Identitas Trigonometri: Rumus Jumlah, Sudut Ganda, dan Pembuktian

Apa yang membuat sebuah persamaan menjadi identitas trigonometri?

Identitas trigonometri adalah persamaan yang benar untuk setiap sudut yang kedua ruasnya terdefinisi; persamaan biasa hanya benar untuk sebagian sudut. \sin x=\frac12 adalah persamaan: benar pada 30^\circ dan 150^\circ dan salah pada 45^\circ. \sin^2x+\cos^2x=1 adalah identitas: benar pada 45^\circ, pada 1000^\circ, dan pada setiap sudut lain. Menyelesaikan persamaan berarti mencari sudut yang membuatnya benar; membuktikan identitas berarti menunjukkan bahwa semuanya membuatnya benar.

Dua hal perlu diketahui sejak awal.

• Kedua ruas tidak harus ada di mana-mana. \tan x=(\sin x)/(\cos x) adalah identitas walaupun tak satu pun ruasnya ada pada 90^\circ, karena klaimnya hanya tentang sudut yang keduanya ada. Mencoret dapat mengubah di mana sebuah ekspresi terdefinisi: (\sin x\cos x)/(\cos x) tidak terdefinisi pada 90^\circ tetapi \sin x terdefinisi, jadi keduanya sama di mana pun keduanya terdefinisi, yang sudah merupakan permintaan sebuah identitas.
• Rumus yang salah hanya memerlukan satu contoh penyangkal. \sin(x+y)=\sin x+\sin y tampak masuk akal, tetapi pada x=y=30^\circ ruas kiri adalah \sin60^\circ≈0,866 dan ruas kanan 0,5+0,5=1. Identitas yang benar, sebaliknya, tidak pernah dapat ditunjukkan dengan mencoba sudut, karena jumlahnya tak terhingga; ia harus dibuktikan.

Artikel ini mendaftar identitas yang layak diketahui, menunjukkan asalnya (semuanya mengikuti dari lingkaran satuan dan satu rotasi), lalu menunjukkan cara membuktikan identitas dan menguji sebuah klaim sebelum menghabiskan waktu untuknya. Dasar-dasar sinus, kosinus, dan tangen ada di artikel trigonometri dasar; di sini ada pembuktian dan daftar yang lebih panjang.

Dari mana identitas trigonometri yang mendasar berasal?

Identitas dasar adalah identitas kebalikan, hasil bagi, Pythagoras, komplemen, genap-ganjil, dan pergeseran, dan masing-masing dapat dibaca langsung dari lingkaran satuan. Pada lingkaran satuan titik pada sudut x adalah (\cos x,\sin x), dari sinilah sinus dan kosinus berasal untuk setiap sudut (lihat lingkaran satuan).

Kebalikan dan hasil bagi. Inilah definisi \tan, \cot, \sec, dan \csc dalam \sin dan \cos:

Pythagoras. Titik itu berada pada lingkaran berjari-jari 1, jadi koordinatnya memenuhi x^2+y^2=1, yaitu \cos^2x+\sin^2x=1. Bagi dengan \cos^2x dan diperoleh 1+\tan^2x=\sec^2x; bagi dengan \sin^2x dan diperoleh 1+\cot^2x=\csc^2x. Ini adalah teorema Pythagoras dalam penyamaran.

Komplemen. Kedua sudut lancip segitiga siku-siku berjumlah 90^\circ, dan sisi yang berada di depan yang satu berada di samping yang lain, jadi sinus sebuah sudut adalah kosinus penyikunya.

Genap dan ganjil. Berputar sebesar -x mencerminkan titik pada sumbu-x: koordinat-x tetap dan koordinat-y berganti tanda.

Pergeseran 90^\circ dan 180^\circ. Setengah putaran mengirim (x,y) ke (-x,-y), dan seperempat putaran mengirimnya ke (-y,x).

† Identitas yang berlaku di mana pun kedua ruas terdefinisi: kedua ruas tidak terdefinisi pada sudut yang sama.

Setiap rumus dalam tabel di halaman ini diuji oleh program pada ratusan sudut, terhadap perhitungan yang bebas, dan yang bertanda belati adalah tepat yang pada suatu sudut satu ruasnya terdefinisi sedangkan yang lain tidak.

Bagaimana rumus jumlah dan selisih bekerja?

Rumus jumlah berasal dari memutar sebuah titik sebesar sebuah sudut: titik pada x, diputar sebesar y, jatuh pada sudut x+y, dan koordinat barunya tersusun dari empat hasil kali \cos x\cos y, \sin x\sin y, \sin x\cos y, dan \cos x\sin y.

Putar seluruh bidang terhadap titik asal sebesar sudut y. Titik (1,0) pergi ke (\cos y,\sin y) dan titik (0,1) pergi ke (-\sin y,\cos y). Rotasi mempertahankan jumlah dan kelipatan, dan titik pada sudut x adalah \cos x·(1,0)+\sin x·(0,1), jadi ia pergi ke

\cos x (\cos y, \sin y)+\sin x (-\sin y, \cos y)

=\left(\cos x\cos y-\sin x\sin y, \sin x\cos y+\cos x\sin y\right).

Tetapi memutar titik pada x sebesar y menempatkannya pada sudut x+y, yang koordinatnya (\cos(x+y),\sin(x+y)). Membandingkan kedua koordinat memberi kedua rumus sekaligus.

† Rumus tangen berlaku di mana pun kedua ruas terdefinisi.

Rumus selisih adalah rumus jumlah dengan y diganti -y, memakai \cos(-y)=\cos y dan \sin(-y)=-\sin y, yang membalik satu tanda pada masing-masing: perhatikan minus pada \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y dan plus pada \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y. Rumus tangen adalah hasil bagi keduanya: bagi pembilang dan penyebut (\sin(x+y))/(\cos(x+y)) dengan \cos x\cos y.

Geser sudut-sudut di bawah dan lihat keempat hasil kali menyusun titik yang baru.

Bagaimana memperoleh rumus sudut ganda, sudut paruh, dan pengurangan pangkat?

Pasang y=x pada rumus jumlah dan diperoleh rumus sudut ganda; selesaikan untuk kuadratnya dan diperoleh rumus sudut paruh dan pengurangan pangkat. Tidak ada yang baru diperlukan: ini rotasi yang sama.

Sudut ganda. \sin2x=\sin(x+x)=2\sin x\cos x dan \cos2x=\cos^2x-\sin^2x. Karena \sin^2x+\cos^2x=1, kosinus memiliki tiga bentuk: ganti \sin^2x dengan 1-\cos^2x dan diperoleh 2\cos^2x-1; ganti \cos^2x dengan 1-\sin^2x dan diperoleh 1-2\sin^2x. Bentuk mana yang dipakai bergantung pada apa yang ingin tersisa.

Sudut rangkap tiga. \sin3x=\sin(2x+x) dan \cos3x=\cos(2x+x): pakai rumus jumlah, lalu rumus sudut ganda, lalu \sin^2x+\cos^2x=1.

Sudut paruh. Ambil \cos x=1-2\sin^2x/2 dan \cos x=2\cos^2x/2-1 (rumus sudut ganda untuk sudut x/2) dan selesaikan untuk kuadratnya:

Menarik akar kuadrat memberi \sinx/2=±√((1-\cos x)/(2)) dan \cosx/2=±√((1+\cos x)/(2)), dan tandanya adalah tanda sinus atau kosinus pada kuadran tempat x/2 berada, bukan pilihan bebas. Pengurangan pangkat. Kedua persamaan yang sama dengan x menggantikan x/2 mengubah kuadrat menjadi pangkat satu dari sudut ganda, yang diinginkan integral atau analisis sinyal:

Nilai eksak. Dengan rumus-rumus ini sudut 30^\circ, 45^\circ, dan 60^\circ menuntun ke banyak sudut lain. \sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ), yaitu (√2)/(2)·(√3)/(2)-(√2)/(2)·\frac12, atau (√6-√2)/(4). \sin22,5^\circ adalah setengah dari 45^\circ: \sin^2 22,5^\circ=(1-\cos45^\circ)/(2)=(2-√2)/(4), jadi \sin22,5^\circ=(√(2-√2))/(2). Bahkan sudut-sudut segi lima (18^\circ, 36^\circ, 54^\circ, 72^\circ) eksak: \cos36^\circ=(1+√5)/(4), setengah rasio emas. Pilih salah satunya di bawah untuk melihat penurunannya.

Apa rumus hasil kali menjadi jumlah, dan apa itu R sin(x + φ)?

Menjumlahkan dan mengurangkan rumus jumlah dan selisih mengubah hasil kali sinus dan kosinus menjadi jumlah, dan kebalikannya mengubah jumlah menjadi hasil kali. Jumlahkan \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y dan \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y: suku kedua saling menghilangkan dan \sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y. Tiga yang lain diperoleh dengan cara yang sama.

Jumlah menjadi hasil kali. Tulis sudut-sudutnya sebagai x=(u+v)/(2)+(u-v)/(2) dan y=(u+v)/(2)-(u-v)/(2) dalam rumus hasil kali, dan jumlah dua sinus atau kosinus menjadi hasil kali:

Satu gelombang dari dua. Jumlah sebuah sinus dan sebuah kosinus dari sudut yang sama adalah lagi satu gelombang. Cari bilangan R dan φ dengan R\cosφ=a dan R\sinφ=b: maka

a\sin x+b\cos x=R\sin x\cosφ+R\cos x\sinφ=R\sin(x+φ),

menurut rumus jumlah. Mengkuadratkan dan menjumlahkan kedua syarat memberi R^2=a^2+b^2, jadi R=√(a^2+b^2), dan φ=\operatornameatan2(b,a). Misalnya 3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53,13^\circ), karena R=√(9+16)=5.

Ini melakukan tiga pekerjaan. Nilai terbesar dan terkecil a\sin x+b\cos x adalah ± R (di sini ±5). Persamaan seperti 3\sin x+4\cos x=2,5 menjadi persamaan dasar \sin(x+53,13^\circ)=0,5, yang penyelesaiannya x+53,13^\circ=30^\circ atau 150^\circ (ditambah putaran penuh), sehingga x≈336,87^\circ atau 96,87^\circ di antara 0^\circ dan 360^\circ. Dua gelombang berfrekuensi sama menjumlah menjadi gelombang lain berfrekuensi itu, begitulah arus bolak-balik dan gelombang bunyi bergabung. Coba nilai a dan b yang lain di bawah.

Bagaimana membuktikan sebuah identitas trigonometri?

Untuk membuktikan identitas, mulailah dari satu ruas dan ubah, satu langkah sah pada satu waktu, sampai menjadi ruas yang lain. Setiap baris harus sama dengan baris sebelumnya, dan baris terakhir harus ruas lain dari klaim itu.

1. Pilih satu ruas. Biasanya yang lebih rumit, karena menyederhanakan lebih mudah daripada membesarkan.
2. Jangan memindahkan suku melewati tanda sama dengan dan jangan mengalikan atau menambah kedua ruas. Itu mengandaikan apa yang ingin dibuktikan. (Boleh mengerjakan kedua ruas secara terpisah sampai bertemu di tengah.)
3. Ubah semuanya menjadi sinus dan kosinus bila belum melihat jalan: \tan, \cot, \sec, \csc semuanya memiliki definisi dalam \sin dan \cos.
4. Pakai aljabar yang sudah dikenal: penyebut sama, menjabarkan, memfaktorkan, selisih kuadrat a^2-b^2=(a-b)(a+b).
5. Pakai \sin^2x+\cos^2x=1 ke arah mana pun yang membantu: 1→\sin^2x+\cos^2x, 1-\cos^2x→\sin^2x.
6. Pakai rumus jumlah, sudut ganda, dan sudut paruh ketika muncul sudut seperti 2x, x+y, atau x/2.
7. Sebutkan di mana ia berlaku: di mana pun kedua ruas terdefinisi.

Contoh 1. Buktikan \tan x+\cot x=\sec x\csc x. Mulai dari ruas kiri. \tan x+\cot x=(\sin x)/(\cos x)+(\cos x)/(\sin x) (identitas hasil bagi) =(\sin^2x+\cos^2x)/(\sin x\cos x) (penyebut sama) =(1)/(\sin x\cos x) (Pythagoras) =\sec x\csc x (kebalikan). Selesai.

Contoh 2. Buktikan (1-\cos x)(1+\cos x)=\sin^2x. Mulai dari ruas kiri. Ia sama dengan 1-\cos^2x (selisih kuadrat), yaitu \sin^2x (Pythagoras). Selesai.

Sembilan pembuktian di bawah berjalan dari yang pertama ini sampai sudut rangkap tiga dan tangen sudut paruh. Setiap baris membawa alasannya, dan sebuah program telah memeriksa bahwa setiap baris sama dengan baris sebelumnya.

Bagaimana menguji sebuah identitas sebelum membuktikannya, dan apa yang tidak dapat dikatakan sebuah uji?

Uji identitas yang diklaim dengan membandingkan kedua ruas pada banyak sudut: satu perbedaan membantahnya, tetapi kecocokan, sepanjang apa pun, hanya membuatnya mungkin benar. Ini menghemat banyak waktu, karena mencoba membuktikan pernyataan yang salah adalah jebakan. Hitung kedua ruas pada beberapa sudut yang tidak istimewa (25^\circ, 40^\circ, 100^\circ) dan tidak terlalu simetris. Bila kedua ruas berbeda di mana pun, kita punya contoh penyangkal dan selesai.

Yang tidak dapat dilakukan sebuah uji adalah membuktikan. \sin2x=2\sin x benar pada x=0^\circ dan x=180^\circ, dan uji pada kedua sudut itu saja akan meloloskannya; ia gagal pada 30^\circ, tempat \sin60^\circ≈0,866 dan 2\sin30^\circ=1. Bahkan uji pada seribu sudut hanyalah bukti pendukung. Identitas dibuktikan dengan aljabar atau geometri, seperti pada bagian sebelumnya.

Sebuah uji juga harus menangani dua hal praktis:

• Titik tak terdefinisi. Bila satu ruas tak terdefinisi di tempat yang lain terdefinisi (mencoret \cos x menghapus 90^\circ dari daerah asal), kedua ruas sama di tempat keduanya terdefinisi, dan penguji di bawah melaporkan kasus itu secara terpisah alih-alih menyebutnya perbedaan.
• Pembulatan. Komputer tidak mendapatkan \sin^2x+\cos^2x=1 dengan tepat: selisihnya sekitar 10^-16, jadi bandingkan dengan toleransi kecil, jangan pernah dengan kesamaan. Dekat 90^\circ tangen sangat besar, dan selisih dua bilangan yang sangat besar kehilangan angkanya, jadi penguji yang baik melewati titik yang bilangannya terlalu besar.

Ketik klaim Anda sendiri di bawah, dalam derajat, dengan x (dan y untuk dua sudut). Ia membandingkan kedua ruas pada setiap derajat bulat dari 0^\circ sampai 359^\circ dan pada ratusan sudut lain.

Adakah satu aturan di balik semua rumus ini?

Ada: rumus Euler e^iθ=\cosθ+i\sinθ memuat rumus jumlah, dan bersamanya semua yang lain dalam artikel ini. Eksponensial memiliki aturan e^ix· e^iy=e^i(x+y). Tulis setiap faktor dengan rumus Euler dan kalikan, ingat i^2=-1:

(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y).

Ruas kiri adalah e^i(x+y)=\cos(x+y)+i\sin(x+y). Dua bilangan kompleks sama hanya jika bagian real dan bagian imajinernya sama, jadi bagian real memberi rumus jumlah kosinus dan bagian imajiner memberi rumus jumlah sinus. Inilah rotasi pada bagian sebelumnya, karena mengalikan dengan e^iy adalah memutar sebesar y.

Memangkatkan memberi rumus de Moivre, (\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx. Untuk n=3, menjabarkan ruas kiri memberi \cos3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2x dan \sin3x=3\cos^2x\sin x-\sin^3x, yaitu rumus sudut rangkap tiga yang ditulis dengan kedua fungsi (pakai \sin^2x+\cos^2x=1 untuk mendapat bentuk di atas). Tepat satu aturan tentang eksponen berada di balik seluruh daftar.

Bagaimana memeriksa sebuah identitas dalam program?

Program memeriksa identitas dengan cuplikan: hitung kedua ruas pada banyak sudut dan laporkan selisih terbesar, yang seharusnya sekitar 10^-16 untuk identitas yang benar dan besar untuk yang salah. Tiga hal penting. Ubah derajat ke radian sebelum memanggil sin dan cos. Bandingkan dengan toleransi seperti 10^-12 alih-alih ==. Dan lewati sudut yang salah satu ruasnya tak terdefinisi (tan pada 90^\circ atau pembagian dengan nol) alih-alih menyebutnya perbedaan.

Program di bawah mengukur selisih terbesar untuk empat klaim: \sin^2x+\cos^2x=1, \sin2x=2\sin x\cos x, yang salah \sin2x=2\sin x, dan 3\sin x+4\cos x=5\sin(x+53,13^\circ). Mereka mencetak apakah selisihnya di bawah toleransi (benar untuk identitas), dan untuk yang salah besar selisih dan tempat terbesarnya (2,5981 pada 120^\circ). Untuk pembuktian simbolik atas pernyataan yang sama, pakai sistem aljabar komputer seperti SymPy: ia dapat menyederhanakan satu ruas menjadi ruas lain, yang tidak pernah dapat dilakukan cuplikan numerik.

import math


def max_gap(f, g, n=3600):
    """The largest |f(x) - g(x)| over n + 1 angles from 0 to 360 degrees, and where it first happens."""
    worst, at = 0.0, 0.0
    for k in range(n + 1):
        x = 360 * k / n
        try:
            gap = abs(f(x) - g(x))
        except ZeroDivisionError:
            continue                    # undefined here: skip the point, do not call it a difference
        if gap > worst:
            worst, at = gap, x
    return worst, at


r = math.radians
sin = lambda x: math.sin(r(x))
cos = lambda x: math.cos(r(x))

print(max_gap(lambda x: sin(x) ** 2 + cos(x) ** 2, lambda x: 1)[0] < 1e-12)                          # True
print(max_gap(lambda x: sin(2 * x), lambda x: 2 * sin(x) * cos(x))[0] < 1e-12)                       # True
print(max_gap(lambda x: sin(x + 25), lambda x: sin(x) * cos(25) + cos(x) * sin(25))[0] < 1e-12)      # True
gap, at = max_gap(lambda x: sin(2 * x), lambda x: 2 * sin(x))
print(round(gap, 4), at)                                                                              # 2.5981 120.0: not an identity
print(round(max_gap(lambda x: sin(x + 25), lambda x: sin(x) + sin(25))[0], 4))                       # 0.8555: not an identity either
R = math.hypot(3, 4)
phi = math.degrees(math.atan2(4, 3))
print(round(R, 4), round(phi, 4))                                                                    # 5.0 53.1301
print(max_gap(lambda x: 3 * sin(x) + 4 * cos(x), lambda x: R * sin(x + phi))[0] < 1e-12)            # True

const r = (d) => (d * Math.PI) / 180
const sin = (x) => Math.sin(r(x))
const cos = (x) => Math.cos(r(x))

function maxGap(f, g, n = 3600) {
  // the largest |f(x) - g(x)| over n + 1 angles from 0 to 360 degrees, and where it first happens
  let worst = 0, at = 0
  for (let k = 0; k <= n; k++) {
    const x = (360 * k) / n
    const gap = Math.abs(f(x) - g(x))
    if (Number.isNaN(gap)) continue            // undefined here: skip the point, do not call it a difference
    if (gap > worst) { worst = gap; at = x }
  }
  return [worst, at]
}

maxGap((x) => sin(x) ** 2 + cos(x) ** 2, () => 1)[0] < 1e-12                                  // true
maxGap((x) => sin(2 * x), (x) => 2 * sin(x) * cos(x))[0] < 1e-12                               // true
maxGap((x) => sin(x + 25), (x) => sin(x) * cos(25) + cos(x) * sin(25))[0] < 1e-12              // true
const [gap, at] = maxGap((x) => sin(2 * x), (x) => 2 * sin(x))
;[+gap.toFixed(4), at]                                                                          // [2.5981, 120]: not an identity
+maxGap((x) => sin(x + 25), (x) => sin(x) + sin(25))[0].toFixed(4)                              // 0.8555: not an identity either
const R = Math.hypot(3, 4), phi = (Math.atan2(4, 3) * 180) / Math.PI
;[+R.toFixed(4), +phi.toFixed(4)]                                                               // [5, 53.1301]
maxGap((x) => 3 * sin(x) + 4 * cos(x), (x) => R * sin(x + phi))[0] < 1e-12                      // true

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.14159265358979323846;
double worstAt;                                  // where the largest gap is

double rad(double d) { return d * PI / 180.0; }

// the two sides of claim number "which", at x degrees
double lhs(int which, double x) {
  double a = rad(x);
  if (which == 1) return sin(a) * sin(a) + cos(a) * cos(a);
  if (which == 2) return sin(2 * a);
  if (which == 3) return sin(2 * a);
  return 3 * sin(a) + 4 * cos(a);
}

double rhs(int which, double x) {
  double a = rad(x);
  if (which == 1) return 1;
  if (which == 2) return 2 * sin(a) * cos(a);
  if (which == 3) return 2 * sin(a);
  return 5 * sin(a + rad(53.13010235415598));
}

double maxGap(int which) {
  double worst = 0;
  worstAt = 0;
  for (int k = 0; k <= 3600; k++) {
    double x = 360.0 * k / 3600.0;
    double gap = fabs(lhs(which, x) - rhs(which, x));
    if (gap > worst) { worst = gap; worstAt = x; }
  }
  return worst;
}

int main() {
  printf("%d\n", maxGap(1) < 1e-12 ? 1 : 0);
  printf("%d\n", maxGap(2) < 1e-12 ? 1 : 0);
  printf("%.4f %.1f\n", maxGap(3), worstAt);
  printf("%d\n", maxGap(4) < 1e-9 ? 1 : 0);
  return 0;
}

/* output:
1
1
2.5981 120.0
1
*/

Dari mana identitas trigonometri berasal?

Rumus jumlah bermula sebagai teorema tentang tali busur pada lingkaran, menjadi alat untuk mengalikan bilangan besar sebelum logaritma, dan dilebur menjadi satu aturan tentang eksponensial pada abad kedelapan belas.

• Sekitar 150 M. Almagest Ptolemeus membuktikan teorema tentang sisi dan diagonal segi empat yang tertulis dalam lingkaran. Ia memberi tali busur jumlah atau selisih dua busur, yaitu rumus jumlah sinus dalam bahasa tali busur, dan Ptolemeus memakainya untuk menyusun tabelnya.
• Sekitar 500 M. Astronom India menyatakan aturan untuk sinus dan kosinus jumlah, dan untuk sudut paruh, sebagai bagian dari tabel sinus mereka.
• Abad ke-16. Prostaferesis: sebelum logaritma, para astronom (termasuk lingkaran Tycho Brahe) mengubah perkalian menjadi penjumlahan dengan \cos x\cos y=(\cos(x-y)+\cos(x+y))/(2), mencari ketiga kosinus dalam tabel. Logaritma Napier (1614) menggantikan metode itu.
• 1722. Rumus de Moivre, bentuk (\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx, mengikat rumus sudut kelipatan dengan pangkat.
• 1748. Introductio karya Euler menjadikan notasi modern baku dan memberi e^ix=\cos x+i\sin x, yang darinya rumus jumlah mengikuti dalam dua baris.

Apa kesalahan umum pada identitas trigonometri?

Kesalahan paling umum pada identitas trigonometri adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: identitas trigonometri sekilas

• Identitas: benar di mana pun kedua ruas terdefinisi; rumus yang salah memerlukan satu contoh penyangkal, yang benar memerlukan bukti.
• Dasar: \sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tan^2x=\sec^2x, \tan x=(\sin x)/(\cos x), \sin(90^\circ-x)=\cos x, \sin(-x)=-\sin x, \cos(-x)=\cos x.
• Jumlah dan selisih: \sin(x± y)=\sin x\cos y±\cos x\sin y, \cos(x± y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y, dari memutar titik sebesar y.
• Ganda dan paruh: \sin2x=2\sin x\cos x; \cos2x=\cos^2x-\sin^2x, juga 2\cos^2x-1 dan 1-2\sin^2x; \sin^2x/2=(1-\cos x)/(2), \cos^2x/2=(1+\cos x)/(2).
• Hasil kali dan jumlah: \sin x\cos y=(\sin(x+y)+\sin(x-y))/(2) dan tiga yang lain; jumlah menjadi hasil kali dengan setengah jumlah dan setengah selisih.
• Satu gelombang: a\sin x+b\cos x=R\sin(x+φ), R=√(a^2+b^2), φ=\operatornameatan2(b,a).
• Membuktikan: satu ruas saja, langkah sah, sinus dan kosinus bila buntu, Pythagoras ke dua arah, sebutkan daerah asal.
• Menguji: bandingkan pada banyak sudut, toleransi bukan kesamaan, lewati titik tak terdefinisi; uji membantah tetapi tidak pernah membuktikan.
• Di balik semuanya: e^ix· e^iy=e^i(x+y).

Glosarium: istilah penting

Identitas trigonometri

Persamaan antara ekspresi trigonometri yang benar untuk setiap sudut yang kedua ruasnya terdefinisi.

Contoh penyangkal

Satu sudut yang membuat kedua ruas identitas yang diklaim berbeda, yang membuktikan klaim itu salah.

Identitas Pythagoras

Identitas sin kuadrat ditambah cos kuadrat sama dengan 1, yang menyatakan bahwa titik pada suatu sudut di lingkaran satuan berjarak 1 dari pusat.

Rumus jumlah

Rumus yang memberi sinus, kosinus, atau tangen x ditambah y dari fungsi x dan y, seperti sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.

Rumus sudut ganda

Rumus sinus, kosinus, atau tangen 2x dalam fungsi x, yang diperoleh dengan memasang y sama dengan x pada rumus jumlah.

Rumus sudut paruh

Rumus sinus, kosinus, atau tangen x per 2, dengan akar kuadrat yang tandanya adalah tanda fungsi di kuadran x per 2.

Rumus hasil kali menjadi jumlah

Rumus yang menulis hasil kali dua sinus atau kosinus sebagai setengah jumlah, seperti sin x cos y = (sin(x + y) + sin(x - y)) / 2.

Bentuk satu gelombang

Penulisan ulang a sin x + b cos x sebagai R sin(x + phi) dengan R sama dengan akar dari a kuadrat ditambah b kuadrat.

Daerah asal identitas

Sudut-sudut yang membuat kedua ruas terdefinisi; identitas tidak menyatakan apa-apa tentang sudut tempat sebuah ruas tak terdefinisi.

Prostaferesis

Metode abad keenam belas yang memakai rumus hasil kali menjadi jumlah untuk mengganti perkalian dengan penjumlahan dan pencarian tabel.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions (section 4.3, circular functions). National Bureau of Standards.
2. Eli Maor (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press.
3. I. M. Gelfand, Mark Saul (2001). Trigonometry (2nd ed.). Birkhäuser.
4. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (chapters on analytic trigonometry). Cengage Learning.
5. G. J. Toomer (1984). Ptolemy's Almagest (translated and annotated). Springer.
6. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
7. Leonhard Euler (1748). Introductio in analysin infinitorum. Marcum-Michaelem Bousquet.

Artikel terkait

• Trigonometri Dasar: Sinus, Kosinus, dan Tangen: Trigonometri dasar dijelaskan: sinus, kosinus, dan tangen segitiga siku-siku, nilai eksak pada 30°, 45°, dan 60°, lingkaran satuan, identitas, persamaan, dan grafik.
• Sudut: Pengukuran, Jenis, Pasangan, dan Garis Sejajar: Sudut dijelaskan: derajat, radian, dan putaran, jenis dan pasangan sudut, garis sejajar dan garis lintang, sudut segi banyak, sudut jam, dan bearing.
• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Turunan Fungsi Trigonometri: Turunan fungsi trigonometri dengan bukti: sin x dan cos x, lalu tan, cot, sec, dan csc, mengapa radian, gerak harmonik sederhana, turunan tingkat tinggi, dan kode.