Optimisasi Terapan

Bagaimana menyelesaikan soal optimisasi terapan?

Soal optimisasi meminta nilai terbaik dari sesuatu: persegi panjang dengan keliling tetap yang luasnya terbesar, kaleng termurah untuk volume tertentu, produksi dengan laba terbesar. Nilai terbaik adalah nilai terbesar atau terkecil suatu fungsi, dan metode selang tertutup sudah menunjukkan cara mencarinya. Yang baru adalah fungsinya tidak diberikan: kamu harus membangunnya dari uraian dengan kata-kata.

Empat langkah. 1. Baca soal sampai kamu tahu apa yang diketahui dan besaran mana yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan. 2. Perkenalkan peubah. Beri nama setiap besaran yang relevan, tulis setiap hubungan di antaranya sebagai persamaan, dan gambarlah bila bisa. 3. Tulis fungsinya. Pakai hubungan itu untuk menyatakan besaran yang dicari sebagai fungsi satu peubah, dan tentukan untuk nilai peubah mana keadaannya masuk akal. Inilah langkah yang paling panjang. 4. Uji titik kritis dan ujung domain itu, dengan apa pun yang kamu ketahui tentang bentuk grafiknya, dan pakai f' dan f'' untuk menggolongkan titik kritisnya.

Contoh. Kamu punya kawat 800 m untuk memagari tanah persegi panjang yang berbatasan dengan sungai, sehingga hanya tiga sisi yang perlu pagar. Berapa luas terbesar? Besaran yang dicari adalah luas A. Sebut dua sisi yang tegak lurus sungai x dan sisi yang sejajar sungai y; kawat memberi 2x+y=800, sehingga y=800-2x dan A(x)=x(800-2x), 0\le x\le400, karena tidak ada sisi yang boleh negatif. Maka A'(x)=800-4x nol di x=200, dan nilainya A(0)=0, A(200)=80000, dan A(400)=0. Luas terbesar 80000 m², dengan sisi 200 m dan y=400 m: sisi di sepanjang sungai dua kali masing-masing sisi lainnya, bukan sama dengannya.

Bagaimana mengoptimalkan kotak, kaleng, dan bangun dalam?

Soal geometri adalah tempat terbaik melatih langkah 3, karena kendala seperti volume atau keliling tetap harus dipakai untuk menghilangkan satu peubah.

Contoh 1: kotak terbuka. Kotak tanpa tutup dibuat dari lembaran timah 12 cm kali 12 cm dengan memotong persegi bersisi x dari setiap sudut lalu melipat sisinya. Kotak itu beralas (12-2x)×(12-2x) dan tinggi x, sehingga V(x)=x(12-2x)^2=144x-48x^2+4x^3. Lembaran hanya selebar 12 cm, sehingga 0\le x\le6. Maka V'(x)=144-96x+12x^2=12(x-2)(x-6), yang nol di x=2 dan x=6; yang kedua adalah ujung, dan V(0)=V(6)=0. Satu-satunya titik kritis di dalam memberi V(2)=128, sehingga volume terbesar 128 cm³ dengan persegi bersisi 2 cm (kotak 8 kali 8 kali 2). Widget di artikel nilai ekstrem memungkinkan kamu mengubah ukuran lembarannya.

Contoh 2: kaleng satu liter. Kaleng tertutup berbentuk tabung harus memuat 1000 cm³. Logam yang terpakai adalah luas permukaan A=2π r^2+2π rh, dan volumenya memberi π r^2h=1000, sehingga h=(1000)/(π r^2) dan A(r)=2π r^2+(2000)/(r), r>0. Domainnya tidak punya ujung, jadi lihat turunannya: A'(r)=4π r-(2000)/(r^2)=0 memberi r^3=(500)/(π), yaitu r=(500)/(π)^(1/3)≈5,42 cm. Karena A''(r)=4π+(4000)/(r^3)>0 untuk setiap r>0, grafiknya cekung ke atas di mana-mana dan titik kritis ini adalah minimum mutlak. Maka h=(1000)/(π r^2)=2r≈10,84 cm. Untuk volume mana pun kaleng tertutup terbaik memiliki h=2r: setinggi lebarnya. Kaleng nyata berbeda karena sambungan, tutup yang lebih tebal, dan rak tempat ia berdiri, yang tidak ada dalam model. Tanpa tutup, biaya bagian ujung separuhnya dan kaleng terbaik memiliki h=r; jika tutup dan alas dipotong dari persegi bersisi 2r dan sisa potongan dihitung, logamnya 8r^2+2π rh dan perbandingan terbaiknya \frac hr=\frac8π≈2,55.

Contoh 3: persegi panjang dalam setengah lingkaran. Sebuah persegi panjang dibuat di dalam setengah lingkaran berjari-jari 2, dengan satu sisinya pada diameter. Letakkan pusat di titik asal dan misalkan sudut kanan atasnya \left(x,√(4-x^2)\right). Persegi panjang itu berpanjang 2x, tinggi √(4-x^2), dan luas A(x)=2x√(4-x^2), 0\le x\le2. Maka A'(x)=2√(4-x^2)-(2x^2)/(√(4-x^2))=(8-4x^2)/(√(4-x^2)), nol di x=√2 dan tidak terdefinisi di ujung x=2. Dengan A(0)=A(2)=0 dan A(√2)=4, luas terbesarnya 4, untuk persegi panjang sepanjang 2√2 dan setinggi √2. Untuk setengah lingkaran berjari-jari R langkah yang sama memberi x=(R)/(√2) dan luas R^2: sudutnya berada di 45^\circ. Trik yang berguna: A terbesar di tempat A^2=4x^2(4-x^2) terbesar, yang tidak punya akar untuk diturunkan.

Pilih satu soal di bawah. Widget ini menunjukkan empat langkah yang sama untuk lima belas soal dari buku: arti x, hubungannya, domain, grafik, tabel titik kritis dan ujung dengan yang terbaik ditandai, dan jawaban dalam kata-kata soal.

Kaleng layak dilihat tersendiri, karena jawabannya tidak bergantung pada volume. Ubah volume, jenis kaleng, dan jari-jarinya di bawah: jari-jari terbaik berubah menurut V, tetapi perbandingan \frac hr tidak.

Mengapa cahaya mengikuti hukum Snell?

Prinsip Fermat menyatakan bahwa cahaya menempuh jalur dari satu titik ke titik lain dengan waktu paling singkat, dan darinya hukum pembiasan mengikuti sebagai soal kalkulus. Dalam medium yang seragam jalur tercepat adalah yang terpendek, yaitu garis lurus. Ketika jalur berpindah dari medium tempat cahaya berkecepatan c_1 ke medium berkecepatan c_2, ia membelok, dan kalkulus menunjukkan tepat seberapa banyak.

Contoh 4: pembiasan. Misalkan batas kedua medium adalah sumbu-x, letakkan A=(0,a) di medium pertama dan B=(d,-b) di medium kedua, dan misalkan sinar memotong di P=(x,0) untuk suatu x di [0,d]. Jarak adalah laju kali waktu, sehingga waktunya adalah jarak dibagi kecepatan pada tiap bagian: t(x)=(√(a^2+x^2))/(c_1)+(√(b^2+(d-x)^2))/(c_2), 0\le x\le d. Turunannya t'(x)=(x)/(c_1√(a^2+x^2))-(d-x)/(c_2√(b^2+(d-x)^2))=(\sinθ_1)/(c_1)-(\sinθ_2)/(c_2), dengan θ_1 dan θ_2 sudut yang dibentuk kedua bagian dengan garis normal batas. Ini kontinu, negatif di x=0 dan positif di x=d, dan naik karena t''(x)=(a^2)/(c_1\left(a^2+x^2\right)^3/2)+(b^2)/(c_2\left(b^2+(d-x)^2\right)^3/2)>0. Jadi t' memiliki tepat satu nol, Teorema Nilai Antara menemukannya, dan itulah minimum mutlak t. Di titik itu (\sinθ_1)/(c_1)=(\sinθ_2)/(c_2), yaitu hukum Snell, hukum pembiasan. Sinar membelok mendekati normal di medium yang lebih lambat.

Cermin. Jika sinar memantul pada cermin datar dan B ada di sisi yang sama, kecepatan sama pada kedua bagian, c_1=c_2, dan t'=0 berarti \sinθ_1=\sinθ_2: sudut datang sama dengan sudut pantul. Persamaan yang sama menggambarkan penjaga pantai yang berlari di pasir dan berenang di air, atau Jane yang mendayung dan berjalan di galeri di atas.

Ubah kedua medium, posisi, dan titik potongnya di bawah. Jalur oranye adalah jalurmu dan yang hijau adalah yang tercepat.

Bagaimana soal biaya, laba, dan persediaan bekerja?

Dalam ekonomi, tingkat produksi terbaik biasanya ada di tempat pendapatan marjinal sama dengan biaya marjinal. Misalkan r(x) pendapatan dari penjualan x barang, c(x) biaya produksinya, dan p(x)=r(x)-c(x) laba. Banyak barang adalah bilangan bulat, tetapi kita paling banyak belajar dengan memperlakukan x sebagai bilangan real dan fungsinya terdiferensialkan. Turunan r', c', dan p' adalah pendapatan marjinal, biaya marjinal, dan laba marjinal (lihat analisis marjinal). Jika laba memiliki maksimum di suatu titik kritis, maka p'(x)=r'(x)-c'(x)=0,\qquadjadi r'(x)=c'(x). Pada tingkat produksi yang memaksimumkan laba, pendapatan marjinal sama dengan biaya marjinal.

Contoh 5: pemutar MP3. Misalkan r(x)=9x dan c(x)=x^3-6x^2+15x adalah pendapatan dan biaya dalam miliaran rupiah, dengan x dalam jutaan pemutar. Maka r'(x)=9 dan c'(x)=3x^2-12x+15, dan c'(x)=r'(x) memberi 3x^2-12x+6=0, yaitu x^2-4x+2=0 dan x=2±√2, sekitar 0,586 dan 3,414. Turunan kedua laba adalah p''(x)=-c''(x)=-(6x-12), yang negatif di x=2+√2 dan positif di x=2-√2. Jadi laba maksimum terjadi di x≈3,414 juta pemutar, dengan p=4+4√2≈9,66 miliar rupiah, dan rugi terbesar di x≈0,586 juta. Perusahaan impas di tempat r=c, yaitu x=3±√3, sehingga laba maksimum ada di antara titik impas. Jika harga turun di bawah 3, persamaannya tidak punya penyelesaian, karena biaya marjinal tidak pernah di bawah 3: setiap pemutar tambahan lebih mahal daripada hasilnya, dan rencana terbaik adalah tidak membuat apa pun.

Contoh 6: seberapa sering mengirim. Seorang pembuat lemari memakai 5 satuan kayu ceri sehari. Setiap pengiriman berbiaya 5000 ribu rupiah, dan menyimpan satu satuan berbiaya 10 ribu rupiah sehari. Jika pengiriman datang tiap x hari ia harus memesan 5x satuan, dan jumlah rata-rata di gudang sekitar (5x)/(2) satuan, disimpan selama x hari. Biaya satu siklus 5000+(5x)/(2)·10· x, dan biaya harian rata-ratanya adalah itu dibagi x: c(x)=(5000)/(x)+25x, x>0. Maka c'(x)=-(5000)/(x^2)+25=0 memberi x^2=200, x=10√2≈14,14 hari (akar negatif di luar domain), dan c''(x)=(10000)/(x^3)>0 di seluruh domain, sehingga ini minimum mutlak: c≈707,11 ribu rupiah sehari, untuk pesanan sekitar 70 satuan. Hari bulat lebih baik untuk jadwal: 14 hari berbiaya 707,14 dan 15 hari berbiaya 708,33.

Aturan umumnya. Dengan biaya K per pengiriman, d satuan terpakai sehari, dan biaya simpan h per satuan per hari, c(x)=\frac Kx+(hd)/(2)x mencapai minimum di x=√((2K)/(hd)), dan di sana kedua sukunya sama, \frac Kx=(hd)/(2)x: biaya pengiriman per hari sama dengan biaya penyimpanan per hari. Dalam manajemen persediaan hasil yang sama adalah rumus ukuran lot Wilson: untuk biaya mingguan rata-rata A(q)=(km)/(q)+cm+(hq)/(2) untuk memesan, membayar, dan menyimpan q barang, pesanan terbaik adalah q=√((2km)/(h)).

Geser harga dan tingkat produksi di widget pertama dan biayanya di widget kedua.

Bagaimana jika domainnya terbuka, atau tidak punya ujung untuk diuji?

Ketika domainnya terbuka, seperti r>0, tidak ada ujung untuk dibandingkan, sehingga kamu menunjukkan bahwa titik kritis adalah ekstrem mutlak lewat bentuk fungsinya. Empat alat melakukannya, dari yang paling kuat hingga yang paling lazim.

1. Tanda f'' di seluruh domain. Jika f''>0 di mana-mana, grafiknya cekung ke atas, titik kritis adalah minimum dan ia adalah minimum mutlak. Inilah yang menyelesaikan kaleng dan siklus pengiriman.
2. Tanda f'. Jika f'<0 di kiri satu-satunya titik kritis dan f'>0 di kanannya, fungsi turun lalu naik, yaitu Uji Turunan Pertama, dan titik itu adalah minimum mutlak.
3. Limit di ujung terbuka. Jika f membesar tanpa batas di kedua ujung, tidak ada ujung yang dapat mengalahkan nilai kritis, sehingga nilai kritis terendah adalah minimum mutlak. Jika f hanya mendatar menuju suatu nilai, bandingkan nilai kritis dengan limit itu: fungsi dapat mendekati nilai yang tidak pernah dicapainya, dan ekstremnya lalu tidak ada.
4. Satu titik kritis. Fungsi kontinu pada suatu selang yang hanya memiliki satu titik kritis tidak dapat berbalik di tempat lain, sehingga minimum lokal di sana adalah minimum mutlak pada selang itu.

Contoh 7: poster. Sebuah poster memerlukan cetakan seluas 312,5 cm², dengan margin 10 cm di atas dan bawah serta 5 cm di tiap sisi. Jika cetakan selebar x maka tingginya \frac312,5x, dan kertasnya x+10 kali \frac312,5x+20: P(x)=(x+10)\left(\frac312,5x+20\right)=20x+(3125)/(x)+512,5, x>0. Maka P'(x)=20-(3125)/(x^2)=0 memberi x=12,5, dan P''(x)=(6250)/(x^3)>0, sehingga ini minimum mutlak: cetakan 12,5 kali 25, kertas 22,5 kali 45 cm, memakai kertas 1012,5 cm². Ketika x→0^+ dan ketika x→∞ luasnya P→∞, sehingga tidak ada poster terbesar, dan menanyakannya tidak akan punya jawaban.

Bilangan bulat. Jika x menghitung orang atau hari, optimum real hanyalah penunjuk. Bilangan bulat terbaik adalah salah satu dari dua di kedua sisinya, dan kamu membandingkan nilainya, seperti 14 dan 15 hari di atas. Sebuah tur dengan x peserta dengan tarif 300-2x ribu rupiah, biaya tetap 6000 dan 32 per orang, berlaba p(x)=268x-2x^2-6000 pada 50\le x\le80, dengan p'(x)=268-4x=0 di x=67, yang kebetulan bilangan bulat: 67 peserta, tarif 166, dan laba 2978. Widget di atas memuat soal ini.

Periksa jawabannya. Apakah jatuh di dalam domain? Apakah maksimum atau minimum, sesuai yang diminta soal? Apakah satuannya konsisten? Apakah menjawab yang ditanyakan, seperti ukuran atau bahan paling sedikit, dan bukan hanya nilai x?

Bagaimana mengoptimalkan dengan kode?

Dalam kode, SymPy mengikuti empat langkah itu persis: turunkan, selesaikan f'=0, simpan akar yang ada di dalam domain, dan bandingkan dengan nilai atau limit di tiap ujung. Tanpa CAS, pencarian tanpa turunan menemukan minimum fungsi yang turun lalu naik (fungsi unimodal): pencarian golden-section memperkecil selang di sekitar minimum dengan rasio yang sama setiap kali, dan bisection pada tanda f' melakukan hal yang sama dengan turunannya. Pencarian yang hanya memakai nilai f dapat menempatkan minimum hingga sekitar akar kuadrat ketelitian mesin, kira-kira 10^-8, karena f datar di sana; turunannya memberi jawaban yang lebih baik.

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)


def optimize(f, a, b, want='min'):
    """Best value of f on (a, b): the critical points inside, plus the value or limit at each end."""
    rows = [(s, sp.simplify(f.subs(x, s))) for s in sp.solve(sp.diff(f, x), x) if s.is_real and a < s < b]
    rows += [(end, sp.limit(f, x, end)) for end in (a, b)]
    pick = min if want == 'min' else max
    return pick(rows, key=lambda row: float(row[1])), rows


problems = (
    ('box', x * (12 - 2 * x) ** 2, 0, 6, 'max'),                                    # Example 1
    ('can', 2 * sp.pi * x ** 2 + 2000 / x, 0, sp.oo, 'min'),                         # Example 2
    ('poster', 20 * x + 3125 / x + sp.Rational(1025, 2), 0, sp.oo, 'min'),          # Example 7
    ('beam over a wall', (x + 5) * sp.sqrt(1 + 4 / x ** 2), 0, sp.oo, 'min'),       # a 2 m wall, 5 m from a building
)
for name, f, a, b, want in problems:
    (xb, fb), _ = optimize(f, a, b, want)
    print(name, xb, '->', sp.simplify(fb), '=', round(float(fb), 4))
# box 2 -> 128 = 128.0
# can 5*2**(2/3)/pi**(1/3) -> 300*2**(1/3)*pi**(1/3) = 553.581
# poster 25/2 -> 2025/2 = 1012.5
# beam over a wall 20**(1/3) -> sqrt(5)*(20**(1/3) + 5)**(3/2)/5 = 9.5823

// golden-section search: the smallest value of a function that falls and then rises on [a, b]
const golden = (f, a, b, tol = 1e-9) => {
  const g = (Math.sqrt(5) - 1) / 2
  let c = b - g * (b - a)
  let d = a + g * (b - a)
  while (b - a > tol) {
    if (f(c) < f(d)) b = d
    else a = c
    c = b - g * (b - a)
    d = a + g * (b - a)
  }
  return (a + b) / 2
}
const can = (r) => 2 * Math.PI * r * r + 2000 / r             // the one-liter can of Example 2
const r = golden(can, 0.1, 50)
;[r, 1000 / (Math.PI * r * r), can(r)].map((v) => +v.toFixed(4))     // [5.4193, 10.8385, 553.581]
const beam = (x) => (x + 5) * Math.sqrt(1 + 4 / (x * x))      // the shortest beam over a wall
const xb = golden(beam, 0.1, 50)
;[xb, beam(xb)].map((v) => +v.toFixed(4))                            // [2.7144, 9.5823]
// the same radius from the derivative: bisect on the sign of A'(r) = 4 pi r - 2000 / r^2
let lo = 0.1
let hi = 50
for (let i = 0; i < 60; i++) {
  const mid = (lo + hi) / 2
  if (4 * Math.PI * mid - 2000 / (mid * mid) < 0) lo = mid
  else hi = mid
}
+lo.toFixed(6)                                                       // 5.419261

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

double area(double r) {
  return 2 * 3.14159265358979 * r * r + 2000 / r;        // metal for a one-liter can
}

int main() {
  double lo = 0.1;
  double hi = 50;
  for (int i = 0; i < 100; i++) {                        // ternary search: the area falls and then rises
    double m1 = lo + (hi - lo) / 3;
    double m2 = hi - (hi - lo) / 3;
    if (area(m1) < area(m2)) hi = m2;
    else lo = m1;
  }
  double r = (lo + hi) / 2;
  double h = 1000 / (3.14159265358979 * r * r);
  printf("r=%.4f h=%.4f A=%.4f\n", r, h, area(r));
  printf("h/r=%.4f\n", h / r);                         // the best closed can is as tall as it is wide
  return 0;
}

/* output:
r=5.4193 h=10.8385 A=553.5810
h/r=2.0000
*/

Dari mana optimisasi berasal?

Soal optimisasi tertua bersifat geometri, dan cara kalkulus menyelesaikannya baru berumur sekitar empat abad.

• Soal Dido, zaman kuno. Legenda dalam Aeneid karya Virgil mengatakan bahwa Ratu Dido diizinkan memiliki tanah seluas yang dapat dikelilingi sehelai kulit sapi, dan ia memotong kulit itu menjadi tali tipis: bagaimana panjang tertentu harus mengelilingi luas terbesar? Jawabannya, lingkaran, termasuk soal optimisasi paling awal.
• Johannes Kepler, 1615. Kepler mempelajari volume tong anggur dan memperhatikan bahwa di dekat volume terbesar perubahan kecil bentuk hampir tidak mengubah volume. Kedataran di puncak itu tepat apa yang dikatakan f'=0.
• Pierre de Fermat, sekitar 1629–1636. Fermat menjelaskan metode untuk maksimum dan minimum: bandingkan f(x) dengan f(x+e), bagi dengan e, lalu jadikan e nol. Tanpa nama itu, ini adalah turunan sama dengan nol.
• Snell dan Fermat, 1621 dan 1662. Willebrord Snell menemukan hukum pembiasan sekitar 1621 tanpa menerbitkannya; Descartes mencetaknya pada 1637. Pada 1662 Fermat menunjukkan bahwa hukum itu mengikuti prinsip bahwa cahaya menempuh jalur dengan waktu paling singkat, salah satu hukum fisika pertama yang dinyatakan sebagai optimisasi.
• Harris dan Wilson, 1913 dan 1934. Ford W. Harris menurunkan jumlah pesanan ekonomis pada 1913, dan R. H. Wilson mempopulerkannya pada 1934, itulah sebabnya hasil persediaan itu disebut rumus ukuran lot Wilson.
• Sekarang. Menyamakan turunan dengan nol, dan versi banyak peubahnya dengan gradien, adalah inti pencocokan garis pada data dan pelatihan model pembelajaran mesin, tempat minimum dicari dengan pencarian yang bergerak menurun.

Kesalahan apa yang sering terjadi pada soal optimisasi?

Kesalahan paling umum pada optimisasi terapan adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: optimisasi terapan sekilas

• Empat langkah: baca; perkenalkan peubah dan hubungan; tulis fungsi tujuan sebagai fungsi satu peubah beserta domainnya; uji titik kritis dan ujung.
• Domain: dari keadaan soal; tertutup berarti bandingkan ujung, terbuka berarti limit di ujung atau tanda f' dan f''.
• Geometri: kaleng tertutup h=2r, kaleng tanpa tutup h=r, lahan di tepi sungai dua kali lebih panjang daripada lebarnya, persegi panjang dalam setengah lingkaran berjari-jari R berluas R^2.
• Cahaya: jalur tercepat memberi (\sinθ_1)/(c_1)=(\sinθ_2)/(c_2); cermin memberi sudut yang sama.
• Ekonomi: r'(x)=c'(x) pada laba maksimum; siklus pengiriman x=√((2K)/(hd)); ukuran lot Wilson q=√((2km)/(h)).
• Bilangan bulat: bandingkan dua bilangan bulat di sekitar optimum.
• Periksa: satuan, domain, maksimum atau minimum, dan besaran yang ditanyakan.
• Kode: SymPy diff, solve, limit, atau pencarian golden-section untuk fungsi yang turun lalu naik.

Glosarium: istilah penting

Fungsi tujuan

Besaran yang akan dibuat terbesar atau terkecil, ditulis sebagai fungsi satu peubah.

Kendala

Hubungan di antara peubah, seperti volume tetap atau panjang kawat tetap, yang dipakai untuk menghilangkan semuanya kecuali satu.

Domain

Nilai peubah yang membuat keadaannya masuk akal, yang boleh tertutup atau terbuka.

Titik kritis

Titik di dalam domain tempat turunannya nol atau tidak ada.

Biaya marjinal

Turunan fungsi biaya, kira-kira biaya membuat satu barang lagi.

Prinsip Fermat

Cahaya bergerak antara dua titik menurut jalur yang memerlukan waktu paling singkat.

Hukum Snell

Hukum pembiasan: sinus sudut dari normal dibagi kecepatan sama di kedua sisi suatu batas.

Ukuran lot Wilson

Jumlah pesanan yang meminimumkan biaya rata-rata memesan dan menyimpan persediaan, akar dari dua kali biaya pesan kali permintaan dibagi biaya simpan.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Joel Hass, Christopher Heil, Maurice D. Weir et al. (2023). Thomas' Calculus: Early Transcendentals in SI Units (15th ed.), Section 4.6: Applied Optimization. Pearson.
2. James Stewart (2015). Calculus (8th ed.), section 4.7: Optimization Problems. Cengage Learning.
3. Pierre de Fermat (1636). Methodus ad disquirendam maximam et minimam. Oeuvres de Fermat, Paris.
4. Ford W. Harris (1913). How Many Parts to Make at Once. Factory, The Magazine of Management.

Artikel terkait

• Nilai Ekstrem Fungsi pada Selang Tertutup: Nilai ekstrem pada selang tertutup: maksimum dan minimum mutlak dan lokal, Teorema Nilai Ekstrem, titik kritis, dan metode selang tertutup, dengan contoh dan kode.
• Kecekungan dan Penggambaran Kurva: Kecekungan dan penggambaran kurva: turunan kedua, titik belok, Uji Turunan Kedua, dan tujuh langkah menggambar grafik, dengan contoh dan kode.
• Fungsi Monoton dan Uji Turunan Pertama: Fungsi monoton dan Uji Turunan Pertama: di mana fungsi naik dan turun dari tanda f′, ekstrem lokal, bagan tanda, dan pertidaksamaan, dengan contoh dan kode.
• Turunan sebagai Laju Perubahan: Turunan sebagai laju perubahan: kecepatan, laju, percepatan dan sentakan, jatuh bebas, biaya dan pendapatan marjinal, kepekaan terhadap perubahan, serta kode.