Persamaan Trigonometri: Menyelesaikan sin x = c dan Lainnya

Apa itu persamaan trigonometri, dan mengapa ia memiliki tak berhingga penyelesaian?

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang bilangan tak diketahuinya adalah sudut di dalam satu atau lebih fungsi trigonometri, seperti \sin x=\frac12 atau 2\cos^2x=\cos x; karena fungsinya berulang, sebuah penyelesaian tidak pernah sendirian. Jika x menyelesaikan \sin x=\frac12 maka x+360^\circ juga, dan x-360^\circ juga, karena satu putaran penuh membawa titik pada lingkaran satuan kembali ke tempat yang sama. Sinus dan kosinus berulang setiap 360^\circ (yaitu 2π radian), dan tangen setiap 180^\circ (π radian). Jadi jawaban sebuah persamaan adalah sebuah keluarga yang memuat bilangan bulat n, atau sebuah daftar penyelesaian dalam interval yang disebut soal.

Inilah yang membedakan persamaan dari identitas (lihat artikel tentang identitas): identitas benar untuk setiap sudut, sedangkan persamaan benar untuk sebagian, dan menyelesaikannya berarti menemukan semuanya. Kasus dasar \sin x=c, \cos x=c, dan \tan x=c ada di artikel trigonometri dasar. Di sini yang datang sesudahnya: cara mendaftar penyelesaian dalam interval, persamaan dengan sudut kelipatan, persamaan kuadrat, persamaan yang memerlukan identitas, mengapa sebagian langkah menghilangkan penyelesaian atau menambah yang palsu, dan apa yang dilakukan bila tak ada rumus.

Sudut di bawah ini dalam derajat, seperti pada artikel trigonometri lain, kecuali di bagian terakhir, ketika persamaan mencampur bilangan tak diketahui dengan bilangan biasa dan radian adalah satu-satunya pilihan. Untuk memakai radian di tempat lain, ganti 360^\circ dengan 2π dan 180^\circ dengan π.

Bagaimana memilih penyelesaian yang berada dalam interval tertentu?

Untuk mendaftar penyelesaian dalam suatu interval, tulis penyelesaian umum dengan bilangan bulat n, masukkan ke pertidaksamaan yang menyatakan interval itu, dan ambil bilangan bulat n yang cocok. Interval-lah yang memilih anggota tiap keluarga, tanpa menebak.

Untuk \sin x=\frac12 dengan -180^\circ\le x<540^\circ, kedua keluarganya adalah 30^\circ+360^\circ n dan 150^\circ+360^\circ n:

Jadi x=30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ. Untuk \tan x=√3 dengan -360^\circ\le x\le360^\circ hanya ada satu keluarga, 60^\circ+180^\circ n, dan -360\le60+180n\le360 berarti -2,33\le n\le1,67, sehingga n=-2,-1,0,1 dan x=-300^\circ, -120^\circ, 60^\circ, 240^\circ.

Kita juga dapat memperkirakan banyaknya. Interval sepanjang L derajat memuat (L)/(360) putaran, dan untuk |c|<1 setiap putaran memuat dua penyelesaian \sin x=c dan dua penyelesaian \cos x=c, sedangkan setiap 180^\circ memuat satu penyelesaian \tan x=c. Di ujung jangkauan, c=±1 untuk sinus dan kosinus, kedua keluarga berimpit dan hanya ada satu penyelesaian per putaran: gelombang menyentuh garis, bukan memotongnya. Dalam radian, interval 0\le x<2π yang sama memberi \sin x=\frac12 dengan penyelesaian (π)/(6) dan (5π)/(6).

Bagaimana menyelesaikan persamaan seperti sin 2x = 1/2, dengan sudut kelipatan x?

Untuk menyelesaikan \sin(kx+b)=c dengan k>0, selesaikan persamaan dasar untuk seluruh sudut u=kx+b pada interval yang k kali lebih panjang, lalu kurangi b dan bagi k. Langkah yang sering dilewati adalah yang pertama: ketika x berjalan dari 0^\circ sampai 360^\circ, sudut u=2x berjalan dari 0^\circ sampai 720^\circ, dua putaran penuh, sehingga penyelesaiannya dua kali lebih banyak.

Contoh. \sin2x=\frac12 untuk 0^\circ\le x<360^\circ. Misalkan u=2x, sehingga 0^\circ\le u<720^\circ. Maka \sin u=\frac12 memberi u=30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ dan, setelah dibagi dua, x=15^\circ, 75^\circ, 195^\circ, 255^\circ. Empat penyelesaian, bukan dua. Hanya menyelesaikan 2x=30^\circ dan 2x=150^\circ akan menemukan dua yang pertama dan melewatkan putaran kedua.

Dengan pergeseran. \cos(3x-30^\circ)=\frac12 untuk 0^\circ\le x<360^\circ. Misalkan u=3x-30^\circ, sehingga -30^\circ\le u<1050^\circ. Maka \cos u=\frac12 memberi u=60^\circ, 300^\circ, 420^\circ, 660^\circ, 780^\circ, 1020^\circ (nilai -60^\circ berada di bawah jangkauan), dan x=(u+30^\circ)/(3)=30^\circ, 110^\circ, 150^\circ, 230^\circ, 270^\circ, 350^\circ. Banyaknya mengikuti aturan: dalam satu putaran ada 2k penyelesaian (k penyelesaian bila c=±1 untuk sinus dan kosinus), dan berulang setiap (360^\circ)/(k), atau (180^\circ)/(k) untuk tangen. Bila k negatif, pakai \sin(-u)=-\sin u dan \cos(-u)=\cos u untuk membuatnya positif terlebih dulu.

Coba nilai k, b, dan c lain di bawah, dan baca penyelesaian umumnya.

Bagaimana menyelesaikan persamaan yang kuadrat dalam sin x, cos x, atau tan x?

Persamaan yang kuadrat dalam satu fungsi trigonometri diselesaikan dengan menulis u untuk fungsi itu, menyelesaikan kuadrat dalam u, lalu menyelesaikan satu persamaan dasar untuk setiap akar, dan hanya menyimpan akar yang dapat dicapai suatu sudut. Untuk sinus dan kosinus akarnya harus di antara -1 dan 1; untuk tangen setiap akar diperbolehkan.

1. Ganti fungsinya dengan u: 2\sin^2x-\sin x-1=0 menjadi 2u^2-u-1=0.
2. Cari u dengan pemfaktoran atau rumus kuadrat: (2u+1)(u-1)=0, sehingga u=-\frac12 atau u=1.
3. Buang akar dengan |u|>1 bila u adalah sinus atau kosinus.
4. Untuk setiap akar yang tersisa, selesaikan \sin x=u: \sin x=-\frac12 memberi 210^\circ dan 330^\circ, dan \sin x=1 memberi 90^\circ.
5. Daftar semua sudutnya: x=90^\circ, 210^\circ, 330^\circ.

Perhatikan bahwa penyelesaiannya tiga, bukan empat. Akar u=1 adalah nilai tertinggi yang dicapai sinus, sehingga dicapai sekali per putaran, seperti pada gambar: kurvanya menyentuh sumbu di sana.

Bila akar berada di luar jangkauan. \sin^2x-\sin x-2=0 difaktorkan menjadi (\sin x-2)(\sin x+1)=0. Akar \sin x=2 mustahil, karena tak ada sudut dengan sinus di atas 1, dan \sin x=-1 memberi x=270^\circ. Jadi satu-satunya penyelesaian adalah 270^\circ. Dengan cara yang sama \cos^2x=4 punya akar \cos x=2 dan \cos x=-2 dan sama sekali tak punya penyelesaian. Pada tangen tidak ada batas seperti itu: \tan^2x=3 memberi \tan x=±√3 dan x=60^\circ, 120^\circ, 240^\circ, 300^\circ.

Atur koefisien di bawah untuk melihat akar u, mana yang dapat dicapai sebuah sudut, dan grafik ruas kirinya.

Mengapa kita tidak boleh membagi kedua ruas dengan sin x atau cos x?

Membagi kedua ruas dengan \sin x atau \cos x hanya sah pada sudut yang fungsi itu tidak nol, dan sudut yang membuatnya nol bisa jadi penyelesaian, yang diam-diam dibuang oleh pembagian itu. Langkah yang aman adalah langkah dari aljabar: bawa semuanya ke satu ruas lalu faktorkan.

Ambil \sin2x=\cos x pada 0^\circ\le x<360^\circ.

Sudut yang hilang, 90^\circ dan 270^\circ, tepat yang membuat \cos x=0, yaitu pembagi tadi. Hal yang sama terjadi pada \tan x=2\sin x: menulis \tan x=(\sin x)/(\cos x) lalu mencoret \sin x menghilangkan 0^\circ dan 180^\circ, sedangkan \sin x (1-2\cos x)=0 setelah dikalikan \cos x menemukan \sin x=0 dan \cos x=\frac12 sehingga 0^\circ, 60^\circ, 180^\circ, 300^\circ. Bila memang ingin membagi, selesaikan dulu kasus ketika pembaginya nol secara terpisah, baru bagi dan selesaikan sisanya.

Identitas mana yang dipakai untuk mengubah persamaan sulit menjadi mudah?

Pakailah identitas yang meninggalkan satu fungsi trigonometri dari satu sudut, karena itulah bentuk yang sudah kita tahu cara menyelesaikannya. Apa yang tampak pada persamaan menunjukkan identitas mana.

Rumus-rumusnya diturunkan di artikel tentang rumus sudut ganda. Contoh yang dikerjakan: \sin3x=\sin x. Pindahkan semuanya ke satu ruas, \sin3x-\sin x=0, dan pakai rumus jumlah menjadi hasil kali, \sin3x-\sin x=2\cos2x \sin x. Hasil kali bernilai nol bila salah satu faktornya nol, jadi \sin x=0, memberi 0^\circ, 180^\circ, atau \cos2x=0, memberi 2x=90^\circ+180^\circ n dan x=45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ. Enam penyelesaian. Jalan lain, dengan rumus sudut rangkap tiga, mencapai enam yang sama tetapi dengan aljabar lebih banyak, itulah sebabnya pemilihan identitas penting.

Di bawah ada sebelas persamaan yang diselesaikan satu baris demi satu baris, masing-masing baris dengan alasannya. Grafiknya memperlihatkan kedua ruas dan tempat keduanya bertemu.

Bagaimana menyelesaikan a sin x + b cos x = c?

Untuk menyelesaikan a\sin x+b\cos x=c, tulis ruas kiri sebagai satu gelombang R\sin(x+φ) dengan R=√(a^2+b^2) dan φ=\operatornameatan2(b,a); persamaannya menjadi \sin(x+φ)=c/R, persamaan dasar. Ini berhasil tepat ketika |c|\le R, karena R adalah nilai tertinggi yang dicapai gelombang. Pengubahannya diturunkan di artikel tentang rumus hasil kali menjadi jumlah dan satu gelombang.

Contoh. √3\sin x+\cos x=1. Di sini R=√(3+1)=2 dan φ=\operatornameatan2(1,√3)=30^\circ, sehingga 2\sin(x+30^\circ)=1, yaitu \sin(x+30^\circ)=\frac12. Maka x+30^\circ=30^\circ atau 150^\circ (ditambah 360^\circ n), sehingga x=0^\circ atau x=120^\circ. Periksa yang kedua: √3\sin120^\circ+\cos120^\circ=\frac32-\frac12=1. Dengan bilangan yang kurang ramah langkahnya sama: 3\sin x+4\cos x=2,5 memiliki R=5, φ≈53,13^\circ, dan penyelesaian 96,87^\circ dan 336,87^\circ. Bila c lebih besar dari R tidak ada penyelesaian: 3\sin x+4\cos x=6 mustahil, karena ruas kiri tidak pernah melebihi 5.

Ada dua cara lain. Mengkuadratkan (pisahkan satu suku, kuadratkan, pakai \sin^2x+\cos^2x=1) selalu berhasil tetapi menambah akar palsu, yang dibahas berikutnya. Substitusi sudut paruh t=\tanx/2 mengubah \sin x menjadi (2t)/(1+t^2) dan \cos x menjadi (1-t^2)/(1+t^2) dan persamaan menjadi kuadrat dalam t; ia menghilangkan x=180^\circ, tempat \tanx/2 tidak ada, sehingga sudut itu harus dicoba terpisah. Satu gelombang tidak memerlukan pemeriksaan tambahan apa pun, itulah sebabnya ia pilihan pertama.

Mengapa sebagian jawaban gagal saat diperiksa, dan bagaimana menghindari akar palsu?

Akar palsu (extraneous) adalah jawaban yang dihasilkan langkah-langkah tetapi tidak memenuhi persamaan semula; ia muncul setiap kali ada langkah yang tidak dapat dibalik, seperti mengkuadratkan, dan obatnya adalah memeriksa setiap kandidat pada persamaan semula. Mengkuadratkan mengubah A=B menjadi A^2=B^2, yang juga benar bila A=-B. Mengalikan dengan ekspresi yang bisa nol berakibat sama.

Contoh. Selesaikan \sin x+\cos x=1 pada 0^\circ\le x<360^\circ. Mengkuadratkan memberi \sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1, yaitu 1+\sin2x=1, sehingga \sin2x=0 dan 2x=0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, yaitu x=0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ. Sekarang periksa masing-masing pada persamaan semula: pada 0^\circ jumlahnya 0+1=1 (benar), pada 90^\circ jumlahnya 1+0=1 (benar), pada 180^\circ jumlahnya 0-1=-1 (salah), dan pada 270^\circ jumlahnya -1+0=-1 (salah). Penyelesaiannya 0^\circ dan 90^\circ; dua lainnya menyelesaikan \sin x+\cos x=-1, persamaan yang juga terkandung dalam pengkuadratan. Dengan satu gelombang, √2\sin(x+45^\circ)=1, diperoleh x+45^\circ=45^\circ atau 135^\circ dan dua jawaban yang sama tanpa ada yang perlu diperiksa.

Sudut yang tak terdefinisi juga akar palsu. \tan x\cos x=1 menyederhana menjadi \sin x=1, yang menyarankan x=90^\circ. Tetapi \tan90^\circ tidak ada, sehingga 90^\circ bukan penyelesaian, dan persamaan ini sama sekali tak punya penyelesaian. Kehati-hatian yang sama berlaku untuk apa pun yang memuat \tan, \sec, \csc, \cot, penyebut, atau akar kuadrat: daftar sudut yang dilarang persamaan semula sebelum mulai, dan coret di akhir.

Terakhir, persamaan tanpa penyelesaian real masih bisa punya penyelesaian kompleks: \sin x=2 tak punya penyelesaian di antara sudut real, tetapi dengan rumus Euler diperoleh x=(π)/(2)± i\ln(2+√3), dengan \ln(2+√3)≈1,317.

Bagaimana jika tak ada rumus yang cocok? Menyelesaikan cos x = x dengan grafik, bisection, dan metode Newton

Bila bilangan tak diketahui muncul sebagai bilangan biasa sekaligus di dalam fungsi trigonometri, seperti pada \cos x=x, tak ada aljabar yang memberi jawabannya, sehingga kita menggambar grafiknya, mengurung akar di antara dua titik yang tandanya berubah, lalu mendekatinya dengan bisection atau metode Newton. Sekarang x adalah bilangan, bukan sudut dalam derajat, dan ia harus dalam radian: \cos x=x punya akar di 0,7391, dan kalkulator dengan mode derajat menjawab pertanyaan yang lain.

1. Gambar grafiknya. Gambar y=\cos x dan y=x, atau f(x)=\cos x-x dan lihat di mana ia memotong nol. Ini menunjukkan banyaknya akar (satu di sini, karena \cos x turun sedangkan x naik) dan kira-kira letaknya.
2. Apit akarnya. Cari a<b dengan f(a) dan f(b) berlawanan tanda: f(0)=1>0 dan f(1)=-0,46<0. Fungsi kontinu yang berubah tanda pasti bernilai nol di suatu titik di antaranya.
3. Bisection. Lihat titik tengahnya dan simpan separuh yang tandanya masih berubah. Interval terbelah dua setiap langkah, sehingga galat setelah n langkah paling banyak (b-a)/(2^n): satu angka biner lagi, sekitar 0,3 angka desimal, per langkah. Empat puluh langkah memberi dua belas desimal. Lambat tetapi tidak pernah gagal.
4. Metode Newton. Dari tebakan x, ikuti garis singgung sampai sumbu: x_n+1=x_n-(f(x_n))/(f'(x_n)), di sini dengan f'(x)=-\sin x-1. Dekat akar ia kira-kira menggandakan banyaknya angka benar tiap langkah (lihat artikel tentang metode Newton) tetapi memerlukan awal yang baik dan dapat gagal (lihat tempat ia salah).

Tabel memperlihatkan keduanya pada \cos x=x, bisection pada [0,1] dan Newton dari x_0=1; akarnya 0,7390851332.

Menekan tombol kosinus berulang-ulang pada kalkulator mode radian memang menuju bilangan yang sama, karena x_n+1=\cos x_n mengecilkan jarak ke akar dengan faktor sekitar \sin0,739≈0,67 tiap kali, yang lambat dibandingkan Newton. Pilih persamaan lain di bawah, atau telusuri tiap metode langkah demi langkah.

Bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri dalam program?

Program menyelesaikan \sin(kx+b)=c dengan langkah yang sama seperti di kertas: ambil sudut pokok dengan asin, tambahkan bayangan cerminnya, telusuri bilangan bulat n, dan simpan x yang jatuh dalam interval. Tiga hal penting. asin dan acos hanya mengembalikan satu sudut (asin antara -90^\circ dan 90^\circ), sehingga keluarga kedua harus kita tambahkan sendiri. Akar yang berimpit, seperti pada c=1, tidak boleh didaftar dua kali, dan galat bilangan desimal seperti 89,99999999 membuat uji kesamaan tidak andal, jadi bulatkan sebelum membandingkan. Dan nilai di luar ±1 membuat asin gagal, jadi ujilah terlebih dulu.

Program di bawah menyelesaikan empat persamaan dari artikel ini, \sin x=\frac12, \sin2x=\frac12, \sin x=2 (tanpa penyelesaian), dan 2\sin^2x-\sin x-1=0 lewat akar u=-\frac12 dan u=1, lalu menyelesaikan \cos x=x dengan bisection pada [0,1] sampai interval lebih pendek dari 10^-12, yang memerlukan 40 langkah dan memberi 0,7390851332.

import math


def solve(fn, k, b, c, lo=0.0, hi=360.0):
    """Every x in [lo, hi) with fn(k*x + b) = c, in degrees (k > 0), for fn = 'sin' or 'cos'."""
    if abs(c) > 1:
        return []                                            # no angle has a sine or cosine beyond 1
    alpha = math.degrees(math.asin(c) if fn == 'sin' else math.acos(c))
    mirrors = [alpha, 180 - alpha] if fn == 'sin' else [alpha, -alpha]
    found = set()
    for u0 in mirrors:                                       # k*x + b = u0 + 360 n
        n = math.floor((k * lo + b - u0) / 360) - 1          # start a turn early, filter below
        while True:
            x = (u0 + 360 * n - b) / k
            if x >= hi:
                break
            if x >= lo:
                found.add(round(x, 9))
            n += 1
    return sorted(found)


print(solve('sin', 1, 0, 0.5))                  # [30.0, 150.0]
print(solve('sin', 2, 0, 0.5))                  # [15.0, 75.0, 195.0, 255.0]
print(solve('cos', 3, 0, 0.5, 0, 120))          # [20.0, 100.0]
print(solve('sin', 1, 0, 2))                    # []

# 2 sin^2 x - sin x - 1 = 0: a quadratic in u = sin x
a, b, c = 2, -1, -1
d = b * b - 4 * a * c
for u in [(-b - math.sqrt(d)) / (2 * a), (-b + math.sqrt(d)) / (2 * a)]:
    print(u, solve('sin', 1, 0, u))             # -0.5 [210.0, 330.0], then 1.0 [90.0]


def bisect(f, lo, hi, tol=1e-12):
    """Halve [lo, hi] until it is shorter than tol; f(lo) and f(hi) must have opposite signs."""
    steps = 0
    while hi - lo > tol:
        mid = (lo + hi) / 2
        if f(lo) * f(mid) <= 0:
            hi = mid
        else:
            lo = mid
        steps += 1
    return (lo + hi) / 2, steps


root, steps = bisect(lambda x: math.cos(x) - x, 0, 1)
print(round(root, 10), steps)                   # 0.7390851332 40

x = 1.0                                         # Newton: x - f(x)/f'(x) with f = cos x - x
for _ in range(4):
    x -= (math.cos(x) - x) / (-math.sin(x) - 1)
print(round(x, 10))                             # 0.7390851332

function solve(fn, k, b, c, lo = 0, hi = 360) {
  // every x in [lo, hi) with fn(k*x + b) = c, in degrees (k > 0), for fn = 'sin' or 'cos'
  if (Math.abs(c) > 1) return []                                  // no angle has a sine or cosine beyond 1
  const alpha = ((fn === 'sin' ? Math.asin(c) : Math.acos(c)) * 180) / Math.PI
  const mirrors = fn === 'sin' ? [alpha, 180 - alpha] : [alpha, -alpha]
  const found = new Set()
  for (const u0 of mirrors) {                                     // k*x + b = u0 + 360 n
    for (let n = Math.floor((k * lo + b - u0) / 360) - 1; ; n++) { // start a turn early, filter below
      const x = (u0 + 360 * n - b) / k
      if (x >= hi) break
      if (x >= lo) found.add(Math.round(x * 1e9) / 1e9)
    }
  }
  return [...found].sort((p, q) => p - q)
}

solve('sin', 1, 0, 0.5)                    // [30, 150]
solve('sin', 2, 0, 0.5)                    // [15, 75, 195, 255]
solve('cos', 3, 0, 0.5, 0, 120)            // [20, 100]
solve('sin', 1, 0, 2)                      // []

// 2 sin^2 x - sin x - 1 = 0: a quadratic in u = sin x
const [a, b, c] = [2, -1, -1]
const d = b * b - 4 * a * c
;[(-b - Math.sqrt(d)) / (2 * a), (-b + Math.sqrt(d)) / (2 * a)].map((u) => [u, solve('sin', 1, 0, u)])
// [[-0.5, [210, 330]], [1, [90]]]

function bisect(f, lo, hi, tol = 1e-12) {
  // halve [lo, hi] until it is shorter than tol; f(lo) and f(hi) must have opposite signs
  let steps = 0
  while (hi - lo > tol) {
    const mid = (lo + hi) / 2
    if (f(lo) * f(mid) <= 0) hi = mid
    else lo = mid
    steps++
  }
  return [(lo + hi) / 2, steps]
}

const [root, steps] = bisect((x) => Math.cos(x) - x, 0, 1)
;[+root.toFixed(10), steps]                // [0.7390851332, 40]

let x = 1                                  // Newton: x - f(x)/f'(x) with f = cos x - x
for (let i = 0; i < 4; i++) x -= (Math.cos(x) - x) / (-Math.sin(x) - 1)
+x.toFixed(10)                             // 0.7390851332

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.14159265358979323846;
double found[64];                                  // the solutions of the last call

// Every x in [lo, hi) with sin(k x + b) = c (degrees, k > 0), sorted, in found[]; returns how many.
int solveSin(double k, double b, double c, double lo, double hi) {
  int count = 0;
  if (fabs(c) > 1) return 0;                       // no angle has a sine beyond 1
  double alpha = asin(c) * 180.0 / PI;
  for (int mirror = 0; mirror < 2; mirror++) {
    double u0 = mirror == 0 ? alpha : 180.0 - alpha;   // k x + b = u0 + 360 n
    int n = (int)floor((k * lo + b - u0) / 360.0) - 1;
    while (count < 60) {
      double x = (u0 + 360.0 * n - b) / k;
      if (x >= hi) break;
      if (x >= lo) {
        int seen = 0;
        for (int i = 0; i < count; i++) if (fabs(found[i] - x) < 1e-9) seen = 1;
        if (seen == 0) { found[count] = x; count++; }
      }
      n++;
    }
  }
  for (int i = 1; i < count; i++) {                // insertion sort
    double v = found[i];
    int j = i - 1;
    while (j >= 0 && found[j] > v) { found[j + 1] = found[j]; j--; }
    found[j + 1] = v;
  }
  return count;
}

void show(int count) {
  if (count == 0) printf("none");
  for (int i = 0; i < count; i++) {
    if (i > 0) printf(" ");
    printf("%.1f", found[i]);
  }
  printf("\n");
}

double f(double x) { return cos(x) - x; }

int main() {
  show(solveSin(1, 0, 0.5, 0, 360));
  show(solveSin(2, 0, 0.5, 0, 360));
  show(solveSin(1, 0, 2, 0, 360));
  // 2 sin^2 x - sin x - 1 = 0: a quadratic in u = sin x
  double a = 2, b = -1, c = -1;
  double d = b * b - 4 * a * c;
  show(solveSin(1, 0, (-b - sqrt(d)) / (2 * a), 0, 360));
  show(solveSin(1, 0, (-b + sqrt(d)) / (2 * a), 0, 360));
  // cos x = x by bisection on [0, 1]
  double lo = 0, hi = 1;
  int steps = 0;
  while (hi - lo > 1e-12) {
    double mid = (lo + hi) / 2;
    if (f(lo) * f(mid) <= 0) hi = mid; else lo = mid;
    steps++;
  }
  printf("%.10f %d\n", (lo + hi) / 2, steps);
  return 0;
}

/* output:
30.0 150.0
15.0 75.0 195.0 255.0
none
210.0 330.0
90.0
0.7390851332 40
*/

Dari mana persamaan trigonometri berasal?

Persamaan trigonometri bermula sebagai pencarian tabel yang dijalankan terbalik dalam astronomi, dan yang paling penting, persamaan Kepler, persis jenis yang tidak punya rumus.

• Sekitar 150 M. Almagest Ptolemeus memuat tabel tali busur lingkaran. Mencari sudut untuk tali busur tertentu berarti membaca tabel itu terbalik dan menginterpolasi dua entri, yaitu menyelesaikan \sin x=c secara numerik.
• Sekitar 500 M. Tabel sinus Aryabhata memuat 24 nilai, satu untuk setiap 3,75^\circ, dan tabel seperti itu dapat dibaca maju, dari sudut ke sinus, atau mundur, dari sinus ke sudut, yaitu menyelesaikan \sin x=c dengan mencari di tabel.
• 1609. Astronomia nova karya Kepler memuat persamaan M=E-e\sin E yang menghubungkan waktu sejak planet melewati titik terdekatnya (M) dengan posisinya (E). Tak ada rumus yang menyelesaikan E dalam M, sehingga sejak itu persamaan ini diselesaikan dengan iterasi.
• 1687. Principia karya Newton memberi metode iteratif untuk soal Kepler, pendahulu metode yang kini memakai namanya.
• 1824. Bessel menulis E sebagai deret fungsi yang kini memakai namanya, jawaban lain untuk persamaan yang sama.
• Sekarang. Kalkulator dan pustaka mengembalikan nilai pokok asin, acos, dan atan dan menyerahkan keluarga lainnya kepada pengguna; persamaan seperti \cos x=x diserahkan kepada bisection atau metode Newton.

Apa kesalahan umum saat menyelesaikan persamaan trigonometri?

Kesalahan paling umum saat menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan langkah yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: persamaan trigonometri sekilas

• Banyak penyelesaian: fungsinya berulang (360^\circ untuk sinus dan kosinus, 180^\circ untuk tangen), sehingga jawabannya adalah keluarga dengan bilangan bulat n atau daftar dalam sebuah interval.
• Interval: masukkan keluarga ke pertidaksamaan dan ambil bilangan bulat n yang cocok; kira-kira dua penyelesaian per putaran untuk \sin x=c dan \cos x=c, satu per 180^\circ untuk \tan x=c.
• Sudut kelipatan: \sin(kx+b)=c: selesaikan untuk u=kx+b pada interval yang k kali lebih panjang, lalu x=(u-b)/(k); 2k penyelesaian per putaran.
• Kuadrat: misalkan u, selesaikan, buang |u|>1 untuk sinus dan kosinus, selesaikan persamaan dasarnya; akar u=±1 memberi satu sudut.
• Membagi: jangan pernah dengan fungsi yang bisa nol; pindahkan semuanya ke satu ruas lalu faktorkan.
• Identitas: pakai yang meninggalkan satu fungsi dari satu sudut; a\sin x+b\cos x=R\sin(x+φ) memerlukan |c|\le R.
• Akar palsu: mengkuadratkan dan mengalikan dapat menambahnya, sudut tak terdefinisi bukan penyelesaian; periksa setiap kandidat pada persamaan semula.
• Tanpa rumus: \cos x=x: gambar, apit, bisection (satu angka biner per langkah) atau Newton (x-(f)/(f')), dengan x dalam radian.

Glosarium: istilah penting

Persamaan trigonometri

Persamaan yang bilangan tak diketahuinya adalah sudut di dalam satu atau lebih fungsi trigonometri, benar untuk sebagian sudut dan tidak untuk yang lain.

Penyelesaian umum

Keluarga semua penyelesaian sebuah persamaan trigonometri, ditulis dengan bilangan bulat n, seperti 30 derajat ditambah 360 derajat kali n.

Nilai pokok

Satu sudut yang dikembalikan fungsi invers seperti arcsin, yang darinya keluarga penyelesaian lain dibangun.

Persamaan sudut kelipatan

Persamaan seperti sin 2x = 1/2 dengan fungsi yang dikenakan pada kelipatan bilangan tak diketahui, sehingga memiliki 2k penyelesaian per putaran.

Kuadrat dalam fungsi trigonometri

Persamaan berbentuk a u kuadrat ditambah b u ditambah c sama dengan nol, dengan u adalah sin x, cos x, atau tan x, yang diselesaikan dengan memisalkan u.

Akar palsu

Jawaban yang dihasilkan langkah-langkah penyelesaian, seperti mengkuadratkan, yang tidak memenuhi persamaan semula.

Penyelesaian yang hilang

Penyelesaian yang lenyap karena sebuah langkah, seperti membagi dengan ekspresi yang dapat bernilai nol, tidak sah pada sudut itu.

Bisection

Cara mencari akar dengan membelah dua berulang-ulang sebuah interval tempat fungsi kontinu berubah tanda, dengan menyimpan separuh yang masih berubah tanda.

Apitan

Dua titik tempat fungsi kontinu memiliki tanda berlawanan, yang menjamin adanya akar di antaranya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (chapters on analytic trigonometry). Cengage Learning.
2. I. M. Gelfand, Mark Saul (2001). Trigonometry (2nd ed.). Birkhäuser.
3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden (2015). Numerical Analysis (10th ed., chapter 2, solutions of equations in one variable). Cengage Learning.
4. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions (section 4.3, circular functions). National Bureau of Standards.
5. Eli Maor (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press.
6. Johannes Kepler (1609). Astronomia nova. Heidelberg.
7. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.

Artikel terkait

• Identitas Trigonometri: Rumus Jumlah, Sudut Ganda, dan Pembuktian: Identitas trigonometri dijelaskan: rumus Pythagoras, jumlah, sudut ganda, sudut paruh, dan hasil kali, cara membuktikan identitas, dan cara mengujinya.
• Trigonometri Dasar: Sinus, Kosinus, dan Tangen: Trigonometri dasar dijelaskan: sinus, kosinus, dan tangen segitiga siku-siku, nilai eksak pada 30°, 45°, dan 60°, lingkaran satuan, identitas, persamaan, dan grafik.
• Metode Newton: Metode Newton untuk menyelesaikan f(x) = 0: rumus dari garis singgung, contoh, konvergensi kuadrat, kapan gagal, akar kuadrat dengan tangan, dan kode.
• Fungsi Trigonometri Invers: Fungsi trigonometri invers: domain dan jangkauan, turunan arcsin, arctan, dan arcsec dengan bukti, identitas kofungsi, dan sudut pandang terbaik.