Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Metode dan Grafik

Apa itu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)?

Sistem dua persamaan linear dengan dua variabel adalah sepasang persamaan, a_1x+b_1y=c_1 dan a_2x+b_2y=c_2, yang harus benar sekaligus; penyelesaiannya adalah pasangan bilangan (x,y) yang membuat keduanya benar. "Linear" berarti tiap bilangan tak diketahui hanya berpangkat satu dan hanya dikalikan bilangan, sehingga tiap persamaan adalah garis lurus. Di sekolah di Indonesia topik ini disebut SPLDV, singkatan dari sistem persamaan linear dua variabel.

Ambil x+y=10. Ia punya tak terhingga penyelesaian: (0,10), (4,6), (5,5), (6,4), (10,0), dan setiap pasangan lain yang berjumlah 10. Persamaan x-y=2 juga punya tak terhingga: (2,0), (3,1), (6,4), (8,6). Hanya satu pasangan yang ada di kedua daftar, (6,4), dan itulah penyelesaian sistem \begincases x+y=10 \ x-y=2 \endcases Periksa di kedua persamaan: 6+4=10 dan 6-4=2. Tiap persamaan sendirian menyisakan satu derajat kebebasan; persamaan kedua menghilangkannya, itulah sebabnya dua persamaan dapat memastikan dua bilangan tak diketahui. Menuliskan soal cerita sebagai pasangan seperti itu adalah keterampilan mengubah kalimat menjadi aljabar.

Apa yang ditunjukkan grafik sistem, dan berapa banyak penyelesaian yang mungkin?

Tiap persamaan adalah garis, dan penyelesaian sistem adalah tempat kedua garis bertemu, sehingga sistem punya tepat satu penyelesaian, tidak ada, atau tak terhingga. Bila b\ne0 persamaan ax+by=c adalah garis y=(c-ax)/(b) dengan kemiringan -\frac ab; bila b=0 ia garis tegak x=\frac ca. Dua garis di bidang hanya dapat berada pada tiga posisi:

Bilangan D menentukan karena dua garis sejajar tepat ketika kemiringannya sama: -(a_1)/(b_1)=-(a_2)/(b_2), yang setelah dikali silang menjadi a_1b_2=a_2b_1, yaitu D=0. Bila D=0 kedua garis saling menumpuk atau berjauhan, dan ruas kanan yang memberi tahu mana: bila c_2 adalah kelipatan c_1 yang sama dengan kelipatan bilangan lainnya, persamaan kedua adalah persamaan pertama yang menyamar.

Jalan pintas di sekolah membandingkan rasio: satu penyelesaian bila (a_1)/(a_2)\ne(b_1)/(b_2), tidak ada bila (a_1)/(a_2)=(b_1)/(b_2)\ne(c_1)/(c_2), tak terhingga bila ketiga rasio sama. Ia gagal bila ada koefisien 0 (tak dapat dibagi), dan D tak pernah gagal. Ketik dua persamaan mana pun di bawah dan lihat garisnya.

Bagaimana menyelesaikan sistem dengan metode substitusi?

Untuk menyelesaikan dengan substitusi, selesaikan satu persamaan untuk satu variabel, masukkan ungkapan itu ke persamaan lain, selesaikan persamaan satu variabel yang dihasilkan, lalu kembali mencari variabel yang lain. Ambil \begincases 2x-y=1 \ 3x+2y=12 \endcases 1. Selesaikan persamaan pertama untuk y, yang berkoefisien -1: y=2x-1. 2. Masukkan itu sebagai y ke persamaan yang lain: 3x+2(2x-1)=12. 3. Jabarkan dan gabungkan suku sejenis (lihat aturannya): 3x+4x-2=12, sehingga 7x=14 dan x=2. 4. Kembali: y=2·2-1=3.

Penyelesaiannya (2,3). Periksa kedua persamaan: 2·2-3=1 dan 3·2+2·3=12. Dua hal paling sering salah. Memasukkan ke persamaan yang sama dengan asal ungkapan itu hanya menghasilkan 0=0 atau x=x, karena itu fakta yang sama dua kali. Dan kurung yang hilang di sekitar ungkapan yang dimasukkan mengubah jumlahnya: yang benar 2(2x-1), bukan 2·2x-1.

Substitusi paling baik bila ada variabel berkoefisien 1 atau -1, seperti di sini. Bila semua koefisien lebih besar, mengisolasi sebuah variabel menimbulkan pecahan: pada 2x+3y=12 dan 3x-2y=5, menyelesaikan yang pertama untuk x memberi x=6-\frac32y, dan pekerjaan lebih mudah dengan eliminasi, berikut.

Bagaimana menyelesaikan sistem dengan metode eliminasi?

Untuk menyelesaikan dengan eliminasi, kalikan persamaan agar satu variabel memiliki koefisien yang sama besar, lalu jumlahkan persamaan bila koefisiennya berlawanan tanda (atau kurangkan bila tandanya sama), sehingga variabel itu habis. Persamaan boleh dijumlahkan karena menambah hal yang sama pada kedua ruas pernyataan yang benar menjaganya tetap benar.

Kasus mudah dulu, x+y=10 dan x-y=2: koefisien y sudah berlawanan, jadi penjumlahan memberi 2x=12, x=6, dan persamaan pertama memberi y=4.

Bila tak ada variabel yang habis sekaligus, ubah skala persamaan. Untuk \begincases 2x+3y=12 \ 3x-2y=5 \endcases buat koefisien y menjadi 6 dan -6: kalikan persamaan pertama dengan 2 dan yang kedua dengan 3. \begincases 4x+6y=24 \ 9x-6y=15 \endcases Menjumlahkan menghabiskan y: 13x=39, sehingga x=3. Masukkan x=3 ke persamaan pertama semula: 6+3y=12, sehingga y=2. Periksa yang kedua: 3·3-2·2=5. Pengalinya berasal dari kelipatan persekutuan terkecil kedua koefisien, di sini 6 (lihat KPK); pakai yang terkecil, agar bilangan tetap kecil. Mengeliminasi x sebagai gantinya sama baiknya: kalikan dengan 3 dan 2 lalu kurangkan.

Dua kewaspadaan. Kalikan setiap suku persamaan, kedua ruas termasuk. Dan saat mengurangkan sebuah persamaan, ubah tanda setiap suku di dalamnya, bukan hanya yang pertama. Cobalah sistemmu sendiri, dengan langkah-langkah yang ditulis, di bawah: salah satu dari tiga metode, dengan pecahan eksak sepanjang jalan.

Apa yang terjadi bila sistem tidak punya penyelesaian atau punya tak terhingga?

Bila eliminasi menghabiskan setiap variabel, yang tersisa adalah pernyataan tanpa bilangan tak diketahui: bila benar (0=0) sistem punya tak terhingga penyelesaian, dan bila salah (0=-4) ia tidak punya. Tak ada yang keliru; aljabar sedang melaporkan geometrinya.

Tanpa penyelesaian. Untuk 2x+4y=10 dan x+2y=7, kalikan yang kedua dengan 2 untuk mendapat 2x+4y=14 dan kurangkan dari yang pertama: 0=-4. Itu salah untuk setiap x dan y, sehingga tak ada pasangan yang memenuhi keduanya: garisnya sejajar. Ruas kirinya cocok (satu dua kali yang lain) tetapi ruas kanannya tidak.

Tak terhingga penyelesaian. Untuk x+2y=4 dan 3x+6y=12, kalikan yang pertama dengan 3 untuk mendapat 3x+6y=12 dan kurangkan yang kedua: 0=0. Itu selalu benar, jadi persamaan kedua tak memberi hal baru: ia persamaan pertama yang menyamar, dan setiap titik pada garis x+2y=4 adalah penyelesaian. Mereka dapat didaftar dengan memilih y=t bebas: x=4-2t, y=t, memberi (4,0) untuk t=0, (2,1) untuk t=1, (0,2) untuk t=2, dan seterusnya.

Jangan tertukar: 0=0 benar, sehingga ada banyak penyelesaian; 0=5 salah, sehingga tidak ada. Hal yang sama terjadi pada substitusi, tempat persamaan satu variabel berubah menjadi 0=0 atau 0=5 alih-alih 7x=14. Kedua sistem itu ada di widget di atas; ketik untuk melihat pengerjaannya.

Apa aturan Cramer untuk dua persamaan, dan mengapa determinan yang menentukan?

Aturan Cramer mengatakan bahwa bila D=a_1b_2-a_2b_1\ne0, penyelesaiannya x=(D_x)/(D) dan y=(D_y)/(D), dengan D_x=c_1b_2-c_2b_1 dan D_y=a_1c_2-a_2c_1. Ia adalah eliminasi yang dikerjakan sekali untuk setiap sistem. Untuk mengeliminasi y dari a_1x+b_1y=c_1 dan a_2x+b_2y=c_2, kalikan yang pertama dengan b_2 dan yang kedua dengan b_1 lalu kurangkan: (a_1b_2-a_2b_1) x=c_1b_2-c_2b_1. Untuk mengeliminasi x, kalikan dengan a_2 dan a_1 lalu kurangkan dengan arah sebaliknya: (a_1b_2-a_2b_1) y=a_1c_2-a_2c_1. Kedua persamaan memiliki koefisien yang sama D di depannya, sehingga bila D\ne0 kamu membagi dan selesai; bila D=0 kamu tak dapat membagi, dan itu tepat kasus sejajar atau berimpit.

Untuk 2x+3y=12 dan 3x-2y=5: D=2·(-2)-3·3=-13, D_x=12·(-2)-5·3=-39, D_y=2·5-3·12=-26. Jadi x=(-39)/(-13)=3 dan y=(-26)/(-13)=2, seperti sebelumnya.

Ada gambar di balik D. Ambil koefisien tiap persamaan sebagai vektor, n_1=(a_1,b_1) dan n_2=(a_2,b_2) (masing-masing tegak lurus pada garisnya). Maka |D| adalah luas jajar genjang yang direntangkannya. Bila kedua garis berarah sama, n_1 dan n_2 sejajar, jajar genjangnya pipih, dan D=0.

Bagaimana menyelesaikan soal cerita dengan dua bilangan tak diketahui?

Selesaikan soal cerita dengan dua bilangan tak diketahui dalam lima langkah: namai kedua bilangan tak diketahui beserta satuannya, tulis satu persamaan untuk tiap fakta, selesaikan sistemnya, periksa jawaban terhadap kata-kata soal, dan jawab dengan satu kalimat. Persamaannya bagian yang sulit; menyelesaikannya sama seperti di atas.

Tiket. Dua tiket dewasa dan tiga tiket anak harganya Rp60.000 seluruhnya, dan satu tiket dewasa dan dua tiket anak Rp35.000. Misalkan x harga tiket dewasa dan y harga tiket anak, dalam ribu rupiah: \begincases 2x+3y=60 \ x+2y=35 \endcases Kalikan yang kedua dengan 2 untuk mendapat 2x+4y=70, kurangkan yang pertama: y=10. Lalu x=35-2·10=15. Tiket dewasa Rp15.000 dan tiket anak Rp10.000. Periksa dalam kata-kata: 2·15+3·10=60 dan 15+2·10=35.

Umur. Seorang ayah dan anaknya berumur 40 tahun bersama-sama, dan umur ayah tiga kali umur anaknya. Dengan x umur ayah dan y umur anak: x+y=40 dan x=3y. Ini cocok untuk substitusi: 3y+y=40, sehingga y=10 dan x=30.

Perahu di sungai. Sebuah perahu melaju 18 km/jam searah arus dan 12 km/jam melawan arus. Bila x kecepatan perahu di air tenang dan y kecepatan arus, maka x+y=18 dan x-y=12. Menjumlahkan memberi 2x=30, sehingga perahu melaju 15 km/jam dan arusnya 3 km/jam.

Kekeliruan paling umum adalah menulis kedua persamaan tentang fakta yang sama. Tiap persamaan harus memakai informasi yang berbeda; bila yang kedua dapat diperoleh dari yang pertama, kamu akan bertemu 0=0. Dan selalu periksa terhadap ceritanya: umur -3 atau harga 0,5 orang bisa menjadi petunjuk bahwa sebuah persamaan disusun salah.

Metode mana yang sebaiknya dipilih untuk sistem persamaan?

Pakai substitusi bila ada variabel berkoefisien 1 atau -1, eliminasi bila koefisiennya lebih besar, aturan Cramer bila kamu ingin rumus atau program, dan grafik untuk melihat ketiga kemungkinan. Keempatnya memberi jawaban yang sama.

Untuk tiga bilangan tak diketahui atau lebih, eliminasi adalah yang berkembang menjadi eliminasi Gauss, metode di balik setiap penyelesai linear yang serius, dan aturan Cramer menjadi sangat lambat. Pecahan dan desimal yang dapat muncul pada jawaban ditangani seperti biasa: biarkan pecahan eksak selama mungkin (pecahan) dan bulatkan hanya di akhir.

Mengapa garis yang hampir sejajar membuat komputer memberi jawaban yang salah?

Bila dua garis hampir sejajar, perubahan kecil pada satu bilangan memindahkan titik potongnya jauh sekali, sehingga sistem itu berkondisi buruk dan komputer, yang menyimpan bilangan dengan galat kecil, dapat memberi jawaban yang sangat salah atau tidak ada sama sekali. Ambil \begincases x+y=2 \ x+(1+\varepsilon) y=2+\delta \endcases dengan \varepsilon kecil. Kurangkan yang pertama dari yang kedua: \varepsilon y=\delta, sehingga y=(\delta)/(\varepsilon) dan x=2-\frac\delta\varepsilon. Dengan \delta=0 jawabannya (2,0). Dengan \varepsilon=10^-6 dan geseran hanya \delta=10^-9 pada satu ruas kanan, y menjadi 10^-3: perubahan di desimal kesembilan satu bilangan muncul di desimal ketiga jawabannya. Faktor pembesarannya \frac1\varepsilon dan bilangan kondisi koefisien, yang mengukur seberapa besar perubahan apa pun dapat dibesarkan, sekitar \frac4\varepsilon.

Komputer menambah masalah kedua. D=a_1b_2-a_2b_1 mengurangkan dua hasil kali yang hampir sama, yaitu pembatalan, dan dalam presisi ganda 1+\varepsilon tepat 1 begitu \varepsilon di bawah sekitar 10^-16: kedua persamaan tampak identik, D keluar tepat 0, dan penyelesai melaporkan "singular" atau membagi dengan nol. Geser penggeser di bawah untuk melihat jawaban eksak, jawaban presisi ganda, dan tempat komputer menyerah.

Yang membantu: untuk sistem yang kamu susun sendiri dari bilangan bulat atau pecahan, pakai aritmetika eksak (Fraction Python tak pernah kehilangan \varepsilon); jangan pernah menguji D == 0 pada bilangan yang berasal dari pengukuran, bandingkan dengan toleransi; dan untuk data nyata pakai penyelesai yang melakukan pivot dan laporkan residu serta bilangan kondisinya, dengan mengingat bahwa residu yang kecil tidak membuktikan galat yang kecil bila bilangan kondisinya sangat besar.

Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dalam program?

Program menyelesaikan sistem dua variabel dengan aturan Cramer dalam beberapa baris: hitung D, bagi bila tidak nol, dan bila nol tentukan antara "tidak ada penyelesaian" dan "tak terhingga" dari ruas kanannya. Untuk bilangan bulat kerjakan semuanya dalam bilangan bulat dan pecahan, agar (31)/(11) tetap eksak. Ketiga program di bawah mencetak empat sistem yang sama dari artikel ini, dua yang terakhir sejajar dan garis yang sama, lalu memperlihatkan jebakan hampir sejajar: 1·(1+10^-16)-1·1 tepat 0 dalam presisi ganda, sedangkan pecahan eksak Python masih menemukan jawaban (1,1).

from fractions import Fraction


def solve2(a1, b1, c1, a2, b2, c2):
    """a1 x + b1 y = c1 and a2 x + b2 y = c2, exactly. Each equation must contain x or y."""
    a1, b1, c1, a2, b2, c2 = (Fraction(v) for v in (a1, b1, c1, a2, b2, c2))
    D = a1 * b2 - a2 * b1
    if D != 0:
        return 'one', (c1 * b2 - c2 * b1) / D, (a1 * c2 - a2 * c1) / D
    # D = 0: the lines have the same direction; they are one line when the right-hand sides fit as well
    if a1 * c2 == a2 * c1 and b1 * c2 == b2 * c1:
        return 'line', None, None
    return 'none', None, None


def describe(*system):
    kind, x, y = solve2(*system)
    if kind == 'one':
        return f'x = {x}; y = {y}'
    return 'infinitely many solutions' if kind == 'line' else 'no solution'


print(describe(1, 1, 10, 1, -1, 2))     # x = 6; y = 4
print(describe(2, 3, 7, 1, -4, 1))      # x = 31/11; y = 5/11
print(describe(2, 3, 6, 4, 6, 18))      # no solution
print(describe(1, 2, 4, 3, 6, 12))      # infinitely many solutions

# nearly parallel lines: x + y = 2 and x + (1 + e) y = 2 + e, whose exact answer is (1, 1)
e = 1e-16
print(1 * (1 + e) - 1 * 1)              # 0.0: in doubles the two equations are the same
tiny = Fraction(1, 10**16)
print(describe(1, 1, 2, 1, 1 + tiny, 2 + tiny))   # x = 1; y = 1

const gcd = (a, b) => (b === 0 ? Math.abs(a) : gcd(b, a % b))

// n / d in lowest terms, as text
const frac = (n, d) => {
  const g = gcd(n, d) * Math.sign(d)
  return `${n / g}${d / g === 1 ? '' : '/' + d / g}`
}

function solve2(a1, b1, c1, a2, b2, c2) {
  const D = a1 * b2 - a2 * b1
  if (D !== 0) return `x = ${frac(c1 * b2 - c2 * b1, D)}; y = ${frac(a1 * c2 - a2 * c1, D)}`
  // D = 0: one line when the right-hand sides fit as well, else parallel
  const same = a1 * c2 === a2 * c1 && b1 * c2 === b2 * c1
  return same ? 'infinitely many solutions' : 'no solution'
}

solve2(1, 1, 10, 1, -1, 2)   // 'x = 6; y = 4'
solve2(2, 3, 7, 1, -4, 1)    // 'x = 31/11; y = 5/11'
solve2(2, 3, 6, 4, 6, 18)    // 'no solution'
solve2(1, 2, 4, 3, 6, 12)    // 'infinitely many solutions'

// nearly parallel lines: in doubles, 1 + 1e-16 is exactly 1
const e = 1e-16
1 * (1 + e) - 1 * 1          // 0

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? (a < 0 ? -a : a) : gcd(b, a % b); }

// prints n / d in lowest terms
void printFraction(int n, int d) {
  int g = gcd(n, d);
  if (d < 0) g = -g;
  n = n / g;
  d = d / g;
  if (d == 1) printf("%d", n);
  else printf("%d/%d", n, d);
}

void solve2(int a1, int b1, int c1, int a2, int b2, int c2) {
  int D = a1 * b2 - a2 * b1;
  if (D != 0) {
    printf("x = ");
    printFraction(c1 * b2 - c2 * b1, D);
    printf("; y = ");
    printFraction(a1 * c2 - a2 * c1, D);
    printf("\n");
  } else if (a1 * c2 == a2 * c1 && b1 * c2 == b2 * c1) {
    printf("infinitely many solutions\n");
  } else {
    printf("no solution\n");
  }
}

int main() {
  solve2(1, 1, 10, 1, -1, 2);
  solve2(2, 3, 7, 1, -4, 1);
  solve2(2, 3, 6, 4, 6, 18);
  solve2(1, 2, 4, 3, 6, 12);
  double e = 1e-16;
  printf("%.1f\n", 1 * (1 + e) - 1 * 1);
  return 0;
}

/* output:
x = 6; y = 4
x = 31/11; y = 5/11
no solution
infinitely many solutions
0.0
*/

Dari mana asal sistem persamaan?

Sistem persamaan linear termasuk masalah tertua dalam matematika, dan metode eliminasi lebih tua daripada notasi yang kita pakai untuknya.

• Dari sekitar 1800 SM. Lempeng tanah liat dari Babilonia mengajukan soal yang setara dengan dua persamaan linear dengan dua bilangan tak diketahui, seperti dua ladang yang luas dan hasil panen gabungannya diketahui, dan menyelesaikannya dengan aturan yang sama dengan eliminasi.
• Pada abad ke-1 M. Kitab Tiongkok Sembilan Bab tentang Seni Matematika mengabdikan bab kedelapan, fangcheng ("susunan persegi panjang"), untuk sistem beberapa persamaan, yang diselesaikan dengan prosedur eliminasi pada susunan bilangan yang ditata dengan batang hitung, langkah yang sama dengan eliminasi Gauss.
• 1557. Robert Recorde menulis tanda sama dengan pertama, =, "karena tak ada dua hal yang lebih sama" daripada dua garis sejajar yang sama panjang.
• 1707 dan 1750. Kuliah Newton, diterbitkan 1707, menguraikan eliminasi untuk beberapa bilangan tak diketahui, dan Gabriel Cramer menerbitkan, pada 1750, aturan determinan yang memakai namanya (Colin Maclaurin telah menemukannya untuk dua dan tiga bilangan tak diketahui sedikit lebih awal).
• Awal abad ke-19. Gauss memakai eliminasi yang sistematis untuk perhitungan kuadrat terkecilnya, itulah sebabnya ia disebut eliminasi Gauss; ia leluhur penyelesai di setiap pustaka numerik sekarang.

Apa kesalahan umum pada sistem persamaan?

Kesalahan paling umum pada sistem persamaan adalah sembilan hal berikut, masing-masing dengan pernyataan yang benar.

Latihan: uji pemahamanmu

Soal-soal ini mencampur semua yang dibahas di atas. Jika jawabanmu belum tepat, perhatikan petunjuk yang tersedia, lalu coba kembali.

Ringkasan: sistem persamaan linear sekilas

• Sistem: a_1x+b_1y=c_1 dan a_2x+b_2y=c_2 sekaligus; penyelesaiannya adalah pasangan (x,y) pada kedua garis.
• Tiga kemungkinan: berpotongan (satu penyelesaian, D\ne0), sejajar (tidak ada), garis yang sama (tak terhingga); untuk dua yang terakhir D=0.
• Substitusi: isolasi sebuah variabel (terbaik dengan koefisien ±1), masukkan ke persamaan yang lain, selesaikan, kembali.
• Eliminasi: ubah skala agar satu variabel berkoefisien berlawanan, jumlahkan (kurangkan bila sama), selesaikan, kembali; 0=0 berarti tak terhingga, 0=5 berarti tidak ada.
• Cramer: x=(c_1b_2-c_2b_1)/(D), y=(a_1c_2-a_2c_1)/(D); |D| adalah luas pada vektor koefisien.
• Soal cerita: namai bilangan tak diketahui, satu persamaan per fakta, selesaikan, periksa dalam cerita, jawab dengan satu kalimat.
• Numerik: garis hampir sejajar memperbesar galat sekitar \frac1\varepsilon; presisi ganda melihat D=0 di bawah 10^-16; pakai pecahan eksak untuk data eksak.

Glosarium: istilah penting

Sistem persamaan linear

Dua persamaan linear atau lebih yang harus benar sekaligus; dengan dua bilangan tak diketahui, dua garis.

Penyelesaian sistem

Pasangan bilangan x dan y yang membuat setiap persamaan sistem benar; titik tempat garis-garis bertemu.

Substitusi

Menyelesaikan satu persamaan untuk sebuah variabel dan memasukkan ungkapan itu ke persamaan yang lain.

Eliminasi

Menjumlahkan atau mengurangkan kelipatan persamaan agar satu variabel habis.

Determinan sistem 2 kali 2

Bilangan a1 b2 dikurangi a2 b1; sistem memiliki tepat satu penyelesaian bila ia tidak nol.

Aturan Cramer

Rumus x sama dengan Dx per D dan y sama dengan Dy per D yang menyelesaikan sistem bila D tidak nol.

Garis sejajar

Garis dengan kemiringan sama yang tak pernah bertemu; sistem dua garis itu tidak memiliki penyelesaian.

Garis berimpit

Dua persamaan yang menggambarkan garis yang sama; setiap titiknya adalah penyelesaian.

Sistem berkondisi buruk

Sistem yang jawabannya berubah banyak bila bilangannya berubah sedikit, seperti pada garis yang hampir sejajar.

Bilangan kondisi

Bilangan yang menyatakan berapa kali perubahan pada data dapat dibesarkan pada jawaban; ia besar untuk garis yang hampir sejajar.

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (2016). Precalculus: Mathematics for Calculus (chapters on systems of equations). Cengage Learning.
2. Gilbert Strang (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
3. Shen Kangshen, John N. Crossley, Anthony W.-C. Lun (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press.
4. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). Wiley.
5. Gabriel Cramer (1750). Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Frères Cramer et Cl. Philibert.
6. Lloyd N. Trefethen, David Bau III (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM.
7. Nicholas J. Higham (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2nd ed.). SIAM.

Artikel terkait

• Bentuk Aljabar: Suku, Penjabaran, dan Pemfaktoran: Bentuk aljabar: suku dan koefisien, suku sejenis, menghitung nilai, menjabarkan kurung, memfaktorkan, dan pecahan aljabar, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Bilangan Rasional: Pecahan, Operasi, Desimal, dan Persen: Bilangan rasional: pecahan, pecahan senilai, membandingkan, empat operasi, bilangan campuran, desimal, dan persen, lengkap dengan contoh dan latihan.
• Bilangan Floating-Point: Cara kerja bilangan floating-point: bit IEEE 754, jarak dan pembulatan, NaN dan tak hingga, galat yang menumpuk, pembatalan, perbandingan, dan tipe yang dipakai.
• Bilangan Bulat: Operasi, Faktor Prima, FPB, dan KPK: Bilangan bulat: garis bilangan, operasi pada bilangan negatif, aturan habis dibagi, bilangan prima, FPB dan KPK, serta sisa pembagian, lengkap dengan latihan.