Balok: Volume, Luas Permukaan, Diagonal, dan Cara Memuat Benda

Apa itu balok, dan apa bedanya dengan kubus?

Balok, disebut juga prisma persegi panjang, adalah bangun ruang yang dibatasi enam persegi panjang yang bertemu pada sudut siku-siku; sisi-sisi yang berhadapan sama dan sejajar. Setiap titik sudut adalah sudut siku-siku, dengan tiga sisi dan tiga rusuk bertemu di sana. Kedua belas rusuknya terbagi dalam tiga kelompok yang masing-masing empat rusuk sejajar sama panjang, disebut panjang p, lebar l, dan tinggi t, dan seluruh bangun itu ditentukan oleh tiga bilangan tersebut.

Banyaknya itu memenuhi rumus Euler, V-E+F=8-12+6=2, tepat seperti pada kubus. Perbedaan keduanya hanya pada rusuknya: kubus adalah balok yang ketiga rusuknya sama, jadi setiap kubus adalah balok, dan balok adalah kubus hanya bila p=l=t. Letakkan satu titik sudut di titik asal dan titik sudut yang berhadapan adalah (p,l,t): kedelapan titik sudutnya adalah semua titik yang koordinatnya 0 atau rusuk penuh, itulah sebabnya kubus dan balok berbagi banyaknya. Batu bata, buku, kotak sepatu, ruangan, dan peti kemas semuanya balok.

Bagaimana mencari volume, luas permukaan, dan luas selimut balok?

Volume balok adalah V=p× l× t, luas permukaannya L=2(pl+pt+lt), dan luas selimutnya 2t(p+l). Volume menghitung kubus satuan: lantai p× l kubus, ditumpuk t lapis, jadi V adalah luas alas kali tinggi. Untuk balok 5×3×2: V=30, dan L=2(15+10+6)=62.

Rumus luas permukaan berasal dari jaring-jaring, keenam persegi panjang yang dibentangkan. Mereka ada dalam tiga pasang yang sama, pl, pt, dan lt, jadi luas permukaannya dua kali jumlahnya; untuk 4×3×2 pasangannya 12, 8, dan 6, dan 2(12+8+6)=52. Luas selimut meniadakan atas dan bawah dan menyisakan keempat dinding: mereka membentuk satu persegi panjang panjang selebar keliling alas, 2(p+l), dan setinggi t, sehingga luasnya 2t(p+l). Untuk balok 5×3×2 itu 2·2·8=32, dan luas permukaannya adalah dinding ditambah atas dan bawah: 32+2·15=62.

Pemakaian sehari-hari. Untuk mengecat dinding ruangan sepanjang 6 m, selebar 4 m, dan setinggi 3 m kamu memerlukan luas selimut 2·3·(6+4)=60 m² (dikurangi pintu dan jendela); dengan langit-langit dan lantai seluruh permukaannya 108 m². Akuarium 80 cm kali 35 cm kali 40 cm memuat 80·35·40=112.000 cm³ =112 liter, karena 1000 cm³ adalah satu liter. Perubahan skala: mengalikan setiap rusuk dengan k mengalikan luas permukaan dengan k^2 dan volume dengan k^3; mengalikan hanya satu rusuk dengan k mengalikan volume dengan k. Geser ketiga rusuk di bawah untuk melihat semua ukuran sekaligus.

Apa saja diagonal balok, dan sudut apa yang dibentuknya?

Balok memiliki diagonal sisi dalam tiga panjang, √(p^2+l^2), √(p^2+t^2), dan √(l^2+t^2), dan empat diagonal ruang, semuanya sepanjang d=√(p^2+l^2+t^2). Diagonal sisi adalah sisi miring dalam sisi itu; diagonal ruang adalah sisi miring segitiga siku-siku kedua pada sebuah diagonal sisi dan sebuah rusuk, sehingga d^2=(p^2+l^2)+t^2 (ini teorema Pythagoras dalam ruang). Untuk balok 6×3×2 ketiga diagonal sisinya √(45)≈6,71, √(40)≈6,32, dan √(13)≈3,61, dan diagonal ruangnya √(36+9+4)=7 tepat.

Sudut dengan rusuk. Diagonal berjalan dari (0,0,0) ke (p,l,t), sehingga proyeksinya pada rusuk sepanjang p adalah p dan \cosα=\frac pd; demikian pula \cosβ=\frac ld dan \cos\gamma=\frac td. Untuk 6×3×2 kosinusnya \frac67,\frac37,\frac27 dan sudutnya 31,0^\circ, 64,6^\circ, dan 73,4^\circ. Kuadratnya berjumlah (36+9+4)/(49)=1 untuk setiap balok: \cos^2α+\cos^2β+\cos^2\gamma=1. Pada kubus ketiga sudutnya \arccos\frac1√3≈54,74^\circ.

Dua diagonal ruang. Diagonal (p,l,t) dan (-p,l,t) memiliki hasil kali titik -p^2+l^2+t^2, sehingga keduanya berpotongan pada sudut lancip dengan kosinus \frac|-p^2+l^2+t^2|d^2; dua jenis pasangan lainnya memberi (|p^2-l^2+t^2|)/(d^2) dan (|p^2+l^2-t^2|)/(d^2). Untuk 6×3×2 nilainya (23)/(49),(31)/(49),(41)/(49), yaitu 62,0^\circ, 50,8^\circ, dan 33,2^\circ. Pada kubus setiap pasangan memberi \frac13, yaitu 70,53^\circ pada kubus.

Balok mana yang diagonalnya bilangan bulat: kuadrupel Pythagoras, bata Euler, dan balok sempurna?

Balok dengan rusuk bilangan bulat memiliki diagonal ruang bilangan bulat bila a^2+b^2+c^2=d^2, sebuah kuadrupel Pythagoras, seperti 2×3×6 dengan d=7 atau 3×4×12 dengan d=13. Kebanyakan balok tidak: balok 5×3×2 memiliki d=√(38). Kuadrupel dengan d\le15 yang tak dapat diperkecil menjadi yang lebih kecil adalah:

Mengalikan sebuah kuadrupel dengan bilangan bulat memberi yang lain, seperti 2×4×4 dengan d=6. Ada rumus yang membuatnya dari empat bilangan bulat mana pun m,n,p,q: ambil a=m^2+n^2-p^2-q^2, b=2(mq+np), c=2(nq-mp), dan d=m^2+n^2+p^2+q^2, maka a^2+b^2+c^2=d^2. Dengan (m,n,p,q)=(2,1,1,1) ia memberi (3,6,-2) dan d=7, balok 2×3×6.

Keinginan yang lebih sulit adalah agar ketiga diagonal sisi bilangan bulat. Balok seperti itu adalah bata Euler, dan yang terkecil 44×117×240, yang diagonal sisinya √(44^2+117^2)=125, √(44^2+240^2)=244, dan √(117^2+240^2)=267. Diagonal ruangnya, meski begitu, √(73.225)≈270,6, tidak bulat. Balok sempurna akan memiliki ketiga diagonal sisi dan diagonal ruang bulat. Belum ada yang menemukannya, belum ada yang membuktikan bahwa ia tak ada, dan pencarian komputer pada balok yang sangat besar tidak menemukan satu pun: pencarian pada semua rusuk sampai 1500 menemukan delapan bata Euler dan tak ada balok sempurna. Ketik rusuk di widget untuk melihat diagonal mana yang bulat.

Balok mana yang volumenya terbesar untuk luas permukaan tertentu?

Untuk luas permukaan L tertentu kubus memuat paling banyak: setiap balok memenuhi V\le\left(\frac L6\right)^3/2, dengan kesamaan hanya bila p=l=t. Alasannya adalah ketaksamaan rata-rata aritmetika dan geometri: untuk tiga bilangan positif rata-rata geometri paling besar sama dengan rata-rata aritmetika. Terapkan pada ketiga luas sisi pl, pt, dan lt. Hasil kalinya (pl)(pt)(lt)=(plt)^2=V^2 dan jumlahnya \frac L2, sehingga V^2/3=(pl)(pt)(lt)^(1/3)\le(pl+pt+lt)/(3)=\frac L6, dan V\le\left(\frac L6\right)^3/2, dengan kesamaan hanya bila pl=pt=lt, yang berarti p=l=t. Untuk L=96 batasnya 16^3/2=64, dicapai kubus berusuk 4. Balok lain dengan luas permukaan yang sama:

Fakta yang sama dari arah sebaliknya: untuk volume tertentu kubus memiliki luas permukaan terkecil, L\ge6V^2/3. Untuk V=64 itu 96 untuk kubus, dibanding 112 untuk 8×4×2, 136 untuk 16×2×2, dan 160 untuk 8×8×1. Dan untuk kerangka kawat, tempat kedua belas rusuk bersama-sama tetap, 4(p+l+t)=48 memberi p+l+t=12 dan V\le\left((12)/(3)\right)^3=64: lagi-lagi kubus. Soal balok yang sama dengan kalkulus, kotak tanpa tutup dari selembar bahan, ada di optimisasi terapan. Geser alas sebuah balok di bawah dan lihat seberapa jauh ia kalah dari kubus.

Bagaimana mengetahui apakah batang, papan, atau tumpukan balok yang lebih kecil muat di dalam balok?

Batang lurus yang tipis muat di dalam balok tepat bila panjangnya paling besar sama dengan diagonal ruang d=√(p^2+l^2+t^2), ruas lurus terpanjang yang termuat dalam balok; ia tepat muat, dari sudut ke sudut, bila sama dengan d. Tiang 1 m pada kotak 60×40×40 cm: d=√(3600+1600+1600)=√(6800)≈82,5 cm, sehingga ia tidak muat, semiring apa pun. Pada kotak 80×50×40 cm, d=√(10.500)≈102,5 cm, sehingga ia muat, bersandar dari sudut bawah ke sudut atas yang berhadapan. Batang yang lebih panjang daripada setiap diagonal sisi harus terletak melintasi bagian dalam, tak pernah menurut sebuah sisi.

Lembaran datar berbeda: sebuah persegi panjang muat dalam balok bila muat melalui suatu irisannya, dan yang terbesar adalah persegi panjang diagonal melalui dua rusuk yang berhadapan, p×√(l^2+t^2), dengan luas p√(l^2+t^2); untuk balok 6×3×2 itu 6×√(13).

Balok yang lebih kecil. Untuk mengetahui berapa balok a× b× c yang muat dalam balok besar P× L× T bila semuanya diletakkan dengan cara yang sama, hitung berapa yang muat sepanjang tiap sisi: \left\lfloorP/a\right\rfloor·\left\lfloorL/b\right\rfloor·\left\lfloorT/c\right\rfloor, dan coba keenam cara memutar balok kecil itu, ambil yang terbaik. Batu bata 3×2×1 dalam kotak 10×6×4 muat 5·2·4=40, memakai setiap dari 240 satuan volume (40·6=240); karton 30×20×10 cm memenuhi ruang 120×80×60 cm dengan 4·4·6=96 karton. Batas volume selalu batas atas: (V_besar)/(V_kecil), dan bila rusuknya tak habis dibagi, ruang yang tersisa terbuang. Memutar sebagian balok ke arah lain terkadang dapat memuat lebih banyak daripada satu susunan tunggal mana pun, itulah sebabnya pengepakan adalah masalah yang sulit.

Bagaimana bekerja dengan balok dalam program?

Program menghitung ukuran balok dari tiga bilangan, dan menemukan diagonal bilangan bulat dengan mencari: lakukan perulangan pada a\le b\le c, ambil akar kuadrat bilangan bulat dari a^2+b^2+c^2, dan simpan balok yang kuadratnya mengembalikan jumlahnya. Pakai bilangan bulat dan akar kuadrat bilangan bulat yang eksak (isqrt di Python), bukan sqrt floating-point yang dibulatkan dan dibandingkan, karena akar kuadrat yang dibulatkan dari bilangan bulat besar dapat meleset satu. Program di bawah mencetak ukuran 5×3×2, kuadrupel dengan d\le9, apakah 44×117×240 dan 2×3×6 adalah bata Euler, dan apakah yang pertama memiliki diagonal ruang bulat.

from math import isqrt, sqrt


def box(l, w, h):
    return {
        'volume': l * w * h,
        'surface': 2 * (l * w + l * h + w * h),
        'lateral': 2 * h * (l + w),
        'space diagonal': round(sqrt(l * l + w * w + h * h), 3),
    }


def is_square(n):
    return isqrt(n) ** 2 == n


def quadruples(max_d):
    """The boxes a <= b <= c whose space diagonal d <= max_d is a whole number: a² + b² + c² = d²."""
    found = []
    for a in range(1, max_d):
        for b in range(a, max_d):
            for c in range(b, max_d):
                s = a * a + b * b + c * c
                if s <= max_d ** 2 and is_square(s):
                    found.append((a, b, c, isqrt(s)))
    return sorted(found, key=lambda q: (q[3], q[:3]))


def euler_brick(a, b, c):
    """All three face diagonals are whole numbers."""
    return all(is_square(x * x + y * y) for x, y in ((a, b), (a, c), (b, c)))


print(box(5, 3, 2))                  # {'volume': 30, 'surface': 62, 'lateral': 32, 'space diagonal': 6.164}
print(quadruples(9))                 # [(1, 2, 2, 3), (2, 4, 4, 6), (2, 3, 6, 7), (1, 4, 8, 9), (3, 6, 6, 9), (4, 4, 7, 9)]
print(euler_brick(44, 117, 240), euler_brick(2, 3, 6))    # True False
print(is_square(44 ** 2 + 117 ** 2 + 240 ** 2))           # False: no perfect cuboid here

const box = (l, w, h) => ({ volume: l * w * h, surface: 2 * (l * w + l * h + w * h), lateral: 2 * h * (l + w), spaceDiagonal: +Math.sqrt(l * l + w * w + h * h).toFixed(3) })
const isSquare = (n) => Number.isInteger(Math.sqrt(n))

// the boxes a <= b <= c whose space diagonal d <= maxD is a whole number: a² + b² + c² = d²
function quadruples(maxD) {
  const found = []
  for (let a = 1; a < maxD; a++)
    for (let b = a; b < maxD; b++)
      for (let c = b; c < maxD; c++) {
        const s = a * a + b * b + c * c
        if (s <= maxD * maxD && isSquare(s)) found.push([a, b, c, Math.sqrt(s)])
      }
  return found.sort((p, q) => p[3] - q[3] || p[0] - q[0] || p[1] - q[1])
}

// all three face diagonals are whole numbers
const eulerBrick = (a, b, c) => [[a, b], [a, c], [b, c]].every(([x, y]) => isSquare(x * x + y * y))

box(5, 3, 2)                                   // { volume: 30, surface: 62, lateral: 32, spaceDiagonal: 6.164 }
quadruples(9)                                  // [[1,2,2,3], [2,4,4,6], [2,3,6,7], [1,4,8,9], [3,6,6,9], [4,4,7,9]]
;[eulerBrick(44, 117, 240), eulerBrick(2, 3, 6)]   // [true, false]
isSquare(44 ** 2 + 117 ** 2 + 240 ** 2)        // false

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

// 1 when n is a perfect square
int isSquare(int n) {
  int r = (int)(sqrt((double)n) + 0.5);
  return r * r == n ? 1 : 0;
}

// 1 when all three face diagonals are whole numbers
int eulerBrick(int a, int b, int c) {
  return isSquare(a * a + b * b) && isSquare(a * a + c * c) && isSquare(b * b + c * c) ? 1 : 0;
}

int main() {
  int l = 5;
  int w = 3;
  int h = 2;
  printf("volume %d; surface %d; lateral %d\n", l * w * h, 2 * (l * w + l * h + w * h), 2 * h * (l + w));
  printf("space diagonal %.3f\n", sqrt((double)(l * l + w * w + h * h)));

  // a <= b <= c with a * a + b * b + c * c = d * d, d up to 9
  for (int d = 2; d <= 9; d++) {
    for (int a = 1; a < d; a++) {
      for (int b = a; b < d; b++) {
        for (int c = b; c < d; c++) {
          if (a * a + b * b + c * c == d * d) printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
        }
      }
    }
  }
  printf("%d %d\n", eulerBrick(44, 117, 240), eulerBrick(2, 3, 6));
  printf("%d\n", isSquare(44 * 44 + 117 * 117 + 240 * 240));
  return 0;
}

/* output:
volume 30; surface 62; lateral 32
space diagonal 6.164
1 2 2 3
2 4 4 6
2 3 6 7
1 4 8 9
3 6 6 9
4 4 7 9
1 0
0
*/

Dari mana asal kajian tentang balok dan diagonalnya?

Orang mengukur balok selama ada bangunan, penyimpanan, dan perdagangan, dan pertanyaan tentang diagonalnya berubah menjadi teori bilangan.

• Sekitar 300 SM. Elements Euclid, Buku XI, mempelajari bangun ruang yang dibatasi jajar genjang dan membuktikan bahwa dua bangun seperti itu yang sama tingginya berbanding seperti alasnya (XI.32): akar dari volume sama dengan alas kali tinggi.
• 1719. Paul Halcke menemukan balok 44×117×240 yang ketiga diagonal sisinya bilangan bulat, bata terkecil yang memakai nama Euler; Euler kemudian mempelajarinya dan menemukan keluarga yang lain.
• Abad ke-18 dan ke-19. Kuadrupel Pythagoras, balok dengan diagonal ruang bulat, diuraikan dan rumusnya ditemukan, termasuk yang membuatnya dari empat bilangan bulat.
• Balok sempurna. Apakah sebuah balok dapat memiliki ketiga diagonal sisi dan diagonal ruang yang bulat sekaligus masih terbuka: belum ada yang diketahui, dan pencarian komputer pada balok yang sangat besar tidak menemukan satu pun.
• Sekarang. Rumus yang sama berjalan di dalam setiap kalkulator pengiriman, mesin 3D, dan tata letak gudang: kotak pembatas sebuah bentuk dalam game adalah balok, dan diagonalnya ukuran tercepat untuk besarnya.

Apa kesalahan umum pada balok?

Kesalahan paling umum pada balok adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: balok sekilas

• Bagian: 6 sisi dalam tiga pasang yang sama, 12 rusuk dalam tiga kelompok empat, 8 titik sudut; kubus adalah balok dengan p=l=t.
• Ukuran: V=plt, L=2(pl+pt+lt), luas selimut 2t(p+l), semua rusuk 4(p+l+t); perubahan skala k memberi k^2 dan k^3.
• Diagonal: sisi √(p^2+l^2), √(p^2+t^2), √(l^2+t^2); ruang d=√(p^2+l^2+t^2); \cosα=\frac pd dan ketiga kosinus kuadrat berjumlah 1.
• Diagonal bulat: kuadrupel a^2+b^2+c^2=d^2 seperti (2,3,6,7); bata Euler seperti 44×117×240; belum ada balok sempurna.
• Ekstrem: untuk luas permukaan tertentu V\le\left(\frac L6\right)^3/2, untuk volume tertentu L\ge6V^2/3, kesamaan hanya untuk kubus (AM–GM).
• Memuat: batang muat bila paling besar d; balok kecil yang diletakkan sama muat \lfloor P/a\rfloor\lfloor L/b\rfloor\lfloor T/c\rfloor, terbaik dari enam putaran.

Glosarium: istilah penting

Balok

Bangun ruang dengan enam sisi persegi panjang yang bertemu pada sudut siku-siku, dalam tiga pasang sisi yang sama; kotak.

Panjang, lebar, tinggi

Tiga panjang rusuk balok, ditulis p, l, dan t, yang menentukan seluruh balok.

Volume

Ruang di dalam balok: panjang kali lebar kali tinggi, dalam satuan kubik.

Luas permukaan

Jumlah luas keenam sisi: dua kali jumlah p l, p t, dan l t.

Luas selimut

Luas keempat dinding tanpa atap dan lantai: 2 t kali p ditambah l.

Diagonal ruang

Ruas di antara titik sudut berhadapan melalui bagian dalam; panjangnya akar dari p kuadrat ditambah l kuadrat ditambah t kuadrat.

Kuadrupel Pythagoras

Empat bilangan bulat a, b, c, d dengan a kuadrat ditambah b kuadrat ditambah c kuadrat sama dengan d kuadrat: balok dengan diagonal ruang bulat.

Bata Euler

Balok yang rusuk dan ketiga diagonal sisinya semuanya bilangan bulat, seperti 44 kali 117 kali 240.

Balok sempurna

Balok yang rusuk, diagonal sisi, dan diagonal ruangnya semuanya bilangan bulat; belum ada yang diketahui.

Ketaksamaan AM–GM

Rata-rata geometri bilangan positif paling besar sama dengan rata-rata aritmetikanya, dengan kesamaan hanya bila semuanya sama.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. Peter R. Cromwell (1997). Polyhedra. Cambridge University Press.
2. Thomas L. Heath (translator) (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Book XI). Dover.
3. Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), section on Euler bricks and the perfect cuboid. Springer.
4. J. Michael Steele (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class. Cambridge University Press.
5. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (chapter on geometry formulas). Cengage Learning.
6. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
7. Christer Ericson (2005). Real-Time Collision Detection. Morgan Kaufmann.

Artikel terkait

• Kubus: Sisi, Jaring-Jaring, Volume, Diagonal, dan Irisan: Kubus: 6 sisi, 12 rusuk, 8 titik sudut, 11 jaring-jaringnya, luas permukaan, volume, diagonal, irisan segienam, menggandakan kubus, dan kubus dalam kode.
• Teorema Pythagoras: Bukti, Tripel, dan Penerapan: Teorema Pythagoras: pernyataan, empat bukti, kebalikan dan aturan 3-4-5, tripel Pythagoras, rumus jarak, dan perluasannya, dengan latihan soal.
• Segiempat: Jenis, Sifat, Keliling, dan Luas: Segiempat: persegi, persegi panjang, belah ketupat, jajargenjang, layang-layang, dan trapesium, beserta sifat, keliling, luas, dan koordinat, dengan latihan.
• Optimisasi Terapan: Optimisasi terapan dengan turunan: empat langkah soal cerita maksimum dan minimum, geometri, hukum Snell, biaya marjinal dan persediaan, dengan contoh dan kode.