi 1+\frac0,12=1,05, kini dengan rentang terjamin di kedua sisi, yang tidak diberikan linearisasi saja.

Contoh 12. Jika f'(x)\le3 untuk semua x dan f(0)=1, nilai terbesar yang mungkin untuk f(2) adalah 1+3·2=7, karena f(2)-f(0)\le3·2. Dan \frac12\le\frac11+x^2\le1 pada (0,1) berarti \frac12\le\arctan1\le1 (nilainya \fracπ4≈0,785).

Bagaimana menerapkan teorema ini dalam kode?

Dalam kode, mencari c berarti menyelesaikan f'(c)=m pada selang terbuka, secara eksak atau dengan memindai perubahan tanda f'(x)-m dan menghaluskannya dengan bisection. SymPy melakukannya secara eksak: sp.solveset(sp.diff(f, x) - slope, x, sp.Interval.open(a, b)) mengembalikan setiap penyelesaian di dalam, dan himpunan kosong adalah jawaban jujur ketika suatu syarat gagal. Pemindaian punya satu jebakan yang diperingatkan teorema: pada sudut turunan melompat melewati tingkat m, dan perubahan tanda di sana bukan nol, sehingga setiap kandidat harus diperiksa dengan menghitung f'-m di titik yang dihaluskan.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', real=True)


def mvt_points(f, a, b):
    """The slope of the secant, and every c in (a, b) where f'(c) equals it."""
    slope = sp.simplify((f.subs(x, b) - f.subs(x, a)) / (b - a))
    return slope, sp.solveset(sp.diff(f, x) - slope, x, sp.Interval.open(a, b))


examples = (
    (x**2, 0, 2),                      # Example 2
    (x**3 - x**2, -1, 2),              # Example 5: two points
    (1 / x, 1, 4),                     # the geometric mean sqrt(1 * 4)
    (sp.sqrt(1 - x**2), -1, 1),        # not differentiable at the ends, still c = 0
    (sp.sin(x), 0, 3 * sp.pi),         # Rolle: three horizontal tangents
    (sp.Abs(x), -1, 2),                # a corner: a hypothesis fails and there is no c
)
for f, a, b in examples:
    print(f, [a, b], '->', mvt_points(f, a, b))
# x**2 [0, 2] -> (2, {1})
# x**3 - x**2 [-1, 2] -> (2, {1/3 - sqrt(7)/3, 1/3 + sqrt(7)/3})
# 1/x [1, 4] -> (-1/4, {2})
# sqrt(1 - x**2) [-1, 1] -> (0, {0})
# sin(x) [0, 3*pi] -> (0, {pi/2, 3*pi/2, 5*pi/2})
# Abs(x) [-1, 2] -> (1/3, EmptySet)

const mvt = (f, df, a, b, n = 4000) => {
  const slope = (f(b) - f(a)) / (b - a)
  const g = (x) => df(x) - slope                              // the points c are the zeros of g
  const cs = []
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    let lo = a + ((b - a) * i) / n
    let hi = a + ((b - a) * (i + 1)) / n
    if (g(lo) === 0 && i > 0) cs.push(lo)                     // a zero that falls exactly on a grid point
    else if (g(lo) * g(hi) < 0) {                             // g changes sign: bisect
      for (let k = 0; k < 60; k++) {
        const mid = (lo + hi) / 2
        if (g(lo) * g(mid) <= 0) hi = mid
        else lo = mid
      }
      const c = (lo + hi) / 2
      if (Math.abs(g(c)) < 1e-6) cs.push(c)                   // a corner makes g jump across 0: that is not a zero
    }
  }
  return { slope, cs }
}
mvt((x) => x * x, (x) => 2 * x, 0, 2)                                        // slope 2, cs [1]
mvt((x) => x ** 3 - x ** 2, (x) => 3 * x * x - 2 * x, -1, 2)                 // slope 2, cs [-0.5486, 1.2153]
mvt((x) => x * Math.exp(x), (x) => (1 + x) * Math.exp(x), 0, 1)              // slope e = 2.7183, cs [0.5571]
mvt((x) => 1 / x, (x) => -1 / (x * x), 1, 4)                                 // slope -0.25, cs [2]
mvt(Math.abs, Math.sign, -1, 2)                                              // slope 0.3333, cs []: the corner at 0 is rejected

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double f(int k, double x) {
  if (k == 0) return x * x * x - x * x;       // Example 5 on [-1, 2]
  if (k == 1) return x * exp(x);              // no formula for c, on [0, 1]
  return 1 / x;                               // the geometric mean, on [1, 4]
}
double df(int k, double x) {
  if (k == 0) return 3 * x * x - 2 * x;
  if (k == 1) return (1 + x) * exp(x);
  return -1 / (x * x);
}

void mvt(int k, double a, double b) {
  double slope = (f(k, b) - f(k, a)) / (b - a);
  int n = 2000;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    double lo = a + (b - a) * i / n;
    double hi = a + (b - a) * (i + 1) / n;
    if ((df(k, lo) - slope) * (df(k, hi) - slope) < 0) {     // f' - slope changes sign: bisect
      for (int j = 0; j < 60; j++) {
        double mid = (lo + hi) / 2;
        if ((df(k, lo) - slope) * (df(k, mid) - slope) <= 0) hi = mid; else lo = mid;
      }
      double c = (lo + hi) / 2;
      printf("slope=%.4f c=%.4f f'(c)=%.4f\n", slope, c, df(k, c));
    }
  }
}

int main() {
  mvt(0, -1, 2);
  mvt(1, 0, 1);
  mvt(2, 1, 4);
  printf("%.4f %.4f\n", sqrt(1.0 * 4), (1.0 + 4) / 2);   // the geometric and the arithmetic mean of 1 and 4
  return 0;
}

/* output:
slope=2.0000 c=-0.5486 f'(c)=2.0000
slope=2.0000 c=1.2153 f'(c)=2.0000
slope=2.7183 c=0.5571 f'(c)=2.7183
slope=-0.2500 c=2.0000 f'(c)=-0.2500
2.0000 2.5000
*/

Dari mana asal Teorema Nilai Rata-rata?

Teorema ini lebih tua daripada definisi turunan yang dipakai menyatakannya, dan mula-mula dibuktikan untuk polinom.

• Parameshvara, abad ke-15. Astronom India Parameshvara dari aliran Kerala dianggap menemukan kasus khusus teorema ini, untuk fungsi sinus.
• Rolle, 1691. Michel Rolle menunjukkan, untuk persamaan polinom, bahwa di antara dua akar terdapat akar turunan, sebagai langkah dalam metode memisahkan akar. Ia seorang pengkritik kalkulus infinitesimal yang baru, dan nama teorema Rolle diberikan pada hasil ini pada abad ke-19 (oleh Giusto Bellavitis, tahun 1846).
• Lagrange, 1797. Joseph-Louis Lagrange menyatakan Teorema Nilai Rata-rata dan memakainya sebagai dasar upayanya membangun kalkulus di atas deret pangkat. Nama lainnya, teorema nilai rata-rata Lagrange, berasal dari sini.
• Cauchy, 1823. Augustin-Louis Cauchy, dengan turunan yang didefinisikan sebagai limit, memberi bukti dengan Teorema Rolle yang dipakai di buku sekarang, dan perampatan untuk dua fungsi, (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=(f'(c))/(g'(c)), yang darinya aturan l'Hôpital untuk limit diturunkan.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada teorema ini?

Kesalahan paling umum pada Teorema Nilai Rata-rata adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: Teorema Nilai Rata-rata sekilas

• Teorema Rolle: f kontinu pada [a,b], terdiferensialkan pada (a,b), f(a)=f(b) memberi suatu c dengan f'(c)=0.
• Teorema Nilai Rata-rata: dua syarat yang sama memberi suatu c dengan f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a), garis singgung sejajar tali busur.
• Bukti: terapkan Teorema Rolle pada h(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)(x-a).
• Waspadai: sudut, titik puncak, dan kutub di dalam selang; titik c tidak tunggal dan umumnya tidak punya rumus.
• Laju: laju rata-rata pada suatu selang adalah laju sesaat di suatu saat di dalamnya.
• Akibat: f'=0 pada suatu selang berarti konstan; f'=g' berarti f=g+C.
• Batas: m\le f'\le M memberi m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a).
• Berikutnya: tanda f' pada suatu selang menunjukkan di mana f naik dan turun, topik artikel berikutnya.
• Kode: sp.solveset(sp.diff(f, x) - slope, x, sp.Interval.open(a, b)), atau pemindaian dengan bisection yang menolak lompatan.

Glosarium: istilah penting

Teorema Rolle

Teorema bahwa fungsi kontinu pada [a, b], terdiferensialkan pada (a, b), dan sama di kedua ujung memiliki titik di dalam tempat turunannya nol.

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema bahwa fungsi kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada (a, b) memiliki titik di dalam tempat garis singgung sejajar dengan tali busur melalui ujungnya.

Tali busur

Garis melalui dua titik pada grafik; gradiennya adalah laju perubahan rata-rata di antara keduanya.

Laju perubahan rata-rata

Perubahan nilai fungsi dibagi perubahan peubah pada suatu selang: gradien tali busur.

Antiturunan

Fungsi yang turunannya adalah fungsi yang diberikan; pada suatu selang, dua antiturunan mana pun berbeda oleh konstanta.

Akibat

Pernyataan yang mengikuti langsung dari suatu teorema; hasil turunan nol dan turunan sama mengikuti dari Teorema Nilai Rata-rata.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 4.2: The Mean Value Theorem. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 4.2: The Mean Value Theorem. Cengage Learning.
3. Michel Rolle (1691). Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés. Paris.
4. Joseph-Louis Lagrange (1797). Théorie des fonctions analytiques. Paris, Imprimerie de la République.
5. Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris.

Artikel terkait

• Nilai Ekstrem Fungsi pada Selang Tertutup: Nilai ekstrem pada selang tertutup: maksimum dan minimum mutlak dan lokal, Teorema Nilai Ekstrem, titik kritis, dan metode selang tertutup, dengan contoh dan kode.
• Turunan sebagai Laju Perubahan: Turunan sebagai laju perubahan: kecepatan, laju, percepatan dan sentakan, jatuh bebas, biaya dan pendapatan marjinal, kepekaan terhadap perubahan, serta kode.
• Garis Singgung dan Turunan di Suatu Titik: Garis singgung dan turunan di suatu titik: gradien garis potong dan limit, definisi f′(a), garis singgung dan normal, laju perubahan, serta kapan turunan tidak ada.
• Linearisasi dan Diferensial: Linearisasi dan diferensial: hampiran garis singgung L(x) = f(a) + f′(a)(x − a), df = f′(x) dx, perkiraan, galat, dan perubahan persen, dengan contoh dan kode.