Kubus: Sisi, Jaring-Jaring, Volume, Diagonal, dan Irisan

Apa itu kubus, dan berapa banyak sisi, rusuk, dan titik sudutnya?

Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi enam persegi yang kongruen, dengan 12 rusuk yang semuanya sama panjang a dan 8 titik sudut, dan tiga persegi bertemu di setiap titik sudut. Ia adalah heksahedron beraturan, dan satu dari lima bangun ruang Platonik: satu-satunya yang sisinya persegi. Sisi yang berhadapan sejajar, setiap sudut antara dua rusuk yang bertemu adalah sudut siku-siku, dan panjang rusuk menentukan segala hal lainnya.

Banyaknya itu memenuhi rumus Euler: V-E+F=8-12+6=2, sama untuk setiap bangun ruang tanpa lubang, baik kubus, limas, maupun bola sepak. Letakkan kubus dalam koordinat dengan satu titik sudut di titik asal dan titik sudut yang berhadapan di (1,1,1), dan kedelapan titik sudutnya tepat delapan tripel 0 dan 1. Sebuah rusuk menghubungkan dua titik sudut yang berbeda dalam satu koordinat, sehingga tiap titik sudut memiliki 3 rusuk, dan (8·3)/(2)=12. Fakta kecil itu, bahwa kubus adalah bilangan biner tiga bit yang digambar dalam ruang, dipakai lagi pada kode di bawah (bilangan biner menjelaskan bit).

Ada berapa jaring-jaring kubus, dan susunan persegi mana yang terlipat menjadi kubus?

Jaring-jaring kubus adalah susunan enam persegi yang bersambung sisi ke sisi dan terlipat menjadi kubus dengan setiap sisi tertutup sekali; ada tepat 11 jaring-jaring yang berbeda. Salinan yang diputar dan dibalik dihitung sebagai jaring-jaring yang sama. Bentuk yang terbuat dari enam persegi disebut heksomino, dan ada 35 di antaranya; hanya 11 yang menjadi jaring-jaring. Mereka terbagi dalam empat keluarga, dinamai menurut banyak persegi pada tiap baris: 1-4-1 (satu baris empat dengan satu persegi di atas dan satu di bawah, dengan 6 cara), 2-3-1 (3 cara), 2-2-2 (tangga, 1 cara), dan 3-3 (1 cara).

Mengapa 24 yang lain bukan jaring-jaring? 12 langsung tersingkir: 8 memuat blok 2×2, yang tak dapat terletak datar pada kubus (sekali mengelilingi sebuah sudut membawamu kembali ke sisi yang berbeda), dan 4 memiliki baris berisi lima atau enam. Dua belas sisanya gagal karena bertumpuk: dua persegi akan mendarat di sisi yang sama, menyisakan satu sisi kosong. Satu baris lurus memperlihatkan caranya: bila dilipat mengelilingi kubus, persegi yang berjarak empat mendarat di sisi yang sama.

Cara menguji susunan mana pun adalah menggelindingkan kubus di atasnya: letakkan kubus di persegi pertama, gelindingkan dari persegi ke persegi, dan catat sisi mana yang menyentuh masing-masing; susunan itu jaring-jaring tepat bila keenam persegi menyentuh enam sisi yang berbeda. Pada jaring-jaring, persegi yang di antaranya tepat satu persegi dalam satu baris adalah sisi yang berhadapan. Jadi bila kamu menomori persegi seperti dadu, sisi berhadapan berjumlah 7, pasangannya jatuh pada tempatnya. Susun sendiri di bawah, atau muat ke-11 jaring-jaring dan tiga jawaban salah yang umum.

Bagaimana mencari luas permukaan dan volume kubus?

Luas permukaan kubus dengan rusuk a adalah 6a^2, enam persegi dengan luas a^2, dan volumenya a^3, banyaknya kubus satuan dalam tumpukan sepanjang a, selebar a, dan setinggi a. Untuk a=3 cm: satu sisi 9 cm², permukaannya 6·9=54 cm², dan volumenya 3^3=27 cm³, karena 3 lapis kubus satuan 3×3 membentuk 27. Kubus juga adalah balok dengan ketiga sisinya sama, jadi V=a· a· a adalah panjang kali lebar kali tinggi.

Perubahan skala. Bila setiap rusuk dikalikan k, panjang dikalikan k, luas dikalikan k^2, dan volume dikalikan k^3. Menggandakan rusuk (k=2) mengalikan luas permukaan dengan 4 dan volume dengan 8; melipattigakannya (k=3) memberi 9 dan 27. Kubus berusuk 2 memiliki volume 8 dan luas permukaan 24, sedangkan kubus satuan memiliki 1 dan 6. Inilah sebabnya hewan besar memerlukan kaki yang tebal: beratnya tumbuh menurut pangkat tiga ukurannya dan kekuatan sebuah kaki hanya menurut kuadratnya.

Satuan. Volume memakai satuan kubik, dan satu desimeter kubik tepat satu liter, jadi bak air berbentuk kubus dengan rusuk 40 cm =4 dm memuat 4^3=64 liter. Kubus berusuk 1 m adalah 1000 dm³: 1000 liter.

Mundur. Bila volume diketahui, ambil akar pangkat tiga: kubus bervolume 216 cm³ memiliki rusuk 216^(1/3)=6 cm. Geser rusuk di bawah dan baca setiap ukuran, termasuk apa yang dilakukan penggandaan.

Bagaimana mencari diagonal ruang kubus, dan sudut apa yang dibentuk diagonal-diagonalnya?

Diagonal sisi kubus berusuk a adalah a√2 dan diagonal ruang, yang menghubungkan titik sudut berhadapan melalui bagian dalam, adalah a√3: teorema Pythagoras yang dipakai dua kali. Sebuah sisi adalah persegi, sehingga diagonalnya sisi miring segitiga siku-siku dengan kedua sisi tegak a: f^2=a^2+a^2=2a^2. Diagonal ruang d adalah sisi miring segitiga siku-siku kedua yang sisi tegaknya diagonal sisi f itu dan rusuk a yang berdiri dari ujungnya: d^2=f^2+a^2=3a^2. Jadi d=a√3≈1,732a; untuk a=5 ia 5√3≈8,66. Batang lurus terpanjang yang muat dalam ruangan berbentuk kubus berusuk 4 m adalah 4√3≈6,93 m, menurut diagonal ruang.

Kubus memiliki 4 diagonal ruang, semuanya sama panjang, dan semuanya melalui pusat, tempat masing-masing terbagi dua. Ambil titik sudut kubus satuan: arah diagonalnya (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1), dan (1,1,-1). Dua di antaranya bertemu dengan sudut yang \cosθ=(|(1,1,1)·(-1,1,1)|)/(3)=\frac13, sehingga θ=\arccos\frac13≈70,53^\circ. Sebuah diagonal ruang dan sisi tempat ia mulai membentuk sudut \arctan(1)/(√2)≈35,26^\circ, karena diagonal naik a pada jarak mendatar a√2. Dari titik sudut mana pun, tujuh titik sudut lainnya berada pada tiga jarak: 3 pada a (menurut rusuk), 3 pada a√2 (melintasi sisi), dan 1 pada a√3 (titik sudut yang berhadapan). Banyak 3,3,1 itu adalah koefisien (1+x)^3.

Bentuk apa yang diperoleh ketika sebuah bidang mengiris kubus?

Sebuah bidang mengiris kubus menjadi segitiga, segiempat, segilima, atau segienam, tak pernah menjadi segi banyak dengan lebih dari enam sisi, karena tiap sisi irisan terletak pada satu sisi kubus dan kubus hanya punya enam. Irisan juga dapat berupa persegi, persegi panjang, belah ketupat, trapesium, atau jajar genjang, dan posisi khusus memberi bentuk yang paling indah:

• bidang yang sejajar sebuah sisi mengiris persegi dengan luas a^2;
• bidang yang sejajar sebuah rusuk, seperti x+y=t, mengiris persegi panjang yang tingginya a dan lebarnya t√2 (persegi bila t=(a)/(√2)), dan melalui dua rusuk yang berhadapan (x+y=a) ia persegi panjang a× a√2 dengan luas a^2√2;
• bidang yang memotong sebuah sudut, seperti x+y+z=t untuk t\le a, mengiris segitiga sama sisi, dan sudut yang dipotongnya adalah limas kecil dengan volume (t^3)/(6) (untuk t=a seperenam kubus, dengan segitiga bersisi a√2 dan luas (√3)/(2)a^2);
• bidang yang sama yang digeser ke tengah, x+y+z=(3a)/(2), tegak lurus pada diagonal ruang dan melalui pusat, mengiris segienam beraturan. Titik sudutnya adalah titik tengah enam rusuk, sisinya (a√2)/(2), dan luasnya 6·(√3)/(4)·\left((a√2)/(2)\right)^2=(3√3)/(4)a^2≈1,299a^2.

Bidang seperti x+2y+3z=t memperlihatkan seluruh urutan saat ia bergerak: segitiga, lalu irisan bersisi empat, lalu segilima, lalu (melalui pusat) jajar genjang, dan turun kembali ke arah sebaliknya. Gerakkan bidang pada widget: bentuk di kanan adalah irisan yang dibentangkan, dengan panjang sisi sebenarnya. Tidak setiap segi banyak muncul: tak ada irisan bersisi tujuh, dan segienam beraturan hanya muncul bila bidang melalui pusat tegak lurus pada diagonal ruang.

Seberapa besar bola di dalam kubus, dan bola yang mengelilinginya?

Bola terbesar di dalam kubus menyentuh keenam sisi, berjari-jari \frac a2, dan mengisi \fracπ6≈52,4\% kubus; bola yang melalui kedelapan titik sudut berjari-jari (a√3)/(2) dan bervolume (π√3)/(2)a^3≈2,72a^3. Bola dalam berdiameter a, sama dengan rusuk, sehingga volumenya \frac43π\left(\frac a2\right)^3=\fracπ6a^3 terhadap a^3 milik kubus. Bola luar berdiameter diagonal ruang a√3, sehingga jari-jarinya (a√3)/(2) dan volumenya \frac43π\left((a√3)/(2)\right)^3=(π√3)/(2)a^3, sedikit lebih dari 2,7 kubus. Bola ketiga, berjari-jari (a)/(√2), tepat menyentuh kedua belas rusuk, di antara keduanya. Jadi ketiga jari-jari berbanding \frac12:(1)/(√2):(√3)/(2), sekitar 0,5:0,707:0,866 kali rusuk.

Apa itu bilangan kubik, dan apa pangkat tiga suatu jumlah?

Bilangan kubik adalah n^3, volume kubus dengan rusuk bilangan bulat n: 1,8,27,64,125,…, dan pangkat tiga suatu jumlah (a+b)^3 memecah kubus berusuk a+b menjadi delapan bagian. Potong kubus seperti itu dengan bidang pada jarak a dari sudut-sudutnya: bagiannya satu kubus a^3, tiga lempeng a^2b, tiga batang ab^2, dan satu kubus kecil b^3, sehingga (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. Untuk a=2 dan b=1: 27=8+12+6+1. Koefisien 1,3,3,1 menghitung bagian-bagiannya, dan kembali sebagai baris segitiga Pascal (lihat menjabarkan kurung).

Dua fakta lagi tentang bilangan kubik. Jumlah n kubik pertama adalah kuadrat sempurna, kuadrat jumlah n bilangan pertama (teorema Nicomachus): 1^3+2^3+…+n^3=\left((n(n+1))/(2)\right)^2, sehingga untuk n=10 ia 55^2=3025. Dan untuk mencari akar pangkat tiga yang bukan bilangan bulat, seperti rusuk kubus bervolume 30, pakai iterasi Newton x_k+1=(2x_k+v/x_k^2)/(3) (lihat metode Newton): untuk 30^(1/3) mulai dari 3 dan ia menetap di 3,1072 dalam beberapa langkah.

Mengapa kubus tak dapat digandakan dengan jangka dan penggaris?

Untuk menggandakan volume kubus kamu harus mengalikan rusuknya dengan 2^(1/3)≈1,259921, dan jangka serta penggaris tak dapat mengonstruksi panjang itu dari panjang satuan; ini dibuktikan oleh Pierre Wantzel pada 1837. Volume menjadi dua kali ketika k^3=2, jadi k=2^(1/3). Jangka dan penggaris hanya dapat menghasilkan panjang yang berasal dari bilangan bulat dengan menjumlah, mengurang, mengali, membagi, dan menarik akar kuadrat, dan tiap langkah demikian paling banyak menggandakan derajat persamaan yang dipenuhi bilangan itu, sehingga derajatnya selalu pangkat dari 2. Tetapi 2^(1/3) adalah akar x^3-2=0, persamaan berderajat 3 yang tak dapat dipecah menjadi yang lebih kecil, dan 3 bukan pangkat dari 2. Jadi panjang itu tak dapat dikonstruksi, sepandai apa pun gambarnya.

Legenda mengatakan penduduk Delos diberi tahu oleh ramalan untuk menggandakan altar Apollo, sebuah kubus, agar wabah berhenti; masalahnya disebut masalah Delos. Ahli geometri Yunani menyelesaikannya dengan alat lain (kurva, penggaris bertanda), dan bilangannya dapat ditemukan seteliti yang kamu mau dengan aritmetika: iterasi Newton dari 1 memberi 1, \frac43=1,3333, (91)/(72)=1,2639, 1,259933, 1,2599210500: setelah empat langkah pangkat tiga jawabannya 2 sampai sembilan digit.

Bagaimana bekerja dengan kubus dalam program?

Program memperlakukan kubus sebagai bilangan 0 sampai 7 yang dibaca sebagai tiga bit: bit-bit itu adalah koordinat sebuah titik sudut, sebuah rusuk menghubungkan dua bilangan yang berbeda satu bit, dan jarak antar titik sudut dihitung dari bit yang berbeda. Untuk koordinat 0/1 banyaknya bit yang berbeda tepat sama dengan jarak kuadrat, sehingga dari satu titik sudut ada 3 titik sudut pada jarak kuadrat 1, 3 pada 2, dan 1 pada 3. Berjalan menyusuri rusuk melalui kedelapan titik sudut adalah kode Gray i⊕(i≫1), tempat bilangan berurutan berbeda satu bit: 0,1,3,2,6,7,5,4. Program di bawah mencetak, untuk kubus berusuk 3, luas permukaan, volume, dan kedua diagonal, lalu banyak 8 titik sudut, 12 rusuk, dan V-E+F=2, banyak jarak, dan jalannya.

from collections import Counter
from itertools import product
from math import sqrt


def measures(a):
    return {
        'surface': 6 * a * a,
        'volume': a ** 3,
        'face diagonal': round(a * sqrt(2), 3),
        'space diagonal': round(a * sqrt(3), 3),
    }


corners = list(product((0, 1), repeat=3))                 # the eight corners: every triple of 0s and 1s
differ = lambda p, q: sum(x != y for x, y in zip(p, q))   # for 0/1 coordinates this is also the squared distance
edges = [(p, q) for i, p in enumerate(corners) for q in corners[i + 1:] if differ(p, q) == 1]

print(measures(3))                      # {'surface': 54, 'volume': 27, 'face diagonal': 4.243, 'space diagonal': 5.196}
print(len(corners), len(edges), len(corners) - len(edges) + 6)    # 8 12 2
print(sorted(Counter(differ(corners[0], q) for q in corners[1:]).items()))   # [(1, 3), (2, 3), (3, 1)]
print([i ^ (i >> 1) for i in range(8)])  # [0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4]: a walk along edges through all corners

const measures = (a) => ({ surface: 6 * a * a, volume: a ** 3, faceDiagonal: +(a * Math.sqrt(2)).toFixed(3), spaceDiagonal: +(a * Math.sqrt(3)).toFixed(3) })

const corners = Array.from({ length: 8 }, (_, i) => i)   // the bits of i are x, y and z
const differ = (p, q) => [0, 1, 2].filter((b) => ((p >> b) & 1) !== ((q >> b) & 1)).length
const edges = corners.flatMap((p) => corners.filter((q) => q > p && differ(p, q) === 1).map((q) => [p, q]))

measures(3)                                               // { surface: 54, volume: 27, faceDiagonal: 4.243, spaceDiagonal: 5.196 }
;[corners.length, edges.length, corners.length - edges.length + 6]   // [8, 12, 2]
const at = {}
for (const q of corners.slice(1)) at[differ(0, q)] = (at[differ(0, q)] ?? 0) + 1
at                                                        // { '1': 3, '2': 3, '3': 1 }
corners.map((i) => i ^ (i >> 1))                          // [0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

// how many bits differ: for corners numbered 0 to 7 this is the squared distance
int differ(int p, int q) {
  int d = 0;
  for (int bit = 0; bit < 3; bit++) {
    if (((p >> bit) & 1) != ((q >> bit) & 1)) d++;
  }
  return d;
}

int main() {
  double a = 3;
  printf("surface %.0f; volume %.0f\n", 6 * a * a, a * a * a);
  printf("face diagonal %.3f; space diagonal %.3f\n", a * sqrt(2.0), a * sqrt(3.0));

  int edges = 0;
  for (int p = 0; p < 8; p++) {
    for (int q = p + 1; q < 8; q++) {
      if (differ(p, q) == 1) edges++;
    }
  }
  printf("%d %d %d\n", 8, edges, 8 - edges + 6);

  int at1 = 0;
  int at2 = 0;
  int at3 = 0;
  for (int q = 1; q < 8; q++) {
    int d = differ(0, q);
    if (d == 1) at1++;
    if (d == 2) at2++;
    if (d == 3) at3++;
  }
  printf("%d %d %d\n", at1, at2, at3);

  for (int i = 0; i < 8; i++) printf("%d ", i ^ (i >> 1));
  printf("\n");
  return 0;
}

/* output:
surface 54; volume 27
face diagonal 4.243; space diagonal 5.196
8 12 2
3 3 1
0 1 3 2 6 7 5 4
*/

Ada berapa dadu yang berbeda, dan berapa banyak posisi kubus Rubik?

Ada 30 dadu yang berbeda bila sisinya memuat 1 sampai 6 masing-masing sekali dan memutar dadu tak membuat dadu baru, dan hanya 2 di antaranya yang sisi berhadapannya berjumlah 7, yang saling merupakan bayangan cermin. Tanpa memutar ada 6!=720 cara menuliskan bilangan pada enam sisi, dan kubus dapat diputar dalam 24 cara (6 sisi yang dapat berada di meja kali 4 putaran seperempat), jadi (720)/(24)=30. Tetapkan pasangan sisi berhadapan sebagai (1,6), (2,5), (3,4) dan hanya tersisa susunan kidal atau kanan: letakkan 1 di atas dan 2 di depan, dan 3 berada di kanan atau di kiri. Dadu untuk permainan memakai salah satu dari keduanya, yang lain adalah bayangannya. Dadu sangat tua: kubus yang ditandai seperti ini berumur sekitar 5000 tahun.

Kubus teka-teki 3×3×3 memiliki 8 keping sudut, 12 keping rusuk, dan 6 pusat. Sudutnya dapat disusun dalam 8! cara dan masing-masing dapat diputar dalam 3 cara (putaran terakhir ditentukan), rusuknya dalam 12! cara dan masing-masing dibalik dalam 2 cara (pembalikan terakhir ditentukan), dan separuh kombinasi itu tak dapat dicapai dengan memutar sisi-sisinya, sehingga diperoleh (8!·3^7·12!·2^11)/(2)=43.252.003.274.489.856.000≈4,3×10^19 posisi. Dari 27 kubus kecil pada balok 3×3×3, 26 memperlihatkan sebuah sisi dan yang di tengah tersembunyi, yang juga 3^3-1^3.

Dari mana asal kubus dalam matematika?

Kubus termasuk bentuk tertua dalam matematika: ia satu dari lima bangun beraturan yang diuraikan orang Yunani, dan sebuah masalah tentangnya terbuka lebih dari dua ribu tahun.

• Sekitar 3000 SM. Dadu berbentuk kubus, dengan sisi bertanda titik, ditemukan di Timur Dekat kuno; yang tertua dikenal berumur sekitar 5000 tahun.
• Sekitar 360 SM. Timaeus karya Plato mengaitkan lima bangun beraturan dengan unsur, dan memberikan kubus kepada tanah, yang paling mantap.
• Sekitar 300 SM. Elements Euclid berakhir dengan Buku XIII, yang mengonstruksi lima bangun beraturan; Proposisi 15 mengonstruksi kubus dan melingkupinya dalam bola.
• Sekitar 430 SM dan sesudahnya. Masalah Delos, menggandakan kubus, diajukan. Hippocrates dari Chios menyederhanakannya menjadi mencari dua rata-rata geometrik, dan Archytas menemukan konstruksi dalam tiga dimensi.
• 1750. Euler menyatakan rumus V-E+F=2 untuk bangun seperti kubus, dalam surat kepada Goldbach.
• 1837. Pierre Wantzel membuktikan bahwa menggandakan kubus, dan membagi tiga sebuah sudut, tak dapat dilakukan dengan jangka dan penggaris.
• 1974. Ernő Rubik, seorang arsitek Hungaria, menciptakan kubus teka-teki; ia dijual ke seluruh dunia sejak 1980.

Apa kesalahan umum pada kubus?

Kesalahan paling umum pada kubus adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: kubus sekilas

• Bagian: 6 sisi, 12 rusuk, 8 titik sudut; 8-12+6=2. Titik sudutnya adalah tripel 0 dan 1.
• Luas dan volume: permukaan 6a^2, volume a^3; perubahan skala k memberi k^2 dan k^3; 1 dm³ adalah 1 liter.
• Diagonal: sisi a√2, ruang a√3; dua diagonal ruang bertemu pada \arccos\frac13≈70,53^\circ.
• Jaring-jaring: 11 dari 35 heksomino terlipat; periksa dengan menggelindingkan kubus; sisi berhadapan berjarak satu persegi dalam satu baris.
• Irisan: segitiga, segiempat, segilima, segienam, tak pernah lebih dari enam sisi; irisan tengah yang tegak lurus pada diagonal ruang adalah segienam beraturan dengan luas (3√3)/(4)a^2.
• Bola: di dalam, berjari-jari \frac a2, mengisi \fracπ6 kubus; di sekeliling, berjari-jari (a√3)/(2).
• Bilangan kubik: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; 1^3+…+n^3=\left((n(n+1))/(2)\right)^2; penggandaan memerlukan 2^(1/3), tak dapat dikonstruksi.

Glosarium: istilah penting

Kubus

Bangun ruang dengan enam sisi persegi yang kongruen, dua belas rusuk sama panjang, dan delapan titik sudut, tiga sisi bertemu di setiap titik sudut.

Sisi, rusuk, titik sudut

Persegi datar pada permukaan, tempat dua sisi bertemu, dan tempat tiga rusuk bertemu.

Jaring-jaring

Susunan datar persegi yang bersambung sisi ke sisi dan terlipat menjadi kubus tanpa tumpang tindih; kubus memiliki 11.

Luas permukaan

Jumlah luas semua sisi; untuk kubus dengan rusuk a ia 6 a kuadrat.

Volume

Ruang di dalam bangun ruang, diukur dalam satuan kubik; untuk kubus dengan rusuk a ia a pangkat tiga.

Diagonal ruang

Ruas yang menghubungkan dua titik sudut berhadapan melalui bagian dalam kubus; panjangnya a kali akar 3.

Diagonal sisi

Diagonal sebuah sisi persegi; panjangnya a kali akar 2.

Irisan

Bentuk tempat sebuah bidang mengiris bangun ruang; untuk kubus ia memiliki tiga sampai enam sisi.

Akar pangkat tiga

Bilangan yang pangkat tiganya adalah bilangan yang diberikan; rusuk kubus yang volumenya diberikan.

Rumus Euler

V dikurangi E ditambah F sama dengan 2 untuk bangun ruang tanpa lubang, dengan V titik sudut, E rusuk, dan F sisi.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Peter R. Cromwell (1997). Polyhedra. Cambridge University Press.
2. H. S. M. Coxeter (1973). Regular Polytopes (3rd ed.). Dover.
3. Thomas L. Heath (translator) (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Book XIII). Dover.
4. Pierre Laurent Wantzel (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées.
5. David Joyner (2008). Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys (2nd ed.). Johns Hopkins University Press.
6. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
7. Martin Aigner, Günter M. Ziegler (2018). Proofs from THE BOOK (6th ed.). Springer.

Artikel terkait

• Teorema Pythagoras: Bukti, Tripel, dan Penerapan: Teorema Pythagoras: pernyataan, empat bukti, kebalikan dan aturan 3-4-5, tripel Pythagoras, rumus jarak, dan perluasannya, dengan latihan soal.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.
• Bilangan Biner: Konversi, Operasi, Bit, dan Komplemen Dua: Bilangan biner: bit dan nilai tempat, konversi ke desimal dan heksadesimal, aritmetika biner, komplemen dua, operator bitwise, dan pecahan biner.
• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.