Aturan Sinus: Memecahkan Segitiga, Kasus Ambigu, dan Survei

Apa bunyi aturan sinus?

Aturan sinus mengatakan bahwa pada setiap segitiga perbandingan sebuah sisi terhadap sinus sudut di depannya sama untuk ketiga sisi: (a)/(\sin A)=(b)/(\sin B)=(c)/(\sin C). Huruf-hurufnya mengikuti satu kesepakatan: A, B, C adalah sudut, dan a, b, c sisi di depannya, jadi a adalah sisi yang berseberangan dengan A. Ambil segitiga siku-siku 3-4-5: sudut di depan sisi 3 adalah 36,87^\circ, yang sinusnya 0,6, dan \frac30,6=5; di depan 4 adalah 53,13^\circ dengan sinus 0,8 dan \frac40,8=5; dan di depan 5 adalah sudut siku-siku, dengan sinus 1 dan 5/1=5. Ketiga perbandingan itu 5.

Biasanya ia ditulis dalam salah satu dari tiga cara yang setara. Sebagai rantai perbandingan (di atas). Sebagai perbandingan senilai, a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C, yang mengatakan bahwa sisi-sisinya berbanding sama dengan sinus sudut di depannya (bukan dengan sudutnya sendiri). Atau terbalik, (\sin A)/(a)=(\sin B)/(b)=(\sin C)/(c), bentuk yang dipakai bila yang tak diketahui adalah sudut. Ia berlaku juga untuk segitiga tumpul, karena sinus sudut tumpul positif dan sama dengan sinus pelurusnya, \sin(180^\circ-x)=\sin x.

Yang diperlukannya adalah sebuah pasangan: sebuah sisi bersama sudut di depannya. Begitu ada satu pasangan, sisi atau sudut lain memberi pasangan kedua, dan persamaannya dapat diselesaikan untuk yang hilang. Artikel ini menunjukkan mengapa aturan itu benar, apa arti nilai bersamanya, bagaimana memakainya dalam tiap kasus, dan apa yang salah pada satu kasus, yang ambigu. Untuk memecahkan segitiga secara umum, dengan aturan kosinus juga, lihat artikel tentang segitiga.

Mengapa aturan sinus benar? Bukti dengan satu garis tinggi

Aturan sinus mengikuti dari penulisan garis tinggi segitiga yang sama dalam dua cara. Gambar garis tinggi h dari C turun ke garis AB. Ia membelah segitiga menjadi dua segitiga siku-siku yang berbagi sisi h. Pada yang bersudut A dan sisi miring b, definisi sinus (lihat segitiga siku-siku) memberi \sin A=h/b, sehingga h=b\sin A. Pada yang bersudut B dan sisi miring a, \sin B=h/a, sehingga h=a\sin B.

Kedua bentuk itu panjangnya sama, jadi b\sin A=a\sin B. Bagi kedua ruas dengan \sin A\sin B dan diperoleh (a)/(\sin A)=(b)/(\sin B). Gambar garis tinggi dari titik sudut lain dan argumen yang sama mengikat b dan c, atau a dan c, sehingga ketiga perbandingan sama.

Bila sudut di A atau di B tumpul, kaki garis tinggi jatuh di luar sisi AB, pada perpanjangannya, dan segitiga siku-siku yang memuat h bersudut 180^\circ-A alih-alih A. Tak ada yang berubah, karena \sin(180^\circ-A)=\sin A. Itu juga sebabnya aturan ini berlaku untuk setiap segitiga, dan ia adalah benih kasus ambigu nanti: sebuah sudut dan pelurusnya memiliki sinus yang sama.

Apa nilai bersama ketiga perbandingan itu? Lingkaran yang melalui titik-titik sudut

Nilai bersama (a)/(\sin A)=(b)/(\sin B)=(c)/(\sin C) adalah diameter 2R lingkaran yang melalui ketiga titik sudut (lingkaran luar), dengan R jari-jarinya. Untuk melihat alasannya, gambar lingkaran itu dengan pusat O dan diameter BB' dari titik sudut B. Dua fakta tentang lingkaran bekerja di sini. Sudut yang bertumpu pada diameter adalah sudut siku-siku (Thales), jadi pada segitiga BCB' sudut di C adalah 90^\circ. Dan dua sudut yang memandang tali busur BC yang sama dari busur yang sama adalah sama besar, jadi sudut di B' sama dengan sudut A. Pada segitiga siku-siku BCB' sisi BC=a berada di depan sudut B'=A dan sisi miringnya BB'=2R, sehingga \sin A=(a)/(2R),\qquadyaitu (a)/(\sin A)=2R. (Bila A tumpul, B' berada pada busur yang lain dan sudutnya 180^\circ-A, dengan sinus yang sama.) Argumen yang sama berlaku dari titik sudut mana pun, sehingga ketiga perbandingan adalah 2R.

Ini memberi rumus jari-jari lingkaran luar, R=(a)/(2\sin A), dan beberapa akibat cepat. Pada segitiga siku-siku dengan C=90^\circ, \sin C=1, jadi c=2R: sisi miring adalah diameter, dan pusatnya titik tengah sisi miring (segitiga 3-4-5 memiliki R=2,5). Untuk segitiga bersisi 13, 14, 15, sudutnya 53,13^\circ, 59,49^\circ, dan 67,38^\circ dan \frac13\sin53,13^\circ=16,25, sehingga R=8,125. Pusat lingkaran ini, pusat lingkaran luar, adalah salah satu dari empat titik penting klasik segitiga (lihat titik-titik penting segitiga).

Atur dua sudut dan satu sisi di bawah dan baca ketiga perbandingan, lingkaran, dan luasnya.

Bagaimana memecahkan segitiga bila dua sudut dan satu sisi diketahui?

Bila dua sudut dan sembarang sisi diketahui (ASA atau AAS), segitiga itu sepenuhnya ditentukan: cari sudut ketiga dari jumlah sudut, lalu pakai aturan sinus untuk dua sisi lainnya. Sudut ketiga gratis, karena ketiga sudut segitiga berjumlah 180^\circ (lihat jumlah sudut). Sesudah itu selalu ada sebuah sisi dengan sudut di depannya, yaitu pasangan yang diperlukan aturan itu.

1. Sudut ketiga. C=180^\circ-A-B. Bila ini tidak positif, tak ada segitiga.
2. Perbandingan bersama. Hitung k=(a)/(\sin A) dari sisi dan sudut yang diberikan.
3. Sisi lainnya. b=k\sin B dan c=k\sin C.
4. Periksa. Sisi terpanjang harus berada di depan sudut terbesar, dan ketiga perbandingan harus sama.

Contoh. A=40^\circ, B=65^\circ, dan a=12. Maka C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ dan k=(12)/(\sin40^\circ)=18,6687, sehingga b=18,6687\sin65^\circ=16,92 dan c=18,6687\sin75^\circ=18,03. Sudut terbesar, 75^\circ, berada di depan sisi terpanjang, 18,03, sebagaimana mestinya. Segitiga yang sama digambarkan oleh ASA: diberikan A=40^\circ, sisi c=18,03 di antara sudut A dan B, dan B=65^\circ, langkah yang sama memberi sisi yang sama.

Dua hal praktis. Simpan nilai penuh k di kalkulator, dan pakai data yang diberikan, bukan hasil bulatan dari langkah sebelumnya, agar galat tidak menumpuk. Dan bila hanya sudut yang diketahui, segitiga tidak tertentu: setiap segitiga yang sebangun dengannya memiliki sudut yang sama, dan satu sisi menetapkan ukurannya.

Mengapa dua sisi dan satu sudut kadang memberi dua segitiga, atau tak satu pun?

Dua sisi dan sudut di depan salah satunya (SSA) dapat memberi tak ada segitiga, satu, atau dua, karena sinus sudut yang tak diketahui punya dua jawaban di antara 0^\circ dan 180^\circ, yaitu B dan 180^\circ-B, dan masing-masing menjadi segitiga hanya bila menyisakan ruang untuk sudut ketiga. Misalkan a, b, dan A diberikan. Aturan sinus memberi \sin B=(b\sin A)/(a). Tiga hal dapat terjadi.

• Bila (b\sin A)/(a)>1, tak ada sudut dengan sinus itu: tidak ada segitiga. Sisi a terlalu pendek untuk mencapai.
• Bila nilainya tepat 1, B=90^\circ: satu segitiga siku-siku.
• Selain itu ada dua sudut, B_1=\arcsin\left((b\sin A)/(a)\right) (yang lancip, satu-satunya yang dilaporkan kalkulator) dan B_2=180^\circ-B_1 (tumpul). Yang kedua menjadi segitiga hanya bila A+B_2<180^\circ.

Gambarnya menunjukkan hal itu. Letakkan A di titik asal dengan sinar ke kanan, dan C pada jarak b dari A dengan sudut A. Titik sudut B yang belum diketahui berada pada sinar dengan jarak a dari C: itulah tempat lingkaran berjari-jari a di sekitar C memotong sinar. Lingkaran dan sinar dapat bertemu di 0, 1, atau 2 titik, dan tinggi C di atas sinar, h=b\sin A, menentukan yang mana.

Contoh. a=3, b=5, A=30^\circ. Tingginya h=5\sin30^\circ=2,5, dan 2,5<3<5: dua segitiga. \sin B=(5\sin30^\circ)/(3)=\frac56=0,8333, sehingga B_1=56,44^\circ dan B_2=123,56^\circ. Untuk B_1: C=180^\circ-30^\circ-56,44^\circ=93,56^\circ dan c=\frac3\sin93,56^\circ\sin30^\circ=5,99. Untuk B_2: C=26,44^\circ dan c=2,67. Keduanya cocok dengan data. Dengan a=9, b=5, dan A=120^\circ (tumpul) hanya ada satu segitiga: B=28,76^\circ, C=31,24^\circ, c=5,39, sebab sudut B kedua sebesar 151,24^\circ tidak menyisakan ruang di samping 120^\circ. Dan a=2, b=5, A=30^\circ lebih pendek daripada h=2,5: tidak ada segitiga.

Ambiguitas itu persis persamaan \sin B=c dalam artikel tentang persamaan trigonometri: sinus invers mengembalikan satu sudut, dan yang lain harus dicari sendiri. Geser a di bawah dan lihat lingkarannya.

Bagaimana aturan sinus berhubungan dengan luas segitiga?

Luas segitiga adalah setengah hasil kali dua sisi dan sinus sudut apitnya, K=\frac12ab\sin C, dan jika digabung dengan aturan sinus memberi K=(abc)/(4R). Rumus pertama adalah rumus garis tinggi dengan tinggi ditulis h=b\sin C alih-alih diukur: luas adalah \frac12× alas a × tinggi h, dan tinggi dari A adalah b\sin C. Ia berlaku untuk pasangan mana pun, K=\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B=\frac12ab\sin C, yang merupakan pemeriksaan yang baik untuk segitiga yang sudah terpecahkan.

Ganti \sin C dengan (c)/(2R) (aturan sinus) dan ia menjadi K=\frac12ab·(c)/(2R)=(abc)/(4R), sehingga jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik sudut adalah R=(abc)/(4K). Untuk segitiga 13, 14, 15 luasnya 84 (lihat luas segitiga), sehingga R=(13·14·15)/(4·84)=(2730)/(336)=8,125, nilai yang sama seperti tadi. Dan \frac12·13·14·\sin67,38^\circ=84 lagi.

Bila dua sudut dan satu sisi diketahui (AAS) kita bahkan tak memerlukan sisi lainnya: K=(a^2\sin B\sin C)/(2\sin A). Untuk A=40^\circ, B=65^\circ, a=12 ini adalah \frac144·0,9063·0,96592·0,6428=98,06, sama dengan \frac12·12·16,92·\sin75^\circ. Begitulah sebidang tanah diukur dari garis dasar dan sudut.

Bagaimana mengukur lebar sungai dengan aturan sinus?

Untuk mengukur jarak yang tak dapat dilalui, ukur garis dasar yang dapat dilalui dan dua sudut, dan aturan sinus mengerjakan sisanya; inilah triangulasi. Sebuah pohon T berdiri di tepi seberang. Di tepimu kamu menandai dua titik P dan Q yang berjarak L yang diketahui, dan dari masing-masing kamu membaca sudut antara garis dasar dan garis pandang ke pohon, α di P dan β di Q. Ketiga sudut segitiga PQT berjumlah 180^\circ, sehingga sudut di pohon adalah \gamma=180^\circ-α-β, dan aturan sinus memasangkan sisi L dengan sudut \gamma: (PT)/(\sinβ)=(L)/(\sin\gamma) ⇒ PT=(L\sinβ)/(\sin(α+β)), QT=(L\sinα)/(\sin(α+β)). (karena \sin\gamma=\sin(180^\circ-α-β)=\sin(α+β)). Lebar sungai adalah jarak tegak lurus dari T ke garis dasar, h=PT\sinα.

Contoh. L=100 m, α=60^\circ, dan β=70^\circ. Maka \gamma=50^\circ, PT=(100\sin70^\circ)/(\sin50^\circ)=122,67 m, QT=(100\sin60^\circ)/(\sin50^\circ)=113,05 m dan lebar sungai h=122,67\sin60^\circ=106,23 m. Tak seorang pun menyeberangi air.

Seberapa baik jawabannya? Sudutnya dibaca dengan alat, dan setiap bacaan sedikit meleset. Bila tiap dari kedua sudut boleh salah 1^\circ, lebar di atas dapat berada di mana pun dari 101,2 m sampai 111,3 m, sekitar 5\% ke tiap arah. Galatnya bergantung pada bentuk segitiga: dengan α=β=85^\circ garis pandang hampir sejajar, sudut di pohon hanya 10^\circ dan galat 1^\circ yang sama dapat mengubah jawaban sebesar 25\%; dengan α=β=45^\circ, sudut siku-siku di pohon, hanya 3,6\%. Karena itu seorang juru ukur memilih garis dasar sehingga kedua garis pandang berpotongan pada sudut yang sehat, dekat 90^\circ. Metode ini lebih tua dari alat mana pun: pengukuran bayangan oleh Thales memakai segitiga sebangun, seperti dalam artikel tentang segitiga, dan triangulasi memakai sudut alih-alih bayangan. Coba garis dasar dan sudutmu sendiri di bawah.

Kapan memakai aturan sinus dan kapan aturan kosinus?

Pakai aturan sinus bila kita tahu sebuah sisi dan sudut di depannya (sebuah pasangan), dan aturan kosinus bila tidak. Lihat apa ketiga ukuran yang diberikan:

Aturan kosinus, c^2=a^2+b^2-2ab\cos C, adalah teorema Pythagoras dengan koreksi. Ia alat yang lebih aman untuk mencari sudut, karena arkus kosinus mengembalikan satu sudut di antara 0^\circ dan 180^\circ sehingga membedakan lancip dari tumpul, sedangkan arkus sinus tidak. Rencana yang umum untuk SAS: pakai aturan kosinus untuk sisi ketiga, lalu cari sudut yang lebih kecil dari dua sudut lainnya dengan aturan sinus, karena sudut yang lebih kecil selalu lancip dan arkus sinusnya lalu benar.

Bagaimana memakai aturan sinus dalam program?

Program memecahkan AAS secara langsung dan harus memperlakukan SSA sebagai daftar: hitung \sin B, kembalikan kosong bila di atas 1, dan selain itu coba B maupun 180^\circ-B. Tiga hal. Ubah derajat ke radian sebelum memanggil sin. Jangan memanggil asin dengan nilai yang 1,0000000000000002 karena pembulatan: beri margin kecil dan batasi. Dan simpan sudut kedua hanya bila sudut ketiga, 180^\circ-A-B, positif. Program yang hanya mengembalikan B lancip yang tunggal diam-diam kehilangan segitiga kedua.

Program di bawah memecahkan A=40^\circ, B=65^\circ, a=12 (memberi b=16,9196 dan c=18,0326), lalu a=3, b=5, A=30^\circ (dua segitiga, B=56,44^\circ dan B=123,56^\circ), menghitung segitiga untuk a=2 dan untuk kasus tumpul a=9, b=5, A=120^\circ, dan akhirnya mencari lebar sungai 106,23 m.

import math


def solve_aas(A, B, a):
    """Two angles (degrees) and the side a opposite A: the sides and angles (a, b, c, A, B, C), or None."""
    C = 180 - A - B
    if min(A, B, C, a) <= 0:
        return None                                       # the angles leave nothing for the third
    k = a / math.sin(math.radians(A))                     # the common ratio, 2R
    return a, k * math.sin(math.radians(B)), k * math.sin(math.radians(C)), A, B, C


def solve_ssa(a, b, A):
    """Two sides and the angle A opposite a: a list with 0, 1 or 2 triangles (a, b, c, A, B, C)."""
    s = b * math.sin(math.radians(A)) / a                 # sin B
    if s > 1 + 1e-12:
        return []                                         # no angle has a sine above 1
    B1 = math.degrees(math.asin(min(1.0, s)))             # asin gives only the acute angle
    found = []
    for B in sorted({B1, 180 - B1}):                      # the other angle with the same sine
        C = 180 - A - B
        if C > 1e-9:                                      # it is a triangle only if something is left for C
            found.append((a, b, a * math.sin(math.radians(C)) / math.sin(math.radians(A)), A, B, C))
    return found


def river_width(L, alpha, beta):
    """Baseline L and the angles alpha, beta at its ends: the distance from the target to the baseline."""
    gamma = 180 - alpha - beta
    pt = L * math.sin(math.radians(beta)) / math.sin(math.radians(gamma))
    return pt * math.sin(math.radians(alpha))


print([round(x, 4) for x in solve_aas(40, 65, 12)])      # [12, 16.9196, 18.0326, 40, 65, 75]
for t in solve_ssa(3, 5, 30):
    print(round(t[4], 2), round(t[5], 2), round(t[2], 2))   # 56.44 93.56 5.99, then 123.56 26.44 2.67
print(len(solve_ssa(2, 5, 30)), len(solve_ssa(9, 5, 120)))  # 0 1
print(round(river_width(100, 60, 70), 2))                    # 106.23

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180
const deg = (r) => (r * 180) / Math.PI

function solveAas(A, B, a) {
  // two angles (degrees) and the side a opposite A: [a, b, c, A, B, C], or null
  const C = 180 - A - B
  if (Math.min(A, B, C, a) <= 0) return null                    // the angles leave nothing for the third
  const k = a / Math.sin(rad(A))                                // the common ratio, 2R
  return [a, k * Math.sin(rad(B)), k * Math.sin(rad(C)), A, B, C]
}

function solveSsa(a, b, A) {
  // two sides and the angle A opposite a: a list with 0, 1 or 2 triangles
  const s = (b * Math.sin(rad(A))) / a                          // sin B
  if (s > 1 + 1e-12) return []                                  // no angle has a sine above 1
  const B1 = deg(Math.asin(Math.min(1, s)))                     // asin gives only the acute angle
  const found = []
  for (const B of [...new Set([B1, 180 - B1])].sort((p, q) => p - q)) {   // the other angle with the same sine
    const C = 180 - A - B
    if (C > 1e-9) found.push([a, b, (a * Math.sin(rad(C))) / Math.sin(rad(A)), A, B, C])   // a triangle only if something is left for C
  }
  return found
}

function riverWidth(L, alpha, beta) {
  // baseline L and the angles alpha, beta at its ends: the distance from the target to the baseline
  const gamma = 180 - alpha - beta
  const pt = (L * Math.sin(rad(beta))) / Math.sin(rad(gamma))
  return pt * Math.sin(rad(alpha))
}

solveAas(40, 65, 12).map((x) => +x.toFixed(4))                  // [12, 16.9196, 18.0326, 40, 65, 75]
solveSsa(3, 5, 30).map((t) => [+t[4].toFixed(2), +t[5].toFixed(2), +t[2].toFixed(2)])   // [[56.44, 93.56, 5.99], [123.56, 26.44, 2.67]]
;[solveSsa(2, 5, 30).length, solveSsa(9, 5, 120).length]        // [0, 1]
+riverWidth(100, 60, 70).toFixed(2)                              // 106.23

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.14159265358979323846;
double rad(double d) { return d * PI / 180.0; }
double deg(double r) { return r * 180.0 / PI; }

double Bs[2], Cs[2], cs[2];                         // the triangles of the last solveSsa call

// Two sides and the angle A opposite a: fills Bs, Cs, cs and returns how many triangles (0, 1 or 2).
int solveSsa(double a, double b, double A) {
  double s = b * sin(rad(A)) / a;                   // sin B
  if (s > 1 + 1e-12) return 0;                      // no angle has a sine above 1
  if (s > 1) s = 1;
  double B1 = deg(asin(s));                         // asin gives only the acute angle
  int count = 0;
  for (int i = 0; i < 2; i++) {
    double B = i == 0 ? B1 : 180 - B1;              // the other angle with the same sine
    if (i == 1 && fabs(B - B1) < 1e-9) continue;
    double C = 180 - A - B;
    if (C > 1e-9) {                                 // a triangle only if something is left for C
      Bs[count] = B;
      Cs[count] = C;
      cs[count] = a * sin(rad(C)) / sin(rad(A));
      count++;
    }
  }
  return count;
}

double riverWidth(double L, double alpha, double beta) {
  double gamma = 180 - alpha - beta;
  double pt = L * sin(rad(beta)) / sin(rad(gamma));
  return pt * sin(rad(alpha));
}

int main() {
  double A = 40, B = 65, a = 12;                    // two angles and a side
  double C = 180 - A - B;
  double k = a / sin(rad(A));                       // the common ratio, 2R
  printf("%.4f %.4f %.0f\n", k * sin(rad(B)), k * sin(rad(C)), C);
  int n = solveSsa(3, 5, 30);
  for (int i = 0; i < n; i++) printf("%.2f %.2f %.2f\n", Bs[i], Cs[i], cs[i]);
  int none = solveSsa(2, 5, 30);
  int obtuse = solveSsa(9, 5, 120);
  printf("%d %d\n", none, obtuse);
  printf("%.2f\n", riverWidth(100, 60, 70));
  return 0;
}

/* output:
16.9196 18.0326 75
56.44 93.56 5.99
123.56 26.44 2.67
0 1
106.23
*/

Dari mana aturan sinus berasal?

Aturan sinus tumbuh dari astronomi, dinyatakan dalam bentuk bidangnya oleh para matematikawan yang menulis dalam bahasa Arab, dan menjadi alat kerja para juru ukur yang mengukur seluruh negeri.

• Abad ke-10 sampai ke-13. Para matematikawan yang menulis dalam bahasa Arab, di antaranya Abu al-Wafa, al-Jayyani, dan al-Tusi, menyatakan dan membuktikan aturan sinus, pertama untuk segitiga pada bola (diperlukan untuk astronomi dan untuk arah Mekah) lalu untuk segitiga bidang. Risalah al-Tusi tentang segi empat adalah sumber paling terkenal untuk bentuk bidangnya.
• 1464. Regiomontanus menulis De triangulis omnimodis (dicetak tahun 1533), buku Eropa pertama yang memperlakukan segitiga, dengan aturan sinus, sebagai pokok bahasan tersendiri dan bukan sebagai bab astronomi.
• 1533. Gemma Frisius menguraikan triangulasi, menetapkan posisi sebuah titik dari garis dasar yang diukur dan dua sudut.
• 1617. Willebrord Snellius mengukur satu derajat meridian dengan rantai segitiga, pengukuran Bumi pertama dengan triangulasi, dalam Eratosthenes Batavus.
• Mulai 1802. Survei Trigonometri Agung India, dimulai oleh William Lambton, membawa rantai segitiga melintasi anak benua dari selatan sampai Himalaya, dengan sudut dibaca oleh alat dan sisi dihitung dengan aturan sinus. Pada 1856 ia mengumumkan tinggi Puncak XV, yang kemudian disebut Everest, sekitar 8,8 km.

Apa kesalahan umum pada aturan sinus?

Kesalahan paling umum pada aturan sinus adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: aturan sinus sekilas

• Aturannya: (a)/(\sin A)=(b)/(\sin B)=(c)/(\sin C), dengan tiap sisi di depan sudutnya; benar untuk setiap segitiga, karena \sin(180^\circ-x)=\sin x.
• Mengapa: garis tinggi h=b\sin A=a\sin B; nilai bersamanya adalah diameter 2R lingkaran yang melalui titik-titik sudut.
• ASA dan AAS: C=180^\circ-A-B, lalu k=(a)/(\sin A), b=k\sin B, c=k\sin C; satu segitiga.
• SSA: \sin B=(b\sin A)/(a) punya dua jawaban, B dan 180^\circ-B; dengan h=b\sin A dan A lancip: a<h tidak ada, a=h satu siku-siku, h<a<b dua, a\ge b satu; dengan A tumpul: a>b satu, selain itu tidak ada.
• Luas: K=\frac12ab\sin C=(abc)/(4R); dengan AAS, K=(a^2\sin B\sin C)/(2\sin A).
• Survei: garis dasar L dan sudut α, β memberi PT=(L\sinβ)/(\sin(α+β)) dan lebar h=PT\sinα; garis pandang yang berpotongan dekat sudut siku-siku paling stabil.
• Aturan mana: sisi dengan sudut di depannya, pakai sinus; SAS dan SSS, pakai kosinus lebih dulu.

Glosarium: istilah penting

Aturan sinus

Aturan bahwa pada setiap segitiga tiap sisi dibagi sinus sudut di depannya memberi bilangan yang sama, yaitu diameter lingkaran yang melalui ketiga titik sudut.

Sudut di depan

Sudut yang berseberangan dengan sebuah sisi, yang titik sudutnya bukan ujung sisi itu; sisi a berada di depan sudut A.

Lingkaran luar

Lingkaran yang melalui ketiga titik sudut sebuah segitiga; jari-jarinya R memenuhi a per sin A sama dengan 2R.

ASA dan AAS

Kasus ketika dua sudut dan satu sisi segitiga diketahui, yang menentukan tepat satu segitiga.

Kasus ambigu (SSA)

Kasus ketika dua sisi dan sudut di depan salah satunya diketahui, yang dapat cocok dengan tak ada segitiga, satu segitiga, atau dua segitiga.

Sudut berpelurus

Dua sudut yang berjumlah 180 derajat; keduanya memiliki sinus yang sama, itulah sebabnya aturan sinus dapat memberi dua jawaban.

Garis dasar

Jarak terukur antara dua titik pengamatan, yang dari sana jarak ke titik yang jauh dicari dengan dua sudut.

Triangulasi

Mencari posisi sebuah titik, atau jarak, dengan mengukur garis dasar dan sudut-sudut ke titik itu dan memecahkan segitiganya dengan aturan sinus.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (chapters on the law of sines and the law of cosines). Cengage Learning.
2. I. M. Gelfand, Mark Saul (2001). Trigonometry (2nd ed.). Birkhäuser.
3. Eli Maor (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press.
4. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
5. Johannes Regiomontanus (1533). De triangulis omnimodis. Johannes Petreius, Nuremberg.
6. Willebrord Snellius (1617). Eratosthenes Batavus. Elzevir, Leiden.
7. John Keay (2000). The Great Arc. HarperCollins.

Artikel terkait

• Segitiga: Jenis, Sudut, Luas, Titik Penting, dan Kekongruenan: Segitiga: jenis menurut sisi dan sudut, jumlah sudut 180°, ketaksamaan segitiga, luas dan rumus Heron, titik penting, kekongruenan, dan aturan sinus, dengan latihan.
• Trigonometri Dasar: Sinus, Kosinus, dan Tangen: Trigonometri dasar dijelaskan: sinus, kosinus, dan tangen segitiga siku-siku, nilai eksak pada 30°, 45°, dan 60°, lingkaran satuan, identitas, persamaan, dan grafik.
• Persamaan Trigonometri: Menyelesaikan sin x = c dan Lainnya: Cara menyelesaikan persamaan trigonometri: penyelesaian dalam interval, sudut kelipatan, kuadrat, identitas, a sin x + b cos x = c, akar palsu, dan metode numerik.
• Teorema Pythagoras: Bukti, Tripel, dan Penerapan: Teorema Pythagoras: pernyataan, empat bukti, kebalikan dan aturan 3-4-5, tripel Pythagoras, rumus jarak, dan perluasannya, dengan latihan soal.