Bentuk Tak Tentu dan Aturan L’Hôpital

Apa itu bentuk tak tentu?

Bentuk tak tentu adalah cara meringkas perilaku suatu limit ketika perilaku bagian-bagiannya tidak menentukannya. Ambil empat limit \lim_x→0(x^3)/(x)=0 \lim_x→0(x)/(x^3)=∞ \lim_x→0x/x=1 \lim_x→0(2x)/(x)=2. Pada masing-masing, pembilang dan penyebut sama-sama mendekati 0, namun hasilnya 0, ∞, 1, dan 2. Kita katakan limit \lim_x→ a(f(x))/(g(x))\quaddengan \lim_x→ af(x)=0 dan \lim_x→ ag(x)=0 berbentuk tak tentu \frac00. Lambang "\frac00" tampak seperti bilangan tetapi bukan: ia bukan perintah membagi 0 dengan 0, hanya label untuk limit hasil bagi dua fungsi yang masing-masing menuju nol. Mengetahui bahwa keduanya menuju nol belum cukup untuk mencari limit hasil baginya; kita harus melihat lebih dekat, dengan aljabar atau dengan aturan di artikel ini.

Jika pembilang dan penyebut sama-sama menuju +∞ atau -∞, bentuknya \frac∞∞. Bentuk lainnya ∞·0, ∞-∞, 1^∞, 0^0, dan ∞^0. Masing-masing adalah label untuk jenis limit yang nilainya dapat muncul dengan beberapa cara: x\ln x dan x·\frac1x keduanya berbentuk 0·∞ di 0^+ dan ∞·0 di ∞, dan memberi 0 dan 1.

Beberapa bentuk bukan tak tentu. Pembilang yang menuju 1 di atas penyebut yang menuju 0 adalah \frac10, yang tak hingga (atau tidak ada jika tandanya berbeda di kedua sisi); \frac0∞ adalah 0; ∞+∞ adalah ∞; 0^∞ adalah 0. Hanya bentuk di atas yang membiarkan limitnya terbuka.

John (Johann) Bernoulli menemukan aturan memakai turunan untuk menghitung limit pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama-sama mendekati nol atau ±∞. Aturan itu dikenal sebagai Aturan l'Hôpital menurut Guillaume de l'Hôpital, yang menulis buku teks kalkulus diferensial pengantar pertama, tempat aturan itu pertama kali dicetak.

Apa isi Aturan L’Hôpital?

Aturan L'Hôpital: misalkan \lim_x→ af(x)=\lim_x→ ag(x)=0, f dan g terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat a, dan g'(x)\ne0 pada I jika x\ne a. Maka \lim_x→ a(f(x))/(g(x))=\lim_x→ a(f'(x))/(g'(x)), dengan anggapan limit di ruas kanan ada. Teorema ini juga berlaku jika x→±∞ atau ketika f(x) dan g(x) menuju ±∞ (bentuk \frac∞∞), dan untuk limit satu sisi; bilangan a boleh terhingga atau tak hingga. Alasannya, di dekat a fungsi mendekati garis singgungnya, sehingga hasil bagi dua fungsi yang lenyap di a adalah hasil bagi gradiennya. Bagian 5 membuktikannya.

Peringatan. Untuk menerapkan aturan pada \frac fg, bagi turunan f dengan turunan g. Jangan menurunkan hasil baginya: hasil bagi yang dipakai adalah (f')/(g') dan bukan \left(\frac fg\right)'. Untuk (x^2-1)/(x-1) di 1 bilangan yang benar adalah \frac2x1→2, sedangkan turunan hasil bagi x+1 adalah 1.

Memakai aturan. Untuk mencari \lim(f(x))/(g(x)), turunkan f dan g, dan teruslah menurunkan selama hasil bagi masih berbentuk \frac00 (atau \frac∞∞). Begitu salah satu dari kedua turunan tidak lagi menuju nol, berhenti. Aturan tidak berlaku ketika pembilang atau penyebut memiliki limit terhingga yang bukan nol (atau, pada putaran pertama, ketika bentuknya sama sekali bukan tak tentu).

Contoh 1. Semuanya berbentuk \frac00, dan beberapa memerlukan aturan lebih dari sekali. (a) \lim_x→0(3x-\sin x)/(x)=\lim_x→0(3-\cos x)=2. (b) \lim_x→0(√(1+x)-1)/(x)=\lim_x→0\frac\frac12√(1+x)1=\frac12. (c) \lim_x→0(√(1+x)-1-\frac x2)/(x^2)=\lim_x→0\frac\frac12√(1+x)-\frac122x, yang berbentuk \frac00 lagi, sehingga =\lim_x→0(-\frac14(1+x)^-3/2)/(2)=-\frac18. (d) \lim_x→0(x-\sin x)/(x^3)=\lim_x→0(1-\cos x)/(3x^2) =\lim_x→0(\sin x)/(6x)=\lim_x→0(\cos x)/(6)=\frac16.

Contoh 2: pemakaian yang cermat. \lim_x→0(1-\cos x)/(x+x^2)=\lim_x→0(\sin x)/(1+2x)=\frac01=0. Menggoda untuk menerapkan aturan lagi dan mendapat \lim(\cos x)/(2)=\frac12, tetapi itu salah: (\sin x)/(1+2x) berbentuk \frac01, bukan tak tentu, dan nilainya 0.

Contoh 3: limit satu sisi. (a) \lim_x→0^+(\sin x)/(x^2)=\lim_x→0^+(\cos x)/(2x)=+∞, karena \cos x→1 dan 2x→0^+. (b) \lim_x→0^-(\sin x)/(x^2)=\lim_x→0^-(\cos x)/(2x)=-∞, karena 2x<0. Limit satu sisinya berbeda, sehingga limit dua sisinya tidak ada.

Ketik pembilang, penyebut, dan titik di bawah, atau pilih contoh. Alat ini menerapkan aturan satu putaran demi satu putaran, menyebut bentuk di tiap langkah, dan berhenti ketika hasil bagi tidak lagi tak tentu.

Bagaimana aturan menangani ∞/∞, dan mana yang tumbuh lebih cepat?

Aturan L'Hôpital berlaku untuk \frac∞∞ persis seperti untuk \frac00: jika f(x)→±∞ dan g(x)→±∞ ketika x→ a, maka \lim(f(x))/(g(x))=\lim(f'(x))/(g'(x)), asalkan limit di ruas kanan ada atau ±∞. Di sini a boleh terhingga atau tak hingga, dan x→ a boleh diganti x→ a^+ atau x→ a^-. Bukti kasus ini lebih sulit dan tidak diberikan di sini; ia hasil abad ke-19.

Contoh 4. Tentukan limit bentuk \frac∞∞ berikut. (a) \lim_x→π/2^-(\sec x)/(1+\tan x). Kedua bagian menuju +∞ dari kiri, sehingga =\lim(\sec x\tan x)/(\sec^2x)=\lim\sin x=1 (penyederhanaan, (\tan x)/(\sec x)=\sin x, lebih mudah di sini daripada putaran kedua). (b) \lim_x→∞(\ln x)/(2√ x)=\lim_x→∞(1/x)/(1/√ x) =\lim_x→∞\frac1√ x=0. (c) \lim_x→∞(e^x)/(x^2)=\lim(e^x)/(2x)=\lim(e^x)/(2)=∞.

Dua yang terakhir adalah perbandingan laju tumbuh: logaritma tumbuh lebih lambat daripada pangkat positif x mana pun, dan eksponensial tumbuh lebih cepat daripada pangkat mana pun, sehingga (\ln x)/(x^p)→0 dan (e^x)/(x^p)→∞ untuk setiap p>0. Banyak limit di bab berikutnya diselesaikan dengan urutan ini: \ln x≪ x^p≪ e^x ketika x→∞.

Suku utama. Untuk hasil bagi polinom aturan ini memberi jawaban yang kita kenal: \lim_x→∞(5x^2-3x)/(7x^2+1)=\lim(10x-3)/(14x)=\lim(10)/(14)=\frac57, perbandingan koefisien utama.

Bagaimana menangani 0·∞ dan ∞−∞?

Bentuk ∞·0 dan ∞-∞ bukan hasil bagi, sehingga aljabar lebih dahulu mengubahnya menjadi \frac00 atau \frac∞∞, lalu aturan berlaku. Baik ∞·0 maupun ∞-∞ bukan bilangan; keduanya hanya menggambarkan apa yang dilakukan bagiannya.

Contoh 5: hasil kali. (a) \lim_x→\inftyx\sin\frac1x berbentuk ∞·0. Tulis sebagai \lim_x→∞(\sin(1/x))/(1/x), bentuk \frac00, dan terapkan aturan: =\lim_x→∞(\cos(1/x)·(-1/x^2))/(-1/x^2) =\lim_x→∞\cos\frac1x=1. (b) \lim_x→0^+x\ln x berbentuk 0·∞. Tulis sebagai \lim_x→0^+(\ln x)/(1/x), bentuk \frac∞∞, dan terapkan aturan: =\lim_x→0^+(1/x)/(-1/x^2)=\lim_x→0^+(-x)=0.

Pilihan faktor mana yang masuk penyebut penting: x\ln x=(x)/(1/\ln x) akan menuju hasil bagi yang lebih buruk. Taruh di penyebut faktor yang kebalikannya lebih mudah diturunkan.

Contoh 6: selisih. Tentukan \lim_x→0\left(\frac1x-\frac1\sin x\right). Ketika x→0^+, \frac1x→∞ dan \frac1\sin x→∞, sehingga bentuknya ∞-∞; ketika x→0^- bentuknya -∞-(-∞). Keduanya tidak menunjukkan limitnya. Gabungkan pecahan dengan penyebut sekutu, \frac1x-\frac1\sin x=(\sin x-x)/(x\sin x), yang berbentuk \frac00, dan terapkan aturan dua kali: \lim_x→0(\sin x-x)/(x\sin x)=\lim_x→0(\cos x-1)/(\sin x+x\cos x)=\lim_x→0(-\sin x)/(2\cos x-x\sin x)=\frac02=0.

Selisih lain: \lim_x→1^+\left(\frac1\ln x-\frac1x-1\right)=\lim(x-1-\ln x)/((x-1)\ln x)=\frac12, lagi-lagi pecahan gabungan berbentuk \frac00 dan dua putaran.

Bagaimana menangani 1^∞, 0^0, dan ∞^0?

Limit yang menuju 1^∞, 0^0, dan ∞^0 ditangani dengan mengambil logaritma fungsi lebih dahulu, gagasan diferensiasi logaritmik: cari limit L dari \ln f(x) dengan aturan, lalu eksponensialkan. Jika \lim_x→ a\ln f(x)=L, maka \lim_x→ af(x)=\lim_x→ ae^\ln f(x)=e^L, karena kekontinuan fungsi eksponensial. Rumus ini berlaku untuk limit satu sisi dan untuk a=±∞. Jika f(x)=u(x)^v(x) maka \ln f=v\ln u, suatu hasil kali, yang oleh bagian sebelumnya diubah menjadi hasil bagi (\ln u)/(1/v).

Contoh 7. Tunjukkan bahwa \lim_x→0^+(1+x)^1/x=e. Limit ini berbentuk 1^∞. Misalkan f(x)=(1+x)^1/x, sehingga \ln f(x)=(\ln(1+x))/(x), bentuk \frac00. Menurut aturan \lim_x→0^+\ln f(x)=\lim_x→0^+(\ln(1+x))/(x)=\lim_x→0^+(1/(1+x))/(1)=1. Jadi \lim_x→0^+(1+x)^1/x=e^1=e. Ini adalah bilangan e dari definisi eksponensial, dan sama dengan \lim_x→∞\left(1+\frac1x\right)^x=e.

Contoh 8. Tentukan \lim_x→\inftyx^1/x. Bentuknya ∞^0. Dengan f(x)=x^1/x, \ln f(x)=(\ln x)/(x), bentuk \frac∞∞, dan \lim_x→∞(\ln x)/(x)=\lim(1/x)/(1)=0. Jadi \lim_x→\inftyx^1/x=e^0=1.

Contoh lain. \lim_x→0^+x^x berbentuk 0^0: \ln x^x=x\ln x→0 menurut Contoh 5(b), sehingga x^x→ e^0=1. Dan \lim_x→1^+x^1/(x-1) adalah 1^∞: (\ln x)/(x-1)→1, sehingga limitnya e. Secara umum \lim_x→∞\left(1+\frac px\right)^x=e^p.

Alat di bawah mengambil bentuknya, menunjukkan penulisan ulang, dan menjalankan aturan untuk setiap jenis bentuk tak tentu: 0·∞, ∞-∞, dan pangkat.

Kapan Aturan L’Hôpital tidak membantu?

Aturan ini adalah alat dengan syarat, dan tiga hal bisa salah: hasil bagi bukan bentuk tak tentu, aturan berputar, atau hasil bagi turunan tidak punya limit.

1. Bukan bentuk tak tentu. Jika pembilang memiliki limit terhingga yang bukan nol, atau hasil bagi sudah tentu, aturan tidak boleh dipakai. \lim_x→2(x^2+1)/(x+1)=\frac53 dengan substitusi; menurunkan akan memberi \frac2x1→4, yang salah. Hal yang sama terjadi di tengah perhitungan, seperti pada Contoh 2, begitu hasil bagi tidak lagi \frac00.

2. Aturan berputar. Untuk \lim_x→∞(√(9x+1))/(√ x+1) hasil bagi turunannya (9√ x)/(√(9x+1)), lagi-lagi berbentuk \frac∞∞, dan putaran berikutnya membawa kembali hasil bagi sejenis: kamu hanya berputar-putar. Aljabar menyelesaikannya: bagi pembilang dan penyebut dengan √ x untuk mendapat (√(9+1/x))/(1+1/√ x)→3. Demikian pula (√(x^2+1))/(x) berputar antara hasil bagi dan kebalikannya, dan jawabannya 1.

3. Turunannya tidak punya limit. Teorema menyatakan limit \frac fg sama dengan limit (f')/(g') jika yang terakhir ada. Untuk \lim_x→∞(x+\sin x)/(x) hasil bagi turunannya 1+\cos x, yang tidak punya limit, sehingga aturan tidak menyatakan apa pun, namun limit semula ada: (x+\sin x)/(x)=1+(\sin x)/(x)→1. Dengan cara yang sama \lim_x→0^+(x^2\sin(1/x))/(\sin x) turunannya memuat \cos(1/x), yang berosilasi, sedangkan x\sin\frac1x·(x)/(\sin x)→0.

Limit satu sisi yang berbeda. Contoh 3: (\sin x)/(x^2) menuju +∞ dari kanan dan -∞ dari kiri; limit dua sisinya tidak ada, dan aturan memberi nilai satu sisi dengan benar.

Pada semua kasus ini limit yang dibaca langsung, atau sedikit aljabar seperti membagi dengan suku dominan, melakukan apa yang tidak dapat dilakukan aturan. Cobalah di bawah: alat melaporkan statusnya, dan untuk putaran atau limit yang tidak ada ia juga membaca hasil bagi semula secara langsung.

Mengapa Aturan L’Hôpital benar?

Aturan ini berasal dari Teorema Nilai Rata-rata Cauchy, perluasan Teorema Nilai Rata-rata untuk dua fungsi.

Gambaran dulu. Ambil f dan g dengan turunan kontinu, f(a)=g(a)=0, dan g'(a)\ne0. Di dekat a keduanya dekat dengan linearisasinya, f(x)=f'(a)(x-a)+\varepsilon_1(x-a) dan g(x)=g'(a)(x-a)+\varepsilon_2(x-a), dengan \varepsilon_1,\varepsilon_2→0 ketika x→ a. Maka (f(x))/(g(x))=(f'(a)+\varepsilon_1)/(g'(a)+\varepsilon_2)→(f'(a))/(g'(a))=\lim_x→ a(f'(x))/(g'(x)). Hasil bagi dua fungsi yang lenyap di a adalah hasil bagi gradiennya di sana. Bukti di bawah tidak memerlukan g'(a)\ne0 maupun turunan kontinu.

Teorema Nilai Rata-rata Cauchy. Misalkan f dan g kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b), dan g'(x)\ne0 di seluruh (a,b). Maka ada bilangan c di (a,b) dengan (f'(c))/(g'(c))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)). Ketika g(x)=x ini adalah Teorema Nilai Rata-rata.

Bukti. Pertama, g(a)\ne g(b): jika tidak, Teorema Nilai Rata-rata akan memberi g'(c)=(g(b)-g(a))/(b-a)=0 untuk suatu c, yang dikecualikan. Lalu terapkan Teorema Nilai Rata-rata pada F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) \big(g(x)-g(a)\big). F kontinu pada [a,b] dan terdiferensialkan pada (a,b), dan F(a)=F(b)=0. Menurut Teorema Rolle ada c dengan F'(c)=0, yaitu f'(c)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) g'(c)=0, yang disusun ulang menjadi pernyataan itu. ∎ Secara geometri, kurva (g(t),f(t)) memiliki garis singgung yang sejajar dengan tali busur melalui ujungnya, dan gradien garis singgung itu adalah (f')/(g'). Gambarlah kurva di bawah dan lihat garis singgungnya.

Bukti Aturan l'Hôpital (kasus x→ a^+, bentuk \frac00). Karena f(x)→0 dan g(x)→0 dan keduanya terdiferensialkan di a, keduanya kontinu di sana dan f(a)=g(a)=0. Untuk x di kanan a terapkan teorema Cauchy pada [a,x]: ada c di antara a dan x dengan (f'(c))/(g'(c))=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a))=(f(x))/(g(x)). Ketika x→ a^+, c terjepit di antara a dan x, sehingga c→ a^+, dan karena itu \lim_x→ a^+(f(x))/(g(x))=\lim_c→ a^+(f'(c))/(g'(c))=\lim_x→ a^+(f'(x))/(g'(x)). Kasus x→ a^- sama pada [x,a], dan keduanya bersama memberi aturan dua sisi. ∎

Bagaimana menghitung limit ini dalam kode?

Dalam kode, sp.limit(expr, x, a, '+') dari SymPy mencari limit secara eksak, dan beberapa baris sp.diff mereproduksi aturan putaran demi putaran. Tanpa CAS, tabel hasil bagi pada jarak yang mengecil menunjukkan limitnya, dan tabel (f')/(g') di sebelahnya menuju bilangan yang sama, yang merupakan isi aturan. Evaluasi numerik di dekat suatu titik punya jebakan yang tidak dimiliki aturan: untuk (1+h)^1/h komputer membulatkan 1+h menjadi 1 begitu h di bawah sekitar 10^-16 dan mengembalikan 1, bukan e, sehingga tabel harus berhenti pada h sedang.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')


def lhopital(f, g, a, direction='+-', rounds=6):
    """Apply l'Hopital's Rule while the quotient is 0/0 or oo/oo; return the quotient at each round and the limit."""
    steps = []
    for _ in range(rounds):
        lf, lg = sp.limit(f, x, a, direction), sp.limit(g, x, a, direction)
        indeterminate = (lf == 0 and lg == 0) or (lf in (sp.oo, -sp.oo) and lg in (sp.oo, -sp.oo))
        steps.append((sp.simplify(f / g), 'rule' if indeterminate else 'stop'))
        if not indeterminate:
            break
        f, g = sp.diff(f, x), sp.diff(g, x)
    return steps, sp.limit(f / g, x, a, direction)


examples = (
    (3 * x - sp.sin(x), x, 0),                                        # Example 1a
    (x - sp.sin(x), x**3, 0),                                         # Example 1d: three rounds
    (1 - sp.cos(x), x + x**2, 0),                                     # Example 2: one round, then stop
    (sp.exp(x), x**2, sp.oo),                                         # Example 4c
    (sp.sin(x) - x, x * sp.sin(x), 0),                                # Example 6: 1/x - 1/sin x as one fraction
)
for f, g, a in examples:
    print(f, '/', g, 'at', a, '->', lhopital(f, g, a))
print(sp.limit((1 + x) ** (1 / x), x, 0, '+'), sp.limit(x ** (1 / x), x, sp.oo), sp.limit(x ** x, x, 0, '+'))
# 3*x - sin(x) / x at 0 -> ([(3 - sin(x)/x, 'rule'), (3 - cos(x), 'stop')], 2)
# x - sin(x) / x**3 at 0 -> ([((x - sin(x))/x**3, 'rule'), ((1 - cos(x))/(3*x**2), 'rule'), (sin(x)/(6*x), 'rule'), (cos(x)/6, 'stop')], 1/6)
# 1 - cos(x) / x**2 + x at 0 -> ([((1 - cos(x))/(x*(x + 1)), 'rule'), (sin(x)/(2*x + 1), 'stop')], 0)
# exp(x) / x**2 at oo -> ([(exp(x)/x**2, 'rule'), (exp(x)/(2*x), 'rule'), (exp(x)/2, 'stop')], oo)
# -x + sin(x) / x*sin(x) at 0 -> ([((-x/sin(x) + 1)/x, 'rule'), ((cos(x) - 1)/(x*cos(x) + sin(x)), 'rule'), (sin(x)/(x*sin(x) - 2*cos(x)), 'stop')], 0)
# E 1 1

// the quotient f/g at shrinking distances from a: f/g and f'/g' (and the rounds after it) tend to the same number
const near = (f, g, a, hs = [0.1, 0.01, 0.001]) => hs.map((h) => +(f(a + h) / g(a + h)).toFixed(5))
const f = (x) => x - Math.sin(x)
const g = (x) => x ** 3                                              // Example 1d, whose limit is 1/6
near(f, g, 0)                                                        // [0.16658, 0.16667, 0.16667]   f/g
near((x) => 1 - Math.cos(x), (x) => 3 * x * x, 0)                    // [0.16653, 0.16667, 0.16667]   f'/g'
near((x) => Math.sin(x), (x) => 6 * x, 0)                            // [0.16639, 0.16666, 0.16667]   f''/g''
near((x) => Math.cos(x), () => 6, 0)                                 // [0.16583, 0.16666, 0.16667]   f'''/g''': no longer 0/0
// a power limit, and the trap of rounding: (1 + h)^(1/h) tends to e, until 1 + h is rounded to 1
;[1e-2, 1e-4, 1e-6].map((h) => (1 + h) ** (1 / h))                    // [2.7048138294215285, 2.7181459268249255, 2.7182804690957534]
;(1 + 1e-17) ** (1 / 1e-17)                                           // 1: 1 + 1e-17 is 1 in floating point
;[1e-2, 1e-4, 1e-8].map((h) => h * Math.log(h))                       // [-0.046, -0.00092, -1.84e-7]: x ln x -> 0

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
  double hs[3];
  hs[0] = 0.1; hs[1] = 0.01; hs[2] = 0.001;
  for (int i = 0; i < 3; i++) {                          // Example 1d: (x - sin x) / x^3, limit 1/6
    double h = hs[i];
    double q0 = (h - sin(h)) / (h * h * h);              // f / g
    double q1 = (1 - cos(h)) / (3 * h * h);              // f' / g'
    double q2 = sin(h) / (6 * h);                        // f'' / g''
    double q3 = cos(h) / 6;                              // f''' / g''', no longer 0/0
    printf("h=%.3f %.5f %.5f %.5f %.5f\n", h, q0, q1, q2, q3);
  }
  printf("%.5f\n", 1.0 / 6);
  printf("%.5f %.5f\n", pow(1.01, 100.0), pow(1.0001, 10000.0));    // (1 + h)^(1/h) tends to e = 2.71828
  return 0;
}

/* output:
h=0.100 0.16658 0.16653 0.16639 0.16583
h=0.010 0.16667 0.16667 0.16666 0.16666
h=0.001 0.16667 0.16667 0.16667 0.16667
0.16667
2.70481 2.71815
*/

Siapa yang menemukan Aturan L’Hôpital?

Aturan ini memakai nama orang yang menerbitkannya, bukan orang yang menemukannya.

• Johann Bernoulli, 1691–92. Matematikawan Swiss Johann Bernoulli, murid muda kalkulus baru Leibniz, mengajarkannya di Paris kepada bangsawan Prancis Guillaume de l'Hôpital, dan dalam pelajarannya ia memberi cara mencari nilai pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama-sama lenyap.
• l'Hôpital, 1696. Dalam Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, buku teks pertama kalkulus diferensial, l'Hôpital mencetak aturan itu, dengan menyatakan bahwa ia berutang banyak kepada Bernoulli dan Leibniz. Berdasarkan perjanjian l'Hôpital membayar Bernoulli untuk penemuannya dan bebas memakainya.
• Sebuah naskah, 1921. Catatan kuliah Bernoulli sendiri tentang kalkulus diferensial ditemukan pada tahun 1920-an, dan menunjukkan bahwa aturan itu, dan banyak hal lain dalam buku teks tersebut, milik Bernoulli. Namanya tetap.
• Cauchy, 1823. Augustin-Louis Cauchy memberi pernyataan umum dan bukti lewat teorema nilai rata-rata untuk dua fungsi, yang memakai namanya. Aturan asli menangani hasil bagi dua ungkapan yang lenyap di suatu titik; pemakaian berulang, limit satu sisi, dan bentuk \frac∞∞ diselesaikan pada abad ke-19.
• Sekarang. Aturan ini adalah alat pertama untuk limit tak tentu dan cara limit seperti \frac\sin xx dan (\ln x)/(x) diajarkan; sistem aljabar komputer menghitungnya dengan deret, yang lebih cepat.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada Aturan L’Hôpital?

Kesalahan paling umum pada bentuk tak tentu dan Aturan L'Hôpital adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: Aturan L’Hôpital sekilas

• Bentuk tak tentu: \frac00, \frac∞∞, 0·∞, ∞-∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 menggambarkan limit yang tidak ditentukan oleh bagian-bagiannya.
• Aturan: \frac00 atau \frac∞∞ di a memberi \lim\frac fg=\lim(f')/(g') jika ruas kanan ada atau ±∞; juga untuk limit satu sisi dan a=±∞.
• Cara: turunkan f dan g secara terpisah, ulangi selama bentuknya tetap tak tentu, berhenti pada hasil bagi pertama yang bukan.
• Bentuk lain: hasil kali dan selisih menjadi hasil bagi dengan aljabar; pangkat dengan \ln, lalu e^L.
• Pertumbuhan: \ln x≪ x^p≪ e^x ketika x→∞.
• Ketika gagal: hasil bagi yang sudah tentu, putaran (√(9x+1)/(√ x+1)), atau (f')/(g') tanpa limit ((x+\sin x)/x).
• Bukti: Teorema Nilai Rata-rata Cauchy, (f'(c))/(g'(c))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)), lalu jepit c di antara a dan x.
• Berikutnya: optimisasi terapan, metode selang tertutup yang dipakai pada masalah nyata.
• Kode: sp.limit(expr, x, a, '+'), sp.diff untuk putarannya, dan tabel pada jarak sedang.

Glosarium: istilah penting

Bentuk tak tentu

Label untuk limit, seperti nol per nol, yang nilainya tidak ditentukan oleh limit bagian-bagiannya dan dapat bernilai bilangan apa pun atau tak hingga.

Aturan L’Hôpital

Aturan bahwa limit hasil bagi berbentuk nol per nol atau tak hingga per tak hingga sama dengan limit hasil bagi turunannya, jika limit itu ada.

Teorema Nilai Rata-rata Cauchy

Teorema Nilai Rata-rata untuk dua fungsi: untuk suatu titik c, hasil bagi turunan sama dengan hasil bagi perubahan fungsi pada selang.

Pangkat tak tentu

Limit berbentuk satu pangkat tak hingga, nol pangkat nol, atau tak hingga pangkat nol, yang dicari dengan mengambil logaritma fungsi dan mengeksponensialkan limitnya.

Limit satu sisi

Limit ketika x mendekati a hanya dari kanan atau hanya dari kiri; limit dua sisi ada hanya jika keduanya sama.

Laju tumbuh

Seberapa cepat fungsi tumbuh ketika x menuju tak hingga; logaritma tumbuh lebih lambat daripada pangkat mana pun, dan eksponensial lebih cepat daripada pangkat mana pun.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 4.5: Indeterminate Forms and L'Hôpital's Rule. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 4.4: Indeterminate Forms and l'Hospital's Rule. Cengage Learning.
3. Guillaume de l'Hôpital (1696). Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes. Paris.
4. Augustin-Louis Cauchy (1823). Résumé des leçons données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris.

Artikel terkait

• Teorema Nilai Rata-rata: Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Rolle: pernyataan, bukti, cara mencari c, kecepatan dan laju, serta akibatnya tentang fungsi konstan, dengan contoh dan kode.
• Fungsi Monoton dan Uji Turunan Pertama: Fungsi monoton dan Uji Turunan Pertama: di mana fungsi naik dan turun dari tanda f′, ekstrem lokal, bagan tanda, dan pertidaksamaan, dengan contoh dan kode.
• Kecekungan dan Penggambaran Kurva: Kecekungan dan penggambaran kurva: turunan kedua, titik belok, Uji Turunan Kedua, dan tujuh langkah menggambar grafik, dengan contoh dan kode.
• Turunan Fungsi Invers dan Logaritma: Turunan fungsi invers dan logaritma: aturan untuk invers, d/dx ln x = 1/x, a^x, logaritma basis a, diferensiasi logaritmik, dan bilangan e.